江苏省南通市启东市长江中学2023-2024学年八年级上学期12月月考数学试题

这是一份江苏省南通市启东市长江中学2023-2024学年八年级上学期12月月考数学试题，共8页。试卷主要包含了下列运算正确的是，计算的结果是，新定义，观察等内容，欢迎下载使用。
（时间：120分钟 总分：150分 ）
一．选择题（每题3分，共30分）
1．下列运算正确的是
A．B．C．D．
2．下列从左到右的变形中是因式分解的是
A．B．
C．D．
3．如果把中的和都扩大2倍，那么分式的值
A．扩大2倍B．不变C．缩小2倍D．扩大4倍
4．2023年9月9日，上海微电子研发的浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为
A．B．C．D．
5．某列车提速前行驶与提速后行驶所用时间相同，若列车平均提速，设提速后平均速度为 ，所列方程正确的是
A．B．C．D．
6．如图，实线内图形的面积可以用来验证下列的某个等式成立，该等式是
A．B．
C．D．
7．计算的结果是
A．B．C．D．
8．若运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是
A．B．C．D．
9．新定义：若两个分式与的差为为正整数），则称是的“分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是
A．是的“3分式”
B．若的值为，则是的“2分式”
C．若是的“1分式”，则
D．若与互为倒数，则是的“5分式”
10．观察：，
，
，
，
据此规律，求的个位数字是
A．1B．3C．5D．7
二．填空题（第11、12题每题3分，第13-18题每题4分，共30分）
11． ．
12．若分式的值为零，则的值为 ．
13．在计算结果中，不含项，则值为 ．
14．已知，则的值是 ．
15．已知，，则的值为 ．
16．若是一个完全平方式，则为的值 ．
17．若关于的分式方程有正数解，求的取值范围 ．
18．若关于的分式方程的解为，我们就说这个方程是和解方程．比如：就是一个和解方程．如果关于的分式方程是一个和解方程，则 ．
三．解答题（共90分）
19．（16分）（1）计算：；
（2）运用乘法公式计算：．
（3）化简；
（4）先化简，再求值：，再从，，0，2中选择一个合适的数代入求值．
20．（10分）因式分解：
（1）． （2）．
21．（10分）嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚．
（1）他把“◆”猜成5，请你解方程：；
（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？
22．（10分）某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入、两款物理实验套装，其中款套装单价比款套装单价贵，用7200元购买的款套装数量比用5000元购买的款套装数量多5套．求、两款套装的单价分别是多少元．
23．（10分）将边长为的小正方形和边长为的大正方形按如图所示放置，其中点在边上．
（1）若，，求的值；
（2）连接，，若，，求阴影部分的面积．
24．（10分）小刚同学计算一道整式乘法：，由于他抄错了多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为．
（1）求，的值；
（2）计算这道整式乘法的正确结果．
25．（10分）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
请问：（1）该同学因式分解的结果是否符合题意？若不符合题意，请直接写出因式分解的最后结果．
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
26．（14分）我们把形如，不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．
例如为十字分式方程，可化为，，．
再如为十字分式方程，可化为，，．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）若为十字分式方程，则 ， ．
（2）若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
（3）若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
参考答案
一．选择题
1．．2．．3．．4．．5．．6．．7．．8．．9．．10．．
二．填空题
11．． 12．3． 13．． 14．7．
15．． 16．或5 17．且． 18．．
三．解答题
19．解：（1）原式．
（2）原式．
（3）原式；
（4）原式，
当，，时，原式无意义，把代入得：原式．
20．解：（1）
．
（2）
．
21．解：（1）方程整理得：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为；
（2）设原题中“◆”是，
方程变形得：，
去分母得：，
由分式方程无解，得到，
把代入整式方程得：．
22．解：设款套装的单价是元，则款套装的单价是元，
由题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：款套装的单价是240元、款套装的单价是200元．
23．解：（1），即，而，
，
答：的值为2；
（2）由题意得，
当，时，
原式
，
答：阴影部分的面积是11．
24．解：（1），
．
即．
，．
，．
（2）
．
25．解：（1）该同学因式分解的结果不符合题意；
正确的因式分解结果应为；
（2）设，
原式
．
解：（1）可化为，
，．
（2）由已知得，，
．
（3）原方程变为，
，，
．