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黑龙江省哈尔滨市道外区2022-2023学年七年级上学期期末数学试卷（五四学制）
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这是一份黑龙江省哈尔滨市道外区2022-2023学年七年级上学期期末数学试卷（五四学制），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列所给的方程是一元一次方程的是（ ）
A．x+2＝0B．x+2y＝3C．2x2﹣x＝1D．
2．（3分）下列所给的∠1和∠2中，是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，3）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（3分）下列所给的数中，是无理数的是（ ）
A．2B．C．D．
5．（3分）平面直角坐标系中，点A在第四象限，点A到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点A的坐标为（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣3，2）C．（3，﹣2）D．（﹣2，3）
6．（3分）方程的解为（ ）
A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝2D．x＝3
7．（3分）如图所示，下面所给的角的关系中，能够判定AD∥BC的是（ ）
A．∠ABC+∠BCD＝180°B．∠ABC+∠BAD＝180°
C．∠ABD＝∠BDCD．∠ABC＝∠ADC
8．（3分）三个连续自然数的和为12，则这三个连续自然数的积为（ ）
A．12B．24C．48D．60
9．（3分）下列所给的命题中，不正确的是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．对顶角相等
C．两条直线被第三条直线所截，则同位角相等
D．过已知直线外一点的所有直线中，只有一条直线与已知直线平行
10．（3分）平面直角坐标系中，把点P（﹣2，3）向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度得到点Q，则点Q的坐标为（ ）
A．（﹣6，6）B．（2，﹣6）C．（1，1）D．（1，﹣1）
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）正数9的平方根是 ．
12．（3分）计算：＝ ．
13．（3分）平面直角坐标系中，已知A（2，﹣3），过点A向x轴引垂线，垂足为B，则△AOB的面积为 ．
14．（3分）比较大小： 3．（选填“＞”、“＜”或“＝”）
15．（3分）若x＝﹣2是关于x的方程ax﹣9＝x的解，则a的值为 ．
16．（3分）服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这款服装每件的进价为 元．
17．（3分）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ．
18．（3分）若（a﹣1）2+|2ax+a+3|＝0，则x的值为 ．
19．（3分）在平面直角坐标系中，线段AB∥x轴，且AB＝5，若A（﹣1，3），则点B的横坐标为 ．
20．（3分）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠BEF＝50°，则∠MFD＝ ．
三、解答题：（每题10分，共60分）
21．（10分）计算：
（1）+4；
（2）．
22．（10分）解方程：
（1）3（x﹣2）﹣4＝5﹣2x；
（2）．
23．（10分）如图，在8×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上．
（1）把△ABC先向右移动5个单位长度，再向下移动3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1（其中点A的对应点为A1，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1）；
（2）连接AA1，BB1，判定AA1与BB1的位置关系，并写出△A1B1C1的面积．
24．（10分）推理填空：
如图，△ABC中，AD平分∠BAC，点E在AB边上，且∠BDE＝∠C，点F在AC边上，过点F作FG∥AD，FG交BC于点G．求证：∠BED＝2∠CFG．
证明：因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD＝ （角平分线定义）．
所以 ＝2∠CAD（等式性质）．
因为 （已知），
所以∠CAD＝∠CFG（ ）．
所以 ＝2∠CFG（等量代换）．
因为∠BDE＝ （已知），
所以 （同位角相等，两直线平行）．
所以∠BED＝∠BAC（ ）．
又因为 ＝2∠CFG（已证），
所以∠BED＝2∠CFG（ ）．
25．（10分）某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的额温枪，购买A种品牌的额温枪50个，B种品牌的额温枪25个，共花费4500元，已知购买一个B种品牌的额温枪比购买两个A种品牌的额温枪少花20元．
（1）如果购买一个A种品牌的额温枪a元，则购买一个B种品牌额温枪 元．（用含a的式子表示）
（2）求购买一个A种品牌的额温枪和一个B种品牌的额温枪各需多少元；
（3）由于疫情比预计的时间要长，学校决定第二次购买A、B两种品牌额温枪共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A种品牌额温枪售价比第一次购买时提高了8%，B种品牌额温枪按第一次购买时售价的九折出售．如果学校第二次购买A、B两种品牌额温枪的总费用是第一次购买额温枪总费用的70%，求学校第二次购买A种品牌的额温枪多少个．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m+1），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，且OB+AB＝13．
（1）求△AOB的面积；
（2）延长OA至点C，使AC＝OA，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，点P在CD上，连接BP交OC于点E，连接DE，若3S△BCE＝2S△ODE，求点E的横坐标．
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市道外区七年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题：（1～10题，每小题3分，共30分，每题只有一个答案）
1．（3分）下列所给的方程是一元一次方程的是（ ）
A．x+2＝0B．x+2y＝3C．2x2﹣x＝1D．
【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．方程x+2＝0是一元一次方程，故本选项符合题意；
