四川省成都市实验外国语学校2023-2024学年高二上学期第一阶段考试数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省成都市实验外国语学校2023-2024学年高二上学期第一阶段考试数学试题（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间120分钟 满分150分
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 向量，，若，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量平行的坐标表示列方程求参数即可.
【详解】由题设，故.
故选：B
2. 椭圆的焦距为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出的值，即可得出所求椭圆的焦距.
【详解】在椭圆中，，，则，
因此，椭圆的焦距为.
故选：C.
3. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面． 则下列说法错误的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间平面间的位置关系，面面垂直、平行的判定定理判断.
【详解】对于A，由，且，得或，又，则，正确；
对于B，若，，，过作平面交平面于点直线，如图：

由得，又，所以，又，所以，
又，所以，正确；
对于C，若，，，则可能平行也可能相交，
如图：
在长方体中，取平面为平面，直线为直线，
平面为平面，直线为直线，满足，，，
而，错误；
对于D，若，，则，又，则，正确；
故选：C
4. 一组数据按从小到大排列为，若该组数据的第60百分位数是众数的倍，则这组数据的平均数是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】按百分位数和平均数的定义计算即可.
【详解】由题意该组数据共7个数，,
故第60百分位数为从小到大第5个数 ，又众数为4，
故 ，
故该组数据的平均数为，
故选：B
5. 将2个不同的小球随机放入甲、乙、丙3个盒子，则2个小球在同一个盒子的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出将2个不同的小球随机放入甲、乙、丙3个盒子的方法总数以及2个小球在同一个盒子的方法总数，由古典概率的公式代入即可得出答案.
【详解】将2个不同的小球随机放入甲、乙、丙3个盒子，共有：种方法，
2个小球在同一个盒子有种情况，
所以2个小球在同一个盒子的概率为.
故选：D.
6. 过三点的圆的一般方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设出圆的一般方程，代入点坐标，计算得到答案.
【详解】设圆的方程为，将A，B，C三点的坐标代入方程，
整理可得，解得，
故所求的圆的一般方程为，
故选：D．
7. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量线性运算，结合图形分析可得．
【详解】因为，点N为BC中点，
所以，，
故
．
故选：B．
8. 点在以为焦点的椭圆上，若线段的中点在轴上，则是的（ ）
A. 3倍B. 4倍C. 5倍D. 7倍
【答案】D
【解析】
【分析】根据线段的中点M在y轴上，推出轴，由此可设，代入椭圆方程求出，再根据两点间的距离公式求出和可得解.
【详解】
由可知，，所以，
所以，
∵线段中点M在y轴上，且原点O为线段的中点，
所以，所以轴
∴可设，
把代入椭圆，得
∴，.
∴.
故选：D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符号题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9. 若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是，，下列命题是真命题的为（ ）
A. 若，则两条直线的斜率相等
B. 若两条直线的斜率相等，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据直线的斜率和倾斜角的关系，以及平行线的性质，依次判断即可
【详解】选项A，当时，，但两条直线斜率不存在，故A错误；
选项B，若两条直线的斜率相等，且两直线不重合，故，故B正确；
选项C，若，由平行线的性质，可得，故C正确；
选项D，若，由平行线的性质，可得，故D正确.
故选：BCD
10. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例：

用该样本估计总体，以下四个选项正确的是（ ）
A. 54周岁以上参保人数最少
B. 18～29周岁人群参保总费用最少
C. 丁险种更受参保人青睐
D. 30周岁以上的人群约占参保人群20%
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，根据扇形统计图可得A正确；B选项，从扇形统计图和折线统计图计算出54周岁以上人群参保总费用比18～29周岁人群参保总费用低，B错误；C选项，从条形统计图可得C正确；D选项，从扇形统计图可得到D错误.
【详解】设抽查的5个险种参保客户的总人数为，
A选项，从扇形图可得到54周岁以上参保人数占比为，人数最少，A正确；
B选项，18～29周岁人群人均参保费用高于3500元，故参保总费用高于，
54周岁以上人群人均参保费用为6000元，故参保总费用为，
由于，故18～29周岁人群参保总费用不是最少的，B错误；
C选项，从条形统计图可看出丁险种所占比例为，比其他险种均高，故更受参保人青睐，C正确；
D选项，30周岁以上的人群约占参保人群为，D错误.
故选：AC
11. 如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体，且该八面体的各棱长均相等，则（ ）

A. 异面直线AE与BC所成的角为B.
C. 平面平面CDED. 直线AE与平面BDE所成的角为
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，异面直线AE与BC所成的角转化为直线AE与AD所成角即可；
对于B，只需证明平面ACE即可；
对于C，需证平面CDE与平面CDE；
对于D，先证平面BEDF，故即为直线AE与平面BDE所成的角，求解即可.
【详解】因为，所以（或其补角）即为异面直线AE与BC所成的角，
又，所以，
即异面直线AE与BC所成的角为，A正确；
连接AC交BD于点O，则点O为正方形ABCD的中心，连接EF，
根据正棱锥的性质可知EF必过点O，且平面ABCD，
所以，又，，OE，平面ACE，
所以平面ACE，又平面ACE，所以，B正确；
由对称性可知，，所以四边形AFCE为平行四边形，
所以，又平面CDE，平面CDE，所以平面CDE，
同理平面CDE，又，AF，平面ABF，
所以平面平面CDE，C正确；
由，，得，在正方形ABCD中，，
又，所以平面BEDF，
所以即为直线AE与平面BDE所成的角，
设该八面体的棱长为2，则，
所以，所以，D错误.
故选：ABC.

