2024届上海市宝山区高三一模数学试卷及答案

这是一份2024届上海市宝山区高三一模数学试卷及答案，共9页。试卷主要包含了可使用符合规定的计算器答题等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；
2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；
3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；
4．可使用符合规定的计算器答题．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．
1. 函数的定义域是
2. 已知向量，，若，则实数
3. 已知等差数列的前项和为，若则
4. 设,则方程的解集为
5. 在一次为期天的博览会上，主办方统计了每天的参观人数（单位：千人），得到样本的茎叶图（如右图），则该样本的第百分位数是
6. 设为常数，若，则函数的图像必定不经过第 象限
设函数，若，则实数的值为
若对于任意实数，都有，则的值为
如图，在圆锥中，为底面圆的直径， ,点在底面圆周上，且.
若为线段上的动点，则的周长最小值为
随着我国国民教育水平的提高，越来越多的有志青年报考研究生.现阶段，我国研究生入学考试科目为思政、外语和专业课三门，录取工作将这样进行：在每门课均及格（分）的考生中，按总分进行排序，择优录取.振华同学刚刚完成报考，尚有11周复习时间，下表是他每门课的复习时间和预计得分.设思政、外语和专业课分配到的周数分别为，则自然数数组 时，振华被录取的可能性最大.
已知函数，正项等比数列满足，则
设点在直线上，点在曲线上，线段的中点为，为坐标原点，则的最小值为 .
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分），每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分.
13．“”是“”的 （ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
14．下列说法中错误的是 （ ）
A.一组数据的平均数、中位数可能相同
B.一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多
C.平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量
D.极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量
已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （ ）
A． B．若，则的最大值为
C．若，则复平面内对应的点位于第一象限
D．若是关于的方程的一个根，则
已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当
，或.
现有如下两个命题: = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②集合.
则下列选项中正确的是 （ ）
A． = 1 \* GB3 ①是真命题， = 2 \* GB3 ②是真命题； B． = 1 \* GB3 ①是真命题， = 2 \* GB3 ②是假命题；
C． = 1 \* GB3 ①是假命题， = 2 \* GB3 ②是真命题； D． = 1 \* GB3 ①是假命题， = 2 \* GB3 ②是假命题.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）
一个盒子中装有张卡片，卡片上分别写有数字、、、．现从盒子中随机抽取卡片．
（1）若一次抽取张卡片，事件表示“张卡片上数字之和大于”，求；
（2）若第一次抽取张卡片，放回后再抽取张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求；
（3）若一次抽取张卡片，事件表示“张卡片上数字之和是的倍数”，事件表示“张卡片上数字之积是的倍数”.验证、是独立的．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在中，角 的对边分别为.
(1) 若求角的大小；
(2) 若边上的高等于，求的最大值.
19．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
如图，在直三棱柱中，，，且分别是的中点.
（1）证明：；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求直线与平面所成角的大小.
（结果用反三角函数值表示）
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）
以坐标原点为对称中心，焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点，动点满足，求动点的轨迹所围成的图形的面积；
（3）过圆上一点（不在坐标轴上）作椭圆的两条切线.记的斜率分别为,求证：.
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题 = 1 \* GB3 ①满分6分，第2小题 = 2 \* GB3 ②满分8分）.
已知函数，，其中为自然对数的底数.
（1）求函数的图像在点处的切线方程；
（2）设函数，
= 1 \* GB3 ①若，求函数的单调区间，并写出函数有三个零点时实数的取值范围；
= 2 \* GB3 ②当时，分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
2023学年第一学期期末
高三年级数学学科教学质量监测试卷
参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6.二
7. 8. 9. 10. 11. 12.
14. 15. 16.
17.解：（1）若一次抽取张卡片，共包含、、、共个基本事件.其中事件包含个基本事件 分
所以 分
若第一次抽取张卡片，放回后再抽取张卡片，共包含个基本事件，
其中事件包含3个基本事件 分
所以 分
一次抽取张卡片,共包含个基本事件，
事件，所以 分
事件，所以 分
当同时发生，即张卡片上数字之和是的倍数同时积是的倍数，只有一种取法，所以 分
因为，
所以事件与事件是独立的． 分
18.解：(1)根据正弦定理得 分
所以 分
所以 分
（2）由三角形面积公式得，即 分
又由余弦定理
得 分
解得
从而. 分
当即时有最大值
即的最大值为. 分
19.解：（1）证明：易知
由易知直三棱柱知
所以
从而是在内的投影
中，，为中点，则
由三垂线定理知. 分
等腰中，，从而
所以 分
由，且
所以 分
又因为
所以三棱锥的体积为. 分
(3)由（2）
令点到面的距离为，
则有
中，，,从而. 分
所以 分
设直线与平面所成角为，则
所以直线与平面所成角的大小为. 分
另解（空间向量）相应给分
以为坐标原点，射线分别为轴建立空间直角坐标系.
则
（1） 分
因为
所以. 分
（2）设平面的一个法向量
则有 令，则 分
又
所以点到面的距离 分
中，，,从而
所以
即三棱锥的体积为. 分
直线与平面所成角为，
由（2）知平面的一个法向量，且
则 分
所以直线与平面所成角的大小为. 分
解：（1）由题设知椭圆中，得
由得 分
所以椭圆的方程为 分
设， 由得
化简得. 分
表示的是以为圆心，为半径的圆，其面积为. 分
（3）设，且
设过点的直线与椭圆相切，联立
化简得 分
由得 分
点在直线上，得代入上式
化简得
因为是椭圆的两条切线，所以是上面方程的两根
由韦达定理得. 分
由得
所以 分
又
所以. 分
解：（1）由导函数，得， 分
故切线方程为，即. 分
（2），导函数，
= 1 \* GB3 ①当时，，
令，得或， 分
所以的单调增区间为和，单调减区间为；分
极大值，极小值，
又，，结合单调性
故函数有三个零点时的取值范围为即；
分
= 2 \* GB3 ②令得或，或，
所以， 分
故，
，
所以， 分
设，
可知， 分
，
令，其导函数为，
可得，所以严格减，且，
分
，所以上严格减，
，符合题意；
存在，使得，
所以上严格增，且，不符合题意；
综上所述，实数的取值范围为 分
另解：相应给分
分离参数得
令
由计算器得
所以.
科目
周数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
思政
20
40
55
65
72
78
80
82
83
84
85
外语
30
45
53
58
62
65
68
70
72
74
75
专业课
50
70
85
90
93
95
96
96
96
96
96
+
—
+
极大值
极小值
+
—
+
极大值
极小值
—
+
极小值