B．方程x+2y＝3是二元一次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C．方程2x2﹣x＝1是一元二次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D．方程3﹣＝x是分式方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫一元一次方程）是解此题的关键．
2．（3分）下列所给的∠1和∠2中，是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据对顶角的定义，即可解答．
【解答】解：上列所给的∠1和∠2中，是对顶角的是
故选：C．
【点评】本题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键．
3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，3）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据第二象限内，点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得答案．
【解答】解：∵﹣1＜0，3＞0，
∴在平面直角坐标系中，点P（﹣1，3）所在的象限是第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
4．（3分）下列所给的数中，是无理数的是（ ）
A．2B．C．D．
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数判断即可．
【解答】解：A．2是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．是无理数，故本选项符合题意；
C．，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了无理数，掌握无理数的定义：无限不循环小数是解题的关键．
5．（3分）平面直角坐标系中，点A在第四象限，点A到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点A的坐标为（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣3，2）C．（3，﹣2）D．（﹣2，3）
【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【解答】解：∵点A在第四象限，点A到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，
∴点A的横坐标是3，
纵坐标是﹣2，
∴点A的坐标为（3，﹣2）．
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
6．（3分）方程的解为（ ）
A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝2D．x＝3
【分析】去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解答】解：，
去分母，得x+1＝2x﹣2，
移项，得x﹣2x＝﹣2﹣1，
合并同类项，得﹣x＝﹣3，
系数化成1，得x＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
7．（3分）如图所示，下面所给的角的关系中，能够判定AD∥BC的是（ ）
A．∠ABC+∠BCD＝180°B．∠ABC+∠BAD＝180°
C．∠ABD＝∠BDCD．∠ABC＝∠ADC
【分析】由平行线的判定，即可判断．
【解答】解：A、C中的条件只能判定AB∥CD，不能判定AD∥BC，故A、C不符合题意；
B、由同旁内角互补，两直线平行，判定AD∥BC，故B符合题意；
D、两角不是同位角，不是内错角，不能判定AD∥BC．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．
8．（3分）三个连续自然数的和为12，则这三个连续自然数的积为（ ）
A．12B．24C．48D．60
【分析】根据三个连续自然数的和为12，可以列出相应的方程，然后求解即可得到这三个自然数，然后求出这三个连续自然数的积即可．
【解答】解：设最小的自然数为x，
则x+（x+1）+（x+2）＝12，
解得x＝3，
∴这三个自然数为3，4，5，
∵3×4×5＝60，
∴这三个连续自然数的积为60，
故选：D．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，求出这三个自然数．
9．（3分）下列所给的命题中，不正确的是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．对顶角相等
C．两条直线被第三条直线所截，则同位角相等
D．过已知直线外一点的所有直线中，只有一条直线与已知直线平行
【分析】根据线段的性质、对顶角相等、平行线的性质、平行公理判断即可．
【解答】解：A、两点之间，线段最短，命题正确，不符合题意；
B、对顶角相等，命题正确，不符合题意；
C、两条平行线被第三条直线所截，则同位角相等，故本选项命题不正确，符合题意；
D、过已知直线外一点的所有直线中，只有一条直线与已知直线平行，命题正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．（3分）平面直角坐标系中，把点P（﹣2，3）向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度得到点Q，则点Q的坐标为（ ）
A．（﹣6，6）B．（2，﹣6）C．（1，1）D．（1，﹣1）
【分析】根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减列式计算即可得解．
【解答】解：将点P（﹣2，3）先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到点Q，
则点Q的坐标为（﹣2+3，3﹣4），即（1，﹣1）．
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）正数9的平方根是 ±3 ．
【分析】直接利用平方根的定义计算即可．
【解答】解：∵±3的平方是9，
∴9的平方根是±3．
故答案为：±3．
【点评】此题主要考查了平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．注意：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
12．（3分）计算：＝ ﹣1 ．
【分析】利用算术平方根及立方根的定义计算即可．
【解答】解：原式＝2﹣3＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
13．（3分）平面直角坐标系中，已知A（2，﹣3），过点A向x轴引垂线，垂足为B，则△AOB的面积为 3 ．