12. 在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（ ）
A. 圆上有且仅有两个点到直线的距离为
B. 已知点，圆上的动点，则的最小值为
C. 过点作圆的一条切线，切点为可以为
D. 过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，转化为与直线距离为的两条直线与圆的交点个数即可；对B，由点与圆在直线的同侧，利用对称转化为异侧，则当四点共线时取最小值，且最小值为；对C，求出最大值为，即最大为；对D，设点坐标，求出切点弦方程，不论如何变化，直线恒过定点.
【详解】选项A，由题意知，圆心到直线的距离为，圆的半径为，
由，
如图可知与直线平行且与直线距离为的其中一条直线与圆相交，有两个公共点，
另一条直线与圆相离，即圆上有且仅有两个点到直线的距离为，故A正确；

选项B，设点关于直线的对称点，
则，解得，即，
则，
即的最小值为，故B正确；

选项C，由切点为，则在中，，
当最小时，取最大值，最大，
过点作，垂足为，此时最小，最小值为，
即最大值为，最大为，不可能为，故C错误；

选项D，设点，切点，
可得切线方程为，由点在切线上，得，
同理可得，
故点都在直线上，
即直线的方程为，
又由点在直线上，则，
代入直线方程整理得，
由解得，即直线恒过定点，故D正确.
故选：ABD.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 某高中共有学生2000人，其中高一和高二各有800人，现采用分层抽样的方法抽取容量为25的样本，那么高二抽取的人数为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据分层抽样的定义和计算方法，求得抽样比，即可求解.
【详解】由题意，高二人数占总人数的比例为，所以高二抽取的人数为.
故答案为：.
14. 若直线的一个方向向量是，则实数k的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】把直线的方程化为斜截式，然后根据方向向量的定义进行求解即可.
【详解】因为直线的斜率为，
所以，解得．
故答案为：
15. 已知三棱锥中，平面BCD，，， ，则三棱锥的外接球的表面积为_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用线面垂直的判定定理可得平面，再由性质定理得，取的中点E，可得，三棱锥的外接球的球心即为点，求出，再求球的表面积可得答案.
【详解】因为平面BCD，平面，所以，
因为，，所以，即，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，取的中点，连接，
可得，
所以三棱锥的外接球的球心即为点，外接球的半径为，
由得，
则三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：.

16. 已知、为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得，再根据正弦定理可知外接圆半径，由等面积法可知内切圆半径，再根据面积比即可计算出离心率.
【详解】根据题意画出图象如下图所示：

利用椭圆定义可知，且；
又，利用余弦定理可知：
，
化简可得；
所以的面积为；
设的外接圆半径为，内切圆半径为；
由正弦定理可得，可得；
易知的周长为，
利用等面积法可知，解得；
又的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即，
所以，即可得，所以；
离心率.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求解椭圆焦点三角形外接圆与内切圆半径问题，通常利用正弦定理计算外接圆半径，由等面积法公式可计算出内切圆半径，即可实现问题求解.
四、解答题（本大题共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明或演算过程）
17. 已知直线l的方程为．
（1）若直线l的倾斜角为，求k的值；
（2）已知直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b，若，求直线l的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由直线斜率与倾斜角的关系，求k的值．
（2）求出直线l在x轴，y轴上的截距，根据方程得到k的值，可求直线l的方程.
【小问1详解】
由题意可得
【小问2详解】
在直线l的方程中，令，得，即，
令，得，即，
由，得，即，解得或，
所以直线l的方程为或.
18. 中国人民志愿军被称为“最可爱的人”，2023年7月27日是抗美援朝胜利70周年，为了解抗美援朝英雄事迹、某党支部组织了抗美援朝知识竞赛活动、现抽取其中50名党员的成绩，按进行分组，得到如下的频率分布直方图．

