天津市南开区田家炳中学2023-2024学年九年级上册第二次月考数学试题（含解析）

这是一份天津市南开区田家炳中学2023-2024学年九年级上册第二次月考数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了方程的两个根为等内容，欢迎下载使用。
1．下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列生活中的事件，属于不可能事件的是（ ）
A．班里的两名同学，他们的生日是同一天B．打开电视，正在播新闻
C．买一张电影票，座位号是偶数号D．明天太阳从西方升起
3．方程的两个根为（ ）
A．B．
C．D．
4．抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点情况是（ ）
A．有两个交点B．只有一个交点
C．没有交点D．无法判断
5．半径等于的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）
A．B．C．8D．
6．如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（ ）．
A．60°B．50°C．40°D．20°
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为3，∠A=45°，则的长是（ ）
A．B．C．D．
8．若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
9．正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A，C两点，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D（如图），则四边形ABCD的面积为（ ）
A．1B．2C．4D．8
10．如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是（ ）

A．B．C．D．
11．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15cm，则线段GH的长为（ ）

A．cmB．5cmC．3cmD．10cm
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣ ，结合图象分析下列结论：
①abc＞0；
②3a+c＞0；
③当x＜0时，y随x的增大而增大；
④＜0；
⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2．
其中正确的结论有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
二．填空题（共6小题）
13．在平面直角坐标系中，把点 P（﹣3，2）绕原点 O 顺时针旋转 180°，所得到的对应点 P′的坐标为 ．
14．将二次函数化成的形式，结果为 ．
15．已知一个扇形的半径为，圆心角为，用该扇形围成圆锥侧面，则这个圆锥的侧面积为 ．
16．下列关于的函数中，随的增大而增大的有 ．（填序号）
①，②，③，④
17．如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（﹣1，2），将△AOB绕点A顺时针旋转90°，点O的对应点D恰好落在双曲线y＝上，则k的值为 ．

18．如图，等边三角形ABC的边长为4，的半径为，P为AB边上一动点，过点P作的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 ．
三．解答题（共7小题）
19．已知关于的一元二次方程（为常数）．
(1)求证：不论为何值时，方程总有两个不相等的实数根．
(2)设是方程的两个根，且，求的值．
20．在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球2个，篮球1个，若从中任意摸出一个球，摸到球是红球的概率为．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合（不考虑红、黄球顺序）的概率．
21．如图，是反比例函数的图象的一支，根据图象回答问题：
(1)常数的取值范围是 ；图象的另一支在第 象限；在每个象限内随的增大而 ；
(2)在该函数图象上取点和，如果，请将按从小到大的顺序排列，并用“”连接，其结果为 ；
(3)若点在反比例函数的图象上，求：的值以及反比例函数解析式．
22．已知内接于，为的直径，过点作的垂线，与相交于点，与过点的的切线相交于点.
(Ⅰ)如图①，若，求的大小；
(Ⅱ)如图②，若，，求的长.
23．如图，计划用总长为的篱笆（图中虚线部分）围成一个矩形鸡舍，其中一边是墙（可利用的墙的长度为），中间共留两个的小门，设篱笆长为．

(1)的长为 （m）（用含的代数式表示）；
(2)求矩形鸡舍面积的最大值及此时篱笆的长．
24．如图①，将一个正方形纸片和一个等腰直角三角形纸片放入平面直角坐标系中，点，点，，．如图②，将纸片绕点顺时针旋转，设旋转角为．

