教科版 (2019)选择性必修 第一册3 单 摆学案及答案

这是一份教科版 (2019)选择性必修 第一册3 单 摆学案及答案，共21页。

1．单摆模型
若忽略悬挂小球细线长度的微小变化和质量，且线长比球的直径大得多，这样的装置就叫作单摆。单摆是实际摆的理想化模型。
2．单摆的回复力
(1)回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力，即F＝mgsin__θ(θ为悬线与竖直方向的夹角)。
(2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置。
(3)运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动。
思考 在单摆做简谐运动的平衡位置时，摆球所受合外力为零吗？
提示：不为零。
体验 1：思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力。( × )
(2)单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力。( √ )
(3)单摆是一个理想化的模型。( √ )
知识点二 单摆的周期
1．影响单摆周期的因素
(1)单摆的周期与摆长有关，摆长越长，周期越大。
(2)单摆的周期与摆球质量、振幅无关(选填“有关”或“无关”)。
2．周期公式
(1)提出：周期公式由惠更斯首先提出。
(2)公式：T＝2πeq \r(\f(l,g))。
体验 2：思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)摆球的质量越大，周期越大。( × )
(2)单摆的振幅越小，周期越小。( × )
(3)单摆的摆长越长，周期越大。( √ )
3：填空
一个理想的单摆，已知其周期为T。如果由于某种原因重力加速度变为原来的2倍，振幅变为原来的3倍，摆长变为原来的8倍，摆球质量变为原来的2倍，它的周期变为________。
[答案] 2T
(1)判断以下摆动模型是不是单摆，为什么？
(2)试分析单摆的回复力由什么力提供？
提示：(1)模型①不是单摆，因为橡皮筋伸长不可忽略。
模型②不是单摆，因为绳子质量不可忽略。
模型③不是单摆，因为绳长不是远大于球的直径。
模型④不是单摆，因为悬点不固定，因而摆长在发生变化。
模型⑤是单摆。
(2)单摆的回复力是重力的切向分力，也是摆球沿运动方向的合力，即F＝mgsin θ≈mgeq \f(x,l)。
考点1 单摆的回复力
1．单摆的回复力
(1)摆球受力：如图所示，摆球受细线拉力和重力作用。
(2)向心力来源：细线对摆球的拉力和摆球重力沿径向的分力的合力。
(3)回复力来源：摆球重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ提供了使摆球振动的回复力。
2．单摆做简谐运动的推证
在偏角很小时，sin θ≈eq \f(x,l)，又回复力F＝mgsin θ，所以单摆的回复力为F＝－eq \f(mg,l)x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。
角度1 单摆回复力的理解
【典例1】 关于做简谐运动的单摆，下列说法正确的是( )
A．摆球经过平衡位置时所受合力为零
B．摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比
C．只有在最高点时，回复力才等于重力和摆线拉力的合力
D．摆球在任意位置处，回复力都不等于重力和摆线拉力的合力
C [摆球经过平衡位置时，回复力为零，但由于摆球做圆周运动，经过平衡位置，合力不为零，合力提供向心力，方向指向悬点，A错误；摆球所受回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，重力沿摆线方向的分力与摆线对摆球的拉力的合力提供向心力，所以摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小不成正比，B错误；根据牛顿第二定律可知，摆球在最大位移处时，速度为零，向心加速度为零，重力沿摆线方向的分力等于摆线对摆球的拉力，回复力才等于重力和摆线拉力的合力，在其他位置时，速度不为零，向心加速度不为零，重力沿摆线方向的分力小于摆线对摆球的拉力，回复力不等于重力和摆线拉力的合力，故C正确，D错误。]
角度2 单摆的运动过程分析
【典例2】 关于单摆，下列说法正确的是( )
