2024年中考数学总复习专题卷-二次函数的最值（第十七卷）

这是一份2024年中考数学总复习专题卷-二次函数的最值（第十七卷），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．关于二次函数 y=2(x−4)2+6 的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4B．有最小值4C．有最大值6D．有最小值6
2．抛物线y=x2+2x﹣3的最小值是（ ）
A．3B．﹣3C．4D．﹣4
3．二次函数y＝﹣（x﹣3）2+1的最大值为（ ）
A．1B．﹣1C．3D．﹣3
4．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a．如：min={1，﹣2}=﹣2，min{﹣1，2}=﹣1．则min{x2﹣1，﹣2}的值是（ ）
A．x2﹣1B．2C．﹣1D．﹣2
5．已知抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向下，顶点坐标为（2，－3），那么该二次函数有（ ）
A．最小值－3B．最大值－3C．最小值2D．最大值2
6．已知抛物线y=x2−2x−1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（ ）
A．−2B．−1C．0D．2
7．已知二次函数y=x2−4x+2，当−1≤x≤1时，y的最小值为（ ）
A．−3B．−2C．−1D．7
8．在平面直角坐标系中，设二次函数y1=x2+2bx+a，y2=ax2+2bx+1（a，b；是实数，a≠0）的最小值分别为m和n，若m+n=0，则mn的值为（ ）
A．0B．−1C．−2D．−4
9．已知抛物线y=(x−b)2+c经过A(1−n，y1)，B(n，y2)，C(n+3，y3)三点，y1=y3．当1−n≤x≤n时，二次函数的最大值与最小值的差为16，则n的值为（ ）
A．-5B．3C．196D．4
10．已知二次函数y=x2−4x+2，关于该函数在a≤x≤3的取值范围内有最大值-1，a可能为（ ）
A．-2B．-1C．0.5D．1.5
二、填空题
11．如图，在直线l：y=x−4上方的双曲线y=2x(x>0)上有一个动点P，过点P作x轴的垂线，交直线l于点Q，连接OP，OQ，则△POQ面积的最大值是 ．
12．我校办公楼前的花园是一道美丽的风景，现计划在花园里再加上一喷水装置，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=−x2+5x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是 米．
13．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=16t−4t2，当遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车要滑行 m才能停下．
14．已知二次函数y=a(x−2)2+a(a<0)，当−1≤x≤4时，y的最小值为−10，则a的值为 .
15．已知二次函数y=ax2−2ax+c（a、c为常数，a≠0）的最大值为2，写出一组符合条件的a和c的值： ．
三、解答题
16．当k分别取﹣1，1，2时，函数y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．
17． 某架飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间x(单位：s)近似满足函数关系y=ax2+bx(a≠0)，由电子监测获得滑行时间x与滑行距离y的几组数据如表：
（1）根据上述数据，求出满足的函数关系y=ax2+bx(a≠0)；
（2）飞机着陆后滑行多远才能停下来？此时滑行的时间是多少？
18．对于“已知x+y=1，求xy的最大值”这个问题，小明是这样求解的：
∵x+y=1，∴y=1−x，∴xy=x(1−x)=x−x2=−(x−12)2+14
∴xy≤14，所以xy的最大值为14.
请你按照这种方法计算：当2n+m=4(m>0，n>0)时，2m+1n的最小值.
19．某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件．
（1）若想要这种童装销售利润每天达到1200元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多少元？
（2）当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？
20．如图，抛物线 y=ax2+bx （a≠0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
四、综合题
21． 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=x2−2ax+3a，顶点坐标为(x0，y0).