【分析】根据题意画出图形，利用三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：如图，
∵A（﹣2，3），
∴OB＝2，AB＝3，
∴S△AOB＝OB•AB＝×2×3＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是三角形的面积，坐标与图形性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解题的关键．
14．（3分）比较大小： ＜ 3．（选填“＞”、“＜”或“＝”）
【分析】利用平方法比较大小即可．
【解答】解：∵（）2＝7，32＝9，
7＜9，
∴＜3．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了实数大小比较，算术平方根，利用平方法比较大小是解题的关键．
15．（3分）若x＝﹣2是关于x的方程ax﹣9＝x的解，则a的值为 ﹣3.5 ．
【分析】把x＝﹣2代入关于x的方程ax﹣9＝x得关于a的一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：把x＝﹣2代入关于x的方程ax﹣9＝x得：
﹣2a﹣9＝﹣2，
﹣2a＝9﹣2
﹣2a＝7，
a＝﹣3.5，
故答案为：﹣3.5．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤．
16．（3分）服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这款服装每件的进价为 180 元．
【分析】设这款服装每件的进价为x元，根据利润＝售价﹣进价建立方程求出x的值就可以求出结论．
【解答】解：设这款服装每件的进价为x元，由题意，得
300×0.8﹣x＝60，
解得：x＝180．
故答案为：180．
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，销售问题的数量关系利润＝售价﹣进价的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．
17．（3分）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 ．
【分析】命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．
【解答】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【点评】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
18．（3分）若（a﹣1）2+|2ax+a+3|＝0，则x的值为 ﹣2 ．
【分析】根据偶次方，绝对值的非负性即可求出a的值，进而求出x的值．
【解答】解：∵（a﹣1）2+|2ax+a+3|＝0，而（a﹣1）2，≥0，|2ax+a+3|≥0，
∴a﹣1＝0，2ax+a+3＝0，
∴a＝1，x＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查偶次方、绝对值的非负性，掌握偶次方、绝对值的非负性是正确解答的前提．
19．（3分）在平面直角坐标系中，线段AB∥x轴，且AB＝5，若A（﹣1，3），则点B的横坐标为 ﹣6或4 ．
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等求出点B的纵坐标，再分点B在点A的左边与右边两种情况求出点B的横坐标，从而得解．
【解答】解：∵AB∥x轴，A点坐标为（﹣1，3），
∴点B的纵坐标为3，
当点B在点A的左边时，∵AB＝5，
∴点B的横坐标为﹣1﹣5＝﹣5，
此时点B（﹣6，3），
当点B在点A的右边时，∵AB＝5，
∴点B的横坐标为﹣1+5＝4，
此时点B（4，3），
综上所述，点B的坐标为（﹣6，3）或（4，3）．
故答案为：﹣6或4．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，难点在于要分情况讨论．
20．（3分）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠BEF＝50°，则∠MFD＝ 80° ．
【分析】由平行线的性质推出∠AFE+∠BEF＝180°，∠DFE＝∠BEF＝50°，得到∠AFE＝130°，由折叠的性质得：∠MFE＝∠AFE＝130°，即可求出∠MFD＝∠MFE﹣∠DFE＝80°．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFE+∠BEF＝180°，∠DFE＝∠BEF＝50°，
∴∠AFE＝130°，
由折叠的性质得：∠MFE＝∠AFE＝130°，
∴∠MFD＝∠MFE﹣∠DFE＝130°﹣50°＝80°．
故答案为：80°．
【点评】本题考查平行线的性质，折叠的性质，关键是由平行线的性质推出∠DFE＝50°∠AFE＝130°，由折叠的性质得到∠MFE＝∠AFE＝130°．
三、解答题：（每题10分，共60分）
21．（10分）计算：
（1）+4；
（2）．
【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义分别计算即可；
（2）先去括号，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）
＝
＝3﹣2+6
＝7；
（2）
＝
＝．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．
22．（10分）解方程：
（1）3（x﹣2）﹣4＝5﹣2x；
（2）．
【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项即可．
【解答】解：（1）3（x﹣2）﹣4＝5﹣2x，
去括号，得3x﹣6﹣4＝5﹣2x，
移项，得3x+2x＝5+4+6，
合并同类项，得5x＝15，
系数化成1，得x＝3；
（2），
去分母，得6+3（m﹣1）＝2（m+3），
去括号，得6+3m﹣3＝2m+6，
移项，得3m﹣2m＝6﹣6+3，
合并同类项，得m＝3．
【点评】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
23．（10分）如图，在8×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上．
（1）把△ABC先向右移动5个单位长度，再向下移动3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1（其中点A的对应点为A1，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1）；
（2）连接AA1，BB1，判定AA1与BB1的位置关系，并写出△A1B1C1的面积．
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据平移的性质可知AA1∥BB1；利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）由平移可知，AA1∥BB1．
△A1B1C1的面积为＝7．
