江苏省南京市鼓楼区金陵汇文学校2023-2024学年九年级上册12月月考数学试题（含解析）

这是一份江苏省南京市鼓楼区金陵汇文学校2023-2024学年九年级上册12月月考数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每个小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．一元二次方程的根是（ ）
A．B．C．D．
2．平面内，若⊙O的半径为2，OP＝，则点P在⊙O（ ）
A．内B．上C．外D．内或外
3．若二次函数的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（ ）
A．（2，4）B．（－2，－4）C．（－4，2）D．（4，－2）
4．某班9名学生参加定点投篮测试，每人投篮10次，投中的次数统计如下：3，6，4，6，4，3，6，5，7．这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．5，4B．5，6C．6，5D．6，6
5．如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．图象的对称轴是直线
6．如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）

A．5B．C．D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．二次函数y＝（x+1）2+2的顶点坐标为 ．
8．一组数据：2，3，，5的极差为 ．
9．已知是方程的两个根，则的值为 ．
10．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝2x2先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为 ．
11．如图，甲、乙两人比赛成绩的平均数相等，则 （填“”“”或“”）．
12．已知圆锥的底面半径为6 cm，母线长为8 cm，它的侧面积为 cm2．
13．某产品原来每件成本是100元，连续两次降低成本后，现在成本是81元，设平均每次降低成本的百分率为x，可得方程 ．
14．如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么 ．

15．如图，点在轴上，与轴交于点，与轴交于点，若，则线段的长度为 ．
16．如图，为等腰直角三角形，，，点为所在平面内一点，，以、为边作平行四边形，则的最小值为 ．

三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解下列方程：
(1)；
(2)．
18．为了从甲、乙两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击成绩进行了测试，5次打靶命中的环数如下：
甲：8，7，10，7，8；
乙：9，5，10，9，7
(1)将下表填写完整：
(2)根据以上信息，若你是教练，你会选择谁参加射击比赛，理由是什么？
(3)若乙再射击一次，命中8环，则乙这六次射击成绩的方差会___________（填“变大”或“变小”或“不变”）．
19．已知一个二次函数图像上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示：
(1)这个二次函数的解析式是______ ；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图像；
(3)当时，的取值范围为______ ．
20．如图，在中，．
(1)若，则的度数为______°；
(2)若，，求的半径．
21．如图，已知线段及．
请仅用直尺和圆规作，使在的内部，，且与的两边分别相切．（不写作法，保留作图㾗迹）．
22．若关于x的方程x2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”．例如，方程x2+2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣2，则方程x2+2x＝0是“隔根方程”．
（1）方程x2﹣x﹣20＝0是“隔根方程”吗？判断并说明理由；
（2）若关于x的方程x2+mx+m﹣1＝0是“隔根方程”，求m的值．
23．如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
24．某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．
(1)若售价下降1元，每月能售出______个台灯，若售价下降元，每月能售出______个台灯．
(2)为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．
25．已知二次函数（为常数）．
(1)求证：不论为何值，该函数图象与轴总有两个公共点；
(2)当时，的最小值为，求的值．
26．掷实心球是南京市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1，一名女生投郑实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，已知掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
(1)求关于的函数表达式；
(2)根据南京市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
27．在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1，中，（）．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接．

(1)求证：A，E，B，D四点共圆；
(2)如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线；
(3)已知，点M是边的中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查了一元二次方程的解法．利用因式分解法把原方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
【详解】解：∵，
∴或，
解得，
故选：D．
2．A
【分析】根据半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内，可得答案．
【详解】解：由题意得，d＝，r＝2．
∵d＜r，
∴点P在⊙O内，
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，理解点与圆的位置关系是解题的关键．
3．A
【详解】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将P（－2，4）代入，得，
∴二次函数解析式为．
∴所给四点中，只有（2，4）满足．故选A．
4．B
【分析】根据中位数和众数的定义即可求出答案.
【详解】解：这组数据3，6，4，6，4，3，6，5，7中出现次数最多的是6，
众数是6.
将这组数据3，6，4，6，4，3，6，5，7按从小到大顺序排列是3，3，4，4，5，6， 6， 6， 7，
中位数为：5.
故选：B.
【点睛】本题考查了中位数和众数，解题的关键在于熟练掌握中位数和众数的概念，中位数是指将一组数据按大小顺序排列，若一组数据为奇数个，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数；若一组数据是偶数，则处在最中间的两个数的平均数为这组数据的中位数；众数指的是在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数.
5．D
【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解.
【详解】由图象可知图象与y轴交点位于y轴正半轴，故c>0. A选项错误；
函数图象与x轴有两个交点，所以＞0，B选项错误；
观察图象可知x＝－1时y=a－b＋c＞0，所以a－b＋c＞0，C选项错误；
根据图象与x轴交点可知，对称轴是（1,0）.（5,0）两点的中垂线，，
x＝3即为函数对称轴，D选项正确；
故选D
【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数的图像.
6．B
【分析】连接，先根据直径求出底面周长，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出圆锥的侧面展开后的圆心角，可得是等边三角形，即可求解．
【详解】解：连接，如图所示，

