江西省宜春市2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份江西省宜春市2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．观察如图所示的月饼图案，下列说法正确的是（ ）

A．它是轴对称图形，不是中心对称图形
B．它是中心对称图形，不是轴对称图形
C．它是轴对称图形，也是中心对称图形
D．它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
2．下列函数中不是二次函数的有（ ）
A．B．C．D．
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，正方形和正方形的边长都是2，正方形绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
6．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，则线段的长度的最小值是（ ）

A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．一种纪念品经过两次涨价，从原来每个元涨至现在的120元，则平均每次涨价的百分率是 ．
8．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为 ．
9．已知点与点关于原点对称，则 ．
10．已知点都在二次函数的图像上，则的大小关系是 ．
11．对于实数a，b定义运算“※”如下：，例如，则方程的解为 ．
12．在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，将边AD绕它的端点旋转，当另一端点恰好落在边BC所在直线的点E处时，线段DE的长为 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．选择适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
14．如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，．
(1)
求的长；
(2)若，求的度数．
15．已知抛物线与x轴的交点是，，经过点．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)设该抛物线的顶点为M，求的面积．
16．杭州亚运会期间，某商店销售一批亚运会吉祥物挂件，每个进价13元，规定销售单价不低于20元．试销售期间发现，当销售单价定为20元时，每月可售出200个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，现商店决定提价销售．
(1)涨价多少时，利润为1620元；
(2)将亚运会吉祥物挂件销售单价定为多少元时，商店每天销售亚运会吉祥物挂件获得的利润y最大？最大利润是多少元？
17．如图 1，四边形是正方形；如图2，四边形是矩形，是等腰三角形. 请只用无刻度的直尺按要求画图．

(1)在图1中，画出正方形的对称中心O；
(2)在图2中，画出线段的中点N．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．已知函数是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？
(3)当m为何值时，该函数有最小值？
19．如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D,
（1）求证：BE＝CF ；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
20．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)求二次函数的解析式；
(2)直接写出不等式的解集______；
(3)若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)试求的取值范围；
(2)若，求的值；
(3)若此方程的两个实数根为，，且满足，试求的值．
22．阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数（是常数）与（是常数）满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数的“旋转函数”，小明是这样思考的，由函数可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请思考小明的方法解决下面问题：
(1)写出函数的“旋转函数”；
(2)若函数与互为“旋转函数”，求的值；
(3)已知函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是，，，试证明：经过点，，的二次函数与互为“旋转函数”．
六、解答题（本大题共12分）
23．如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC.将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，E是边BC上的一动点，连结DE交AC于点F，连结BF.
(1)求证：FB=FD；
(2)如图2，连结CD，点H在线段BE上（不含端点），且BH=CE，连结AH交BF于点N.
①判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论；
②连接CN．若AB=2，请直接写出线段CN长度的最小值.
参考答案与解析
1．C
【分析】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．据此判断即可．
【详解】解：该图是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：C．
2．D
【分析】本题主要考查二次函数的定义：“形如，，的函数是二次函数，”根据二次函数的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．，是二次函数，不符合题意；
B．，是二次函数，不符合题意；
C．，是二次函数，不符合题意；
D．，是一次函数，符合题意；
故选：D．
3．C
【分析】直接根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线．
4．A
【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，根据正方形的性质得出，推出，证出，即可求解．
【详解】解：如图，设与交点N，与交点M，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴．
在与中，
，
，
，
．
故选：A．
5．C
【分析】一元二次方程的二次项系数不能为0，且当时，有两个实数根，计算即可得到参数取值范围．
【详解】解：∵是一元二次方程
∴
∴
又∵一元二次方程有两个实数根
∴
即：

∴满足题意的的取值范围是：且
故选：C
【点睛】本题考查一元二次方程判别式，以及一元二次方程的定义，根据知识点解题是关键．
6．C
【分析】在的上方作，且使，连接，．设，则，根据证明得出，，得出，即可推出结论．
【详解】解：如图，在的上方作，且使，连接，．