A．摆球运动的回复力是摆线的拉力与重力的合力
B．摆球运动过程中经过轨迹上同一点，加速度是不相等的
C．摆球运动过程中，加速度的方向始终指向平衡位置
D．摆球经过平衡位置时，加速度不为零
D [摆球在运动过程中的回复力是重力沿圆弧切线方向上的分力，而不是摆线的拉力和重力的合力，故A错误；摆球经过轨迹上的同一点受力情况相同，故加速度相同，故B错误；摆球在运动过程中加速度的方向不始终指向平衡位置，因为垂直速度方向也有加速度，故C错误；摆球摆动过程中，经过平衡位置时，受重力和拉力，合力不为零，加速度不为零，故D正确。]
对于单摆的两点说明
(1)所谓平衡位置，是指摆球静止时，摆线拉力与小球所受重力平衡的位置，并不是指摆动过程中的受力平衡位置。实际上，在摆动过程中，摆球受力不可能平衡。
(2)回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ提供的，不可误认为回复力是重力G与摆线拉力T的合力。
[跟进训练]
1．(角度1)如图所示，O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中( )
A．摆球在A点和C点处，合力为零
B．摆球在A点和C点处，回复力为零
C．摆球在B点处，回复力最大
D．摆球在B点处，细线拉力最大
D [摆球在重力和细线拉力作用下沿圆弧AC做圆周运动，在最高点A、C处合力不为零，A错误；在最低点B处，细线上的拉力最大，D正确；摆球的回复力F＝mgsin θ，其中θ为摆线偏离竖直方向的角度，所以摆球在摆动过程中，在最高点A、C处回复力最大，在最低点B处回复力为零，故B、C错误。]
2．(角度2)(多选)关于单摆做简谐运动的过程，下列说法中正确的是( )
A．在平衡位置摆球的速度和位移均达到最大值
B．在最大位移处速度最小
C．在平衡位置摆球速度最大
D．摆球由最大位移处向平衡位置运动时，速度变大
BCD [在平衡位置处，摆球的势能最小，动能最大，速度最大，而位移最小，A错误，C正确；在最大位移处，摆球的势能最大，动能最小，速度最小，B正确；摆球由最大位移处向平衡位置运动时，势能变小，动能变大，速度变大，D正确。]
考点2 单摆周期公式的理解及应用
1．伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟。
2．单摆的周期公式：T＝2πeq \r(\f(l,g))。
3．对周期公式的理解：
(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5°时，由周期公式算出的周期和精确值相差0.01%)。
(2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离l＝l线＋r球。
(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。
(4)周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关。所以单摆的周期也叫固有周期。
【典例3】 摆长是1 m的单摆在某地区的周期是2 s，则在同一地区( )
A．摆长是0.5 m的单摆的周期是0.707 s
B．摆长是0.5 m的单摆的周期是1 s
C．周期是1 s的单摆的摆长为2 m
D．周期是4 s的单摆的摆长为4 m
D [摆长是1 m的单摆的周期是2 s，根据单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可知，当地的重力加速度g＝eq \f(4π2l,T2)＝π2m/s2，摆长是0.5 m的单摆的周期T1＝2πeq \r(\f(l1,g))＝2π×eq \r(\f(0.5,π2)) s＝1.414 s，故A、B错误；周期是1 s的单摆的摆长l2＝eq \f(gTeq \\al(2,2),4π2)＝eq \f(π2×12,4π2) m＝0.25 m，周期是4 s的单摆的摆长l3＝eq \f(gTeq \\al(2,3),4π2)＝eq \f(π2×42,4π2) m＝4 m，故C错误，D正确。]
利用单摆周期公式计算的三个核心
利用单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))进行有关计算，要把握三个核心。
(1)单摆的周期公式在偏角很小时成立(θ≤5°)。
(2)单摆周期公式中的g是单摆所在地的重力加速度，能求出摆球在不同的空间位置、物理环境(如带电小球在匀强电场、匀强磁场)中的等效重力加速度。
(3)单摆的摆长
