2024年中考数学总复习专题卷-三角形中位线定理（第十一卷）

这是一份2024年中考数学总复习专题卷-三角形中位线定理（第十一卷），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。

1．在△ABC中，AB=4，BC=6，AC=8，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，则△DEF的周长为（ ）
A．9B．12C．14D．16
2．如图，A、B两点被池塘隔开，A、B、C三点不共线．设AC、BC的中点分别为M、N．若MN=3米，则AB=（ ）
A．4米B．6米C．8米D．10米
3．如图，在 △ABC 中， BC=4 ，点D，E分别为 AB ， AC 的中点，则 DE= （ ）
A．14B．12C．1D．2
4．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝7，BC＝9，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，则四边形DBFE的周长是（ ）
A．13B．15C．17D．19
5．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是（ ）
A．24B．14C．12D．6
6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为（ ）

A．5B．10C．15D．20
7．如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，F为线段BC的中点，连接EF，则线段EF的长为（ ）cm．
A．14B．12C．1D．2
8．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点.若AB=6，BC=8，则四边形BDEF的周长是（ ）
A．28B．14C．10D．7
9．如图，为测量B，C两地的距离，小娟在池塘外取点A，得到线段 AB ， AC ，并取 AB ， AC 的中点D，E，连结 DE ．现测得 DE 的长为6米，则B，C两地相距（ ）
A．3米B．6米C．9米D．12米
10．如图，在△ABC中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若AC=12，则DH的长为（ ）
A．1B．32C．2D．3
二、填空题
11．如图，已知在△ABC中，AB=4，BC=AC=6，点P是AB的中点，过点P的直线与AC交于点Q，依据尺规作图痕迹解决下列问题．
（1）PQ与BC是否平行？ （填“是”或“否”）；
（2）△APQ的周长为 ．
12．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图所示，△ABC是格点三角形，AC，BC与网格线分别交于D，E两点．若小正方形的边长为1，则DE的长为 ．
13．数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在AB外选择一点C，测得AC， BC两边中点的距离DE为10m（如图），则A，B两点的距离是 m．
14．如图，在 △ABC 中， D ， E ， F 分别是边 AB ， BC ， CA 的中点，若 △DEF 的周长为10，则 △ABC 的周长为 ．
15． 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若S△ABC=12，则S△ADE= ．
三、作图题
16．图①、图②、图③分别是6×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，画线段AB的中点F．
（2）在图②中，画△CDE的中位线GH，点G、H分别在线段CD、CE上，并直接写出△CGH与四边形DEHG的面积比．
（3）在图③中，画△PQR，点R在格点上，且△PQR被线段MN分成的两部分图形的面积比为1：3．
17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是△ABC的BC边上的中线，请用尺规作图法在边AB上求作一点E，使得DE=12AC．(不写作法，保留作图痕迹)
18．如图，在由边长为1个单位长度的正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点），请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）请在网格①中，作△ABC的中位线PQ，交AB于点P，交BC于点Q．
（2）请在网格②中，作矩形ACMN，使S矩形ACMN=S△ABC
四、解答题
19．三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是 △ABC 的重心．求证： AD=3GD ．
20．在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC边的中点.求证：△BED≌△DFC.
21．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点 B（b，t）在直线x=b上运动，点D、E、F分别为OB、OA、AB的中点，其中b是大于零的常数．
（1）判断四边形DEFB的形状．并证明你的结论；
（2）试求四边形DEFB的面积S与b的关系式；
（3）设直线x=b与x轴交于点C，问：四边形DEFB能不能是矩形？
若能．求出t的值；若不能，说明理由．
22．如图， AM 是 ΔABC 的中线， D 是线段 AM 上一点（不与点 A 重合）． DE//AB 交 AC 于点 F ， CE//AM ，连结 AE ．
（1）如图1，当点 D 与 M 重合时，求证：四边形 ABDE 是平行四边形；
（2）如图2，当点 D 不与 M 重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.
（3）如图3，延长 BD 交 AC 于点 H ，若 BH⊥AC ，且 BH=AM ．
①求 ∠CAM 的度数；
②当 FH=3 ， DM=4 时，求 DH 的长．
五、综合题
23．如图，点E、F、G、H分别是▱ABCD各边的中点，连接AF、CE相交于点M，连接AG、CH相交于点N．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）若▱AMCN的面积为4，求▱ABCD的面积．
24．在平面直角坐标系xy中，已知点M(a，b)，N．对于点P给出如下定义：将点P先向右(a≥0)或向左(a<0)平移|a|个单位长度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“欢乐点”．
（1）如图，点M(1，1)，点N(2，2)在线段OM的延长线上．若点P(−2，0)，点Q为点P的“欢乐点”．
①在图中画出点P′与点Q；
②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT＝12OM；
（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（12＜t＜1），若P 为⊙O外一点，点Q为点P的“欢乐点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．
25．如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D，E分别是AB，BC的中点.把△BDE绕点B旋转一定角度，连结AD，AE，CD，CE.
