江西省宜春市宜丰县宜丰中学2024届高三上学期12月月考数学试题（原卷及解析版）

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1. 已知，则（ ）
A B. C. D.
2. 已知向量，且夹角的余弦值为，则（ ）
A. 0B. C. 0或D.
3. 若，则
A. B. C. D.
4. 数列满足，，则数列的前80项和为（ ）
A. 1640B. 1680C. 2100D. 2120
5. 正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，过点作曲线的切线，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，可作两条切线，则b的值为
B. 当，时，可作两条切线
C. 当，时，有且仅有一条切线
D. 当时，可作三条切线，则
7. 在长方体中，、，、分别为棱、的中点，点在对角线上，且，过点、、作一个截面，该截面的形状为（ ）
A. 三角形
B. 四边形
C. 五边形
D. 六边形
8. 已知函数，，，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（20分）
9. 在中，下列命题中正确的有（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若则
10. 已知正三棱柱的各棱长都为1，为的中点，则（ ）
A. 直线与直线异面直线
B. 平面
C. 二面角的正弦值为
D. 若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
11. 设定义在上的函数的导函数为，若与均为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A. 的图象关于对称B. 2为的一个周期
C. 的图象关于对称D. 为偶函数
12. 已知椭圆： 的左右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（ ）
A. 离心率的取值范围为
B. 当时，的最大值为
C. 存在点，使得
D. 的最小值为1
三、填空题（20分）
13. 在的展开式中的系数为___________.
14. 3个大人和2个小孩乘船游玩，现有船3只，1号船最多装3人，2号船最多装2人，3号船最多装1人，可从中任选2只或3只船乘坐，但一只船上不能只有小孩，则有______种不同的分乘方法.
15. 设若方程有四个不相等实根，且，则的取值范围为___________.
16. 已知点F是椭圆的右焦点，点到椭圆上的动点Q的距离的最大值不超过，当椭圆的离心率取到最大值时，则的最大值等于__________．
四、解答题（70分）
17 已知平面四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，BC=3.
（1）若AB=6，AD=3，CD=4，求BD；
（2）若∠ABC=120°，△ABC的面积为，求四边形ABCD周长的最大值.
18. 为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有和两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道类试题得10分；每答对1道类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学类试题中有7道题能答对，而他答对各道类试题的概率均为．
（1）若该同学只抽取3道类试题作答，设表示该同学答这3道试题的总得分，求的分布和期望；
（2）若该同学在类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．
19. 已知单调递减的正项数列，时满足． 为前n项和．
（1）求的通项公式；
（2）证明：.
20. 已知三棱柱，，，为线段上的点，且满足．

（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）设平面平面，已知二面角的正弦值为，求的值．
21 已知函数.
（1）当时，，求的最大值；
（2）设，证明：.
22. 已知双曲线经过点，且离心率为2.
（1）求的方程；
（2）过点作轴的垂线，交直线于点，交轴于点.设点为双曲线上的两个动点，直线的斜率分别为，若，求.