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2023-2024学年福建省泉州市永春一中九年级（上）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年福建省泉州市永春一中九年级（上）期中数学试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．若＝，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．投掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数小于7
B．在一个只装了红球的袋子里，摸出一个白球
C．在一副扑克牌中抽出一张，抽出的牌是黑桃6
D．画一个三角形，其内角和是180°
4．用配方法解方程2x2﹣4x﹣7＝0，下列变形结果正确的是（ ）
A．B．
C．（x﹣2）2＝3D．
5．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0有实根，则m的取值范围是（ ）
A．m≠2B．m≥﹣6且m≠0C．m≤6D．m≤6且m≠2
6．已知1＜p＜2，化简+（）2＝（ ）
A．1B．3C．3﹣2pD．1﹣2p
7．如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L距离6km，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为43°，则这枚火箭此时的高度AL为（ ）km．
A．6sin43°B．6cs43°C．D．6tan43°
8．如图，D是△ABC边AB延长线上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACB＝∠DB．∠ACD＝∠ABCC．D．
9．如图，某小区规划在一个长40米，宽30米的矩形场地ABCD上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每块草坪面积都为168平方米，设道路的宽度为x米．则（ ）
A．（40﹣2x）（30﹣x）＝168×6
B．30×40﹣2×30x﹣40x＝168×6
C．（30﹣2x）（40﹣x）＝168
D．（40﹣2x）（30﹣x）＝168
10．如图，四边形ABCD中，AD⊥CD于点D，BC＝2，AD＝8，CD＝6，点E是AB的中点，连接DE，则DE的最大值是（ ）
A．5B．C．6D．
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11．要使代数式有意义，则x的取值范围是 ．
12．福建省体育中考的抽考项目为：篮球绕杆运球、排球对墙垫球、足球绕杆运球．2025年漳州市体育中考的抽考项目抽中“排球对墙垫球”的概率为 ．
13．已知α、β是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 ．
14．如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则sin∠BAC的值为 ．
15．如图，△ABD中，∠A＝60°．点B为线段DE的中点，EF⊥AD，交AB于点C，若AC＝BC＝3，则AD＝ ．
16．若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2），且﹣1＜x1＜0．则下列说法正确的有 ．（将正确选项的序号填在横线上）
①若x2＞0，则c＜0；
②|x1|+|x2|＝；
③若|x2﹣x1|＝2，则|1﹣b+c|﹣|1+b+c|＞2|4+2b+c|﹣6；
④若＝7，则b2＝﹣c．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．计算：．
18．解方程：x2+6x+2＝0．
19．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x1＝0．x2＝﹣1，则方程：x2+x＝0是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断方程x2+x﹣2＝0是否是“邻根方程”；
（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0（k是常数）是“邻根方程”，求k的值．
20．如图，点C是△ABD边AD上一点，且满足∠CBD＝∠A．
（1）证明：△BCD∽△ABD；
（2）若BC：AB＝3：5，AC＝16，求BD的长．
21．顺德华侨城景区在2022年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2024年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．
（1）求顺德华侨城景区2022至2024年春节长假期间奇游客人次的年平均增长率；
（2）华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯.2024年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
22．某校为了了解九年级男生的体质锻炼情况，随机抽取部分男生进行1000米跑步测试，按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，其中良好的学生人数占抽取学生总数的40%，学校绘制了如下不完整的统计图：