①因为实际的摆球不可能是质点，所以摆长是指从悬点到摆球重心的长度，注意摆线长是从悬点到摆线与摆球连接点的长度，不要把摆长与摆线长弄混淆。
②等效摆长。
[跟进训练]
3．惠更斯利用单摆的等时性原理制成了世界上第一座摆钟。如图甲所示为日常生活中我们常见到的一种摆钟，图乙所示为摆钟的结构示意图，圆盘固定在摆杆上，螺母可以沿摆杆上下移动。在A地走时准确的摆钟移到B地未做其他调整时摆动加快了，下列说法正确的是 ( )
甲 乙
A．A地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向下移动
B．A地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向上移动
C．B地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向下移动
D．B地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向上移动
C [由A地到B地摆钟摆动加快说明周期变小，由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，可知重力加速度变大了，要使周期不变小，则应增加摆长，即将螺母适当向下移动，故C正确。]
1．(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是( )
A．摆线质量不计
B．摆线长度不伸缩
C．摆球的直径比摆线长度小得多
D．只要是单摆的运动就是简谐运动
ABC [单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量且摆线不伸缩，摆球直径远小于摆线长度，A、B、C项正确；把单摆的运动作为简谐运动来处理是有条件的，只有在偏角很小(θ≤5°)的情况下才能视单摆的运动为简谐运动，D项错误。]
2．(多选)关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是( )
A．摆球受重力、摆线的张力作用
B．摆球的回复力最大时，向心力为零
C．摆球的回复力为零时，向心力最大
D．摆球的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大
ABC [单摆在运动过程中，摆球受重力和摆线的拉力，故A正确；重力垂直于摆线的分力提供回复力，当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，则摆线拉力小于重力，在平衡位置处，回复力为零，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿摆线指向悬点，故D错误，B、C正确。]
3．把在北京调准的摆钟由北京移到赤道，则摆钟( )
A．变慢了，要使它恢复准确，应该增加摆长
B．变慢了，要使它恢复准确，应该减短摆长
C．变快了，要使它恢复准确，应该增加摆长
D．变快了，要使它恢复准确，应该减短摆长
B [把调准的摆钟，由北京移至赤道，重力加速度变小，根据周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，则周期变长，钟变慢了，要使它恢复准确，应该使T减小，即减短摆长l。故A、C、D错误，B正确。]
4．(新情境题，以传感器记录的F-t图像为背景，考查单摆)将一力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力，如图所示图甲中O点为单摆的悬点，现将摆球(可视为质点)拉到A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球在竖直平面内的A、B、C之间来回摆动，其中B点为振动的平衡位置，∠AOB＝∠COB＝α，α小于5°且是未知量。图乙表示由计算机得到的细线对摆球的拉力大小F随时间变化的图线，且图中t＝0时刻为摆球从A点开始运动的时刻，根据力学规律和题中信息(g取10 m/s2)，求：
甲 乙
(1)单摆的周期和摆长；
(2)摆球的质量。
[解析]
(1)对摆球受力分析如图所示。
摆球在一个周期内两次经过平衡位置，结合题图乙可知T＝0.4π s。
由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(L,g))，
代入数据解得L＝0.4 m。
(2)摆球在最高点A，有Fmin＝mgcs α＝0.495 N，