∵为底面圆的直径，，
设半径为r,
∴底面周长，
设圆锥的侧面展开后的圆心角为，
∵圆锥母线，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：，
解得：，
∴，
∵半径，
∴是等边三角形，
在中，，
∴蚂蚁爬行的最短路程为，
故选：B．
【点睛】本题考查平面展开—最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形。扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面为平面，用三角函数求解．
7．（-1，2）
【分析】由抛物线解析式可求得顶点坐标．
【详解】解：∵y=（x+1）2+2，
∴顶点坐标为（-1，2），
故答案为（-1，2）．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
8．6
【分析】本题考查了极差，熟练掌握最大值与最小值之间的差是极差，根据极差的定义求解即可．
【详解】解：由题意知，极差为．
故答案为：6．
9．6
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系，就可以求出的值即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，
∴由根与系数的关系得，
∴．
故答案为：6．
10．y＝2(x－3)2＋1
【分析】由抛物线平移不改变二次项系数a的值，根据点的平移规律“左减右加，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．
【详解】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移3个单位，再向上平移1个单位后，那么新抛物线的顶点为：（3，1）．
可设新抛物线的解析式为y=2（x﹣h）2+k，代入得y=2（x﹣3）2+1．
故答案为：y=2（x﹣3）2+1．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换．解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
11．
【分析】根据方差的意义，结合折线统计图即可求解．
【详解】解：根据折线统计图得出甲波动较大，越不稳定，
则．
故答案为：
【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
12．48π
【详解】试题分析：根据圆锥的侧面积等于展开以后扇形的面积以及扇形的面积公式计算即可．
解：圆锥母线长=8cm，底面半径r=6cm，
则圆锥的侧面积为S=πrl=π×6×8=48πcm2．
故答案为48π．
考点：圆锥的计算．
13．100(1－x)2＝81
【详解】原来成本是100元，设每次降低的百分比是x，则第一次降价后的成本为100（1-x），第二次降价后的成本为100（1-x）2元，
列方程得：100(1－x)2＝81.
故答案为：100(1－x)2＝81.
14．
【分析】根据圆周角定理得到，再根据圆内接四边形性质和平角的定义即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．
15．
【分析】本题考查垂径定理，坐标与图形性质，勾股定理．先求得的半径，再根据垂径定理和勾股定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴；
故答案为：．
16．##
【分析】延长交于点，根据平行四边形的性质可得，可得，可以证明，可得，点的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点所在圆的圆心为，连接 ，， ，与交于点 ，根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得，即为的最小值，利用勾股定理可得的值，进而可得的最小值．
【详解】如图，延长交于点，连接，

∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，，，
∴，，，，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点所在圆的圆心为，连接，，，与交于点，
则根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得：即为的最小值，如图，

∴，
∵，，
∴，，
∴，
在中，有勾股定理得：，
∴，
即的最小值为：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、最短路径问题、等腰直角三角形的性质，解题的关键是综合运用以上知识．
17．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法和因式分解法．
（1）方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形，开方即可求出解；
（2）移项，提公因式，利用因式分解法即可求解．
【详解】（1）解：，
移项得：，
配方得：，即，
开平方得：，
∴；
（2）解：，
移项得：，
分解因式得：，
∴或，
∴．
18．(1)8，5，
(2)选择甲参加射击比赛，理由见解析
(3)变小
【分析】本题考查了平均数、中位数、方差的求解和方差的意义．
（1）根据平均数的计算公式代值计算求出甲的平均数，再根据极差的定义用最大值减去最小值求出乙的极差；
（2）根据甲乙的平均数、方差、极差，在平均数相同的情况下，选择方差、极差较小的即可；
（3）根据方差公式求出乙六次的方差，再进行比较即可．
【详解】（1）解：甲的平均数是：；
乙的极差是；
甲的方差为：，
填表如下，
故答案为：8，5，；
（2）解：选择甲参加射击比赛，
理由如下：因为甲、乙两人射击成绩的平均数相同都是8环，但甲射击成绩的方差、极差小于乙，因此甲的射击成绩更稳定，所以，选择甲参加射击比赛；
（3）解：∵前5次乙的方差是3.2，乙再射击一次，命中8环，
∴乙这六次射击成绩的方差是，
∵，
∴乙这六次射击成绩的方差会变小；
故答案为：变小．
19．(1)
(2)作图见解析
(3)
【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为，可设解析式为，然后再选择一个合适的值代入求解即可；
（2）根据表格在网格中描出点的坐标，然后用圆滑的曲线连接即可；
（3）根据，0时的函数值，再结合可知当时，，即可写出的取值范围．
【详解】（1）解：由题意可得二次函数的顶点坐标为，
设二次函数的顶点式为：，
把点代入得，解得，
抛物线解析式为，即；
（2）解：如图所示：