（1）求被抽取的合格等级的学生人数，并补全条形统计图；
（2）为了进一步强化训练，学校决定每天组织九年级学生开展半小时跑操活动，并准备从上述被抽取的成绩优秀的学生中，随机选取1名担任领队，小明是被抽取的成绩优秀的一名男生，求小明被选中担任领队的概率；
（3）学校即将举行冬季1000米跑步比赛．预赛分为A，B，C三组进行，选手由抽签确定分组，求某班甲、乙两位选手在预赛中恰好分在同一组的概率是多少？请画出树状图或列表加以说明．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠B．
（1）在AB的延长线上，求作点D，使得△CBD∽△ACD（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若AB＝5，S△ABC＝5，求tan∠CDB的值．
24．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E是边AB，AC的中点，连接DE，DC，点M，N分别是DE和DC的中点，连接MN．
（1）如图1，MN与BD的数量关系是 ；
（2）如图2，将△ADE绕点A顺时针旋转，连接BD，请写出MN和BD的数量关系并就图2的情形说明理由；
（3）在△ADE的旋转过程中，当B，D，E三点共线时，求线段MN的长．
25．问题背景：
（1）如图1，点E是△ABC内一点，且△ABC∽△DEC，连接AD，BE，求证：△ADC∽△BEC．
（2）如图2，点C是线段AB垂直平分线上位于AB上方的一动点，△PCB是位于AB上方的等腰直角三角形，且PB＝BC，则
① 1（填一个合适的不等号）；
②的最大值为 ，此时∠CBA＝ °．
问题组合与迁移：
（3）如图3，AD是等腰△ABC底边BC上的高，点E是AD上的一动点，△PEC位于BC的上方，且△ABC∽△PEC，若，求的最小值．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的加法法则，二次根式的性质，二次根式的乘法法则进行计算即可．
解：A．，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项符合题意；
D．，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的多种运算，能灵活运用二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
2．若＝，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】把化成+1，再把＝代入，进行计算即可得出答案．
解：∵＝，
∴＝+1＝+1＝．
故选：A．
【点评】此题考查了比例的性质，解题的关键是把化成+1，较简单．
3．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．投掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数小于7
B．在一个只装了红球的袋子里，摸出一个白球
C．在一副扑克牌中抽出一张，抽出的牌是黑桃6
D．画一个三角形，其内角和是180°
【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为不确定事件；事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的，据此逐项判断即可．
解：A、投掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数小于7，是必然事件；
B、在一个只装了红球的袋子里，摸出一个白球，是不可能事件；
C、在一副扑克牌中抽出一张，抽出的牌是黑桃6，属于随机事件；
D、画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件；
故选：C．
【点评】本题主要考查随机事件的概念：随机事件是可能发生，也可能不发生的事件．
4．用配方法解方程2x2﹣4x﹣7＝0，下列变形结果正确的是（ ）
A．B．
C．（x﹣2）2＝3D．
【分析】先移项，再方程两边除以2，最后配方后找出选项即可．
解：2x2﹣4x﹣7＝0，
2x2﹣4x＝7，
x2﹣2x＝，
配方，得x2﹣2x+1＝+1，
（x﹣1）2＝．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
5．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0有实根，则m的取值范围是（ ）
A．m≠2B．m≥﹣6且m≠0C．m≤6D．m≤6且m≠2
【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m﹣2≠0且Δ＝4m2﹣4（m﹣2）（m+3）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
解：根据题意得m﹣2≠0且Δ＝4m2﹣4（m﹣2）（m+3）≥0，
解得m≤6且m≠2，
即m的取值范围是m≤6且m≠2．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