（1）若函数图象关于直线x=1对称，求函数的表达式；
（2）求y0的最大值；
（3）是否存在实数a，使得当1≤x≤4时，二次函数的最大值为最小值的3倍，若存在，求出a；若不存在，请说明理由．
22．在二次函数y=x2−2tx+3(t>0)中，
（1）若它的图象过点(2，1)，则t的值为多少？
（2）当0≤x≤3时，y的最小值为−2，求出t的值：
（3）如果A(m−2，a)，B(4，b)，C(m，a)都在这个二次函数的图象上，且a23．傣族泼水节是流行于云南省傣族人民聚居地的传统节日，是国家级非物质文化遗产之一，又名“浴佛节”．泼水节临近，某超市销售某品牌塑料脸盆，进价为每只6元．在销售过程中发现，每天销售量y（只）与每个售价x（元）之间满足一次函数关系（其中6≤x≤12，且x为整数），当每只塑料脸盆的售价是8元时，每天销售量为100只；当每只塑料脸盆的售价是10元时，每天销售量为80只．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设超市销售该品牌塑料脸盆每天销售利润为w元，当每只塑料脸盆的售价定为多少元时，超市销售该品牌塑料脸盆每天销售利润最大，最大利润是多少元？
24．宝珠梨盛产于昆明市呈贡区，是当地的特产水果，具有皮薄，果肉雪白，脆嫩，汁多，味浓甜，微香等特点．某果农经销某品牌的宝珠梨，成本为15元/千克．物价部门规定每千克梨的销售利润不得高于进价的60%．经市场调查发现：每天销售量y（单位：千克）与销售单价x（单位：元/千克）满足一次函数关系，部分图象如图所示：
（1）求y与x的函数解析式（解析式也称表达式）．
（2）求这一天销售这种宝珠梨获得的最大利润W．
25．在锐角△ABC中，边BC长为18，高AD长为12
（1）如图，矩形EFCH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K，求 EFAK 的值；
（2）设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】D
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】A
9．【答案】B
10．【答案】D
11．【答案】3
12．【答案】254
13．【答案】16
14．【答案】−1
15．【答案】a=-2，c=0（答案不唯一）
16．【答案】解：k可取值﹣1，1，2
①当k=1时，函数为y=﹣4x+4，是一次函数（直线），无最值；
②当k=2时，函数为y=x2﹣4x+3，为二次函数．此函数开口向上，只有最小值而无最大值；
③当k=﹣1时，函数为y=﹣2x2﹣4x+6，为二次函数．此函数开口向下，有最大值．
因为y=﹣2x2﹣4x+6=﹣2（x+1）2+8，则当x=﹣1时，函数有最大值为8
17．【答案】（1）解：将(2，114)，(4，216)代入解析式得：
4a+2b=11416a+4b=216，
解得a=−32b=60，
∴y与x满足的函数关系式为y=−32x2+60x；
（2）解：由(1)知，y=−32x2+60x=−32(x2−40x)=−32(x−20)2+600，
∵−32<0，
∴当x=20时，y有最大值，最大值为600，
∴飞机着陆后滑行600米才能停下来，此时滑行的时间是20s．
18．【答案】解：∵2n+m=4∴m=4−2n
∴2m+1n=2n+mmn=4mn=2n(2−n)=2−(n−1)2+1
∵m>0，n>0，m=4−2n，∴0∴0<−(n−1)2+1≤1，∴2−(n−1)2+1≥2
∴2m+1n的最小值为2.
19．【答案】（1）解：设要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价x元，
（40﹣x）（20+2x）＝1200，
解得，x1＝10，x2＝20
∵当x＝20时，卖出的多，库存比x＝10时少，
∴要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价20元；
（2）解：设每件童装降价x元，利润为y元，
y＝（40﹣x）（20+2x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∴当x＝15时，y取得最大值，此时y＝1250，
即每件童装降价15元时，每天销售这种童装的利润最高，最高利润是1250元．
20．【答案】（1）设抛物线的函数表达式为y=ax（x-10）
∵当t=2时，AD=4
∴点D的坐标是（2，4）
∴4=a×2×（2-10），解得a= −14
∴抛物线的函数表达式为 y=−14x2+52x
（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t
∴AB=10-2t
当x=t时，AD= −14t2+52t
∴矩形ABCD的周长=2（AB+AD）= 2[(10−2t)+(−14t2+52t)]=−12t2+t+20=−12(t−1)2+412
∵−12 <0
∴当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值是多少 412.