【点评】本题考查作图﹣平移变换、三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
24．（10分）推理填空：
如图，△ABC中，AD平分∠BAC，点E在AB边上，且∠BDE＝∠C，点F在AC边上，过点F作FG∥AD，FG交BC于点G．求证：∠BED＝2∠CFG．
证明：因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD＝ ∠CAD （角平分线定义）．
所以 ∠BAC ＝2∠CAD（等式性质）．
因为 FG∥AD （已知），
所以∠CAD＝∠CFG（ 两直线平行，同位角相等 ）．
所以 ∠BAC ＝2∠CFG（等量代换）．
因为∠BDE＝ ∠C （已知），
所以 DE∥CA （同位角相等，两直线平行）．
所以∠BED＝∠BAC（ 两直线平行，同位角相等 ）．
又因为 ∠BAC ＝2∠CFG（已证），
所以∠BED＝2∠CFG（ 等量代换 ）．
【分析】先根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠CAD，从而可得∠BAC＝2∠CAD，再利用平行线的性质可得∠CAD＝∠CFG，从而可得∠BAC＝2∠CFG，然后利用同位角相等，两直线平行可得∠BED＝∠BAC，从而可得∠BED＝2∠CFG，即可解答．
【解答】解：因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD＝∠CAD（角平分线定义），
所以∠BAC＝2∠CAD（等式性质），
因为FG∥AD（已知），
所以∠CAD＝∠CFG（两直线平行，同位角相等），
所以∠BAC＝2∠CFG（等量代换），
因为∠BDE＝∠C（已知），
所以DE∥CA（同位角相等，两直线平行），
所以∠BED＝∠BAC（两直线平行，同位角相等），
又因为∠BAC＝2∠CFG（已证），
所以∠BED＝2∠CFG（等量代换），
故答案为：∠CAD；∠BAC；FG∥AD；两直线平行，同位角相等；∠BAC；∠C；DE∥CA；两直线平行，同位角相等；∠BAC；等量代换．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
25．（10分）某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的额温枪，购买A种品牌的额温枪50个，B种品牌的额温枪25个，共花费4500元，已知购买一个B种品牌的额温枪比购买两个A种品牌的额温枪少花20元．
（1）如果购买一个A种品牌的额温枪a元，则购买一个B种品牌额温枪 （2a﹣20） 元．（用含a的式子表示）
（2）求购买一个A种品牌的额温枪和一个B种品牌的额温枪各需多少元；
（3）由于疫情比预计的时间要长，学校决定第二次购买A、B两种品牌额温枪共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A种品牌额温枪售价比第一次购买时提高了8%，B种品牌额温枪按第一次购买时售价的九折出售．如果学校第二次购买A、B两种品牌额温枪的总费用是第一次购买额温枪总费用的70%，求学校第二次购买A种品牌的额温枪多少个．
【分析】（1）根据两种品牌额温枪单价之间的关系，即可用含a的代数式表示出购买一个B种品牌额温枪所需钱数；
（2）设购买一个A种品牌的额温枪需要x元，则购买一个B种品牌的额温枪需要（2x﹣20）元，根据“购买A种品牌的额温枪50个，B种品牌的额温枪25个，共花费4500元”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）设学校第二次购买A种品牌的额温枪y个，则购买B品牌的额温枪（50﹣y）个，根据总价＝单价×数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵购买一个A种品牌的额温枪a元，购买一个B种品牌的额温枪比购买两个A种品牌的额温枪少花20元，
∴购买一个B种品牌额温枪（2a﹣20）元．
故答案为：（2a﹣20）．
（2）设购买一个A种品牌的额温枪需要x元，则购买一个B种品牌的额温枪需要（2x﹣20）元，
依题意得：50x+25（2x﹣20）＝4500，
解得：x＝50，
∴2x﹣20＝80．
答：购买一个A种品牌的额温枪需要50元，购买一个B种品牌的额温枪需要80元．
（3）设学校第二次购买A种品牌的额温枪y个，则购买B品牌的额温枪（50﹣y）个，
依题意得：50×（1+8%）y+80×90%（50﹣y）＝4500×70%，
解得：y＝25．
答：学校第二次购买A种品牌的额温枪25个．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据两种品牌额温枪单价之间的关系，用含a的代数式表示出结论；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m+1），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，且OB+AB＝13．
（1）求△AOB的面积；
（2）延长OA至点C，使AC＝OA，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，点P在CD上，连接BP交OC于点E，连接DE，若3S△BCE＝2S△ODE，求点E的横坐标．
【分析】（1）由题意得AB＝m，OB＝m+1，再由OB+AB＝13，建立方程求解即可求得m＝6，再运用三角形面积公式即可求得答案；
（2）如图，延长BA交CD于F，可证得四边形BFDO是矩形，得出DF＝OB＝7，利用AAS证得△ABO≌△AFC，得出CF＝OB＝7，即可求得答案；
（3）运用待定系数法可得直线OC的解析式为y＝x，设E（t，t），由3S△BCE＝2S△ODE，建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：（1）∵A（m，m+1），且点A在第一象限，AB⊥y轴，垂足为B，
∴AB＝m，OB＝m+1，
∵OB+AB＝13，
∴m+1+m＝13，
解得：m＝6，
∴AB＝6，OB＝7，
∴S△AOB＝AB•OB＝×6×7＝21；
（2）如图，延长BA交CD于F，
∵AB⊥y轴，OD⊥y轴，
∴∠ABO＝∠BOD＝90°，
∴∠ABO+∠BOD＝180°，
∴AB∥OD，
∵CD⊥OD，
∴∠CDO＝90°，
∴∠CDO+∠BOD＝180°，
∴OB∥CD，
∴∠AFC＝∠ABO＝90°，
∴∠BFD＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABO＝∠BOD＝∠BFD＝90°，
∴四边形BFDO是矩形，
∴DF＝OB＝7，
在△ABO和△AFC中，
，
∴△ABO≌△AFC（AAS），
∴CF＝OB＝7，
∴CD＝CF+DF＝7+7＝14；
（3）设直线OC的解析式为y＝kx，
∵C（12，14），
∴12k＝14，
解得：k＝，
∴直线OC的解析式为y＝x，
设E（t，t），
∵3S△BCE＝2S△ODE，
∴3（S△OBC﹣S△OBE）＝2S△ODE，
∴3×（OB•xC﹣OB•xE）＝2×OD•yE，
即3（×7×12﹣×7t）＝2××12×t，
解得：t＝，
∴E（，6）．