6．已知1＜p＜2，化简+（）2＝（ ）
A．1B．3C．3﹣2pD．1﹣2p
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
解：∵1＜p＜2，
∴1﹣p＜0，2﹣p＞0，
∴原式＝|1﹣p|+2﹣p
＝p﹣1+2﹣p
＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根式的性质．
7．如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L距离6km，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为43°，则这枚火箭此时的高度AL为（ ）km．
A．6sin43°B．6cs43°C．D．6tan43°
【分析】根据正切的定义即可求解．
解：在Rt△ALR中，RL＝6，∠ARL＝43°，
∴tanR＝，
∴AL＝LR•tanR＝6•tan43°（km）．
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，仰角问题，掌握三角函数的定义是解题的关键．
8．如图，D是△ABC边AB延长线上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACB＝∠DB．∠ACD＝∠ABCC．D．
【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
解：A、当∠ACB＝∠D时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
B、当∠ACD＝∠ABC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
C、当时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；
D、当时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
9．如图，某小区规划在一个长40米，宽30米的矩形场地ABCD上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每块草坪面积都为168平方米，设道路的宽度为x米．则（ ）
A．（40﹣2x）（30﹣x）＝168×6
B．30×40﹣2×30x﹣40x＝168×6
C．（30﹣2x）（40﹣x）＝168
D．（40﹣2x）（30﹣x）＝168
【分析】设道路的宽度为x米．则横、纵道路的宽分别为x米、2x米，则每块草坪的相邻两边的长度分别为（40﹣2x）米、（30﹣x）米，根据每一块草坪的面积都为168平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：设横、纵道路的宽分别为x米、2x米，则每块草坪的相邻两边的长度分别为（40﹣2x）米、（30﹣x）米，
根据题意得：（40﹣2x）×（30﹣x）＝168×6，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据每一块草坪的面积都为168平方米结合矩形的面积，找出关于x的一元二次方程是解题的关键．
10．如图，四边形ABCD中，AD⊥CD于点D，BC＝2，AD＝8，CD＝6，点E是AB的中点，连接DE，则DE的最大值是（ ）
A．5B．C．6D．
【分析】连接AC，取AC的中点为M，连接DM、EM，由勾股定理可求AC的长，利用直角三角形斜边上的中线可求解DM的长，根据三角形的中位线可求解EM的长，再利用三角形的三边关系可求解．
解：如图，连接AC，取AC的中点为M，连接DM、EM，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝8，CD＝6，
∴AC＝，
∵M是AC的中点，
∴DM＝AC＝5，
∵M是AC的中点，E是AB的中点，
∴EM是△ABC的中位线，
∵BC＝2，
∴EM＝BC＝1，
∵DE≤DM+EM（当且仅当点M在线段DE上时，等号成立），
∴DE≤6，
∴DE的最大值为6．
故选：C．
【点评】本题主要考查勾股定理，直角三角形的性质，三角形的中位线，三角形的三边关系等知识的综合运用，构造直角三角形是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11．要使代数式有意义，则x的取值范围是 x≥﹣2且x≠3 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
解：由代数式有意义，得
．
解得x≥﹣2且x≠3，
故答案为：x≥﹣2且x≠3．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．福建省体育中考的抽考项目为：篮球绕杆运球、排球对墙垫球、足球绕杆运球．2025年漳州市体育中考的抽考项目抽中“排球对墙垫球”的概率为 ．
【分析】根据题目条件回答即可，属于简单的概率问题．
解：由题意得，考试项目共三种，
∴抽中“排球对墙垫球”的概率为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了概率问题，属于基础题，要认真读题．
13．已知α、β是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 ﹣1 ．