（3）如图，
当t=2时，点A，B，C，D的坐标分别为（2，0），（8，0），（8，4），（2，4）
∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为（5，2）
当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为（4，4），此时GH不能将矩形面积平分。
当平移后的抛物线过点C时，点G的坐标为（6，0），此时GH也不能将矩形面积平分。
∴当G，H中有一点落在线段AD或BC上时，直线GH不可能将矩形面积平分。
当点G，H分别落在线段AB，DC上时，直线GH过点P，必平分矩形ABCD的面积。
∵AB∥CD
∴线段OD平移后得到线段GH
∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P
在△OBD中，PQ是中位线
∴PQ= 12 OB=4
所以，抛物线向右平移的距离是4个单位。
21．【答案】（1）解：∵二次函数y=x2−2ax+3a图象关于直线=1对称，
∴−−2a2×1=1，
∴a=1，
∴函数的表达式为y=x2−2x+3；
（2）解：整理y=ax2−2ax+3a，
得y=(x2−2ax+a2)−a2+3a
=(x−a)2−a2+3a，
∵顶点坐标为(x0，y0)，
∴y0=−a2+3a=−(a2−3a)=−(a−32)2+94，
∴y0的最大值为94；
（3）解：当x=1时，y=1+a，
当x=4时，y=16−5a，
顶点(a，−a2+3a)，对称轴为直线x=a，
当1<4当a<1<4时，16−5a=3(1+a)，解得a=138(舍去)，
当116−5a=3(−a2+3a)，解得a1=2，a2=83(舍)，
综上所述，当1≤x≤4时，存在二次函数的最大值为最小值的3倍，a为4+133或2．
22．【答案】（1）解：将(2，1)代入y=x2−2tx+3中得到1=4−4t+3，解得，t=32
（2）解：抛物线对称轴为x=t．
若0∴t2−2t2+3=−2，解得t=±5.．
∵t>0，
∴t=5
若t>3，当x=3时，函数值最小，
∴−2=9−6t+3，
解得t=73（不合，舍去）
综上所述t=5．
（3）解：∵A(m−2，a)，C(m，a)关于对称轴对称
∴m−2+m2=t，m−1=t，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧
∵抛物线与y轴交点为(0，3)，抛物线对称轴为直线x=t，
∴此交点关于对称轴的对称点为(2m−2，3)
∵a<3，b<3且t>0，
∴4<2m−2解得m>3．
当A，B都在对称轴左边时，
∵a∴4 解得m>6，∴m>6
当A，B分别在对称轴两侧时
∵a∴4−(m−1)>m−1−(m−2)，解得m<4，
∴3综上所述36.
23．【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
根据题意得：8k+b=10010k+b=80，解得：k=−10b=180，
∴y与x之间的函数关系式是y=−10x+180（其中6≤x≤12，且x为整数）；
（2）解：根据题意得：w=(x−6)(−10x+180)=−10x2+240x−1080=−10(x−12)2+360，
∵a=−10<0，
∴抛物线开口向下，w有最大值，
∴当x≤12时，w随着x的增大而增大，
∵6≤x≤12且x为整数，
∴当x=12时，w有最大值，
即：w=−10×(12−12)2+360=360（元）．
答：当每个塑料脸盆的售价定为12元时，超市销售该品牌塑料脸盆每天销售利润最大，最大利润为360元．
24．【答案】（1）解：设y与x的函数解析式为y=kx+b(k≠0)，把(20，300)，(25，250)代入得：
20k+b=30025k+b=250，
解得：k=−10b=500，
∴y与x的函数解析式y=−10x+500．
（2）解：根据题意得：W=(x−15)(−10x+500)
=−10x2+650x−7500
=−10(x−652)2+3062.5，
∵x满足x≤15+15×60%x>15，
∴15∵a=−10<0，对称轴为直线x=652，
∴当15∴当x=24时，W最大，且最大值为：
W最大=−10×(24−652)2+3062.5=2340，
答：这一天销售这种宝珠梨获得的最大利润为2340元．
25．【答案】（1）解：∵△AEF∽△ABC，
∴EFBC ＝ AKAD ，
∵边BC长为18，高AD长为12，
∴EFAK ＝ BCAD ＝ 32 ；
（2）解：∵EH＝KD＝x，
∴AK＝12﹣x，EF＝ 32 （12﹣x），
∴S＝ 32 x（12﹣x）＝﹣ 32 （x﹣6）2+54，
当x＝6时，S有最大值为54．滑行时间x/s
0
2
4
6
8
10
滑行距离y/m
0
114
216
306
384
450