摆球在最低点B，有Fmax－mg＝meq \f(v2,L)，其中Fmax＝0.510 N，
摆球从A到B，机械能守恒，有mgL(1－cs α)＝eq \f(1,2)mv2，
联立并代入数据得m＝0.05 kg。
[答案] (1)0.4π s 0.4 m (2)0.05 kg
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．单摆看成简谐运动的条件是什么？
提示：摆角θ较小，θ≈sin θ。
2．单摆的回复力是由哪个力提供？
提示：重力垂直于摆线的分力。
3．单摆的周期由哪些因素决定？
提示：摆长、重力加速度。
4．单摆周期的表达式是什么？
提示：T＝2πeq \r(\f(L,g))。
教堂里的发现——单摆的等时性
1564年2月15日，伟大的物理学家伽利略出生于意大利比萨城的一个没落贵族家庭。他出生不久，全家就移居到佛罗伦萨近郊的一个地方。在那里，伽利略的父亲万桑佐开了一个店铺，经营羊毛生意。
孩提时的伽利略聪明可爱，活泼矫健，好奇心极强。他从不满足别人告诉的道理，喜欢亲自探索、研究和证明问题。对于儿子的这些表现，万桑佐高兴极了，希望伽利略长大后从事既高雅、报酬又丰厚的医生职业，1581年，万桑佐就把伽利略送到比萨大学学医。可是，伽利略对医学没有兴趣，他却把相当多的时间用于钻研古希腊的哲学著作，学习数学和自然科学。
伽利略(1564—1642)是一位虔诚的天主教徒，每周都坚持到教堂做礼拜。1582年的一天，伽利略到教堂做礼拜。礼拜开始不久，一位修理工人不经意触动了教堂中的大吊灯，使它来回摆动。摆动着的大吊灯映入了伽利略的眼帘，引起他的注意。伽利略聚精会神地观察着，脑海里突然闪出测量吊灯摆动时间的念头，凭着学医的经验，伽利略把右手指按到左腕的脉搏上计时，同时数着吊灯的摆动次数。起初，吊灯在一个大圆弧上摆动，摆动速度较大，伽利略测算来回摆动一次的时间。过了一阵子，吊灯摆动的幅度变小了，摆动速度也变慢了，此时，他又测量了来回摆动一次的时间。让他大为吃惊的是，两次测量的时间是相同的。于是伽利略继续测量来回摆动一次的时间，直到吊灯几乎停止摆动时才结束。可是每次测量的结果都表明来回摆动一次需要相同的时间。通过这些测量使伽利略发现：吊灯来回摆动一次需要的时间与摆动幅度的大小无关，无论摆幅大小如何，来回摆动一次所需时间是相同的。即吊灯的摆动具有等时性，这就是伽利略最初的发现。
1．吊灯摆动的快慢与吊灯的摆动幅度有关吗？
提示：没关系。
2．上述吊灯的摆动快慢的现象说明什么？
提示：吊灯的单次摆动具有等时性。
课时分层作业(八) 单摆
题组一 单摆及单摆的回复力
1．关于单摆，下列说法正确的是( )
A．摆球做匀速圆周运动
B．摆球摆动到最低点时加速度为零
C．摆球速度变化的周期等于振动周期
D．摆球振动的频率与振幅有关
C [摆球在摆动中速度大小是变化的，不是匀速圆周运动，A错误；摆球摆动到最低点时加速度不为零，受向上的合外力，故加速度竖直向上，B错误；摆球速度变化的周期以及位移变化的周期均等于振动周期，C正确；摆球振动的频率与振幅无关，只取决于摆长和当地的重力加速度，D错误。]
2．(多选)下列有关单摆的说法，正确的是( )
A．一根橡皮筋一端系在悬点，另一端连接一个小球，可以构成一个单摆
B．单摆的摆动一定是简谐运动
C．若单摆在同一平面内摆动，且偏角小于5°，可以认为该单摆的运动是简谐运动
D．单摆做简谐运动时，摆长越长，其运动周期越大
CD [一根不可伸长的细绳一端系在悬点，另一端连接一个质量较大且可以看成质点的小球可以构成一个单摆，橡皮筋受到拉力时形变量较大，连接小球构成的装置不可看成单摆，A错误；若单摆在同一平面内摆动，且偏角小于5°，可以认为该单摆的运动是简谐运动，B错误，C正确；根据单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可知，单摆做简谐运动时，摆长越长，其运动周期越大，D正确。]
3．振动着的单摆摆球通过平衡位置时，它受到的回复力( )
A．指向地面
B．指向悬点
C．数值为零
D．垂直摆线，指向运动方向
C [单摆的摆球受到的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，摆球经过平衡位置时，回复力为零，选C。]
4．(多选)一个单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是( )
A．t1时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小
B．t2时刻摆球速度最大，但加速度不为零