【分析】根据方程的根的定义，以及根与系数之间的关系，即可得到α2+2α﹣1＝0，α+β＝﹣2，根据α2+3α+β＝α2+2α+α+β即可求解．
解：∵α，β是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，
∴α2+2α﹣1＝0，α+β＝﹣2．
∴α2+2α＝1
∴α2+3α+β＝α2+2α+α+β＝1﹣2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了一元二次方程根的定义．
14．如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则sin∠BAC的值为 ．
【分析】连接BD，CD，由tan∠ACK＝tan∠DCM＝，得到∠ACK＝∠DCM，由∠DCM+∠DCK＝180°，得到∠ACK+∠DCK＝180°，推出A、C、D共线，由勾股定理的逆定理推出∠BDC＝90°，由勾股定理求出BD＝，AB＝＝5，即可求出sin∠BAC＝＝．
解：连接BD，CD，
∵tan∠ACK＝tan∠DCM＝，
∴∠ACK＝∠DCM，
∵∠DCM+∠DCK＝180°，
∴∠ACK+∠DCK＝180°，
∴A、C、D共线，
∵CD2＝BD2＝22+12，BC2＝32+12，
∴BC2＝BD2+CD2，
∴∠BDC＝90°，
∵BD＝，AB＝＝5，
∴sin∠BAC＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查解直角三角形，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用锐角的正弦定义求解．
15．如图，△ABD中，∠A＝60°．点B为线段DE的中点，EF⊥AD，交AB于点C，若AC＝BC＝3，则AD＝ ．
【分析】由已知条件∠A＝60°，EF⊥AD，AC＝3，可求AF＝AC＝，作BG∥AD交EF于点G，结合AC＝BC，易证△ACF≌△BCG，进而求得BG＝AF＝，易证△BEG∽△DEF，根据相似三角形的性质，结合点B为线段DE的中点，可推出，所以DF＝2BG＝2×＝3，即可求AD的长．
解：如图，作BG∥AD交EF于点G，
∵∠A＝60°，EF⊥AD，AC＝3，
∴AF＝AC＝，
∵BG∥AD，
∴∠A＝∠CBG，∠AFC＝∠BGC，
又∵AC＝BC，
∴△ACF≌△BCG（AAS），
∴BG＝AF＝，
∵BG∥AD，
∴△BEG∽△DEF，
∴，
∵点B为线段DE的中点，
∴，
∴DF＝2BG＝2×＝3，
∴AD＝AF+DF＝+3＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，结合已知条件添辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
16．若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2），且﹣1＜x1＜0．则下列说法正确的有 ①③ ．（将正确选项的序号填在横线上）
①若x2＞0，则c＜0；
②|x1|+|x2|＝；
③若|x2﹣x1|＝2，则|1﹣b+c|﹣|1+b+c|＞2|4+2b+c|﹣6；
④若＝7，则b2＝﹣c．
【分析】根据根与系数的关系即可判断①；分为x2≥0和x2＜0两种情况，分别将x1，x2表示出来，相加即可判断②；由|x2﹣x1|＝2得出x2的范围，由二次函数图象的性质可得x＝﹣1，x＝1，x＝2时y的值，即可判断③；利用根与系数的关系将等量关系化为关于b，c的式子，即可判断④．
解：（1）∵﹣1＜x1＜0，x2＞0，a＝1，
∴，
故①正确；
∵﹣1＜x1＜0，x1＜x2，a＝1，
∴，，
当x2≥0时，
，
∴，
当x2＜0时，
，
∴|x1|+|x2|＝﹣x2﹣x1＝b，
故②错误；
∵﹣1＜x1＜0，x1＜x2，|x2﹣x1|＝2，
∴1＜x2＜2，
∴，
∴b＜0，
当x＝﹣1时，y＝1﹣b+c＞0，
∴|1﹣b+c|＝1﹣b+c，
当x＝1时，y＝1+b+c＜0，
∴|1+b+c|＝﹣（1+b+c），
当x＝2时，y＝4+2b+c＞0，
∴|4+2b+c|＝4+2b+c，
∴|1﹣b+c|﹣|1+b+c|＝2+2c，2|4+2b+c|﹣6＝4b+2c+2，
∵2+2c＞4b+2c+2，
∴|1﹣b+c|﹣|1+b+c|＞2|4+2b+c|﹣6，
故③正确；
∵x1+x2＝﹣b，x1x2＝c，
∴，
∴，
∵＝7，
∴（b2﹣2c）2﹣2c2＝7c2，
∴（b2﹣2c）2﹣9c2＝0，
∴（b2﹣2c+3c）（b2﹣2c﹣3c）＝0，
∴（b2+c）（b2﹣5c）＝0，
∴b2＝﹣c或b2＝5c，
故④错误．
故答案为：①③．
【点评】本题考查绝对值的分类讨论，熟练掌握绝对值的性质，根与系数的关系是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．计算：．
【分析】先化简各项，再计算即可．
解：原式＝2+2﹣﹣2
＝
＝．
【点评】本题考查实数的混合运算，解题的关键是根据二次根式、特殊角度三角函数、负整数指数幂进行化简．
18．解方程：x2+6x+2＝0．
【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方，再利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程，求出解即可．
解：方程x2+6x+2＝0，
配方得：（x+3）2＝7，
