12.6带电粒子在磁场中运动的临界和极值问题（解析版）--2024高考一轮复习100考点100讲—高中物理

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第12.6讲 带电粒子在磁场中运动的临界和极值问题
【知识点精讲】
临界状态是指物体从一种运动状态(或物理现象)转变为另一种运动状态(或物理现象)的转折状态，它既具有前一种运动状态(或物理现象)的特点，又具有后一种运动状态(或物理现象)的特点，起着承前启后的转折作用．由于带电粒子在磁场中的运动通常都是在有界磁场中的运动，常常出现临界和极值问题．
1. 带电粒子在有界磁场中临界问题
(1)当带电粒子进入设定的有界磁场后，其轨迹是一个残缺圆，题中往往会形成各种各样的临界现象。
(2)解决此类问题的关键是找准临界点。找临界点的方法是以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径R和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点。
2. 极值问题
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当速度v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
(3)当速率v变化时，圆心角越大，运动时间越长。
【方法归纳】
1. 带电粒子在有界磁场中的临界极值问题分析思路和方法
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2. 解决带电粒子圆周运动临界问题的技巧方法
(1)数学方法和物理方法的结合：如利用“矢量图”“边界条件”等求临界值，利用“三角函数”“不等式的性质”“二次方程的判别式”等求极值。
(2)临界问题的一般解题流程

【典例剖析】
矩形区域abcd(包括边界)充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。现从ad边中点O处，以垂直磁场且跟ad边成30°角的速度射入一带电粒子。已知粒子质量为m、电荷量为q，ad边长为L，不计粒子重力。
(1)若要粒子从ab边上射出，则入射速度v0的大小范围是多少？(ab边足够长)
(2)粒子在磁场中运动的最长时间是多少？
解析 (1)若粒子速度为v0，由qv0B＝meq \f(veq \\al(2,0),R)得R＝eq \f(mv0,qB)
若轨迹与ab边相切，如图所示，设此时相应速度为v01，则
R1＋R1sin θ＝eq \f(L,2)
将R1＝eq \f(mv01,qB)代入上式可得v01＝eq \f(qBL,3m)
若轨迹与cd边相切，如图所示，设此时粒子速度为v02，则
R2－R2sin θ＝eq \f(L,2)
将R2＝eq \f(mv02,qB)代入上式可得v02＝eq \f(qBL,m)
所以粒子能从ab边上射出磁场的入射速度v0的大小应满足eq \f(qBL,3m)(2)设粒子入射速度为v，在磁场中经过的弧所对的圆心角为α，则t＝eq \f(αR,v)＝eq \f(αm,qB)，则α越大，在磁场中运动的时间也越长，由图可知，粒子在磁场中运动的半径r≤R1时，运动时间最长，弧所对的圆心角为(2π－2θ)。
所以粒子在磁场中运动的最长时间为
t＝eq \f(（2π－2θ）m,qB)＝eq \f(5πm,3qB)。
答案 (1)eq \f(qBL,3m)【最新高考题精练】
1. （2023高考海南卷）如图所示，质量为，带电量为的点电荷，从原点以初速度射入第一象限内的电磁场区域，在（为已知）区域内有竖直向上的匀强电场，在区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，控制电场强度（值有多种可能），可让粒子从射入磁场后偏转打到接收器上，则（ ）

A 粒子从中点射入磁场，电场强度满足
B. 粒子从中点射入磁场时速度为
C. 粒子在磁场中做圆周运动的圆心到的距离为
D. 粒子在磁场中运动的圆周半径最大值是
【参考答案】AD
【名师解析】
若粒子打到PN中点，则 ，
解得 ，选项A正确；
粒子从PN中点射出时，则
速度
选项B错误；

C．粒子从电场中射出时的速度方向与竖直方向夹角为θ，则
粒子从电场中射出时的速度
粒子进入磁场后做匀速圆周运动，则
则粒子进入磁场后做圆周运动的圆心到MN的距离为
解得
选项C错误；
D．当粒子在磁场中运动有最大运动半径时，进入磁场的速度最大，则此时粒子从N点进入磁场，此时竖直最大速度
出离电场的最大速度
则由
可得最大半径
选项D正确；
2 (2020·全国卷Ⅱ)如图，在0≤x≤h，－∞0)的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，不计重力。