(1)当旋转角为30°时，求此时点E的坐标；
(2)当旋转角为时，连接，求的值．
(3)在旋转的过程中，当最大时，求此时的面积（直接写出结果即可）．
25．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知，P点为抛物线上一动点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值；
（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查中心对称图形及轴对称图形的识别，根据中心对称图形的定义：将图形沿一个点旋转与原图形重合的图形是中心对称图形，轴对称图形的定义：将图形沿一条直线折叠，两边重合的图形是轴对称图形，逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
A选项图形是中心对称图形但不是轴对称图形，不符合题意，
B选项图形是中心对称图形但不是轴对称图形，不符合题意，
C选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意，
D选项图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意，
故选：C．
2．D
【分析】根据随机事件和不可能事件的定义结合具体的情景逐项进行判断即可．
【详解】解：A、班里的两名同学，他们的生日是同一天是随机事件，故本选项不符合题意；
B、打开电视，正在播新闻是随机事件，故本选项不符合题意；
C、买一张电影票，座位号是偶数号是随机事件，故本选项不符合题意；
D、明天太阳从西方升起是不可能事件，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了随机事件和不可能事件，解决本题需要正确理解不可能事件和随机事件的概念．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．A
【分析】根据解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答.
【详解】解：，
，
或，
，
故选：A.
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握解一元二次方程-因式分解法是解题的关键.
4．A
【分析】根据题目中的函数解析式，可以求得该抛物线与x轴的交点坐标，从而可以解答本题．
【详解】∵y＝x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），
∴当y＝0时，x＝2或x＝3，
即抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点坐标为（2，0），（3，0），
故抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴有两个交点，
故选A．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解答此题要明白函数y＝x2﹣5x+6与x轴的交点的坐标为y=0时方程x2﹣5x+6＝0的两个根．
5．D
【分析】根据题意作出图形，根据勾股定理求得，根据垂径定理即可求解．
【详解】解：如图，，则，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．
6．B
【分析】根据题意连接AD，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的的大小.
【详解】解：连接，
∵为的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握．
7．B
【详解】解：连接BO，CO，如图所示：
因为⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为3，∠A=45°，
所以可得圆心角∠BOC=90°，
所以的长==，
故选B．
8．D
【分析】先求出二次函数的开口方向，对称轴，再根据二次函数的增减性解答．
【详解】解：∵二次函数中，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
9．B
【分析】由正比例函数解析式与反比例函数解析式组成的方程组可得到A点和C点的坐标，然后根据题意即可求解．
【详解】解：解方程组 得
即：正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于两点的坐标分别为A（1，1）C（﹣1，﹣1）
所以D点的坐标为（﹣1，0），B点的坐标为（1，0）
因为，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D
所以，△ABD与△BCD均是直角三角形
则：S四边形ABCD＝BD•AD+BD•CD＝×2×1+×2×1＝2，
即：四边形ABCD的面积是2．
【点睛】此题主要考查函数解析式与方程之间的关系，正确理解他们的关系是解题关键．
10．C
【分析】根据旋转的性质知，则，，再根据进行计算即可得到答案．
【详解】解：在中，，
，
，
根据旋转的性质知，则，，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质以及扇形的面积计算公式是解题的关键．
11．B
【分析】根据正六边形的性质和等腰三角形的性质以及解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴AG＝BG，BH＝CH，
∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，
∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，
连接OA，OB角AC于N，
则OB⊥AC，∠AOB＝60°，
∵OA＝15cm，
∴AN＝OA＝（cm），
∴AC＝2AN＝15（cm），
∴GH＝AC＝5（cm），
故选：B．