开方得：x+3＝±，
解得：x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
19．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x1＝0．x2＝﹣1，则方程：x2+x＝0是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断方程x2+x﹣2＝0是否是“邻根方程”；
（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0（k是常数）是“邻根方程”，求k的值．
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义判断即可；
（2）设方程x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0的两根分别为x1，x2（x1≥x2），利用根与系数的关系得到x1+x2＝k﹣3，x1x2＝﹣3k，再由“邻根方程”的定义得到x1＝x2+1，从而得到关于k的方程，解方程即可得到答案．
解：（1）∵x2+x﹣2＝0，
∴（x﹣1）（x+2）＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣2，
∵x1≠x2+1，
∴方程x2+x﹣2＝0不是“邻根方程”；
（2）设方程x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0（k是常数）的两根分别为x1，x2（x1≥x2），
∴x1+x2＝k﹣3，x1x2＝﹣3k，
∵关于x的方程x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0（k是常数）是“邻根方程”，
∴x1＝x2+1，
∴x2+1+x2＝k﹣3，
∴x2＝，
∴x1＝
∴•＝﹣3k，
∴k2+6k+8＝0，
解得k＝﹣2或k＝﹣4．
经检验，k＝﹣2与k＝﹣4均符合题意．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，正确理解题意和熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．如图，点C是△ABD边AD上一点，且满足∠CBD＝∠A．
（1）证明：△BCD∽△ABD；
（2）若BC：AB＝3：5，AC＝16，求BD的长．
【分析】（1）利用有两个角对应相等的两个三角形相似解答即可；
（2）利用相似三角形的性质列出比例式解答即可．
【解答】（1）证明：∵∠CBD＝∠A，∠D＝∠D，
∴△BCD∽△ABD；
（2）解：由（1）知：△BCD∽△ABD，
∴．
∵BC：AB＝3：5，
∴．
设BD＝3x，则AD＝5x，
∴CD＝AD﹣AC＝5x﹣16．
∵△BCD∽△ABD，
∴，
∴BD2＝AD•CD，
∴（3x）2＝5x（5x﹣16），
∴16x2﹣80x＝0．
解得：x＝0（不合题意，舍去）或x＝5，
∴BD＝3x＝15．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
21．顺德华侨城景区在2022年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2024年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．
（1）求顺德华侨城景区2022至2024年春节长假期间奇游客人次的年平均增长率；
（2）华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯.2024年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
【分析】（1）设年平均增长率为x，根据2022年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在24春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．列出方程求解即可；
（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解作出取舍即可．
解：（1）设年平均增长率为x，由题意得：
20（1+x）2＝28.8，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍）．
答：年平均增长率为20%；
（2）解：设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得：
（y﹣6）[300+30（25﹣y）]＝6300，
整理得：y2﹣41y+420＝0，
解得：y1＝20，y2＝21．
∵售价不超过20元，
∴y＝20．
答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．
【点评】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键．
22．某校为了了解九年级男生的体质锻炼情况，随机抽取部分男生进行1000米跑步测试，按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，其中良好的学生人数占抽取学生总数的40%，学校绘制了如下不完整的统计图：