C．t3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大
D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
ABD [由振动图像可知：t1和t3时刻摆球偏离平衡位置的位移最大，此时摆球速度为零，悬线对摆球的拉力最小；t2和t4时刻摆球位移为零，正在通过平衡位置，速度最大，悬线对摆球的拉力最大，加速度向上。故正确答案为A、B、D。]
题组二 单摆的周期
5.(2022·四川省广元市树人中学高二阶段练习)如图所示，一单摆(θ<5°)其摆动周期为T，则下列说法正确的是( )
A．减小摆球质量，其周期变小
B．减小最大摆角，其周期变小
C．增大摆长，其周期变小
D．摆球由B→O运动时，摆球的势能转化为动能
D [根据单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可知，周期与摆球的质量无关，与摆角的大小也无关，A、B错误；根据单摆周期公式可知，增大摆长，其周期变大，C错误；摆球由B→O运动时，重力做正功，摆球的势能转化为动能，D正确。故选D。]
6．要将秒摆(T0＝2 s)的周期变为4 s，下列措施可行的是( )
A．只将摆球质量变为原来的eq \f(1,4)
B．只将振幅变为原来的2倍
C．只将摆长变为原来的4倍
D．只将摆长变为原来的16倍
C [单摆的周期与摆球的质量和振幅均无关，故A、B错误；对秒摆，T0＝2πeq \r(\f(l0,g))＝2 s，对周期为4 s的单摆，T＝2πeq \r(\f(l,g))＝4 s，联立解得l＝4l0，故C正确，D错误。]
7．放在实验室里位置不变的单摆，若摆长不变，摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减小为原来的一半，则单摆摆动的( )
A．振幅变小B．振幅变大
C．频率变小D．频率变大
A [摆球经过平衡位置时速度减小，根据机械能守恒定律可知，振幅减小，A正确，B错误；单摆做简谐运动的周期公式为T＝2πeq \r(\f(l,g))，可见，单摆的周期只与摆长有关，与摆球的质量、振幅无关，所以摆球的质量和振幅改变时，周期不变，频率不变，C、D错误。]
8．(新情境题)地球表面的重力加速度约为9.8 m/s2，月球表面的重力加速度是地球表面的eq \f(1,6)，将走时准确的摆钟从地球放到月球上去，在地球上经过24 h，该钟在月球上显示经过了( )
A．4 hB．9.8 h
C．12 hD．58.8 h
B [由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，得eq \f(T地,T月)＝eq \r(\f(g月,g地))＝eq \r(\f(1,6))，即T月＝eq \r(6)T地，则摆钟在月球上单位时间内完成的全振动的次数为在地球上的eq \f(\r(6),6)，所以在地球上经过24 h，该钟在月球上显示经过的时间为24×eq \f(\r(6),6) h＝4eq \r(6) h≈9.8 h，B正确。]
9．图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置。设摆球向右方向运动为正方向。图乙是这个单摆的振动图像。根据图像回答：
甲 乙
(1)单摆振动的频率是多大？
(2)开始时刻摆球在何位置？
(3)若当地的重力加速度为10 m/s2，试求这个摆的摆长是多少。
[解析] (1)由乙图知周期T＝0.8 s，
则频率f＝eq \f(1,T)＝1.25 Hz。
(2)由乙图知，0时刻摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以在B点。
(3)由T＝2πeq \r(\f(L,g))得L＝eq \f(gT2,4π2)≈0.16 m。
[答案] (1)1.25 Hz (2)B点 (3)0.16 m
1.(多选)(2022·四川阆中市川绵外国语学校高二期中)如图所示，三根细线a、b、c于O处打结，每根细线的长度均为L，a、b细线上端固定在同一水平面上相距为eq \r(3)L的A、B两点上，c细线下端系着一个小球(小球直径可以忽略)，小球质量为m，下列说法正确的是( )
A．小球可以在纸面内做简谐运动，周期为T＝2πeq \r(\f(L,g))
B．小球可以在与纸面垂直的平面内做简谐运动，周期为T＝2πeq \r(\f(3L,2g))
C．小球可以在纸面内做简谐运动，周期为T＝2πeq \r(\f(3L,2g))