【点睛】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握正六边形的性质是解题关键．
12．B
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时相应a、b、c之间的关系，进行综合判断即可．
【详解】解：由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣可得，
9a﹣3b+c＝0，﹣＝﹣，即a＝b，与x轴的另一个交点为（2，0），4a+2b+c＝0，
抛物线开口向下，a＜0，b＜0，
抛物线与y轴交于正半轴，因此c＞0，
所以，abc＞0，因此①正确；
由9a﹣3b+c＝0，而a＝b，
所以6a+c＝0，又a＜0，
因此3a+c＞0，所以②正确；
抛物线的对称轴为x＝﹣，a＜0，因此当x＜﹣时，y随x的增大而增大，
所以③不正确；
由于抛物线的顶点在第二象限，所以＞0，因此＜0，故④正确；
抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）（2，0），
因此当y＝﹣3时，相应的x的值应在（﹣3，0）的左侧和（2，0）的右侧，
因此m＜﹣3，n＞2，所以⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①②④⑤，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系，从图象中获取有效信息是解答的关键．
13．（3，﹣2）
【分析】将点P绕原点O顺时针旋转180°，实际上是求点P关于原点的对称点的坐标．
【详解】根据题意得：点P关于原点的对称点是点P′．
∵P点坐标为（﹣3，2），∴点P′的坐标（3，﹣2）．
故答案为（3，﹣2）．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变换﹣旋转，熟练掌握关于原点的对称点的坐标特征是解决问题的关键．
14．
【分析】本题考查了二次函数的解析式之一般式化为顶点式，利用配方法整理求解即可．解题的关键在于利用配方法先提出二次项的系数，凑成完全平方式．
【详解】，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查的是圆锥的计算，根据扇形面积公式求出扇形面积，根据圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系解答．正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
【详解】解：扇形面积，
则这个圆锥的侧面积为，
故答案为：．
16．③
【分析】本题主要考查一次函数、二次函数、反比例函数的性质，解决本题的关键是熟练掌握一次函数，二次函数，反比例函数图像性质．根据一次函数、二次函数、反比例函数的性质即可一一判断．
【详解】解：①中，，所以随的增大而减小，故该项错误；
②中，在每个象限内，随的增大而减小，故该项错误；
③，随的增大而增大，故该项正确；
④随的增大而减小，故该项错误；
随的增大而增大的有：③，
故答案为：③．
17．-3．
【分析】因为点D在双曲线y=上，求出点D的坐标即可，根据A（-1，2）和旋转，可以求出相应线段的长，根据相应线段的长转化为点的坐标，代入反比例函数的关系式即可．
【详解】解：过点D作DE⊥x轴，DF⊥AB，垂足为E、F，A（﹣1，2）
∵△AOB绕点A顺时针旋转90°
∴△AOB≌△ADC，∠BAC＝90°
又∵∠C＝∠ABO＝90°，
∴四边形ACEB是矩形，
∴AC＝DF＝EB＝AB＝2，CD＝BC＝AF＝1，
∴DE＝BF＝AB﹣AF＝2﹣1＝1，OE＝OB+BE＝2+1＝3，
∴D（﹣3，1）
∵点D恰好落在双曲线y＝上，
∴k＝（﹣3）×1＝﹣3．
故答案为：﹣3．