(1)若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm；
(2)如果磁感应强度大小为 eq \f(Bm,2) ，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离。
【名师解析】 (1)由题意知粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里。设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有
qv0B＝m eq \f(v02,R) ①
可得R＝ eq \f(mv0,qB) ②
粒子穿过y轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y轴正半轴上，半径应满足
R≤h③
由题意，当粒子的半径为h时，磁感应强度最小，由此得
Bm＝ eq \f(mv0,qh) 。④
(2)若磁感应强度大小为 eq \f(Bm,2) ，粒子做圆周运动的圆心仍在y轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径
R′＝2h⑤
粒子会穿过图中P点离开磁场，运动轨迹如图所示。设粒子在P点的运动方向与x轴正方向的夹角为α，由几何关系得
sin α＝ eq \f(h,2h) ＝ eq \f(1,2) ⑥
则α＝ eq \f(π,6) ⑦
由几何关系可得，P点与x轴的距离
y＝2h(1－cs α)⑧
联立⑦⑧式得
y＝(2－ eq \r(3) )h。
[答案] (1) eq \f(mv0,qh) (2) eq \f(π,6) (2－ eq \r(3) )h
3. （2016高考海南物理）如图，A、C两点分别位于x轴和y轴上，∠OCA=30°，OA的长度为L。在△OCA区域内有垂直于xOy平面向里的匀强磁场。质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以平行于y轴的方向从OA边射入磁场。已知粒子从某点射入时，恰好垂直于OC边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为t0。不计重力。
（1）求磁场的磁感应强度的大小；
（2）若粒子先后从两不同点以相同的速度射入磁场，恰好从OC边上的同一点射出磁场，求该粒子这两次在磁场中运动的时间之和；
（3）若粒子从某点射入磁场后，其运动轨迹与AC边相切，且在磁场内运动的时间为，求粒子此次入射速度的大小。
【名师解析】
（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，在时间t0内其速度方向改变了90°，故其周期
T=4t0①
设磁感应强度大小为B，粒子速度为v，圆周运动的半径为r。由洛伦兹力公式和牛顿定律得
②
匀速圆周运动的速度满足
③
联立①②③式得
④
（2）设粒子从OA变两个不同位置射入磁场，能从OC边上的同一点P射出磁场，粒子在磁场中运动的轨迹如图（a）所示。设两轨迹所对应的圆心角分别为θ1和θ2。由几何关系有
θ1=180°-θ2⑤
粒子两次在磁场中运动的时间分别为t1与t2，则
⑥
（3）如图（b），由题给条件可知，该粒子在磁场区域中的轨迹圆弧对应的圆心角为150°。设O'为圆弧的圆心，圆弧的半径为r0，圆弧与AC相切与B点，从D点射出磁场，由几何关系和题给条件可知，此时有
∠O O'D=∠B O'A=30°⑦
⑧
设粒子此次入社速度的大小为v0，由圆周运动规律
⑨
联立①⑦⑧⑨式得
⑩
【最新模拟题精练】
1. (2023鄂东南省级示范性高中教育改革联盟5月模拟)如图所示，有一个正方形区域ABCD，在内部某一区域内有一垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的矩形匀强磁场。一个质量为m、电量为q（）的带电粒子从CD的中点以速度v垂直于CD射入正方形区域，从BC边的中点垂直于BC飞出该正方形区域，不计粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A. 该粒子在磁场里运动的时间
B. 该粒子在磁场里运动的时间
C. 该矩形区域磁场的最小面积
D. 该矩形区域磁场的最小面积
【参考答案】AD
【名师解析】
根据题意可知带电粒子在磁场中运动轨迹如图所示
洛伦兹力提供向心力，则有
又
解得 ，
该粒子在磁场里转过的角度为，则运动的时间为
故A正确，B错误；
该矩形区域磁场的最小面积如图所示，由几何知识可知该矩形区域磁场的最小面积为
，故C错误，D正确。
