上海市杨浦区2023-2024学年高三一模数学试题含答案解析

这是一份上海市杨浦区2023-2024学年高三一模数学试题含答案解析，共14页。试卷主要包含了12等内容，欢迎下载使用。
考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.
本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.
1．已知全集为,集合，则的补集可用区间表示为__________．
2．若复数满足（其中为虚数单位），则__________．
3．若，则_________．
4. 函数的最小值为_________．
5. 等差数列中，若，，则的前10项和为__________．
6. 若椭圆长轴长为4，则其离心率为__________．
7．已知向量，，则在方向上的投影为__________．
8. 甲和乙两射手射击同一目标，命中的概率分别为和，两人各射击一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中目标的概率为__________．
9. 已知（、为正整数）对任意实数都成立，若，则的最小值为__________．
10. 函数 在上是单调增函数，且图像关于原点对称，则满足条件的数对__________．
11. 已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，．若线段中点的纵坐标为，则抛物线的方程为__________．
12.我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑（nà）”的几何体，它指的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四面体中“鳖臑”的个数是__________．
二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13.已知实数满足，则下列不等式恒成立的是 （ ）
A．； B． ； C．； D．.
14．在一次男子10米气手枪射击比赛中，甲运动员的成绩（单位：环）为、、…、；乙运动员的成绩为、、…、，如下茎叶图所示．从这组数据来看，下列说法正确的是 （ ）
A．甲的平均成绩和乙一样，且甲更稳定；
B．甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定；
C．甲的平均成绩高于乙，且甲更稳定；
D．乙的平均成绩高于甲，且乙更稳定.
15．等比数列的首项，公比为，数列满足（是正整数），若当且仅当时，的前项和取得最大值，则取值范围是 （ ）
A．； B．； C．； D．.
16．函数满足：对于任意都有，（常数，）．给出以下两个命题：① 无论取何值，函数不是上的严格增函数；②
当时，存在无穷多个开区间，使得，且集合对任意正整数都成立，则（ ）
A．①②都正确； B．①正确②不正确； C．①不正确②正确； D．①②都不正确.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）设，若四棱锥的体积为，求点到平面的距离．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
设函数．
（1）求方程的实数解；
（2）若不等式对于一切都成立，求实数的取值范围．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面与全等
且所在平面平行，与各边表示挡雨棚支架，支架、、垂直于平面．雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（、分别在、延长线上）．
（1） 挡雨板（曲面）的面积可以视为曲线段与线段长的乘积．已知 米，米，米，小组成员对曲线段有两种假设，分别为：①其为直线段且；②其为以为圆心的圆弧. 请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）；
（2）小组拟自制部分的支架用于测试（图3），其中米，，，其中，求有效遮挡区域高的最大值．
图1
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知双曲线，是双曲线上一点．
（1）若椭圆以双曲线的顶点为焦点，长轴长为，求椭圆的标准方程；
（2）设是第一象限中双曲线渐近线上一点，是双曲线上一点，且，求的面积（为坐标原点）；
（3）当直线（常数）与双曲线的左支交于、两点时，分别记直线、的斜率为、，求证：为定值．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
设函数（其中常数，），无穷数列满足：
首项，．
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若数列是严格增数列，求证：当时，数列不是等差数列；
（3）当时，数列是否可能为公比小于0的等比数列？若可能，求出所有公比的值；若不可能，请说明理由．
参考答案
一、填空题（本大题共12题，满分54分）第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1． 2． 3． 4. 2
5. 6. 7． （r） 8.
9. 30 10. 或 11. 12. 24
二、选择题（大题共4题，满分18分）第13、14题每题4分，第15、16题每题5分
13. B 14. B 15. C 16． A
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1）∵平面，是平面上的直线，∴， 2分
∵是正方形，∴对角线．
∵、是平面上的两条相交直线 ∴⊥平面 2分
∵平面经过直线，∴平面⊥平面． 2分
（2）∵ ∴．
设点到平面的距离为，
在三棱锥中，． 2分
由是正方形可知，；
由勾股定理有；从而是正三角形，
∴． 2分
∵， 2分
∴， 即． 2分
综上所述，点到平面的距离为．
18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1），代入得
，即， 2分
解得或（舍去）， 2分
由解得． 2分
（2）对一切都成立，
即对一切都成立． 2分
设， 2分
当且仅当．
当时，，函数在上是严格减函数；
当时，，函数在上是严格增函数． 2分
因此函数的最小值为，从而不等式恒成立时，
实数的取值范围是． 2分
19. （本题满分16分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1）若选择①，结合，得是直角三角形，
米，挡雨板材料的面积为平方米． 2分
若选择②，则是一个圆心角为的扇形，
弧长为， 2分
挡雨板材料的面积为平方米，约为平方米． 2分
（2）在直角中，由；
在中，由正弦定理，， 2分
即 2分
，其中． 2分
当，即时，取得最大值． 2分
综上所述，有效遮挡区域高的最大值为米．
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
（1）设椭圆的标准方程为，
由题意焦点为，即；
长轴长为，即，，
从而． 2分
因此，所求椭圆的标准方程为． 2分
（2）由双曲线经过第一象限的渐近线为，设；
设，由可知，
解得 即．
再由点在双曲线上，得 ，
解得，从而点，，， 2分
直线的方程为，原点到直线的距离为， 2分
因此的面积． 2分
（3）设、，
联立直线与双曲线的方程，消去得， 2分
由韦达定理得，． 2分
2分
．
综上所述，，从而是定值． 2分
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
解 （1）任取，
都有， 2分
因此函数是奇函数． 2分
（2）反证法：假设数列是等差数列，公差为， 2分
由数列是严格增数列可知．
因为，所以，即非零常数
因为，
所以（其中是正整数）． 2分
因为，，所以．方程无解，矛盾．
假设不成立，即当时，数列不是等差数列． 2分
（3）若数列是等比数列，则其各项均非零，设其公比为
由 得 ，即．
考虑方程，均为该方程（记为①）的解． 2分
由函数的值域为可知，即，
所以．若，则当充分大时（时），
，这与矛盾，从而不合题意． 2分
若，函数在是严格增函数
由时，可知函数当时，均有，
因此函数的零点（即方程①的解）的绝对值均大于1，即．
但若，由，则当充分大时（时），
将有，这与矛盾，从而不合题意． 2分
综上，只能有．此时方程①为，
记．因为，
所以存在，使是方程①的解．
进而由函数是奇函数，也是方程①的解．因此只需取
其中是正整数即可.
综合上述，存在公比为负数的无穷等比数列，其公比只能是． 2分