（1）如图2，当线段BD在△ABC内部时，求证：△BAD∽△BCE.
（2）当点D落在直线AE上时，请画出图形，并求CE的长.
（3）当△ABE面积最大时，请画出图形，并求出此时△ADE的面积.
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】D
5．【答案】C
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】D
10．【答案】C
11．【答案】（1）是
（2）8
12．【答案】2
13．【答案】20
14．【答案】20
15．【答案】3
16．【答案】（1）解：如图①
（2）解：如图②
（3）解：如图③，画出一种即可.
17．【答案】解：点E即为所求作的点，
18．【答案】（1）解：通过构造直角三角形ABM、直角三角形APN、直角三角形CEB、直角三角形CFQ，
∵∠MAB=∠NAP，∠AMB=∠ANP=90°，
∴△AMB∼△ANP，
∴AMAN=21=ABAP，
可得点P为AB中点，
同理可得，点Q为BC中点，
即PQ为△ABC的中位线，
PQ即为所求．
（2）解：∵PQ为△ABC的中位线，
∴AC∥PQ，
分别过点C、A作CM⊥AC，AN⊥AC，垂足分别为M、N，
∴∠ACM=∠CAN=∠M=90°，
∴四边形ACMN为矩形，
∴点C、点B到PQ的距离相等，
即点B到AC的距离是点C到PQ的距离2倍，
∴S△ABC=12⋅AC⋅ℎ，S矩形ACMN=AC⋅2ℎ，
∴S矩形ACMN=S△ABC，
矩形ACMN即为所求．
19．【答案】证明：过点D作DH∥AB，交CE于点H，
∵AD是△ABC的中线，
∴点D是BC的中点，
∴DH是△BCE的中位线，
∴BE=2DH，DH∥AB，
∵CE是△BCE的中线，
∴AE=BE，
∴AE=2DH，
∵DH∥AB，
∴△AEG∽△DHG，
∴AGDG=AEDH=2 ，
∴AG=2GD，
即AD=3GD.
20．【答案】证明：∵，点D、E分别是BC、AB的中点，∴ED//AC,ED= 12 AC,
又∵F是AC边的中点，∴FC= 12 AC, ∴DE=FC,
由ED//AC，∠EDB=∠C，同理，∠B=∠FDC,
在△EBD和△FDC中，∵∠B＝∠FDC，∠EDC＝∠C，ED＝FC，
∴△BED≌△DFC（AAS）
21．【答案】（1）解：四边形DEFB是平行四边形．
证明：∵D、E分别是OB、OA的中点，∴DE∥AB，同理，EF∥OB，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）解法一：∵S△AOB= 12 ×8×b=4b，
由（1）得EF∥OB，∴△AEF∽△AOB，
∴S△AEFS△AOB= （ 12 ）2，即S△AEF= 14 S△AOB=b，同理S△ODE=b，
∴S=S△AOB﹣S△AEF﹣S△ODE=4b﹣b﹣b=2b，即S=2b（b＞0）；
解法二：如图，连接BE，S△AOB= 12 ×8×b=4b，
∵E、F分别为OA、AB的中点，
∴S△AEF= 12 S△AEB= 14 S△AOB=b，
同理S△EOD=b，
∴S=S△AOB﹣S△AEF﹣S△ODE=4b﹣b﹣b=2b，
即S=2b（b＞0）；
（3）解法一：以E为圆心，OA长为直径的圆记为⊙E，
①当直线x=b与⊙E相切或相交时，若点B是切点或交点，则∠ABO=90°，由（1）知，四边形DEFB是矩形，
此时0＜b≤4，可得△AOB∽△OBC，
∴OBBC=OABO ，即OB2=OA•BC=8t，
在Rt△OBC中，OB2=BC2+OC2=t2+b2，
∴t2+b2=8t，
∴t2﹣8t+b2=0，
解得t=4± 16−t2 ，
②当直线x=b与⊙E相离时，∠ABO≠90°，
∴四边形DEFB不是矩形，
综上所述：当0＜b≤4时，四边形DEFB是矩形，这时，t=4± 16−t2 ，当b＞4时，四边形DEFB不是矩形；
解法二：由（1）知，当∠ABO=90°时，四边形DEFB是矩形，
此时，Rt△OCB∽Rt△ABO，
∴ = ，即OB2=OA•BC，
又OB2=BC2+OC2=t2+b2，OA=8，BC=t（t＞0），
∴t2+b2=8t，
∴（t﹣4）2=16﹣b2，
①当16﹣b2≥0时，解得t=4± ，此时四边形DEFB是矩形，
②当16﹣b2＜0时，t无实数解，此时四边形DEFB不是矩形，
综上所述：当16﹣b2≥0时，四边形DEFB是矩形，此时t=4± ，当16﹣b2＜0时，四边形DEFB不是矩形；
解法三：如图，过点A作AM⊥BC，垂足为M，
在Rt△AMB中，AB2=AM2+BM2=b2+（8﹣t）2，
在Rt△OCB中，OB2=OC2+BC2=b2+t2，
在Rt△OAB中，当AB2+OB2=OA2时，∠ABO=90°，则四边形DEFB为矩形，
∴b2+（8﹣t）2+b2+t2=82，
化简得t2﹣8t=﹣b2，配方得（t﹣4）2=16﹣b2，其余同解法二．
22．【答案】（1）证明：∵DE//AB，∴∠EDC=∠ABM，
∵CE//AM，
∴∠ECD=∠ADB，
又∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，∴BD=DC，
∴△ABD≅△EDC，
∴AB=ED，又∵AB//ED,
∴四边形ABDE为平行四边形。
（2）解：结论成立，理由如下：
过点M作MG//DE交EC于点G，
∵CE//AM，
∴四边形DMGE为平行四边形，
∴ED=GM且ED//GM，
由（1）可得AB=GM且AB//GM，
∴AB=ED且AB//ED.