【点评】本题是一次函数与几何综合题，考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形面积等，解题关键是利用S△BCE＝S△OBC﹣S△OBE解决问题．
1．（3分）下列所给的方程是一元一次方程的是（ ）
A．x+2＝0B．x+2y＝3C．2x2﹣x＝1D．
2．（3分）下列所给的∠1和∠2中，是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，3）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（3分）下列所给的数中，是无理数的是（ ）
A．2B．C．D．
5．（3分）平面直角坐标系中，点A在第四象限，点A到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点A的坐标为（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣3，2）C．（3，﹣2）D．（﹣2，3）
6．（3分）方程的解为（ ）
A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝2D．x＝3
7．（3分）如图所示，下面所给的角的关系中，能够判定AD∥BC的是（ ）
A．∠ABC+∠BCD＝180°B．∠ABC+∠BAD＝180°
C．∠ABD＝∠BDCD．∠ABC＝∠ADC
8．（3分）三个连续自然数的和为12，则这三个连续自然数的积为（ ）
A．12B．24C．48D．60
9．（3分）下列所给的命题中，不正确的是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．对顶角相等
C．两条直线被第三条直线所截，则同位角相等
D．过已知直线外一点的所有直线中，只有一条直线与已知直线平行
10．（3分）平面直角坐标系中，把点P（﹣2，3）向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度得到点Q，则点Q的坐标为（ ）
A．（﹣6，6）B．（2，﹣6）C．（1，1）D．（1，﹣1）
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）正数9的平方根是 ．
12．（3分）计算：＝ ．
13．（3分）平面直角坐标系中，已知A（2，﹣3），过点A向x轴引垂线，垂足为B，则△AOB的面积为 ．
14．（3分）比较大小： 3．（选填“＞”、“＜”或“＝”）
15．（3分）若x＝﹣2是关于x的方程ax﹣9＝x的解，则a的值为 ．
16．（3分）服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这款服装每件的进价为 元．
17．（3分）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ．
18．（3分）若（a﹣1）2+|2ax+a+3|＝0，则x的值为 ．
19．（3分）在平面直角坐标系中，线段AB∥x轴，且AB＝5，若A（﹣1，3），则点B的横坐标为 ．
20．（3分）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠BEF＝50°，则∠MFD＝ ．
三、解答题：（每题10分，共60分）
21．（10分）计算：
（1）+4；
（2）．
22．（10分）解方程：
（1）3（x﹣2）﹣4＝5﹣2x；
（2）．
23．（10分）如图，在8×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上．
（1）把△ABC先向右移动5个单位长度，再向下移动3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1（其中点A的对应点为A1，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1）；
（2）连接AA1，BB1，判定AA1与BB1的位置关系，并写出△A1B1C1的面积．
24．（10分）推理填空：
如图，△ABC中，AD平分∠BAC，点E在AB边上，且∠BDE＝∠C，点F在AC边上，过点F作FG∥AD，FG交BC于点G．求证：∠BED＝2∠CFG．
证明：因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD＝ （角平分线定义）．
所以 ＝2∠CAD（等式性质）．
因为 （已知），
所以∠CAD＝∠CFG（ ）．
所以 ＝2∠CFG（等量代换）．
因为∠BDE＝ （已知），
所以 （同位角相等，两直线平行）．
所以∠BED＝∠BAC（ ）．
又因为 ＝2∠CFG（已证），
所以∠BED＝2∠CFG（ ）．
25．（10分）某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的额温枪，购买A种品牌的额温枪50个，B种品牌的额温枪25个，共花费4500元，已知购买一个B种品牌的额温枪比购买两个A种品牌的额温枪少花20元．
（1）如果购买一个A种品牌的额温枪a元，则购买一个B种品牌额温枪 元．（用含a的式子表示）
（2）求购买一个A种品牌的额温枪和一个B种品牌的额温枪各需多少元；
（3）由于疫情比预计的时间要长，学校决定第二次购买A、B两种品牌额温枪共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A种品牌额温枪售价比第一次购买时提高了8%，B种品牌额温枪按第一次购买时售价的九折出售．如果学校第二次购买A、B两种品牌额温枪的总费用是第一次购买额温枪总费用的70%，求学校第二次购买A种品牌的额温枪多少个．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m+1），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，且OB+AB＝13．
（1）求△AOB的面积；
（2）延长OA至点C，使AC＝OA，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，点P在CD上，连接BP交OC于点E，连接DE，若3S△BCE＝2S△ODE，求点E的横坐标．
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市道外区七年级（上）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题：（1～10题，每小题3分，共30分，每题只有一个答案）
1．（3分）下列所给的方程是一元一次方程的是（ ）
A．x+2＝0B．x+2y＝3C．2x2﹣x＝1D．
【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．方程x+2＝0是一元一次方程，故本选项符合题意；
B．方程x+2y＝3是二元一次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C．方程2x2﹣x＝1是一元二次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D．方程3﹣＝x是分式方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫一元一次方程）是解此题的关键．
