河南省郑州市金水区实验中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份河南省郑州市金水区实验中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时间：100分钟满分：120分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种卯构件的示意图，其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
2．若点，，在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，电路图上有4个开关，，，和1个小灯泡，同时闭合开关，或同时闭合开关，都可以使小灯泡发光．随机同时闭合两个开关，小灯泡发光的概率是（ ）
第3题图
A．B．C．D．
4．如图，滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）
第4题图
A．米B．米C．米D．米
5．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，将视力表中的两个“”放在平面直角坐标系中，两个“”字是位似图形，位似中心点，①号“”与②号“”的相似比为2：1．点与为一组对应点，若点坐标为，则点的坐标为（ ）
第6题图
A．B．C．D．
7．关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．图象的开口方向向上B．函数的最小值为－3
C．图象可由抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
D．当时，随的增大而减小
8．如图，菱形的对角线与相交于点，为的中点，连接，，，则等于（ ）
第8题图
A．6B．C．4D．
9．如图，一块材料的形状是锐角三角形，边长12cm，BC边上的高为10cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点、分别在、上，则这个正方形零件的边长是（ ）
第9题图
A．cmB．5cmC．6cmD．7cm
10．如图，在轴的正半轴上依次截取，过、、、、……分别作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点、、、、……，并设、、……面积分别为、、……，其中为正整数，按此作法进行下去，的值为（ ）
第10题图
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．一元二次方程的解是______．
12．将放置在4×4的正方形网格中，顶点、、都在格点上．则的值为______．
第12题图
13．如图，小树在路灯的照射下形成投影．若树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为______m．
第13题图
14．在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标的和为零，则称这个点为“零和点”．已知二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，则=______．
15．如图，菱形中，，，点为射线上一个动点，连接，点关于直线的对称点为，连接，，当时，的长为______．
第15题图
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（8分）（课本原题）（1）计算
（2）（课本原题）解方程
17．（9分）【问题情境】
大自然中的植物千姿百态，如果细心观察，就会发现：不同植物的叶子通常有着不同的特征，如果我们用数学的眼光来观察，会有什么发现呢？
“思维math”小组的四位同学小颖、小平、小名和小宇，一起开展了“利用树叶的特征对树木进行分类”的项目化学习活动．
【实践发现】
同学们从收集的杨树叶、柳树叶中各随机选取10片，通过测量得到这些树叶的长和宽（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
【实践探究】
分析数据如下：
【问题解决】
（1）上述表格中：=______，=______；
（2）①这两种树叶从长宽比的方差来看，______树叶的形状差别较小；
②该小组收集的树叶中有一片长为11.5cm，宽为5cm的树叶，这片树叶来自于______树的可能性大；
（3）该小组准备从小颖、小平、小名和小宇四位成员中随机选取两名同学进行成果汇报，请用列表或画树状图的方法，求成员小颖和小平同时被选中的概率．
18．（9分）（《学练优》原题）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，文化路社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为45°时，求阴影的长．（结果精确到0.1米；参考数据：，，）
19．（9分）“直播带货”已经成为信息社会中商家的一种新型促销手段，某主播小佳在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系，它们的关系如图所示：
（1）当定价为______元时，开始无人购买；
（2）设小佳每天的销售利润（快递费用等不考虑）为元，求与之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）若小佳每天想获得的销售利润为910元，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？

20．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）设直线与轴交于点，若为轴上的一动点，连接，，当的面积为时，求点的坐标．
21．（10分）如图，菱形的对角线、相交于点，
（1）尺规作图：在边的左侧，作，使；
（2）在（1）的条件下，连接．求证：四边形为矩形；
（3）在（2）的条件下，连接，交于点，菱形中，若，，求的长．
22．（10分）如图，已知二次函数的图象经过点，点．
（1）求该二次函数的表达式，并求出对称轴和顶点坐标；
（2）点在该二次函数图象上，当时，的最大值为，最小值为1，请根据图象直接写出的取值范围．
23．（10分）综合与实践：
综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动．
【问题发现】
如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为______；
【拓展探究】
如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明．
【解决问题】
如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长．
九年级学情调研2数学 评分标准
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．C．2．B．3．A．4．D．5．A．6．D．7．C．8．B．9．A．10．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．－1，3．12．1．13．．14．4．15．2或6．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（8分）（1）原式=
=
=2；
（2）解：这里，，，
∴，
∴，
∴，；
17．（9分）解：（1）2.15，1.5；
（2）①柳；②杨；
（3）四位同学分别用、、、表示，其中代表小颖，代表小平，代表小名，代表小宇，画树状图为：
共有12中等可能的结果，其中成员小颖和小平同时被选中的结果数为2，所以成员小颖和小平同时被选中的概率=．
18．（9分）解：过作于，于，如图：
在中，
（米），（米），
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，（米），
在中，∵，
∴米，
∴（米），
∴阴影的长约为2.2米
19．（9分）解：（1）设每天的销售量（件）与销售单价（元）的函数解析式为，把和代入解析式得：
，
解得，
∴，
令，即，
解得，
∴当定价为30元时，开始无人购买，
故答案为：30；
（2）由题意得：．
∴与之间的函数关系式为；
（3）由题意，令，
∴．
∴，．
又尽可能地减少库存，
，
∴．
∴应将销售单价定为17元；
20．（10分）解：（1）∵图象经过，
∴，
∴反比例函数表达式为：
（2）由图可得，不等式的解集是或；
（3）设直线交轴于，交轴于，
在中，
当时，，
∴，
当时，得，
解得：，∴，∴，
∵，，∴，
∵，∴，
解得：或，
∴点的坐标为或．
21．（10分）（1）
如图，即为所求．
（2）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，∴四边形OCED是平行四边形，
又∵，∴平行四边形是矩形；
（3）解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∵平行四边形是矩形；
∴，，
∴在中，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
22．（10分）解：（1）将点、的坐标分别代入二次函数，得方程组：
，
解之，得
得
，
所以，对称轴是：直线，顶点坐标为．
答：该二次函数的表达式为，对称轴是：直线，顶点坐标为．
（2）当，解得或，
因为，，顶点是．根据题意，点应在点、之间的函数图象上，可以看出，．
23．（10分）解：【问题发现】；
【拓展探究】仍然成立．理由如下：
图1中，，，
∴，∴，
图2中，由旋转可得：，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∴；
【解决问题】
①如图3，当点在线段上时，连接、，
∵四边形，四边形为正方形，
∴，，
∴，∴，
∴，
∵，，∴，
∴；
②如图4，当点在线段延长线上时，连接、，
∵四边形，四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，∴，
∵，，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
杨树叶的长宽比
2
2.4
2.1
2.4
2.8
1.8
2.4
2.2
2.1
1.7
柳树叶的长宽比
1.5
1.6
1.5
1.4
1.5
1.4
1.7
1.5
1.6
1.4
平均数
中位数
众数
方差
杨树叶的长宽比
2.19
2.4
0.0949
柳树叶的长宽比
1.51
1.5
0.0089