福建省莆田市中山、励志联考2022-2023学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份福建省莆田市中山、励志联考2022-2023学年九年级上册期中数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．关于x的一元二次方程x2+ax＝5的一个根是1，则a的值是（ ）
A．0B．1C．4D．﹣4
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．将抛物线向右平移3个单位长度．再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
4．用配方法解方程，配方后得到的方程是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，直线 ，直线与分别交于点A、B、C和点D、E、F． 若， ，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．如图，点是的边上的一点，若添加一个条件，使与相似，则下列所添加的条件错误的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，下列式子正确的是（ ）
A．sinA＝B．csA＝C．tanA＝D．csB＝
8．如图，学校课外小组的试验园地的形状是长30米宽15米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为392平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．抛物线经过三点，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在中，于点的平分线交于点E，交于点F．若，则关于x的一元二次方程的根的情况（ ）.
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．无实数根
二、填空题（共6小题，每题4分，共24分）
11．方程的根为 ．
12．已知函数是二次函数，则 ．
13．如图，在中，，，，则的值为 ．
14．抛物线与轴的交点坐标是和,则抛物线的对称轴是 ．
15．如图，平行四边形中，E为的中点，已知的面积为1，则的面积为 ．

16．已知点P（m，n）在抛物线上，当时，总有成立，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题（共9小题，共86分）
17．计算：
18．解方程：
19．如图，∠1 = ∠2，∠C = ∠D，求证：．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2﹣x1x2＝4，求m的值．
21．在综合实践课上，某兴趣小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，在地面C处测得A处的仰角为处的仰角为．（图中所有点都在同一平面内）
(1)求的距离；
(2)求这架无人机的飞行高度．
22．某商店购进一种商品，每件商品进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量y（件）
与每件销售价x（元）的关系数据如下：

（1）已知y与x满足一次函数关系，根据上表，求出y与x之间的关系式（不写出自变量x的取值范围）；
（2）如果商店销售这种商品，每天要获得150元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？
（3）设该商店每天销售这种商品所获利润为w（元），求出w与x之间的关系式，并求出每件商品销售价定为多少元时利润最大？
23．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，csB＝，D、E分别是AB、BC边上的中点，AE与CD相交于点G．
（1）求CG的长；
（2）求tan∠BAE的值．
24．如图，正方形中，点E为边的上一动点，作交、分别于P、F点，连．
(1)若点E为的中点，求证：F点为的中点．
(2)若点E为的中点，，求的长．
(3)若正方形的边长为4，直接写出的最小值．
25．如图，抛物线y＝x2+mx+m（m＞0）的顶点为A，交y轴于点C．
（1）求出点A的坐标（用含m的式子表示）；
（2）若直线y＝﹣x＋n经过点A，与抛物线交于另一点B，证明：AB的长是定值；
（3）连接AC，延长AC交x轴于点D，作直线AD关于x轴对称的直线，与抛物线分别交于E、F两点．若∠ECF＝90°，求m的值．

参考答案与解析
1．C
【分析】将x=1代入方程计算即可．
【详解】解：将x=1代入x2+ax＝5，得1+a=5，
解得a=4，
故选：C．
【点睛】此题考查一元二次方程的解，正确理解方程的解集正确计算是解题的关键．
2．D
【分析】根据顶点式的顶点坐标为(，)，可直接得出答案．
【详解】解：抛物线y=3(x+4)2+2为顶点式，顶点坐标为（-4，2），
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，掌握由顶点式的形式得出顶点坐标是关键．
3．A
【分析】根据抛物线平移的规律：左加右减，上加下减，平移不改变a的值，即可解答．
【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，
得到的抛物线的解析式为：．即．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
4．A
【分析】将方程的一次项移到左边，两边加上4变形后，即可得到结果．
【详解】解：方程移项得：x2−4x=1，
配方得：x2−4x+4=5，
即(x−2)2=5．
故选A．
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟记完全平方公式.