2．（3分）下列所给的∠1和∠2中，是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据对顶角的定义，即可解答．
【解答】解：上列所给的∠1和∠2中，是对顶角的是
故选：C．
【点评】本题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键．
3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，3）所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据第二象限内，点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得答案．
【解答】解：∵﹣1＜0，3＞0，
∴在平面直角坐标系中，点P（﹣1，3）所在的象限是第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
4．（3分）下列所给的数中，是无理数的是（ ）
A．2B．C．D．
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数判断即可．
【解答】解：A．2是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．是无理数，故本选项符合题意；
C．，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了无理数，掌握无理数的定义：无限不循环小数是解题的关键．
5．（3分）平面直角坐标系中，点A在第四象限，点A到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点A的坐标为（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣3，2）C．（3，﹣2）D．（﹣2，3）
【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【解答】解：∵点A在第四象限，点A到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，
∴点A的横坐标是3，
纵坐标是﹣2，
∴点A的坐标为（3，﹣2）．
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
6．（3分）方程的解为（ ）
A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝2D．x＝3
【分析】去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解答】解：，
去分母，得x+1＝2x﹣2，
移项，得x﹣2x＝﹣2﹣1，
合并同类项，得﹣x＝﹣3，
系数化成1，得x＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
7．（3分）如图所示，下面所给的角的关系中，能够判定AD∥BC的是（ ）
A．∠ABC+∠BCD＝180°B．∠ABC+∠BAD＝180°
C．∠ABD＝∠BDCD．∠ABC＝∠ADC
【分析】由平行线的判定，即可判断．
【解答】解：A、C中的条件只能判定AB∥CD，不能判定AD∥BC，故A、C不符合题意；
B、由同旁内角互补，两直线平行，判定AD∥BC，故B符合题意；
D、两角不是同位角，不是内错角，不能判定AD∥BC．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．
8．（3分）三个连续自然数的和为12，则这三个连续自然数的积为（ ）
A．12B．24C．48D．60
【分析】根据三个连续自然数的和为12，可以列出相应的方程，然后求解即可得到这三个自然数，然后求出这三个连续自然数的积即可．
【解答】解：设最小的自然数为x，
则x+（x+1）+（x+2）＝12，
解得x＝3，
∴这三个自然数为3，4，5，
∵3×4×5＝60，
∴这三个连续自然数的积为60，
故选：D．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，求出这三个自然数．
9．（3分）下列所给的命题中，不正确的是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．对顶角相等
C．两条直线被第三条直线所截，则同位角相等
D．过已知直线外一点的所有直线中，只有一条直线与已知直线平行
【分析】根据线段的性质、对顶角相等、平行线的性质、平行公理判断即可．
【解答】解：A、两点之间，线段最短，命题正确，不符合题意；
B、对顶角相等，命题正确，不符合题意；
C、两条平行线被第三条直线所截，则同位角相等，故本选项命题不正确，符合题意；
D、过已知直线外一点的所有直线中，只有一条直线与已知直线平行，命题正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．（3分）平面直角坐标系中，把点P（﹣2，3）向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度得到点Q，则点Q的坐标为（ ）
A．（﹣6，6）B．（2，﹣6）C．（1，1）D．（1，﹣1）
【分析】根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减列式计算即可得解．
【解答】解：将点P（﹣2，3）先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到点Q，
则点Q的坐标为（﹣2+3，3﹣4），即（1，﹣1）．
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）正数9的平方根是 ±3 ．
【分析】直接利用平方根的定义计算即可．
【解答】解：∵±3的平方是9，
∴9的平方根是±3．
故答案为：±3．
【点评】此题主要考查了平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．注意：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
12．（3分）计算：＝ ﹣1 ．
【分析】利用算术平方根及立方根的定义计算即可．
【解答】解：原式＝2﹣3＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
13．（3分）平面直角坐标系中，已知A（2，﹣3），过点A向x轴引垂线，垂足为B，则△AOB的面积为 3 ．
【分析】根据题意画出图形，利用三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：如图，
∵A（﹣2，3），
∴OB＝2，AB＝3，
∴S△AOB＝OB•AB＝×2×3＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是三角形的面积，坐标与图形性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解题的关键．