2、如图所示，S处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板MN垂直于纸面，在纸面内的长度L＝9.1 cm，中点O与S间的距离d＝4.55 cm，MN与SO直线的夹角为θ，板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B＝2.0×10－4 T。电子质量m＝9.1×10－31 kg，电量e＝－1.6×10－19 C，不计电子重力。电子源发射速度v＝1.6×106 m/s 的一个电子，该电子打在板上可能位置的区域的长度为l，则( )
A.θ＝90°时，l＝9.1 cm B.θ＝60°时，l＝9.1 cm
C.θ＝45°时，l＝4.55 cm D.θ＝30°时，l＝4.55 cm
【参考答案】AD
【名师解析】 电子在匀强磁场运动的轨道半径为R＝eq \f(mv,qB)＝4.55 cm，电子沿逆时针方向做匀速圆周运动，当θ＝90°时，竖直向下发射的粒子恰好打到N点，水平向右发射的粒子恰好打到M点，如图甲所示，故l＝L＝9.1 cm，A正确；当θ＝30°时，竖直向下发射的粒子，恰好打到N点，由几何关系知，另一临界运动轨迹恰好与MN相切于O点，如图乙所示，故粒子只能打在NO范围内，故l＝eq \f(L,2)＝4.55 cm，D正确；进而可分析知当θ＝45°或θ＝60°时，粒子打到板上的范围大于ON小于NM，即4.55 cm3（14分）（2023江苏名校质检）如图，在xOy坐标系中的第一象限内存在沿x轴正方向的匀强电场，第二象限内存在方向垂直纸面向外磁感应强度B的匀强磁场，磁场范围可调节（图中未画出）。一粒子源固定在x轴上M（L，0）点，沿y轴正方向释放出速度大小均为v0的电子，电子经电场后从y轴上的N点进入第二象限。已知电子的质量为m，电荷量的绝对值为e，ON的距离，不考虑电子的重力和电子间的相互作用，求：
（1）第一象限内所加电场的电场强度；
（2）若磁场充满第二象限，电子将从x轴上某点离开第二象限，求该点的坐标；
（3）若磁场是一个圆形有界磁场，要使电子经磁场偏转后通过x轴时，与y轴负方向的夹角为30°，求圆形磁场区域的最小面积。
【参考答案】（1）；（2）；（3）
【名师解析】（1）在第一象限内，做类平抛运动，
根据牛顿第二定律
解得
（2）粒子射入磁场时，速度方向与y轴夹角的正切值
速度大小
在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力得：

根据几何关系
该点的坐标为
（3）根据题意，作出轨迹图如下
电子在磁场中偏转90°射出，则磁场的最小半径
最小面积
解得
4.(12分)(2022湖南长郡中学二模)如图所示,位于竖直平面内的平面直角坐标系xOy的第一象限虚线上方(包含虚线)存在竖直向下的匀强电场,电场强度大小为E;第三象限某个区域(未画出)存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。现有大量质量为m、电荷量为+q的粒子以相同的初速度v0水平射入电场,均经过O点进入磁场,最后离开磁场进入第四象限,粒子在第三象限的运动均在磁场中,忽略粒子的重力及相互间的作用。
(1)求匀强电场边界的方程(粒子入射点的坐标y和x间的关系)。
(2)粒子进入电场的位置记为P(x,y),其中0【参考答案】 (1)y=Eq2mv02x2 (2)mv0qB2
【名师解析】 (1)对从(x,y)点射入电场的粒子,在电场中做类平抛运动,有
x=v0t
y=12·Eqmt2
解得y=Eq2mv02x2。
(2)设粒子从O点射入磁场时,速度v与x轴负方向的夹角为θ,位移与x轴负方向的夹角为α,可得粒子在磁场中的速度大小v=v0csθ
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r,根据牛顿第二定律有qvB=mv2r
解得r=mvqB
根据几何关系可得,粒子在磁场中的运动轨迹对应的弦长为d=2rcs θ
解得d=2mv0qB
所以d为定值,即所有粒子从磁场中射出时与y轴的交点一定,所有粒子的轨迹经过的区域如图所示
根据类平抛运动的规律有tan θ=2tan α=2y0x0=1
则θ=45°,进入磁场最大的速度v1=2v0
当粒子从O点以最大速度v1=2v0入射时,其轨迹与y轴所围的面积为S1=14πr12-12r12
当粒子从O点以最小速度v2=v0入射时,其轨迹与y轴所围的面积为S2=12πr22,其中r2=d2
磁场的最小面积为Smin=S2-S1=mv0qB2。
5.（14分）（2022山东名校质检）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限内存在垂直于坐标平面的匀强磁场（未画出），第二象限存在水平向左的匀强电场。质量为m、电荷量为-q的带电粒子从第三象限无初速度释放后，经电压为U的电场加速后从P（L， 0）点垂直x轴进入第二象限，然后从A（0，2L）点进入第一象限，又经磁场偏转后由x轴上的M点（图中未画出）垂直于x轴进入第四象限。已知磁场的磁感应强度大小为B，不计粒子重力。
