四川省资阳市安岳中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省资阳市安岳中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

满分：150分；考试时间：120分钟；出题人：覃永飞；审题人：陈兰
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A. 参加杭州亚运会的全体乒乓球选手B. 小于5的正整数
C. 2023年高考数学难题D. 所有无理数
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的意义，逐项判断即可.
【详解】对于A，参加杭州亚运会的全体乒乓球选手明确可知，可以构成集合；
对于B，小于5的正整数明确可知，可以构成集合；
对于C，2023年高考数学难题模棱两可，给定一个2023年高考数学题不能判断其是否是难题，不能构成集合；
对于D，无理数明确可知，可以构成集合.
故选：C
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得答案.
【详解】命题“”否定是“”.
故选：A.
3. 若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依次判断各选项中的函数是否满足定义域和值域要求即可.
【详解】对于A，函数在处有意义，不满足定义域为，A错误；
对于B，函数的定义域为，值域为，满足题意，B正确；
对于C，函数在处有意义，不满足定义域为，C错误；
对于D，函数在处有意义，不满足定义域为，D错误.
故选：B.
4. 对于任意实数 ，以下四个命题中的真命题是（ ）
A. 若，，则B. 若 ，，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】采用举反例的方法，可判断,利用不等式性质可判断D.
【详解】若，当,则,A错误；
若 ，，取，满足条件，但，B错误；
若，取 ，则，C错误；
若，则必有 ，故，则，D正确，
故选：D
5. 已知命题：为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题设为真命题，讨论、，结合一元二次不等式恒成立列不等式求参数范围.
【详解】由题设，为真命题，
当时，恒成立，满足；
当时，.
综上，
故选：D
6. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性、单调性分析运算即可得解.
【详解】解：∵奇函数在上为增函数，且，
∴在上增函数，，
则不等式等价为不等式，即.
∴当时，，由函数在上为增函数，得：；
当时，，由函数在上为增函数，得：；
∴不等式的解集为.
故选：B.
7. 已知是上的增函数，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据是R上的增函数，列出不等式组，解该不等式组即可得答案．
【详解】因为函数是上的增函数，
所以，解得，
所以实数的取值范围是，
故选：C.
8. 已知，若，则的最小值为（ ）
A 5B. 6C. 7D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】由乘“1”法将变形为，结合基本不等式即可求解.
【详解】由题意，且，
所以由基本不等式可得，
当且仅当即时，等号成立，
综上所述：的最小值为9.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 在下列函数中，最小值是2的函数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A、D：直接利用基本不等式进行计算即可；
对于B、C：利用基本不等式取等号的条件不满足可以判断；
【详解】对于A：因为，所以（当且仅当即时等号成立）.故A正确；
对于B：取等号的条件为，但是不能取得.故B错误；
对于C：，取等号的条件为，此时无解，所以选项C错误；
对于D：，（当且仅当即时等号成立）.故D正确；
故选：AD
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 不等式的解集是B. 若，则的最小值为3
C. 若，则的最小值为4D. “”是“”的必要不充分条件
【答案】CD
【解析】
【分析】A解分式不等式求解集判断；B、C利用基本不等式求目标式的最值，注意取值条件是否成立；D由充分、必要性定义判断即可.
【详解】A：，解集为，错；
B：，当且仅当时等号成立，
显然，等号不成立，故最小值不为3，错；
C：，当且仅当时等号成立，即最小值为4，对；
D：必有，但反之不一定成立，故“”是“”的必要不充分条件，对.
故选：CD
11. 对任意集合，记且，则称为集合的对称差，例如，若，，则，下列命题中为真命题的是（ ）
A. 若且，则
B. 若且，则
C. 存在，使得
D. 若且 ，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据对称差的定义及交、并、补运算，逐项判断即可．
【详解】对于A，因为，所以且，
即与是相同的，所以，故本选项符合题意；
对于B，因为，所以且，
所以AB，且B中的元素不能出现在中，因此，故本选项符合题意；
对于C，时，，，故本选项符合题意；
对于D，因为，所以且，所以BA，故本选项不符合题意．
故选：ABC．
12. 已知函数的定义域均为，且,，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（ ）
A. 为奇函数B.
C. ，D. 若的值域为，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】由得，与联立得，再结合的图象关于直线对称，可得的周期、奇偶性、对称中心，可依次验证各选项正误.
【详解】，，
，，
关于对称，，
，，，
，故C正确；
关于对称，，，为偶函数，
，，，，，为偶函数，故A错误；
，图象关于点中心对称，
存在一对最小值点与最大值点也关于对称 ，
，故D正确；
由得，又，所以，
由得，所以，故B正确；
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：对含有混合关系的抽象函数，要探求性质首先要消去一个函数只剩下另一下函数，消去其中一个函数的方法就是对进行合理的赋值，组成方程组消去一个函数，再考查剩余函数的性质. 对抽象函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性的综合应用，解决该问题应该注意的事项：
（1）赋值法使用，注意和题目条件作联系；
（2）转化过程要以相关定义为目的，不断转变.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 不等式的解集是__________________.
【答案】
【解析】
【分析】利用分式不等式的解法进行求解即可.