设，则，
，
∵将绕点C顺时针旋转得到，
，，
又，
，
在和中，
，
，
，．
，
，
，
的最小值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
7．
【分析】本题考查了增长率问题在实际问题中的运用及列一元二次方程解实际问题的能力．设平均每次涨价的百分率是x，根据增长率问题建立方程求出其解可以得出答案．
【详解】解：设平均每次涨价的百分率是x，由题意，得
，
解得：，（不符合题意，舍去），
，
故答案为：．
8．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系得到，结合，即可求解．
【详解】解：是关于x的一元二次方程的两个实数根，
，
，
，
解得：，经检验符合题意；
故答案为：．
9．3
【分析】直接利用关于原点对称点的性质即可得出答案．
【详解】解：点与点关于原点对称，
．
故答案为：3
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键．
10．
【分析】本题考查二次函数比较大小，涉及二次函数图像与性质、二次函数增减性等知识，先判断增减性，再求出对称轴，根据点到对称轴的距离求解即可，熟练掌握二次函数增减性及图形与性质是解决问题的关键．
【详解】解：二次函数开口向上，对称轴为，
抛物线上的点到对称轴的距离越近，值越小，
点到二次函数的对称轴距离为，
，
故答案为：．
11．
【分析】此题主要考查了定义新运算，以及实数的运算，根据，由，可得：，据此求出x的值为多少即可．
【详解】解：，
由，得：，即，
，
解得：．
12．或或5
【分析】分两种情形：绕A旋转或绕D旋转，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，AD=BC=5，∠ABC=∠DCB=90°，
当AD绕A旋转，AD==5时，，
∴C=1，C=9，
∴，，
当AD绕D旋转时，，
综上所述，满足条件的DE的值为或3或5，
故答案为：或3或5．
【点睛】本题考查旋转变换，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
13．(1)
(2)
【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，公式法，以及直接开方法．
（1）利用直接开方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：
，
解得：；
（2）解：
，
，
，
解得：．
14．(1)
(2)
【分析】对于（1），由旋转的性质可知，，利用勾股定理即可求出；
对于（2），由旋转的性质得到是等腰直角三角形，且，求出，，即可解决问题．
【详解】（1）由旋转的性质可知，，
∴；
（2）由旋转的性质可知，，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运算．
15．(1)
(2)
【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质．
（1）由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式，然后把C点坐标代入求出a的值即可；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式得到M点的坐标，然后根据三角形面积公式的面积．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
把代入得：，解得．
抛物线解析式为，即；
（2）解：，
，
，
．
16．(1)涨价11元或2元时，利润为1620元
(2)售单价定为元时，商店每天销售亚运会吉祥物挂件获得的利润最大，最大利润是元
【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．
（1）设上涨x元，则每个纪念品利润为元，销售量为个，根据“总利润每个纪念品利润销售量”列出关于x的方程，解之可得；
（2）依据（1）中的相等关系列出函数解析式，配方成顶点式，再依据二次函数的性质求解可得．
【详解】（1）解：设上涨x元，则每个纪念品利润为元，销售量为个，
由题意得：，
整理得：，即，
解得：，
答：涨价11元或2元时，利润为1620元；
（2）解：由（1）知当上涨x元，则每个纪念品利润为元，销售量为个，
则，即，
，
当时，y有最大值，最大值为，
售单价定为元时，商店每天销售亚运会吉祥物挂件获得的利润最大，最大利润是元．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题主要考查了作图与应用作图，正方形的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质和中心对称图形的性质，中点的定义．
（1）依据正方形的对称中心为对角线的交点进行作图；
（2）利用矩形的对称中心为对角线的交点，等腰三角形的轴对称图形，即可得到点N．
【详解】（1）解：如图1所示，连接交于点O即为所求；