5．C
【分析】根据，， ，得到，代入计算即可．
【详解】∵，， ，
∴，
∴，
解得．
故选C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确理解定理是解题的关键．
6．D
【分析】在与中，已知有一对公共角∠B，只需再添加一组对应角相等，或夹已知等角的两组对应边成比例，即可判断正误．
【详解】A．已知∠B=∠B, 若，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；
B．已知∠B=∠B, 若，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；
C．已知∠B=∠B, 若，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；
D．若，但夹的角不是公共等角∠B，则不能证明两三角形相似，错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解答的关键．
7．A
【分析】利用同角的余角相等可得∠A＝∠BCD，再根据锐角三角函数的定义可得答案．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠DCA＝90°，∠DCA+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴sinA＝sin∠BCD＝；
csA＝cs∠BCD= ;
tanA＝；
csB＝；
所以B、C、D均错误
故选：A．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数定义，理解熟记锐角三角函数定义是解题关键，需要注意的是锐角三角函数是在直角三角形的条件下定义的．
8．B
【分析】设小道的宽为米，则6个小矩形可合成长为米，宽为米，利用种植的面积建立等式，可得出关于的一元二次方程．
【详解】解：设小道的宽为米，则6个小矩形可合成长为米，宽为米，
根据题意：，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是：根据题目信息，找准等量关系，列出一元二次方程．
9．B
【分析】根据抛物线解析式得到抛物线开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远，函数值越大，由此即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，正确理解题意得到离对称轴越远，函数值越大是解题的关键．
10．D
【分析】由可得，作于点，可得，，从而可得，进而求解．
【详解】解：于点，
，
，，
，
，
，
，
作于点，则，
为的平分线，FD⊥CD，FG⊥CG，
，
，即，
，
，
，
在方程中，
△，
二次方程无实数根，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题关键是掌握相似三角形的判定及性质，通过添加辅助线求解．
11．
【分析】移项后再因式分解求得两根即可；本题考查一元二次方程解法中的因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是本题的关键．
【详解】解：，
，
或,
解得，
故答案为： ．
12．
【分析】根据二次函数的定义：形如，这样的函数叫做二次函数，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴，
∴；
故答案为：．
13．
【分析】本题考查求角的正弦值．根据正弦值等于对边比斜边，进行求解即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴；
故答案为：．
14．
【分析】由抛物线与轴的两个交点，利用对称性确定出对称轴即可．
【详解】解：与轴的两个交点坐标是和，
抛物线的对称轴为直线．
故答案是：．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
15．
【分析】根据平行四边形的性质得出，证明，根据相似三角形的性质求出，再由，求出，进而可得答案．
【详解】解：∵在平行四边形中，，E为的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
16．0＜a≤
【分析】依照题意画出图形，分0＜＜1及≥1两种情况考虑，结合函数图形以及已知条件可得出关于a的一元一次不等式组（或一元一次不等式），解之即可得出a的取值范围，综上即可得出结论．
【详解】当≥1时，有，
解得：a＞0，
∴0＜a≤；
当0＜＜1时，有，
解得：a=
∴0＜a≤．
综上所述：0＜a≤．
故答案为：0＜a≤．
【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，分0＜＜1及≥1两种情况找出关于a的一元一次不等式（一元一次不等式组）是解题的关键．
17．
【分析】将特殊角的三角函数值代入即可
【详解】解：原式=
=
=
【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值,掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
18．，
【分析】方程利用因式分解法求解即可．
【详解】解：
∴，
∴，
【点睛】本题主要考查解一元二次方程--因式分解因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
19．见解析
【分析】根据∠1＝∠2可得∠BAC＝∠EAD，结合∠C＝∠D，证明△BAC∽△EAD，再根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠CAE＝∠2＋∠CAE，
∴∠BAC＝∠EAD，
∵∠C = ∠D，
∴△BAC∽△EAD，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
20．（1）见解析；（2）m=-2
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论；