∴四边形ABDE为平行四边形.
（3）解：①取线段HC的中点I，连结MI，
∴MI是△BHC的中位线，
∴MI//BH,MI=12BH，
又∵BH⊥AC，且BH=AM，
∴MI=12AM，MI⊥AC，
∴∠CAM=30°
②设DH=x,则AH=3x，AD=2x,
∴AM=4+2x，∴BH=4+2x,
由（2）已证四边形ABDE为平行四边形，
∴FD//AB，
∴△HDF~△HBA，
∴HFHA=HDHB，即33x=x4+2x
解得x=1±5（负根不合题意，舍去）
∴DH=1+5.
​
23．【答案】（1）证明：∵▱ABCD，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，
∵点E、F、G、H分别是▱ABCD各边的中点，
∴AE=12AB=12CD=CG，AE∥CG，
∴四边形AECG为平行四边形，
同理可得：四边形AFCH为平行四边形，
∴AM∥CN，AN∥CM，
∴四边形AMCN是平行四边形；
（2）解：连接HG，AC，EF，
∵H，G为AD，CD的中点，
∴HG∥AC，HG=12AC，
∴△HNG∽△CNA，
∴HNCN=HGAC=12，
∴S△ANHS△ANC=HNCN=12，
同理可得：S△FMCS△AMC=12
∴S△ANH+S△FMC=12(S△ANC+S△AMC)=12S▱AMCN=2，
∴S▱AFCH=S△ANH+S△FMC+S▱AMCN=2+4=6，
∵AH=12AD，
∴S▱ABCD=2S▱AFCH=12．
24．【答案】（1）解：①点Q如下图所示．
∵点M(1，1)，
∴点P(−2，0)向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点P'，
∴P'(−1，1)，
∵点P'关于点N的对称点为Q，N(2，2)，
∴点Q的横坐标为：2×2−(−1)=5，纵坐标为：2×2−1=3，
∴点Q(5，3)，在坐标系内找出该点即可；
②证明：如图延长ON至点A(3，3)，连接AQ，
∵AQ//OP，
∴∠AQT=∠OPT，
在△AQT与△OPT中，
∠AQT=∠OPT∠ATQ=∠OTPAQ=OP，
∴△AQT≅△OPT(AAS)，
∴TA=TO=12OA，
∵A(3，3)，M(1，1)，N(2，2)，
∴OA=32+32=32，OM=12+12=2，ON=22+22=22，
∴TO=12OA=322，
∴NT=ON−OT=22−322=22，
∴NT=12OM．
（2）解：(2) PQ长的最大值与最小值的差为4t−2．
25．【答案】（1）证明：∵点D，E分别是AB，BC的中点，
∴BD=12AB=3，BE=12BC=5，
∴BDAB=BEBC=12，
由旋转知，∠ABD=∠CBE，
∴△ABD∽△CBE；
（2）解：如图，
∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，
∴BC=AB2+AC2=10，
由（1）图
∵点D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE∥AC，
∴∠BDE=∠BAC=90°，
∵点D落在AE上，
∴∠ADB=90°，
由（1）知，△ABD∽△CBE，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
在Rt△BEC中，BE=5，BC=10，
根据勾股定理得，CE=BC2−BE2=102−52=53
（3）解：如图，
设点E到AB的距离为h，则S△ABE=12AB⋅ℎ=12×6ℎ=3ℎ，
要△ABE的面积最大，则h最大，
即BE⊥AB时，此时，h最大=BE=5，
∵∠BAC=90°，
∴BE∥AC，
∴∠CBE=∠ACB，
由旋转知，∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD=∠ACB，
过点D作DH⊥AB于H，
∴∠BHD=90°=∠CAB，
∴△BDH∽△CBA，
∴DHAB=BDBC，
∴DH6=310，
∴DH=95，
在题干图1中，
∵点D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE=12AC=4，
∴S△ADE=S△ABE−S△ABD−S△BDE
=12AB⋅BE−12AB⋅DH−12BD⋅DE
=12×6×5−12×6×95−12×3×4
=15−275−6
=185.