（1）求被抽取的合格等级的学生人数，并补全条形统计图；
（2）为了进一步强化训练，学校决定每天组织九年级学生开展半小时跑操活动，并准备从上述被抽取的成绩优秀的学生中，随机选取1名担任领队，小明是被抽取的成绩优秀的一名男生，求小明被选中担任领队的概率；
（3）学校即将举行冬季1000米跑步比赛．预赛分为A，B，C三组进行，选手由抽签确定分组，求某班甲、乙两位选手在预赛中恰好分在同一组的概率是多少？请画出树状图或列表加以说明．
【分析】（1）先利用良好等级的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出合格等级的人数，从而补全统计图；
（2）直接根据概率公式求解即可；
（3）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出甲、乙两人恰好分在同一组的结果数，然后根据概率公式求解即可．
解：（1）合格等级的人数为16÷40%﹣12﹣16﹣4＝8，
补全图形如下：
（2）∵被抽取的成绩优秀的学生有12人，
∴小明被选中担任领队的概率为；
（3）根据题意画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两人恰好分在同一组的结果数为3，
∴甲、乙两人恰好分在同一组的概率是＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与列举法求概率的知识．此题难度适中，注意理解题意是解此题的关键，注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠B．
（1）在AB的延长线上，求作点D，使得△CBD∽△ACD（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若AB＝5，S△ABC＝5，求tan∠CDB的值．
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作法作出图形即可；
（2）过C作CH⊥AB于H，根据三角形的面积求得CH＝2，过C作CG⊥CD交AB于G，根据直角三角形的性质得到CG＝AG＝BG＝，根据勾股定理得到HG＝＝，求得BH＝BG﹣HG＝1，推出△CBH∽△ACH，根据相似三角形的性质得到，设BD＝x，CD＝2x，根据勾股定理得到DH＝，根据三角函数的定义得到tan∠CDB＝＝．
解：（1）如图所示；
（2）过C作CH⊥AB于H，
∵AB＝5，S△ABC＝5，
∴，
∴CH＝2，
过C作CG⊥CD交AB于G，
∴∠DCG＝∠ACB＝90°，
∴∠DCB＝∠ACG，
∵∠DCB＝∠A，
∴∠ACG＝∠A，
∴CG＝AG，
∴CG＝AG＝BG＝，
∴HG＝＝，
∴BH＝BG﹣HG＝1，
∵∠CBA+∠A＝∠CBA+∠BCH＝90°，
∴∠BCH＝∠A，
∴△CBH∽△ACH，
∴，
∵△CBD∽△ACD，
∴，
∴设BD＝x，CD＝2x，
∵CD2＝DH2+CH2，
∴（2x）2＝（x+1）2+22，
∴x＝（负值舍去），
∴DH＝，
∴tan∠CDB＝＝．
【点评】本题考查了作图﹣相似变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
24．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E是边AB，AC的中点，连接DE，DC，点M，N分别是DE和DC的中点，连接MN．
（1）如图1，MN与BD的数量关系是 MN＝BD ；
（2）如图2，将△ADE绕点A顺时针旋转，连接BD，请写出MN和BD的数量关系并就图2的情形说明理由；
（3）在△ADE的旋转过程中，当B，D，E三点共线时，求线段MN的长．
【分析】（1）由三角形中位线定理可得MN＝CE，即可求解；
（2）由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD＝CE，由三角形中位线定理可得MN＝CE，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由勾股定理可求解．
解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴BC＝8，
∵点D，E是边AB，AC的中点，
∴AE＝AD＝2＝BD＝CE，DE＝BC＝4，
∵点M，N分别是DE和DC的中点，
∴MN＝CE，
∴MN＝BD，
故答案为：MN＝BD；
（2）MN＝BD，理由如下：
如图2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BAD，
又∵AE＝AD，AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∵点M，N分别是DE和DC的中点，
∴MN＝CE，
∴MN＝BD；
（3）当点E在线段BD上时，如图3，连接CE，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BAD，
又∵AE＝AD，AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD，
∴∠ABD+∠ABC+∠BCE＝∠ABC+∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∵BE2+EC2＝BC2，
∴（EC﹣4）2+EC2＝32，
