黑龙江省哈尔滨市南岗区第一五六中学2023-2024学年九年级上册月考数学(五四制)试题（含解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市南岗区第一五六中学2023-2024学年九年级上册月考数学(五四制)试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（ ）

A．4B．9C．12D．
4．的值等于（ ）
A．1B．C．D．2
5．下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ）

A．B．C．D．
7．如图，矩形的对角线相交于点．若，则（ ）

A．B．C．D．
8．如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ）

A．B．7C．D．8
9．如图，弦垂直于的直径，垂足为H，且，，则的长为（ ）
A．B．2C．3D．4
10．在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值B．最大值C．最小值D．最小值
二、填空题
11．某企业年产值8050000元，把8050000用科学记数法表示为 ．
12．在函数中，自变量的取值范围是 ．
13．把多项式因式分解的结果是 ．
14．不等式组的解集是 ．
15．计算： ．
16．在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为 ．
17．某扇形的半径为24cm，弧长为16πcm，则该扇形的圆心角的度数为 ．
18．如图，内接于，圆的半径为7，，则弦的长度为 ．

19．正方形的边长为4，P为边的延长线上一点，且，把绕顶点A旋转，使得点P落在直线上Q点，此时的正切值为 ．
20．如图，在四边形中，为对角线，，，，，，，则对角线AC的长为 ．
三、解答题
21．先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中x＝2sin60°﹣tan45°．
22．如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段，点，均在小正方形的顶点上．
(1)在图1中画出一个以线段为一边的平行四边形，点，均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为6；
(2)在图2中画一个钝角三角形，点在小正方形的顶点上，且三角形面积为4，．请直接写出的长．
23．某校为了了解家长和学生观看安全教育视频的情况，随机抽取本校部分学生作调查，把收集的数据按照A，B，C，D四类（A表示仅学生参与；B表示家长和学生一起参与；C表示仅家长参与；D表示其他）进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的未完成的条形统计图和扇形统计图．