【点睛】本题考查了旋转的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征以及矩形的性质，合理地转化，将线段的长转化为点的坐标是关键所在．
18．3
【分析】连接OC和PC，利用切线的性质得到CQ⊥PQ，可得当CP最小时，PQ最小，此时CP⊥AB，再求出CP，利用勾股定理求出PQ即可．
【详解】解：连接QC和PC，
∵PQ和圆C相切，
∴CQ⊥PQ，即△CPQ始终为直角三角形，CQ为定值，
∴当CP最小时，PQ最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴当CP⊥AB时，CP最小，此时CP⊥AB，
∵AB=BC=AC=4，
∴AP=BP=2，
∴CP==，
∵圆C的半径CQ=，
∴PQ==3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PC⊥AB时，线段PQ最短是关键．
19．(1)详细见解析．
(2)．
【分析】求出判别式的符号，进行判断即可．
利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系求解．
【详解】（1）
方程总有两个不相等的实数根．
（2）是方程的两个根
在中，
即：
解得：或
【点睛】本题考查根的判别式、根与系数的关系以及因式分解等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
20．（1）袋中黄球的个数1个；
（2）两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的概率为.
【分析】（1）首先设袋中的黄球个数为x个，然后根据古典概率的知识列方程，求解即可求得答案；
（2）首先画树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，求其二者的比值即可．
【详解】（1）设袋中的黄球个数为x个，
∴，
解得：x=1，
经检验，x=1是原方程的解，
∴袋中黄球的个数1个；
（2）画树状图得：
，
∴一共有12种情况，两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的有4种，
∴两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的概率为：=
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意方程思想的应用．
21．(1)，三，减小
(2)
(3)，
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质．
（1）根据图象在第一象限，得到，求出的取值范围即可，根据反比例函数的图象和性质，得到另一支在第三象限，以及增减性即可；
（2）根据反比例函数的增减性，以及点所在的象限，进行判断即可；
（3）待定系数法进行求解即可．
本题属于基础题型，熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键．
【详解】（1）解： 由题意，得：，解得：，
∴反比例函数的图象另一支在第三象限，在每个象限内随的增大而减小；
故答案为：，三，减小；
（2）∵反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内随的增大而减小；
又，
∴；
即：；
（3）∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴．
22．(Ⅰ)∠D=46°；(Ⅱ)CD=.
【分析】(Ⅰ)如图①，连接OC，根据等腰三角形的性质可求出∠BOC的度数，根据切线的性质及直角三角形两锐角互余的关系可得∠D=∠BOC，即可得答案；(Ⅱ)如图②，连接OC，由等腰三角形的性质可得∠OAC=∠OCA，∠EOC=∠OCE，由三角形外角性质可得∠BOC=∠OAC+∠OCA，即可得出∠DOB=3∠DOC=90°，可得∠DOC=30°，利用∠DOC的正切函数求出CD的长即可.
【详解】(Ⅰ)如图①，连接OC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=67°，
∴∠BOC=46°，
∵C为切点，OC为半径，
∴OC⊥CD，
∴∠DOC+∠D=90°，
∵DO⊥AB，
∴∠DOC+∠BOC=90°，
∴∠D=∠BOC=46°，
(Ⅱ)如图②，连接OC，
∵C为切点，OC为半径，
∴OC⊥CD，
∵OA=OC，OE=EC，
∴∠OAC=∠OCA，∠EOC=∠OCE，
∴∠OAC=∠OCA=∠OCE=∠EOC，
∵∠BOC=∠OAC+∠OCE，
∴∠BOD=∠BOC+∠DOC=3∠DOC=90°，
∴∠DOC=30°，
∵AB=2，
∴OC=OA=OB=1
∴CD=OCtan30°=.
【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质及锐角三角函数的定义，圆的切线垂直于过切点的半径；在直角三角形中，正弦是角的对边与斜边的比值，余弦是角的邻边与斜边的比值，正切是角的对边与邻边的比值；熟练掌握性质及定义是解题关键.
23．(1)
(2)矩形鸡舍面积的最大值为，此时篱笆的长为
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，列代数式，正确列出代数式和函数关系式是解题的关键．
(1)根据题意列出对应的代数式即可；
(2)根据矩形面积公式建立矩形面积与之间的二次函数关系，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
，
故答案为：；
（2）根据题意得：，，
解得：，
，
对称轴为直线，当时，随的增大而减小．
当时，S取得最大值．
矩形鸡舍面积的最大值为，此时篱笆的长为．
24．(1)
(2)
(3)的面积为6
【分析】（1）过点作于，解直角三角形求出，，可得结论．
（2）过点作于，由勾股定理可求出答案；
（3）当时，的值最大，由勾股定理求出，再证明，得出，可得结论．
【详解】（1）过点作于，

由题意，
，
，
；
（2）过点作于，如图②，
由题意得，
，
，
，
，
，
，
；
（3）由题意知点在以为圆，为半径的圆上运动，当时，的值最大，此时，．

过点作轴于，过点作于．
，
，
，，
∴，
，
，，，
．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
25．（1），直线l的表达式为：；（2）最大值：18；（3）存在，M的坐标为：或或或．
【分析】（1）将点A、D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解；
（2），即可求解；
（3）分NC是平行四边形的一条边、NC是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可．
【详解】解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：，
故直线l的表达式为：，
将点A、D的坐标代入抛物线表达式，
同理可得抛物线的表达式为：；
（2）直线l的表达式为：，则直线l与x轴的夹角为，
即：则，
设点P坐标为、则点，
，故有最大值，
当时，其最大值为18；
（3）由题意得，，
①当NC是平行四边形的一条边时，
设点P坐标为、则点，
由题意得：，即：，
解得或0或4（舍去0，此时M和C重合），
则点M坐标为或或；
②当NC是平行四边形的对角线时，
则NC的中点坐标为，
设点P坐标为、则点，
N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，
即：，
解得：或（舍去0，此时M和C重合），
故点；
故点M的坐标为：或或或．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．