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四川省泸州市合江县马街中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）
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这是一份四川省泸州市合江县马街中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用集合的交运算求即可.
【详解】由题设.
故选：A
2. 设命题，则为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称量词的否定即可得到答案.
【详解】因为命题为全称量词命题，故，
故选：B．
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 既不充分也不必要条件
C. 充要条件D. 必要不充分条件
【答案】D
【解析】
【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案.
【详解】由可得或，不一定是；
当时，必有成立，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：D
4. 函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出二次函数的对称轴，判断出的单调性，即可求得答案.
【详解】对称轴为,
所以在严格增，所以，
故选：C.
5. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合B，然后确定图中阴影部分指的集合，即可得出答案.
【详解】，所以,
图中阴影部分指的是在集合A中，不在集合B中的元素构成的集合，
又，所以图中阴影部分指的集合是，有三个元素，
所以它有个子集，
故选：D.
6. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论．
【详解】由题可得函数定义域为，且，故函数为奇函数，故排除BD，
由，，故C错误，
故选：A.
7. 已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由条件得到的单调性，然后利用单调性求解函数不等式即可.
【详解】因为对于任意不等实数，不等式恒成立，
所以在上单调递减，又函数是定义在上的奇函数，
所以在上单调递减，所以，解得.
故选：B.
8. 已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数解析式判断的单调性、奇偶性，结合已知条件可得，进而有，应用基本不等式求最值即可.
【详解】由解析式易知在定义域上单调递增，且为奇函数即，
∵，
∴，则，且，
∴，当且仅当时等号成立.
∴的最小值为.
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用不等式性质推理判断ABC；作差比较大小判断D.
【详解】由，则，，A错误，B正确；
，于是，C正确；
，即，D正确.
故选：BCD
10. 下列各项中，与表示的函数相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数的定义，一一判断各选项函数的定义域和对应法则是否相同，即可得到答案.
【详解】对于A，，定义域R，，定义域为R，
但对应法则与前者不同，故两函数不相等，故A错误；
对于B，由得，故的定义域为，
由得，故的定义域为，
又两者对应法则相同，故两函数相等，故B正确；
对于C, 定义域为R，定义域为，故两函数不相等，故C错误；
对于D，，，两函数相等，故D正确.
故选：BD.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的定义域为
B. 函数的值域为
C. 函数的图象关于轴对称
D. 函数在区间上单调递增
【答案】AC
【解析】
【分析】根据解析式确定函数定义域和值域，利用定义判断函数的区间单调性和奇偶性即可得答案.
【详解】由解析式知：定义域为，且，，所以，
又，即为偶函数，
令，则，
所以，即区间上单调递减，
综上，A、C对，B、D错.
故选：AC
12. 设函数，（），则下列说法正确的有（ ）
A. 若函数在上单调递减，则
B. 若函数为偶函数，则
C. 若函数定义域为，则
D. ，，使得，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出函数，根据二次函数的对称性可判断A；利用偶函数的性质可知判断B；利用二次函数的性质可判断C；选项D等价于，分情况讨论求出在,上的最小值，进而求出的取值范围即可．
【详解】对于A，函数在上单调递减，则，解得，故A不正确；
对于B，若函数为偶函数，则，即，故B正确；
对于C，若函数的定义域为，则，解得，故C正确；
对于D，若,，,，使得，则，
当,时，,，
①若，则当,时，
，即，，
②若，则当,时，
，即，，
综上所述，的取值范围为，故D正确.
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 给出函数，如下表，则________
【答案】1
【解析】
【分析】由内到外依次求各函数值即可.
【详解】由题知，，所以.
故答案为：1.
14. 函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据根式、分式的性质求函数定义域即可.
【详解】由解析式知：且，
所以函数定义域为.
故答案为：
15. 已知幂函数在区间上单调递减，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用幂函数的定义及单调性求解即得.
【详解】由幂函数的定义知，，即，解得或，
当时，在区间上单调递增，不符合题意，
当时，在区间上单调递减，符合题意，所以.
故答案：
16. 已知满足，，都有，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得到的单调性，从而利用分段函数的性质，结合二次函数与一次函数的单调性即可得解.
【详解】因为，，都有，
所以在上为增函数，
当时，，易知函数在上为增函数；
当时，则，解得，
综上，，则a的取值范围为，
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，求取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出集合后取交集即可；
（2）根据子集关系，直接列式求解即可.
【小问1详解】
∵，
∴，
又，
∴.
【小问2详解】
由题意可得，
又∵，
∴解得，
所以实数m的取值范围为.
18. 已知函数．
（1）用定义法证明函数在上单调递增；
（2）若函数在定义域上为奇函数，求不等式的解集．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）运用函数单调性的定义证明即可.
（2）由奇函数的定义求得a的值，解分式不等式即可.
【小问1详解】
证明：任取设，，且，
则，
因为，所以，，所以，
所以，
所以，故在上单调递增.
【小问2详解】
因为函数在定义域上为奇函数，则，
所以．
所以，即，
所以，
由得：，即，
所以或，
解得或，
所以不等式的解集为.