(1)在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？
(2)补全条形统计图．
(3)已知该校共有1000名学生，估计B类的学生人数．
24．在中，，垂足为点，点是边的中点，，交于点，，连接．
(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，连接、、，若，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中长度为的2倍的线段．
25．动漫节开幕前，某动漫公司预测某种动漫玩具能够畅销，就分两批分别用32000元和68000元购进了这种玩具销售，其中第二批购进数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．
（1）该动漫公司这两批各购进多少套玩具？
（2）如果这两批玩具每套售价相同，且全部销售后总利润不少于20000元，那么每套售价至少是多少元?
26．已知，四边形ABCD内接于，弦交弦于点F，连接，
(1)如图1，求证：是的直径；
(2)如图2，连接，若，延长交于点L，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点G，连接交于点H，点M在弦上，连接交BF于点N，若，，，且，求的长．
27．已知，抛物线交轴于点（点在左，点在右），交轴于点，．
(1)求抛物线解析式；
(2)点在第二象限，连接，交轴于点，点的横坐标为，设的长为，求与的函数关系式．
(3)在（2）的条件下，过作于，连接并延长交抛物线于点，．点在第一象限，连接，直线交的延长线于点，交轴于点，若，，求的坐标．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：的相反数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2．A
【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简等计算即可．
【详解】解：A、，故正确，符合题意；
B、，故错误，不符合题意；
C、，故错误，不符合题意；
D、，故错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，二次根式的化简，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
3．B
【分析】根据相似三角形的性质即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B.
【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.
4．B
【分析】先根据特殊角的三角函数值进行化简，再进行二次根式的加法运算即可．
【详解】解 ：，
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的加法运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
5．B
【分析】根据一次函数和反比例函数的性质，逐项分析即可得到答案．
【详解】解：A、 ，，y随x的增大而增大，不符合题意；
B、 ，，y随x的增大而减小，符合题意；
C、 ，，在每个象限内，y随x的增大而减小，不符合题意；
D、 ，，在每个象限内，y随x的增大而增大，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质，是解题的关键．
6．A
【分析】根据旋转的性质即可解答．
【详解】根据题意，由旋转的性质，
可得，，，
无法证明，，故B选项和D选项不符合题意，
，故C选项不符合题意，
，故A选项符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键．
7．D
【分析】根据矩形性质得出，推出则有等边三角形，即，然后运用余切函数即可解答．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定、矩形的性质、余切的定义等知识点，求出是解答本题的关键．
8．C
【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论．
【详解】解：是的中位线，
，，
，
，
，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
9．A
【分析】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理，熟记“垂直于弦的直径平分这条弦”是解题关键．
【详解】解：连接如图：
设圆的半径为r，
弦垂直于的直径，
，
，，
，
在中：
，
，
在中：
即
解得：．
故选：A．
10．D
【分析】将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴左侧，得出，再利用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值．
【详解】解：将代入二次函数解析式得：，解得：，，
∵二次函数，对称轴在轴左侧，即，
∴，
∴，
∴，
∴当时，二次函数有最小值，最小值为，
故选：．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键．
11．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：把8050000用科学记数法表示为8.05×106．
故答案为：8.05×106．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．
【分析】分母不为0即可．
【详解】解：由题意可知：，
解得，
故答案为．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，注意分母不为0即可，属于基础题．
13．
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．2＜x≤4
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】解：，由①得，x≤4，由②得，x＞2，
故不等式组的解集为：2＜x≤4．
故答案为2＜x≤4．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15．
【分析】本题考查了二次根式的运算，解题关键“将二次根式化为最简二次根式”．
【详解】解：
故答案为：．
16．
【分析】根据简单事件的概率公式计算即可得．
【详解】解：因为在不透明的盒子中，总共有10个球，其中有四个绿球，并且这十个球除颜色外，完全相同，
所以从中随机摸出一个球是绿球的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求概率，熟练掌握概率公式是解题关键．
17．120°
【分析】弧长的公式为l＝，将弧长l＝16πcm，r＝24cm代入计算即可求出n的值．
【详解】解：由题意得，l＝16πcm，r＝24cm，
故可得：16π＝，
解得：n＝120．
故答案为：120°．
【点睛】本题考查了弧长的计算公式：（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为．注意：在弧长的计算公式中，是表示的圆心角的倍数，和180都不要带单位．本题属于基础题，难度一般．
18．
【分析】连接，过点作于点，先根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，，然后解直角三角形可得的长，由此即可得．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，

，
，
，
，，
∵圆的半径为7，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三线合一，熟练掌握圆周角定理和解直角三角形的方法是解题关键．
19．4或##或4
【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，旋转的性质，解题关键是旋转后对应边相等、对应角相等．
【详解】解：如图所示：

当Q在上时，
正方形的边长为4，
，
，
，
绕顶点A旋转，使得点P落在直线BC上Q点，
，
，
，
．
当Q在延长线上时，
,
,
故答案为：4或．
20．
【分析】由可以联想到构造直角三角形，所以过点C作的垂线交于点F，过点D作的垂线交的延长线于点E，构造第二个直角三角形即可求得，在直角三角形中由勾股定理即可求解．
【详解】解：过点C作的垂线交于点F，过点D作的垂线交的延长线于点E，如图所示：
，，
且，
，
，
，
，，
设，则，
在中，，
，，
，
解得：（不符合题意舍去）
，
在中，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形全等性质和判定，勾股定理，锐角三角函数，平行线的性质，解题关键是“通过锐角三角函数联想到构造直角三角形求解”．
21．,
【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，求出x的值后代入，即可求出答案．
【详解】解:
＝，
当x＝2sin60°﹣tan45°＝2×﹣1＝﹣1时，
原式＝＝．
【点睛】考核知识点: 特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值是关键．
22．(1)见解析
(2)见解析，
【分析】（1）由图可知：A、B间的垂直方向长为2，要使构建的平行四边形的面积为6，则可以在A的水平方向上取一条长3的线段，可得点D，同理取点C即可；
（2）由图可知：A、B间的垂直方向长为2，要使构建的钝角三角形面积为4，则可以在A的水平方向上取一条长为4的线段，可得点E，且满足，然后利用勾股定理求即可．
【详解】（1）解：如图1，平行四边形即为所求，
；
（2）解：如图2，即为所求，
，
．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，平行四边形等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
23．(1)200名
(2)见解析
(3)600名
【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数；
（2）先求出B类学生人数为：(名)，再补画长形图即可；
（3）用该校学生总数1000乘以B类的学生所占百分比即可求解．
【详解】（1）解：(名)，
答：这次抽样调查中，共调查了200名学生；
（2）解：B类学生人数为：(名)，
补全条形统计图如图所示：