（1）求图中的值及估计这50名党员的成绩的平均数；
（2）若采用分层随机抽样的方法，从成绩在和内的党员中共抽取4人，再从这4人中任选2人在会上进行演讲，求这2人的成绩不在同一区间的概率．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用面积之和为1求 ，根据频率分布直方图中平均数的求法求成绩的平均数；
（2）计算成绩在和内的党员人数，根据分层抽样确定两个区间内抽取人数，根据古典概型求概率.
【小问1详解】
由图可知： ，
所以.
平均数：.
所以这50名党员的成绩的平均数.
【小问2详解】
由图可知分数在的频率为，分数在的频率为，
所以若按分层抽样从这两组中抽4人，则分数在的人数为3人，记为A,B,C,
分数在的人数为1人,记为D，
所以从4人中任选2人有：，共6种基本情况，
其中2人的成绩不在同一区间有共3种情况
所以，
所以这2人的成绩不在同一区间的概率为．
19. 已知，，动圆与圆外切且与圆内切． 圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线C的方程；
（2）是否存在过点的直线交曲线C于A，B两点，使得点Q为中点时，直线的斜率与直线OQ的斜率乘积为定值？如果存在，求出这个定值，如果不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）先根据题意得到圆与圆的圆心和半径，再根据题意求得，，从而根据椭圆的定义可知，动点的轨迹是以，为焦点，4为半长轴长的椭圆，进而即可求得曲线C的方程；
（2）先根据题意可得过点的直线的斜率存在，从而设直线为，再联立曲线C的方程，消整理得到关于的一元二次方程，再结合点Q为中点，从而求得的值，进而即可得到结论．
【小问1详解】
依题意可得圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为7，
设动圆的半径为，
由动圆与圆外切且与圆内切，
则，且，
则由椭圆的定义可知，动点的轨迹是以，为焦点，4为半长轴长的椭圆，
所以，，，
故曲线C的方程的方程为．
【小问2详解】
依题意可得过点的直线的斜率存在，
则设直线，
联立，消整理得，
当点Q为中点时，有，解得，
又，所以(定值)，
故直线的斜率与直线OQ的斜率乘积为定值．

20. 已知在多面体中，，，，，且平面平面.

（1）设点F为线段BC的中点，试证明平面；
（2）若直线BE与平面ABC所成角为，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由四边形为平行四边形.∴，再结合平面，即可证明平面；
（2）由空间向量的应用，建立以为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴的空间直角坐标系，再求出平面的法向量，平面的法向量，再利用向量夹角公式求解即可.
【小问1详解】
取的中点，连接，，
∵在中，∴.
∴由平面平面，且交线为，平面，得平面.
∵，分别为，的中点，∴，且.
又，，∴，且.
∴四边形为平行四边形.∴，
∴平面.
【小问2详解】
∵平面，平面，所以，
又因，所以三者两两互相垂直，
∴以为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
则，，.
∵平面，∴直线与平面所成的角为.
∴.∴.
可取平面的法向量，
设平面的法向量，，，
则，取，则，.∴，
∴，
∴二面角的余弦值为.

21. 已知，O为坐标原点，直线,设圆C的半径为1，圆心在直线l上.
（1）若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线方程;
（2）若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标a的取值范围.
【答案】（1）或
（2）.
【解析】
【分析】（1）联立两直线方程，求出圆心，从而得到圆的方程，考虑过的直线斜率不存在和存在两种情况，设出切线方程，由点到直线距离等于半径列出方程，求出答案；
（2）设圆心为，设，根据得到点M的轨迹方程为圆，由题意得到两圆有交点，从而得到不等式组，求出圆心C的横坐标a的取值范围.
【小问1详解】
由题得圆心在直线和直线上，
则联立，解得，即圆心的坐标为，
故圆的方程为，
当过的直线斜率不存在时，即，此时与圆不相切，
故设过的圆的切线方程为，即，
由直线与圆相切，可得，解得或，
故所求切线方程为或.
【小问2详解】
根据圆心在直线上，可设圆心为，
则圆的方程为.
若圆上存在点M，使，设，
∵，
∴，整理可得，
故点M在以为圆心，2为半径的圆上，
又点M也在圆C上，故圆C和圆D有交点，
∴，即，
即，解得，即a的取值范围为.
22. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于两点，射线交椭圆于点，若，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用椭圆的通径公式以及离心率求出椭圆的方程即可；
（2）设直线的方程为，将直线与椭圆方程联立，根据弦长公式求出，利用三角形面积公式用表示出，由可求得，即可求直线的方程.
【小问1详解】
由已知得，设过且垂直于轴的直线与椭圆交于点,
则点的横坐标为，将其代入得，解得，
即，所以，
因为椭圆的离心率，所以．
因为，所以．故椭圆的方程为．
【小问2详解】
由题意知，直线不垂直于轴，设直线的方程为，
设，
联立方程组消去并整理得，
其中，
所以，，
所以
，
因为点到直线的距离，且是线段的中点，
所以点到直线的距离为，
所以．
由，解得或（舍去），
所以，故直线的方程为，
即或．
【点睛】如果直线过轴上一点，则直线方程可以设为，当时直线与轴垂直，但是不包含与轴平行的情况，此种情况需要单独说明.