（2）利用根与系数的关系求得x1+x2=m+2，x1x2=2m，代入x1+x2-x1x2=4，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：∵Δ=[-(m+2)]2-4×2m=(m-2)2≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：根据题意得：x1+x2=m+2，x1x2=2m，
∵x1+x2-x1x2=4，
∴m+2-2m=4．
解得m=-2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1•x2=．也考查了根的判别式．
21．(1)80m
(2)m
【分析】（1）根据路程速度时间即可得到结论；
（2）过作于，于，得到，m，推出是等腰直角三角形，求得，设，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】（1）解：的距离m；
（2）过作于，于，
则，m，
，
是等腰直角三角形，
，
设，
，
，
，
答：这架无人机的飞行高度为m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
22．（1）y=-2x+100；（2）35元或45元；（3）W=-2x2+160x-3000，40元时利润最大．
【详解】试题分析：（1）设一次函数解析式，将表格中任意两组x，y值代入解出k，b，即可求出该解析式；（2）利润等于单件利润乘以销售量，而单件利润又等于每件商品的销售价减去进价，从而建立每件商品的销售价与利润的一元二次方程求解；（3）将w替换上题中的150元，建立w与x的二次函数，化成一般式，看二次项系数，讨论x取值，从而确定每件商品销售价定为多少元时利润最大．
试题解析：（1）设该函数的表达式为y=kx+b（k≠0），根据题意，得，解得，∴该函数的表达式为y=-2x+100；（2）根据题意得：（-2x+100）（x-30）="150" ，解这个方程得，x1=35，x2=45∴每件商品的销售价定为35元或45元时日利润为150元．（3）根据题意得：w=（-2x+100）（x-30）=-2x2+160x-3000=-2（x-40）2 +200，∵a=-2<0，则抛物线开口向下，函数有最大值，即当x=40时，w的值最大，∴当销售单价为40元时获得利润最大．
考点：一次函数与二次函数的实际应用．
23．（1）；（2）tan∠BAE＝．
【分析】（1）根据在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，csB＝，可以求得AB的长，然后根据点D为AB的中点，可以得到CD的长，再根据点G是△ABC中点的交点，可以得到CG＝CD，从而可以求得CG的长；
（2）作EF⊥AB于点G，然后根据题意，可以求得EF和AF的长，从而可以得到tan∠BAE的值．
【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，csB＝，
∴，
∵D是边上的中点，
∴，
又∵点E是BC边上的中点，
∴点G是△ABC的重心，
∴；
（2）∵点E是BC边上的中点，
∴，
过点E作EF⊥AB，垂足为F，
∵在Rt△BEF中，csB＝，
BF＝BE•csB＝，
∴，
∵AF＝AB﹣BF＝18﹣4＝14，
∴tan∠BAE＝．
【点睛】本题考查三角形的重心，直角三角形斜边上的中线，解直角三角形，勾股定理．（1）中理解三角形的三条中线交于一点，这一点是三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题关键；（2）能正确构造辅助线，构造直角三角形是解题关键．
24．(1)见解析
(2)2
(3)
【分析】（1）证明，得到即可；
（2）利用，设，得到，进而得到，全等三角形的性质，得到，进而得到，即可得解；
（3）取的中点，连接，勾股定理求出，斜边上的中线求出，利用，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∴F点为的中点；
（2）∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则：，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）取的中点，连接，
∵正方形的边长为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，斜边上的中线，勾股定理等知识点．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
25．（1）；（2）见解析；（3）-1+
【分析】（1）直接写出顶点式即可得出结论；
（2）先将点A坐标代入直线AB的解析式中，得出n=2m+m2，进而得出直线AB的解析式为y=-x+2m+m2，再联立抛物线解析式得出方程组，转化成方程，利用根与系数的关系即可得出结论；
（3）先求出点A，C关于x轴的对称点，进而得出直线EF解析式，再联立抛物线解析式，过点C作MN∥x轴，过点E作EM⊥MN于点M，过点F作FN⊥MN，设点E，F坐标，联系抛物线和EF表达式，利用根与系数的关系列出方程求解.
【详解】解：（1）抛物线，
顶点的坐标为；
（2）由（1）知，顶点的坐标为，
直线经过点，
，
，
直线的解析式为①，
设，，，，
抛物线②，
联立①②得，，
即：，
，，
即：的长是定值，其值为；
（3）抛物线与轴相交于，
，
点关于轴的对称点的坐标为，
由（1）知，顶点的坐标为，
点关于轴的对称点的坐标为，
直线是直线关于轴的对称点，
点，在直线上，
直线的解析式为③，
抛物线④，
设E（，），F（，），
过点C作MN∥x轴，过点E作EM⊥MN于点M，过点F作FN⊥MN，如图1，
∵∠ECF=90°，
∴∠ECM+∠FCN=90°，
∠FCN+∠CFN=90°，
∴∠ECM=∠CFN，
∵∠EMC=∠FNC=90°，
∴△EMC∽△CNF，
∴,
即，
化简得：，
联立③④得，，
，，
==，
，
∴，
∴=0
解得：m=或m=或m=0，
∵m>0
∴m=.

【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，配方法，根与系数的关系，直角三角形的性质，建立方程组是解本题的关键．
x
30
32
34
36
y
40
36
32
28