浙江省绍兴市诸暨中学暨阳分校2023-2024学年高一上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份浙江省绍兴市诸暨中学暨阳分校2023-2024学年高一上学期期中数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知集合,则( )
A.B.C.D.
2、命题“,”的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
3、已知幂函数的图象经过点,则( )
A.4B.8C.D.
4、下列函数既是偶函数,又在上单调递增的是( )
A.B.C.D.
5、已知函数为R上的奇函数,当时,,则当时,的解析式为( )
A.B.C.D.以上都不对
6、若,,则下面不等式中成立的一个是( )
A.B.C.D.
7、已知函数的定义域是,则函数的定义域为( )
A.B.C.D.
8、若存在,有成立,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、下列各组函数表示同一函数的是( )
A.,B.,
C.,D.,
10、“关于x的不等式对恒成立”的必要不充分条件有( )
A.B.C.D.
11、已知a,且,那么下列不等式中,恒成立的有( )
A.B.C.D.
12、设,则下列选项中正确的有( )
A.若有两个不同的实数解,则
B.若有三个不同的实数解,则
C.的解集是
D.的解集是
三、填空题
13、已知函数,则___________.
14、已知,则的单调递增区间为___________.
15、已知偶函数在区间单调递增,则满足的x取值范围是____________.
16、已知函数,若存在区间,使得函数在上的值域为,则实数m的取值范围为___________.
四、解答题
17、已知集合,.
(1)若,求和;
(2)若,求实数a的取值范围.
18、回答下列问题
（1）计算：;
（2）已知,求的值.
19、已知幂函数为偶函数.
(1)求的解析式;
(2)若在区间上不单调,求实数a的取值范围.
20、函数是定义在上的奇函数,且.
(1)确定的解析式;
(2)判断在上的单调性,并证明你的结论;
(3)解关于t的不等式.
21、天气转冷,宁波某暖手宝厂商为扩大销量,拟进行促销活动.根据前期调研,获得该产品的销售量a万件与投入的促销费用x万元满足关系式（k为常数）,而如果不搞促销活动,该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元,厂家将每件产品的销售价格定为元,设该产品的利润为y万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用）
(1)求出k的值,并将y表示为x的函数;
(2)促销费用为多少万元时,该产品的利润最大？此时最大利润为多少？
22、已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)当时,若函数在上的最小值为0,求a的值.
参考答案
1、答案：C
解析：因为,所以.
故选：C.
2、答案：D
解析：命题“,”为存在量词命题,
其否定为：,.
故选：D.
3、答案：A
解析：幂函数的图象经过点,,
则,即,所以,解得,
所以,则.
故选：A.
4、答案：B
解析：对于A,函数的定义域为R,且,所以为奇函数,不符合题意;
对于B,函数的定义域为R,且,所以为偶函数,
当时,单调递增,符合题意;
对于C,函数的定义域为,且,
所以为奇函数,不符合题意;
对于D,函数的定义域为R,且,所以为偶函数,
当时,单调递减,不符合题意;
故选：B.
5、答案：A
解析：设,则,
又.
故选：A.
6、答案：C
解析：,,
,则,
故选：C.
7、答案：A
解析：因为函数的定义域是
由,得,
所以的定义域是,
由
得.
所以的定义域为.
故选：A.
8、答案：B
解析：因为存在,有成立,
所以在上有解,所以,
记,,令,则,,
由对勾函数单调性知,在上单调递减,在上单调递增,
又当时,的函数值为,当时,的函数值为,且,
所以,即实数a的取值范围是.
故选：B.
9、答案：BD
解析：A选项,,,故两函数不是同一函数,A错误;
B选项,,,故两函数为同一函数,B正确;
C选项,的定义域为R,的定义域为,故两函数不是同一函数,C错误;
D选项,的定义域为,且,
的定义域为,且,
故两函数是同一函数,D正确.
故选：BD.
10、答案：CD
解析：若关于x的不等式对恒成立,
当时,不等式为,满足题意;
时,则必有且
解得,
故a的范围为,
故“关于x的不等式对恒成立”的必要不充分条件的集合必真包含集合,
考查选项知C,D满足条件.
故选：CD
11、答案：ABC
解析：a,,,(当且仅当时取得等号).所以选项A正确
由选项A有,设,则在上单调递减.
所以,所以选项B正确
(当且仅当时取得等号),
.所以选项C正确.
（当且仅当时等号成立）,所以选项D不正确.
故A,B,C正确
故选：ABC.
12、答案：BC
解析：因为,
当时,令,解得,令,
即,解得或,
令,即,解得;
当时,显然,令,即,解得,
令,即,解得;
所以的图象如下所示：
对于A：若有两个不同的实数解,即与有两个交点,
由图可知,即,故A错误;
对于B：若有三个不同的实数解,即与有三个交点,
由图可知,即,故B正确;
对于C：由图可得的解集是,故C正确;
对于D：令,则不等式,即,
则,即,
当时解得,
当时由图可得或,
综上可得的解集是,故D错误;
故选：BC.
13、答案：
解析：因为,所以,
则.
故答案为：.
14、答案：
解析： , ,求得,或,
故函数的定义域为或
由题即求函数在定义域内的增区间.
由二次函数的性质可得函数在定义域内的增区间为,
故答案为.
15、答案：
解析：是偶函数,,
不等式等价为,
在区间单调递增,
,解得.
故答案为：.
16、答案：
解析：由函数,显然该函数在上单调递增,
由函数在上的值域为,则,
等价于存在两个不相等且大于等于-1的实数根,
且在上恒成立,则,
解得.
故答案为：.
17、答案：(1),或.
(2)
解析：（1）由,即,解得,
所以,
当时,
所以,或,
所以或.
（2）因为,所以,
当时,,解得,
当时,,解得,
综上,实数a的取值范围是.
18、答案：（1）;
（2）
解析：（1）
;
（2）因为,所以,
即,所以,
所以
,
所以.
19、答案：(1)
(2)
解析：（1）因为为幂函数,则,解得或,
当时,则为奇函数,不合题意;
当时,则为偶函数,符合题意;
综上所述：
（2）由（1）可得：,其对称轴,
因为在区间上不单调,则,解得,
实数a的取值范围.
20、答案：(1),
(2)函数在上单调递增,证明见解析
(3)
解析：（1）由函数是定义在上的奇函数,得,解得,
经检验,时,,
所以是上的奇函数,满足题意,
又,解得,
故,;
（2）函数在上单调递增.证明如下：
任取,且,
则,
因为,且,所以,,
,,,
所以,所以,即,
所以在上单调递增.
（3）因为在上单调递增,且为奇函数,
所以不等式,即,
等价于,解得,
即不等式的解集为.
21、答案：(1),
(2)当促销费用为7万元时,该产品的利润最大,最大利润为123万元
解析：（1）由题知,时,,
于是,,解得.
所以,.根据题意,
即
所以
（2）
当且仅当,即时,等号成立.
所以当促销费用为7万元时,该产品的利润最大,最大利润为123万元.
22、答案：(1)单调递增区间为,单调递减区间为,;
(2)
解析：（1）当时,,
画出函数图象,如下：
故函数的单调递增区间为,单调递减区间为,;
（2）当时,
因为,所以,
开口向上,对称轴为,
当时,在上单调递减,
在上的最小值为,
令,解得,舍去;
当时,在上单调递减,在上单调递增,
故在上的最小值为,
令,解得（舍去）;
当时,因为,
所以,
此时图象如下：
函数在上的最小值为或,
其中在恒成立,
故,
在上的最小值为,
令,解得（负值舍去）,
综上,,