19. 已知：二次函数的图像的对称轴为，与轴的一个交点为，且
（1）求函数的解析式
（2）求关于的不等式的解集．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）设，由题列出a、b、c的方程，解之即可；
（2）含参一元二次不等式，分类讨论求解.
【小问1详解】
设，由题
，解得，所以.
【小问2详解】
由（1）得，
所以即，
整理得，即，
当时，，解集为，
当时，，解集为,
当时，，解集为，
综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
20. 若不等式的解集是．
（1）求实数的值；
（2）当的解集为时，求b的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题得出的两个解为，代入即可；
（2）分类讨论是否为0，然后结合二次函数图像判断取值范围.
小问1详解】
由题得的两个解为，
代入得，解得,
所以.
【小问2详解】
由（1）得的解集为，
当时：
当时，原不等式等价为，显然为，合题意；
当，原不等式等价为，显然不为，舍去；
当时，要想的解集为，
需要，解得，即，
综上b的取值范围为.
21. 佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）.若每台机器售价万元，且该机器能全部卖完.
（1）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式；
（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.
【答案】（1）；（2）当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.
【解析】
【分析】
（1）根据题意分别列出当及时，关于的解析式即可；
（2）根据二次函数的性质计算当时，的最大值，根据基本不等式求解当时的最大值，然后比较得出最值.
【详解】（1）当时，；
当时，
∴
（2）当时，；
当时，取最大值万元；
当时， ，
当且仅当时，取等号
综上所述，当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.
【点睛】本题考查函数的实际应用问题，考查基本不等式的实际应用，难度一般.解答时，根据题目条件列出函数的解析式是关键.
22. 函数是定义在R上的奇函数，当时，
（1）求函数在R上的解析式；
（2）对于函数，，若不等式恒成立，求实数t的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性，结合时的解析式，可求出时的解析式，即可得答案；
（2）结合（1）判断函数的单调性，从而将不等式恒恒成立问题转化为关于x的一元二次不等式恒成立问题，采用分离参数法可得恒成立，换元后利用基本不等式即可求得答案.
【小问1详解】
当时，，
由函数是定义在上的奇函数，
∴
∴；
【小问2详解】
由函数，，不等式恒成立，
可得，恒成立，
由（1）可作出的图像可知在上是减函数，
故，即
∵，
当时，不等式可化为，即，显然恒成立
当时，则，故，
令，则，，
∵恒成立，
∵，当且仅当即时，等号成立，
∴，即t的取值范围为
x
1
2
3
4
3
4
2
1
2
1
6
8
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用集合的交运算求即可.
【详解】由题设.
故选：A
2. 设命题，则为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称量词的否定即可得到答案.
【详解】因为命题为全称量词命题，故，
故选：B．
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 既不充分也不必要条件
C. 充要条件D. 必要不充分条件
【答案】D
【解析】
【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案.
【详解】由可得或，不一定是；
当时，必有成立，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：D
4. 函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出二次函数的对称轴，判断出的单调性，即可求得答案.
【详解】对称轴为,
所以在严格增，所以，
故选：C.
5. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合B，然后确定图中阴影部分指的集合，即可得出答案.
【详解】，所以,
图中阴影部分指的是在集合A中，不在集合B中的元素构成的集合，
又，所以图中阴影部分指的集合是，有三个元素，
所以它有个子集，
故选：D.
6. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论．
【详解】由题可得函数定义域为，且，故函数为奇函数，故排除BD，
由，，故C错误，
故选：A.
7. 已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由条件得到的单调性，然后利用单调性求解函数不等式即可.
【详解】因为对于任意不等实数，不等式恒成立，
所以在上单调递减，又函数是定义在上的奇函数，
所以在上单调递减，所以，解得.
故选：B.
8. 已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数解析式判断的单调性、奇偶性，结合已知条件可得，进而有，应用基本不等式求最值即可.
【详解】由解析式易知在定义域上单调递增，且为奇函数即，
∵，
∴，则，且，
∴，当且仅当时等号成立.
∴的最小值为.
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用不等式性质推理判断ABC；作差比较大小判断D.
【详解】由，则，，A错误，B正确；
，于是，C正确；
，即，D正确.
故选：BCD
10. 下列各项中，与表示的函数相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数的定义，一一判断各选项函数的定义域和对应法则是否相同，即可得到答案.
【详解】对于A，，定义域R，，定义域为R，
但对应法则与前者不同，故两函数不相等，故A错误；
对于B，由得，故的定义域为，
由得，故的定义域为，
又两者对应法则相同，故两函数相等，故B正确；
对于C, 定义域为R，定义域为，故两函数不相等，故C错误；
对于D，，，两函数相等，故D正确.
故选：BD.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的定义域为
B. 函数的值域为
C. 函数的图象关于轴对称
D. 函数在区间上单调递增
【答案】AC
【解析】
【分析】根据解析式确定函数定义域和值域，利用定义判断函数的区间单调性和奇偶性即可得答案.