（2）解：如图2所示，连接交于点O，连接并延长交于点N即为所求．

18．(1)
(2)
(3)
【分析】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题．
（1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题．
（2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下；
（3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值．
【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，，
解得：；
（2）解：∵函数图象的开口向下，
，
，
∴当时，该函数图象的开口向下；
（3）解：∵当时，抛物线有最低点，函数有最小值，
，
∵或1，
∴当时，该函数有最小值．
19．（1）证明见解析（2）-1
【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，得出△ACF≌△ABE，从而得出BE=CF；
（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解．
【详解】（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，
即∠EAB=∠FAC，
在△ACF和△ABE中，
△ACF≌△ABE
BE=CF.
（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，
∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，
∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，
∴∠AEB=∠ABE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE=AC=，
∴BD=BE﹣DE=．
考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质．
20．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）把抛物线解析式设为顶点式求解即可；
（2）根据不等式的解集即为二次函数图象在x轴上方时自变量的取值范围求解即可；
（3）根据方程有两个不相等的实数根即二次函数与直线有两个不同的交点进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，二次函数与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），顶点坐标为（2，-2），
∴可设二次函数解析式为，
把（1，0）代入解析式得：，解得，
∴二次函数解析式为；
（2）解：由函数图象可知不等式的解集为或，
故答案为：或；
（3）解：由函数图象可知方程有两个不相等的实数根，即为二次函数与直线有两个不同的交点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，图象法解一元二次不等式，一元二次方程与二次函数综合等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的方程，解之即可得出的值；
（3）由（2）可知：，，根据，可得，即由，可得，进而可得，则有，即，问题得解．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：；
（2）∵方程的两个实数根为，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
解得：或者，
∵根据（1）有，
即；
（3）由（2）可知：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵根据（1）有，
即．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，灵活运用完全平方公式的变形是解题的关键．
22．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了二次函数综合运用，涉及到函数与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质以及二次函数图象与几何变换．
（1）由二次函数的解析式可得出的值，结合“旋转函数”的定义可求出的值，此问得解；
（2）由函数与互为“旋转函数”，可求出m，n的值，将其代入即可求出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，结合对称的性质可求出点，，的坐标，由点，，的坐标，利用交点式可求出过点，，的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出的值，再由，，，可证出经过点，，的二次函数与函数互为“旋转函数”．
【详解】（1）解：由函数知，，
∵，，，
，
函数的“旋转函数”是；
（2）解：根据题意得：，
解得，
；
（3）证明：令，得；令，则；
则A、B、C三点的坐标分别为，
∴A、B、C三点关于原点对称的点坐标分别为，
设经过，，三点的函数解析式为，
将代入，得：，
解得：，
∴经过，，三点的函数解析式为，即，
∴与原函数是旋转函数．
23．（1）见解析；（2）①AH⊥BF，见解析；②.
【分析】（1）证明△FAD≌△FAB（SAS）即可解决问题．
（2）①首先证明四边形ABCD是正方形，再证明∠BAH=∠CBF即可解决问题．
②如图3中，取AB的中点O，连接ON，OC．理由三角形的三边关系解决问题即可．
【详解】（1）证明：如图1中，
∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∵线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，
∴∠BAD=90°，BA=AD，
∴∠FAD=∠FAB=45°，
∵AF=AF，
∴△FAD≌△FAB（SAS），
∴BF=DF．
（2）①解：结论：AH⊥BF．
理由：如图2中，连接CD．
∵∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，
∵AD=AB=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形，
∵BA=CD，∠ABH=∠DCE，BH=CE，
∴△ABH≌△DCE（SAS），
∴∠BAH=∠CDE，
∵∠FCD=∠FCB=45°，CF=CF，CD=CB，
∴△CFD≌△CFB（SAS），
∴∠CDF=∠CBF，
∴∠BAH=∠CBF，
∵∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠BAH+∠ABF=90°，
∴∠ANB=90°，
∴AH⊥BF．
②如图3中，取AB的中点O，连接ON，OC．
∵∠ANB=90°，AO=OB，
∴ON=AB=1，
在Rt△OBC中，OC=，
∵CN≥OC-ON，
∴CN≥-1，
∴CN的最小值为-1．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题.