（3）解：(名)，
答：估计B类的学生人数600名．
【点睛】本题考查样本容量，条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，从条形统计图与扇形统计图获取到有用信息是解题的关键．
24．(1)见解析；
(2)图2中长度为的2倍的线段是、、．
【分析】（1）证明是的中位线，由三角形中位线定理得出，证出，得出四边形是平行四边形；
（2）由HL证明和，得出，，，得出，证出四边形是平行四边形，因此，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴
∴是的中点，
∵点是边的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：；理由如下：
∵，
∴，
在和中，
∴（HL），
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
即图2中长度为的2倍的线段是、、．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．
25．（1）200，400 ； （2）200
【分析】（1）先设商场第一次购进x套玩具，就可以表示出第二次购进玩具的套数，根据题目条件就可以列出方程，求出其解就可以．
（2）设每套玩具的售价为y元，根据利润=售价﹣进价，建立不等式，求出其解就可以了．
【详解】（1）设动漫公司第一批购进x套玩具，则第二批购进2x套玩具，由题意得：
10，
解这个方程，得：x=200．
经检验，x=200是所列方程的根．
2x=2×200=400．
答：动漫公司第一批购进200套玩具，第二批购进400套玩具；
（2）设每套玩具的售价为y元，由题意得：
（200+400）y﹣32000﹣68000≥20000，
解这个不等式得：y≥200，
答：每套玩具的售价至少要200元．
【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，在解答中注意分式方程的验根是解答的必须过程，这是容易被忽略的地方．
26．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据圆周角定理得出，然后等量代换即可证明；
（2）根据题意及三角形内角和定理得出，然后代入，利用圆周角定理进行等量代换即可证明；
（3）根据等腰三角形的判定和性质得出为等腰直角三角形，再由圆周角定理及等角对等边得出，连接，利用相似三角形的判定和性质得出，过点O作，，再由正方形的判定和性质及等腰三角形的判定和性质确定，再由相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴是的直径；
（2）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）由（2）得垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
连接，
∴垂直平分，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点O作，，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，即
∴为等腰直角三角形，，
∴为等腰直角三角形，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，，
∴，
解得，（负值舍去），
经检验：是方程的根，
∴．
【点睛】题目主要考查圆周角定理及三角形内角和定理，全等三角形及相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
27．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）在中，当时，，得出，再由可得出，将代入得：，求出的值即可；
（2）由题意得，作于，则，，，，证明可得，即，由此即可得解；
（3）作轴于，则，由（2）可得：，，，，证明，得出，将代入二次函数解析式得出或（不符合题意，舍去），从而得出，，，点和点重合，证明，得出，推出轴，的横坐标为3，延长、交于点，作于，证明四边形是正方形，，，，设，则，，由角平分线的性质可得，，利用勾股定理得出，从而得出，进而得出，再利用勾股定理可得，即可得到，求出的值，即可得出点的坐标，待定系数法求出直线、的解析式，联立方程组即可得出点的坐标．
【详解】（1）解：在中，当时，，
，
，
，
将代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：点的横坐标为，
，
如图，作于，
，
则，，
，，
，
，
，即，
；
（3）解：如图，作轴于，则，
，
由（2）可得：，，，
，
，，
，
，，
，
，
在二次函数上，
，
解得：或，
当时，，此时，符合题意；
当时，，此时，不符合题意；
，
，，，点和点重合，
，
，
，
，
，
，
，
轴，
的横坐标为3，
延长、交于点，作于，
，，
轴，，
，
，
四边形是正方形，
，，，
设，则，，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，即，
解得：，
，
设直线的解析式为：，
将，代入解析式得：，
解得：，
直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，
将，代入解析式得：，
解得：，
直线的解析式为：，
联立，
解得：，
．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质、勾股定理、求一次函数解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合的思想是解此题的关键．