14．（3分）比较大小： ＜ 3．（选填“＞”、“＜”或“＝”）
【分析】利用平方法比较大小即可．
【解答】解：∵（）2＝7，32＝9，
7＜9，
∴＜3．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了实数大小比较，算术平方根，利用平方法比较大小是解题的关键．
15．（3分）若x＝﹣2是关于x的方程ax﹣9＝x的解，则a的值为 ﹣3.5 ．
【分析】把x＝﹣2代入关于x的方程ax﹣9＝x得关于a的一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：把x＝﹣2代入关于x的方程ax﹣9＝x得：
﹣2a﹣9＝﹣2，
﹣2a＝9﹣2
﹣2a＝7，
a＝﹣3.5，
故答案为：﹣3.5．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤．
16．（3分）服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这款服装每件的进价为 180 元．
【分析】设这款服装每件的进价为x元，根据利润＝售价﹣进价建立方程求出x的值就可以求出结论．
【解答】解：设这款服装每件的进价为x元，由题意，得
300×0.8﹣x＝60，
解得：x＝180．
故答案为：180．
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，销售问题的数量关系利润＝售价﹣进价的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．
17．（3分）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 ．
【分析】命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．
【解答】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【点评】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
18．（3分）若（a﹣1）2+|2ax+a+3|＝0，则x的值为 ﹣2 ．
【分析】根据偶次方，绝对值的非负性即可求出a的值，进而求出x的值．
【解答】解：∵（a﹣1）2+|2ax+a+3|＝0，而（a﹣1）2，≥0，|2ax+a+3|≥0，
∴a﹣1＝0，2ax+a+3＝0，
∴a＝1，x＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查偶次方、绝对值的非负性，掌握偶次方、绝对值的非负性是正确解答的前提．
19．（3分）在平面直角坐标系中，线段AB∥x轴，且AB＝5，若A（﹣1，3），则点B的横坐标为 ﹣6或4 ．
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等求出点B的纵坐标，再分点B在点A的左边与右边两种情况求出点B的横坐标，从而得解．
【解答】解：∵AB∥x轴，A点坐标为（﹣1，3），
∴点B的纵坐标为3，
当点B在点A的左边时，∵AB＝5，
∴点B的横坐标为﹣1﹣5＝﹣5，
此时点B（﹣6，3），
当点B在点A的右边时，∵AB＝5，
∴点B的横坐标为﹣1+5＝4，
此时点B（4，3），
综上所述，点B的坐标为（﹣6，3）或（4，3）．
故答案为：﹣6或4．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，难点在于要分情况讨论．
20．（3分）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠BEF＝50°，则∠MFD＝ 80° ．
【分析】由平行线的性质推出∠AFE+∠BEF＝180°，∠DFE＝∠BEF＝50°，得到∠AFE＝130°，由折叠的性质得：∠MFE＝∠AFE＝130°，即可求出∠MFD＝∠MFE﹣∠DFE＝80°．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFE+∠BEF＝180°，∠DFE＝∠BEF＝50°，
∴∠AFE＝130°，
由折叠的性质得：∠MFE＝∠AFE＝130°，
∴∠MFD＝∠MFE﹣∠DFE＝130°﹣50°＝80°．
故答案为：80°．
【点评】本题考查平行线的性质，折叠的性质，关键是由平行线的性质推出∠DFE＝50°∠AFE＝130°，由折叠的性质得到∠MFE＝∠AFE＝130°．
三、解答题：（每题10分，共60分）
21．（10分）计算：
（1）+4；
（2）．
【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义分别计算即可；
（2）先去括号，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）
＝
＝3﹣2+6
＝7；
（2）
＝
＝．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．
22．（10分）解方程：
（1）3（x﹣2）﹣4＝5﹣2x；
（2）．
【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项即可．
【解答】解：（1）3（x﹣2）﹣4＝5﹣2x，
去括号，得3x﹣6﹣4＝5﹣2x，
移项，得3x+2x＝5+4+6，
合并同类项，得5x＝15，
系数化成1，得x＝3；
（2），
去分母，得6+3（m﹣1）＝2（m+3），
去括号，得6+3m﹣3＝2m+6，
移项，得3m﹣2m＝6﹣6+3，
合并同类项，得m＝3．
【点评】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
23．（10分）如图，在8×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上．
（1）把△ABC先向右移动5个单位长度，再向下移动3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1（其中点A的对应点为A1，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1）；
（2）连接AA1，BB1，判定AA1与BB1的位置关系，并写出△A1B1C1的面积．
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据平移的性质可知AA1∥BB1；利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）由平移可知，AA1∥BB1．
△A1B1C1的面积为＝7．
【点评】本题考查作图﹣平移变换、三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
24．（10分）推理填空：
如图，△ABC中，AD平分∠BAC，点E在AB边上，且∠BDE＝∠C，点F在AC边上，过点F作FG∥AD，FG交BC于点G．求证：∠BED＝2∠CFG．