【详解】由解析式知：定义域为，且，，所以，
又，即为偶函数，
令，则，
所以，即区间上单调递减，
综上，A、C对，B、D错.
故选：AC
12. 设函数，（），则下列说法正确的有（ ）
A. 若函数在上单调递减，则
B. 若函数为偶函数，则
C. 若函数定义域为，则
D. ，，使得，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出函数，根据二次函数的对称性可判断A；利用偶函数的性质可知判断B；利用二次函数的性质可判断C；选项D等价于，分情况讨论求出在,上的最小值，进而求出的取值范围即可．
【详解】对于A，函数在上单调递减，则，解得，故A不正确；
对于B，若函数为偶函数，则，即，故B正确；
对于C，若函数的定义域为，则，解得，故C正确；
对于D，若,，,，使得，则，
当,时，,，
①若，则当,时，
，即，，
②若，则当,时，
，即，，
综上所述，的取值范围为，故D正确.
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 给出函数，如下表，则________
【答案】1
【解析】
【分析】由内到外依次求各函数值即可.
【详解】由题知，，所以.
故答案为：1.
14. 函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据根式、分式的性质求函数定义域即可.
【详解】由解析式知：且，
所以函数定义域为.
故答案为：
15. 已知幂函数在区间上单调递减，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用幂函数的定义及单调性求解即得.
【详解】由幂函数的定义知，，即，解得或，
当时，在区间上单调递增，不符合题意，
当时，在区间上单调递减，符合题意，所以.
故答案：
16. 已知满足，，都有，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得到的单调性，从而利用分段函数的性质，结合二次函数与一次函数的单调性即可得解.
【详解】因为，，都有，
所以在上为增函数，
当时，，易知函数在上为增函数；
当时，则，解得，
综上，，则a的取值范围为，
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，求取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出集合后取交集即可；
（2）根据子集关系，直接列式求解即可.
【小问1详解】
∵，
∴，
又，
∴.
【小问2详解】
由题意可得，
又∵，
∴解得，
所以实数m的取值范围为.
18. 已知函数．
（1）用定义法证明函数在上单调递增；
（2）若函数在定义域上为奇函数，求不等式的解集．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）运用函数单调性的定义证明即可.
（2）由奇函数的定义求得a的值，解分式不等式即可.
【小问1详解】
证明：任取设，，且，
则，
因为，所以，，所以，
所以，
所以，故在上单调递增.
【小问2详解】
因为函数在定义域上为奇函数，则，
所以．
所以，即，
所以，
由得：，即，
所以或，
解得或，
所以不等式的解集为.
19. 已知：二次函数的图像的对称轴为，与轴的一个交点为，且
（1）求函数的解析式
（2）求关于的不等式的解集．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）设，由题列出a、b、c的方程，解之即可；
（2）含参一元二次不等式，分类讨论求解.
【小问1详解】
设，由题
，解得，所以.
【小问2详解】
由（1）得，
所以即，
整理得，即，
当时，，解集为，
当时，，解集为,
当时，，解集为，
综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
20. 若不等式的解集是．
（1）求实数的值；
（2）当的解集为时，求b的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题得出的两个解为，代入即可；
（2）分类讨论是否为0，然后结合二次函数图像判断取值范围.
小问1详解】
由题得的两个解为，
代入得，解得,
所以.
【小问2详解】
由（1）得的解集为，
当时：
当时，原不等式等价为，显然为，合题意；
当，原不等式等价为，显然不为，舍去；
当时，要想的解集为，
需要，解得，即，
综上b的取值范围为.
21. 佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）.若每台机器售价万元，且该机器能全部卖完.
（1）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式；
（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.
【答案】（1）；（2）当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.
【解析】
【分析】
（1）根据题意分别列出当及时，关于的解析式即可；
（2）根据二次函数的性质计算当时，的最大值，根据基本不等式求解当时的最大值，然后比较得出最值.
【详解】（1）当时，；
当时，
∴
（2）当时，；
当时，取最大值万元；
当时， ，
当且仅当时，取等号
综上所述，当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.
【点睛】本题考查函数的实际应用问题，考查基本不等式的实际应用，难度一般.解答时，根据题目条件列出函数的解析式是关键.
22. 函数是定义在R上的奇函数，当时，
（1）求函数在R上的解析式；
（2）对于函数，，若不等式恒成立，求实数t的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性，结合时的解析式，可求出时的解析式，即可得答案；
（2）结合（1）判断函数的单调性，从而将不等式恒恒成立问题转化为关于x的一元二次不等式恒成立问题，采用分离参数法可得恒成立，换元后利用基本不等式即可求得答案.
【小问1详解】
当时，，
由函数是定义在上的奇函数，
∴
∴；
【小问2详解】
由函数，，不等式恒成立，
可得，恒成立，
由（1）可作出的图像可知在上是减函数，
故，即
∵，
当时，不等式可化为，即，显然恒成立
当时，则，故，
令，则，，
∵恒成立，
∵，当且仅当即时，等号成立，
∴，即t的取值范围为
x
1
2
3
4
3
4
2
1
2
1
6
8
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