D．小球可以在与纸面垂直的平面内做简谐运动，周期为T＝πeq \r(\f(3L,g))
AB [小球可以在纸面内做简谐运动，以O为顶端，以l为半径的简谐运动T＝2πeq \r(\f(l,g))，A正确，C错误；小球也可以在与纸面垂直的平面内做简谐运动，因为AO＝BO，AB＝eq \r(3)l，所以半径为l＝l＋lsin30°＝eq \f(3,2)l，周期T＝2πeq \r(\f(\f(3,2)l,g))＝2πeq \r(\f(3l,2g))，故D错误，B正确。故选A、B。]
2.将一个摆长为l的单摆放在一个光滑的倾角为α的斜面上，其摆角为θ，如图所示，下列说法正确的是( )
A．图示位置摆球做简谐运动的回复力大小为F回＝mgsin α·sin θ
B．图示位置摆球做简谐运动的回复力大小为F回＝mgsin θ
C．摆球做简谐运动的周期为2πeq \r(\f(l,gsin θ))
D．摆球在运动过程中，经过平衡位置时，线的拉力为F＝mgsin α
A [在光滑斜面上的单摆，F回＝mgsin α·sin θ，周期T＝2πeq \r(\f(l,gsin α))，A正确，B、C错误；当摆球经过平衡位置时，F－mgsin α＝eq \f(mv2,l)，F＝mgsin α＋eq \f(mv2,l)＞mgsin α，D错误。]
3．如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，R≫eq \(AB,\s\up8(︵))。甲球从弧形槽的球心处自由落下，乙球从A点由静止释放。
问题：(1)两球第1次到达C点的时间之比。
(2)若在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点C处相遇，则甲球下落的高度h是多少？
[解析] (1)甲球做自由落体运动
R＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)，所以t1＝eq \r(\f(2R,g))。
乙球沿圆弧做简谐运动(由于eq \(AC,\s\up8(︵))≪R，可认为摆角θ＜5°)。
此振动与一个摆长为R的单摆振动模型相同，故此等效摆长为R，因此乙球第1次到达C处的时间t2＝eq \f(1,4)T＝eq \f(1,4)×2πeq \r(\f(R,g))＝eq \f(π,2)eq \r(\f(R,g))，所以t1∶t2＝eq \f(2\r(2),π)。
(2)甲球从离弧形槽最低点h高处开始自由下落，到达C点的时间t甲＝eq \r(\f(2h,g))
由于乙球运动的周期性，所以乙球到达C点的时间t乙＝eq \f(T,4)＋neq \f(T,2)＝eq \f(π,2)eq \r(\f(R,g))(2n＋1)(n＝0，1，2，…)
由于甲、乙在C处相遇，故t甲＝t乙
解得h＝eq \f(（2n＋1）2π2R,8)(n＝0，1，2，…)。
[答案] (1)eq \f(2\r(2),π) (2)eq \f(（2n＋1）2π2R,8)(n＝0，1，2，…)
4．有两个同学利用假期分别去参观位于天津市的“南开大学”和上海市的“复旦大学”，他们各自在那里的物理实验室利用先进的DIS系统较准确地探究了单摆周期T和摆长L的关系。然后他们通过互联网交流实验数据，并由计算机绘制了T2-L图像，如图甲所示。
甲 乙
(1)已知天津市比上海市的纬度高，则去“南开”的同学所测得的实验结果对应的图像是A还是B?
(2)去“复旦”做研究的同学还利用计算机绘制了他实验用的a、b两个摆球的振动图像，如图乙所示，由图像可知两单摆摆长之比eq \f(La,Lb)是多大？在t＝2 s时b球运动方向沿“＋y”还是“－y”？
[解析] (1)由T＝2πeq \r(\f(L,g))得，T2＝eq \f(4π2,g)L，知T2-L图像的斜率越大，则重力加速度越小，因为上海当地的重力加速度小于天津，去南开的同学所测实验结果对应的图线的斜率小，应该是B图线。
(2)由振动图线知，两单摆的周期比为eq \f(Ta,Tb)＝eq \f(2,3)，由T＝2πeq \r(\f(L,g))知，两单摆摆长之比eq \f(La,Lb)＝eq \f(4,9)
y- t图像的斜率表示速度，故在t＝2 s时b球运动方向是＋y方向。
[答案] (1)B (2)eq \f(4,9) ＋y
学习任务
1．理解单摆做简谐振动的条件，会利用图像法分析单摆的运动。
2．掌握单摆的周期公式，并能够进行计算。
3．经历单摆周期与摆长关系的探究过程，体会实验设计思路。
4．借助对单摆周期影响因素的分析，培养严谨的科学态度。