证明：因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD＝ ∠CAD （角平分线定义）．
所以 ∠BAC ＝2∠CAD（等式性质）．
因为 FG∥AD （已知），
所以∠CAD＝∠CFG（ 两直线平行，同位角相等 ）．
所以 ∠BAC ＝2∠CFG（等量代换）．
因为∠BDE＝ ∠C （已知），
所以 DE∥CA （同位角相等，两直线平行）．
所以∠BED＝∠BAC（ 两直线平行，同位角相等 ）．
又因为 ∠BAC ＝2∠CFG（已证），
所以∠BED＝2∠CFG（ 等量代换 ）．
【分析】先根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠CAD，从而可得∠BAC＝2∠CAD，再利用平行线的性质可得∠CAD＝∠CFG，从而可得∠BAC＝2∠CFG，然后利用同位角相等，两直线平行可得∠BED＝∠BAC，从而可得∠BED＝2∠CFG，即可解答．
【解答】解：因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD＝∠CAD（角平分线定义），
所以∠BAC＝2∠CAD（等式性质），
因为FG∥AD（已知），
所以∠CAD＝∠CFG（两直线平行，同位角相等），
所以∠BAC＝2∠CFG（等量代换），
因为∠BDE＝∠C（已知），
所以DE∥CA（同位角相等，两直线平行），
所以∠BED＝∠BAC（两直线平行，同位角相等），
又因为∠BAC＝2∠CFG（已证），
所以∠BED＝2∠CFG（等量代换），
故答案为：∠CAD；∠BAC；FG∥AD；两直线平行，同位角相等；∠BAC；∠C；DE∥CA；两直线平行，同位角相等；∠BAC；等量代换．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
25．（10分）某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的额温枪，购买A种品牌的额温枪50个，B种品牌的额温枪25个，共花费4500元，已知购买一个B种品牌的额温枪比购买两个A种品牌的额温枪少花20元．
（1）如果购买一个A种品牌的额温枪a元，则购买一个B种品牌额温枪 （2a﹣20） 元．（用含a的式子表示）
（2）求购买一个A种品牌的额温枪和一个B种品牌的额温枪各需多少元；
（3）由于疫情比预计的时间要长，学校决定第二次购买A、B两种品牌额温枪共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A种品牌额温枪售价比第一次购买时提高了8%，B种品牌额温枪按第一次购买时售价的九折出售．如果学校第二次购买A、B两种品牌额温枪的总费用是第一次购买额温枪总费用的70%，求学校第二次购买A种品牌的额温枪多少个．
【分析】（1）根据两种品牌额温枪单价之间的关系，即可用含a的代数式表示出购买一个B种品牌额温枪所需钱数；
（2）设购买一个A种品牌的额温枪需要x元，则购买一个B种品牌的额温枪需要（2x﹣20）元，根据“购买A种品牌的额温枪50个，B种品牌的额温枪25个，共花费4500元”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）设学校第二次购买A种品牌的额温枪y个，则购买B品牌的额温枪（50﹣y）个，根据总价＝单价×数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵购买一个A种品牌的额温枪a元，购买一个B种品牌的额温枪比购买两个A种品牌的额温枪少花20元，
∴购买一个B种品牌额温枪（2a﹣20）元．
故答案为：（2a﹣20）．
（2）设购买一个A种品牌的额温枪需要x元，则购买一个B种品牌的额温枪需要（2x﹣20）元，
依题意得：50x+25（2x﹣20）＝4500，
解得：x＝50，
∴2x﹣20＝80．
答：购买一个A种品牌的额温枪需要50元，购买一个B种品牌的额温枪需要80元．
（3）设学校第二次购买A种品牌的额温枪y个，则购买B品牌的额温枪（50﹣y）个，
依题意得：50×（1+8%）y+80×90%（50﹣y）＝4500×70%，
解得：y＝25．
答：学校第二次购买A种品牌的额温枪25个．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据两种品牌额温枪单价之间的关系，用含a的代数式表示出结论；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m+1），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，且OB+AB＝13．
（1）求△AOB的面积；
（2）延长OA至点C，使AC＝OA，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，点P在CD上，连接BP交OC于点E，连接DE，若3S△BCE＝2S△ODE，求点E的横坐标．
【分析】（1）由题意得AB＝m，OB＝m+1，再由OB+AB＝13，建立方程求解即可求得m＝6，再运用三角形面积公式即可求得答案；
（2）如图，延长BA交CD于F，可证得四边形BFDO是矩形，得出DF＝OB＝7，利用AAS证得△ABO≌△AFC，得出CF＝OB＝7，即可求得答案；
（3）运用待定系数法可得直线OC的解析式为y＝x，设E（t，t），由3S△BCE＝2S△ODE，建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：（1）∵A（m，m+1），且点A在第一象限，AB⊥y轴，垂足为B，
∴AB＝m，OB＝m+1，
∵OB+AB＝13，
∴m+1+m＝13，
解得：m＝6，
∴AB＝6，OB＝7，
∴S△AOB＝AB•OB＝×6×7＝21；
（2）如图，延长BA交CD于F，
∵AB⊥y轴，OD⊥y轴，
∴∠ABO＝∠BOD＝90°，
∴∠ABO+∠BOD＝180°，
∴AB∥OD，
∵CD⊥OD，
∴∠CDO＝90°，
∴∠CDO+∠BOD＝180°，
∴OB∥CD，
∴∠AFC＝∠ABO＝90°，
∴∠BFD＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABO＝∠BOD＝∠BFD＝90°，
∴四边形BFDO是矩形，
∴DF＝OB＝7，
在△ABO和△AFC中，
，
∴△ABO≌△AFC（AAS），
∴CF＝OB＝7，
∴CD＝CF+DF＝7+7＝14；
（3）设直线OC的解析式为y＝kx，
∵C（12，14），
∴12k＝14，
解得：k＝，
∴直线OC的解析式为y＝x，
设E（t，t），
∵3S△BCE＝2S△ODE，
∴3（S△OBC﹣S△OBE）＝2S△ODE，
∴3×（OB•xC﹣OB•xE）＝2×OD•yE，
即3（×7×12﹣×7t）＝2××12×t，
解得：t＝，
∴E（，6）．
【点评】本题是一次函数与几何综合题，考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形面积等，解题关键是利用S△BCE＝S△OBC﹣S△OBE解决问题．
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