∴EC＝2+2（负值舍去），
∵点M，N分别是DE和DC的中点，
∴MN＝CE＝+1，
当点D在线段BE上时，如图4，连接CE，
同理可求：MN＝﹣1，
综上所述：MN的长为+1或﹣1．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25．问题背景：
（1）如图1，点E是△ABC内一点，且△ABC∽△DEC，连接AD，BE，求证：△ADC∽△BEC．
（2）如图2，点C是线段AB垂直平分线上位于AB上方的一动点，△PCB是位于AB上方的等腰直角三角形，且PB＝BC，则
① ≥ 1（填一个合适的不等号）；
②的最大值为 ，此时∠CBA＝ 22.5 °．
问题组合与迁移：
（3）如图3，AD是等腰△ABC底边BC上的高，点E是AD上的一动点，△PEC位于BC的上方，且△ABC∽△PEC，若，求的最小值．
【分析】（1）由△ABC∽△DEC，得，∠BCA＝∠ECD，则∠BCE＝∠ACD，即可证明结论；
（2）①连接AC，根据线段垂直平分线的性质得CA＝CB，再利用三角形三边关系可得结论；
②根据等腰三角形的性质得到PB＝CB，根据勾股定理得到PC＝，求得PA＝（1+）PB，于是得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（3）根据等腰三角形的性质得到BC＝2BD，BE＝EC，连接BE，根据三角函数的定义求得，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC∽△DEC，
∴，∠BCA＝∠ECD，
∴∠BCE＝∠ACD；
∴△ADC∽△BEC；
（2）解：①连接AC，
∵点C在线段AB垂直平分线上，
∴CA＝CB，
∴，
在△PAC中，PC+CA≥PA，
∴≥1，
故答案为：≥，
②当∠PCA＝180°时，最大，
∵△PBC是等腰三角形，
∴PB＝CB，PC＝，
∵CB＝AC，
∴PB＝AC，
∴PA＝AC+PC＝PB+PB＝（1+）PB，
∴，
∴∠ACB＝180°﹣∠PCB＝180°﹣45°＝135°，
∴∠CBA＝＝22.5°，
故答案为：，22.5；
（3）解：∵AD是等腰△ABC底边上的高，
∴BC＝2BD，BE＝EC，
∵，
连接BE，
∴，
∵△ABC∽△PEC，
∴由（1）同理可得△APC∽△BEC，
∴，
∴，
又∵，
∴PE＝AP
∵PE+BE≥PB，
∴，
∴，
∴ 最小值为 ．
【点评】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，正确地作出辅助线是解题的关键．
1．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．若＝，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．投掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数小于7
B．在一个只装了红球的袋子里，摸出一个白球
C．在一副扑克牌中抽出一张，抽出的牌是黑桃6
D．画一个三角形，其内角和是180°
4．用配方法解方程2x2﹣4x﹣7＝0，下列变形结果正确的是（ ）
A．B．
C．（x﹣2）2＝3D．
5．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0有实根，则m的取值范围是（ ）
A．m≠2B．m≥﹣6且m≠0C．m≤6D．m≤6且m≠2
6．已知1＜p＜2，化简+（）2＝（ ）
A．1B．3C．3﹣2pD．1﹣2p
7．如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L距离6km，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为43°，则这枚火箭此时的高度AL为（ ）km．
A．6sin43°B．6cs43°C．D．6tan43°
8．如图，D是△ABC边AB延长线上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACB＝∠DB．∠ACD＝∠ABCC．D．
9．如图，某小区规划在一个长40米，宽30米的矩形场地ABCD上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每块草坪面积都为168平方米，设道路的宽度为x米．则（ ）
A．（40﹣2x）（30﹣x）＝168×6
B．30×40﹣2×30x﹣40x＝168×6
C．（30﹣2x）（40﹣x）＝168
D．（40﹣2x）（30﹣x）＝168
10．如图，四边形ABCD中，AD⊥CD于点D，BC＝2，AD＝8，CD＝6，点E是AB的中点，连接DE，则DE的最大值是（ ）
A．5B．C．6D．
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11．要使代数式有意义，则x的取值范围是 ．
12．福建省体育中考的抽考项目为：篮球绕杆运球、排球对墙垫球、足球绕杆运球．2025年漳州市体育中考的抽考项目抽中“排球对墙垫球”的概率为 ．
13．已知α、β是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 ．
14．如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则sin∠BAC的值为 ．