（1）求第二象限内电场强度的大小；
（2）若第一象限各处均分布有匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，求M点坐标；
（3）若第一象限内的匀强磁场分布在某矩形区域内，磁场方向垂直纸面向外，求此矩形区域的最小面积。
【名师解析】
（1）设粒子从点进入电场的速度大小为，根据动能定理有
粒子进入电场后做类平抛运动，水平方向有
竖直方向有
其中
联立解得
（2）若第一象限内的磁场方向垂直于坐标平面向里，粒子进入第一象限的匀强磁场后，做匀速圆周运动，如图所示
由
解得
则粒子进入磁场中的速度为
设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，则有
由几何关系可知粒子偏转，则点坐标为
解得
（3）若第一象限内的磁场方向垂直于坐标平面向外，粒子进入第一象限的匀强磁场后，做匀速圆周运动，如图所示。
由几何关系可知粒子偏转，所以矩形的长为
宽为
则最小面积为
6. （2022河南南阳期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限内存在垂直于坐标平面的匀强磁场（未画出），第二象限存在水平向左的匀强电场。质量为m、电荷量为-q的带电粒子从第三象限无初速度释放后，经电压为U的电场加速后从P（L， 0）点垂直x轴进入第二象限，然后从A（0，2L）点进入第一象限，又经磁场偏转后由x轴上的M点（图中未画出）垂直于x轴进入第四象限。已知磁场的磁感应强度大小为B，不计粒子重力。
（1）求第二象限内电场强度的大小；
（2）若第一象限各处均分布有匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，求M点坐标；
（3）若第一象限内的匀强磁场分布在某矩形区域内，磁场方向垂直纸面向外，求此矩形区域的最小面积。
【参考答案】（1）；（2）；（3）
【名师解析】
（1）设粒子从点进入电场的速度大小为，根据动能定理有
粒子进入电场后做类平抛运动，水平方向有
竖直方向有
其中
联立解得
（2）若第一象限内的磁场方向垂直于坐标平面向里，粒子进入第一象限的匀强磁场后，做匀速圆周运动，如图所示
由
解得
则粒子进入磁场中的速度为
设粒子在磁场中做圆周运动半径为，则有
由几何关系可知粒子偏转，则点坐标为
解得
（3）若第一象限内的磁场方向垂直于坐标平面向外，粒子进入第一象限的匀强磁场后，做匀速圆周运动，如图所示
由几何关系可知粒子偏转，所以矩形的长为
宽为
则最小面积为
7. （2023浙江杭州学军中学质检） 如图所示，四分之一圆环区域ABCD中有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为，内环壁BC的半径为，外环壁AD的半径为。入口AB处有分布均匀的线状粒子源，能同时向磁场中发射质量均为、电荷量均为的带负电粒子，所有粒子的速度大小相等，方向均垂直AB，已知从A点射入磁场的粒子恰好从C点射出磁场。粒子碰到环壁即被吸收，CD为出口，不计粒子重力和粒子间的相互作用。
（1）求粒子速度的大小；
（2）求出口CD有粒子射出的区域：
（3）推导粒子在出口CD的射出率与粒子速度的关系式。
【参考答案】（1）；（2）粒子射出的区域为CD之间距C点的范围内；（3）见解析
【名师解析】
（1）根据条件作出粒子的轨迹如图1所示
根据洛伦兹力提供向心力可得
根据几何关系有
联立解得
（2）将A点粒子的轨迹沿AB方向平移，可知当粒子垂直CD射出时，射出点离C点最远，如图2所示
由几何关系有
故粒子射出的区域为CD之间距C点的范围内。
（3）根据向心力公式有
当粒子的轨迹半径为
可得
如图3所示
同理当粒子的轨迹半径满足
即
可得
当或时，；
当时，；
当时，如图4所示
之间的粒子能从射出，根据几何关系有
解得
当时，如图5所示
之间的粒子能从射出，根据几何关系有
解得
综上所述可得
（或）
（）
（）
（）两种
思路
一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后分析、讨论处于临界条件时的特殊规律和特殊解
二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值
两种方法
物理方法
(1)利用临界条件求极值；(2)利用边界条件求极值；(3)利用矢量图求极值
数学方法
(1)用三角函数求极值；(2)用二次方程的判别式求极值；(3)用不等式的性质求极值；(4)图象法等
从关键词找
许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”
突破口
等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件