【详解】，
，解得，
不等式的解集为.
故答案为：.
14. 已知集合，集合，若，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意，若，则，求解即可
【详解】由题意，集合，集合
若
则，解得
故实数的取值范围为
故答案为：
15. 已知定义在R上的函数分别是奇函数和偶函数，且，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】由题可得，然后利用奇偶性的定义即求，，最后计算即可；
【详解】∵，
∴.
由是奇函数，是偶函数，可有，，
代入上式，，
则有，；
则.
故答案为：.
16. 已知函数是R上的奇函数，对任意，都有成立，当，且时，都有，有下列命题：
①； ②函数图象关于直线对称；
③函数在上有5个零点；④函数在上为减函数．
则以上结论正确的是___________．
【答案】①②
【解析】
【分析】由题意分析的对称性 、单调性、周期性，对结论逐一判断.
【详解】根据题意，函数是上的奇函数，则；
由得，即
所以是函数的一条对称轴；
又由为奇函数，则，
变形可得，则有，
故函数是周期为4的周期函数，
当，且时，都有，
则函数在区间上为增函数，又由是上的奇函数，
则在区间上单调递增；
据此分析选项：
对于①，，则，
，故①正确；
对于②，是函数的一条对称轴，且函数是周期为4的周期函数，则是函数的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线是函数图象的一条对称轴，故②正确；
对于③，函数在上有7个零点：分别为，，，0，2，4，6，故③错误；
对于④，在区间上为增函数且其周期为4，函数在上为增函数，故④错误；
故答案为：①②．
四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 若集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简集合AB，再利用并集的运算求解；
（2）根据，由求解.
【小问1详解】
解：，
或，
，
即的取值范围是.
【小问2详解】
，
，
即取值范围是.
18. 已知二次函数图象的对称轴为直线，且.
（1）求的解析式；
（2）求在上的值域.
【答案】18. ；
19. .
【解析】
【分析】（1）设且，结合已知，应用待定系数法求解析式；
（2）由在上递减，在上递增，结合二次函数的对称性即可确定上的值域.
【小问1详解】
由题设，令且，
则，故.
【小问2详解】
由在上递减，在上递增，结合二次函数对称性，
在上，最小值，且，
所以在上的值域为.
19. 解关于的不等式：．
（1）若，解上述关于的不等式；
（2）若，解上述关于的不等式．
【答案】（1）
（2）答案见详解
【解析】
【分析】（1）将代入不等式，然后求解即可；
（2）把化简得，，然后分四种情形：①，②，③，④，最后逐个进行讨论并求解即可．
【小问1详解】
由，则，
所以，解得，或，
故不等式的解为
【小问2详解】
把化简得，，
①当时，，不等式的解为；
②当，即，即时，不等式的解为；
③当，即，即或，
当时，不等式的解为，
当时，不等式的解为，
④当，即时，，解得，
综上所述，当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为．
20. 已知函数
（1）若关于的不等式的解集为，求和的值；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由一元二次不等式的解集，根据对应方程根与系数关系求参数；
（2）问题化为时恒成立，利用基本不等式求右侧最小值，即可得参数范围.
【小问1详解】
由题意，的解集为，
所以是的两根，
由根与系数的关系知且，
所以；
【小问2详解】
由题意，对任意的恒成立，
当时，问题等价于恒成立，即
由，则，
当且仅当，即时取等号，故，
综上，的取值范围为.
21. 函数的定义域为，且对一切，都有，当时，总有.
（1）求的值；
（2）判断单调性并证明；
（3）若，解不等式.
【答案】（1）（2）是上的增函数，证明见解析（3）
【解析】
【分析】(1)令代入即可.
(2)证明单调性的一般思路是取,且再计算,故考虑取
,代入,再利用当时,总有即可算得的正负,即可证明单调性.
(3)利用将3写成的形式,再利用前两问的结论进行不等式的求解即可.
【详解】(1)令,得,∴.
(2)是上的增函数,证明：任取,且,则,∴,∴,
即,
∴是上的增函数.
(3)由及,可得,结合（2）知不等式等价于,可得,解得.所以原不等式的解集为.
【点睛】(1)单调性的证明方法：设定义域内的两个自变量,再计算，若，则为增函数；若，则为减函数．计算化简到最后需要判断每项的正负，从而判断的正负．
(2)利用单调性与奇偶性解决抽象函数不等式的问题,注意化简成的形式,
若在区间上是增函数,则,并注意定义域.
若在区间上是减函数,则,并注意定义域.
22. 根据市场调查知，某数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元．若该公司一年内共生产该款运动手环x万只并能全部销售完，平均每万只的销售收入为万元，且当该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元．
（1）求出k的值，并写出年利润（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
【答案】（1），
（2）当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．
【解析】
【分析】（1）根据利润的定义，结合所给函数的含义即可求解，
（2）利用二次函数的性质求解最值，以及基本不等式求解最值，即可比较大小求解.
【小问1详解】
由题意可得，
当时，，
所以，解得．
所以
【小问2详解】
当时，，其图象开口向下，对称轴为，
所以当时，取得最大值750万元；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，此时取得最大值850万元，
因为，
所以当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．