（3）解：，
∵对称轴为，，
∴，
当时，；当时，，开口向上，离对称轴越远函数值越大，
当时，的取值范围是．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）连接，已知，，得到，，结合，得到，得到，结合，即可求得的度数；
（2）连接并延长，交与，已知，，得到，，在中，求得， 设，则，在中，根据勾股定理即可求得的半径．
【详解】（1）解：连接，
在中，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：130
（2）解：连接并延长，交与，
∵，，
∴，，
在中，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为
【点睛】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
21．见解析
【分析】本题考查了尺规作图，切线的性质．①作的平分线，②在上截取，③作于点，以为圆心，长为半径作圆．
【详解】解：如图所示：即为所求．
22．（1）不是，理由见解析；（2）m＝0或m＝4．
【分析】（1）不是，利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的两个根分别为x1＝5，x2＝﹣4，二者做差后可得出5﹣（﹣4）＝9≠2，进而可得出方程x2﹣x﹣20＝0不是“隔根方程”；
（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的两个根分别为x1＝﹣1，x2＝1﹣m，结合关于x的方程x2+mx+m﹣1＝0是“隔根方程”，可得出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出m的值．
【详解】解：（1）不是，理由如下：
∵x2﹣x﹣20＝0，即（x﹣5）（x+4）＝0，
∴x1＝5，x2＝﹣4．
∵5﹣（﹣4）＝9≠2，
∴方程x2﹣x﹣20＝0不是“隔根方程”．
（2）∵x2+mx+m﹣1＝0，即（x+1）[x+（m﹣1）]＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝1﹣m．
又∵关于x的方程x2+mx+m﹣1＝0是“隔根方程”，
∴|1﹣m﹣（﹣1）|＝2，
解得：m＝0或m＝4．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，“隔根方程”的定义，理解题意是解题的关键．
23．(1)证明见解析；
(2)，．
【分析】（1）根据“连半径，证垂直”即可，
（2）先由“直径所对的圆周角是直角”，证是直角三角形，用勾股定理求出长，再通过三角形相似即可求解．
【详解】（1）连接

∵为的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，为半径，
∴为的切线，
（2）∵为直径，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
．
【点睛】此题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
24．(1)，
(2)每个台灯的售价为37元
【分析】（1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个进行求解即可；
（2）根据利润（售价成本价降价）销售量列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，若售价下降1元，每月能售出个台灯，若售价下降元，每月能售出个台灯
故答案为：，；
（2）解：设售价下降元，
由题意得，，
整理得：，
解得或，
当，，符合题意；
当，，不符合题意；
∴，
∴，
∴每个台灯的售价为37元．
【点睛】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)的值为或
【分析】（1）由二次函数对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得证；
（2）抛物线的对称轴为直线，讨论：当时，根据二次函数的性质得时，，则；当时，不合题意舍去；当时，根据二次函数的性质得到，，所以，然后解关于的方程得到满足条件的的值．
【详解】（1）证明：∵
∴当时，
∵
∴
∴一元二次方程有两个不相等的实数根
∴不论为何值，该函数图象与轴总有两个公共点．
（2）解：抛物线的对称轴为直线
当时，随增大而增大，故当时，有最小值．
时，，
所以，
解得，（舍去）；
当时，不合题意舍去；
当时，随增大而减小，故当时，有最小值，
当时，，
所以，
解得舍去，；
综上所述，的值为或
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的最值，掌握二次函数的性质以及一元二次方程的根的判别式是解题的关键．
26．(1)y关于x的函数表达式为；
(2)该女生在此项考试中是得满分，理由见解析．
【分析】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法．
（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数表达式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，
∴设，
∵经过点，
∴，
解得：
∴，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶
∵对于二次函数，当时，有，
∴，
解得∶，(舍去)，
∵，
∴该女生在此项考试中是得满分．
27．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质得到，证明，进而证明，可以得到，由，可得，即可证明A、B、D、E四点共圆；
（2）如图所示，连接，根据等边对等角得到，由圆周角定理得到，再由，得到，利用三角形内角和定理证明，即，由此即可证明是的切线；
（3）如图所示，作线段的垂直平分线，分别交于G、F，连接，先求出，再由三线合一定理得到，，解直角三角形求出，则，再解得到，则；由是四边形的外接圆，可得点P一定在的垂直平分线上，故当时，有最小值，据此求解即可．
【详解】（1）证明：由旋转的性质可得，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴A、B、D、E四点共圆；
（2）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是四边形的外接圆，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；

（3）解：如图所示，作线段的垂直平分线，分别交于G、F，连接，
∵，
∴，
∵点M是边的中点，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵是四边形的外接圆，
∴点P一定在的垂直平分线上，
∴点P在直线上，
∴当时，有最小值，
∵，
∴在中，，
∴圆心P与点M距离的最小值为．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，解直角三角形，圆周角定理，切线的判定，三角形外接圆的性质，垂线段最短等等，正确作出辅助线是解题的关键．
平均数
极差
方差
甲
________
3
_____________
乙
8
________
3.2
平均数
极差
方差
甲
8
3
乙
8
5