15．如图，△ABD中，∠A＝60°．点B为线段DE的中点，EF⊥AD，交AB于点C，若AC＝BC＝3，则AD＝ ．
16．若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2），且﹣1＜x1＜0．则下列说法正确的有 ．（将正确选项的序号填在横线上）
①若x2＞0，则c＜0；
②|x1|+|x2|＝；
③若|x2﹣x1|＝2，则|1﹣b+c|﹣|1+b+c|＞2|4+2b+c|﹣6；
④若＝7，则b2＝﹣c．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．计算：．
18．解方程：x2+6x+2＝0．
19．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x1＝0．x2＝﹣1，则方程：x2+x＝0是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断方程x2+x﹣2＝0是否是“邻根方程”；
（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0（k是常数）是“邻根方程”，求k的值．
20．如图，点C是△ABD边AD上一点，且满足∠CBD＝∠A．
（1）证明：△BCD∽△ABD；
（2）若BC：AB＝3：5，AC＝16，求BD的长．
21．顺德华侨城景区在2022年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2024年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．
（1）求顺德华侨城景区2022至2024年春节长假期间奇游客人次的年平均增长率；
（2）华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯.2024年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
22．某校为了了解九年级男生的体质锻炼情况，随机抽取部分男生进行1000米跑步测试，按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，其中良好的学生人数占抽取学生总数的40%，学校绘制了如下不完整的统计图：
（1）求被抽取的合格等级的学生人数，并补全条形统计图；
（2）为了进一步强化训练，学校决定每天组织九年级学生开展半小时跑操活动，并准备从上述被抽取的成绩优秀的学生中，随机选取1名担任领队，小明是被抽取的成绩优秀的一名男生，求小明被选中担任领队的概率；
（3）学校即将举行冬季1000米跑步比赛．预赛分为A，B，C三组进行，选手由抽签确定分组，求某班甲、乙两位选手在预赛中恰好分在同一组的概率是多少？请画出树状图或列表加以说明．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠B．
（1）在AB的延长线上，求作点D，使得△CBD∽△ACD（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若AB＝5，S△ABC＝5，求tan∠CDB的值．
24．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E是边AB，AC的中点，连接DE，DC，点M，N分别是DE和DC的中点，连接MN．
（1）如图1，MN与BD的数量关系是 ；
（2）如图2，将△ADE绕点A顺时针旋转，连接BD，请写出MN和BD的数量关系并就图2的情形说明理由；
（3）在△ADE的旋转过程中，当B，D，E三点共线时，求线段MN的长．
25．问题背景：
（1）如图1，点E是△ABC内一点，且△ABC∽△DEC，连接AD，BE，求证：△ADC∽△BEC．
（2）如图2，点C是线段AB垂直平分线上位于AB上方的一动点，△PCB是位于AB上方的等腰直角三角形，且PB＝BC，则
① 1（填一个合适的不等号）；
②的最大值为 ，此时∠CBA＝ °．
问题组合与迁移：
（3）如图3，AD是等腰△ABC底边BC上的高，点E是AD上的一动点，△PEC位于BC的上方，且△ABC∽△PEC，若，求的最小值．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的加法法则，二次根式的性质，二次根式的乘法法则进行计算即可．
解：A．，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项符合题意；
D．，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的多种运算，能灵活运用二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
2．若＝，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】把化成+1，再把＝代入，进行计算即可得出答案．
解：∵＝，
∴＝+1＝+1＝．
故选：A．
【点评】此题考查了比例的性质，解题的关键是把化成+1，较简单．
3．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．投掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数小于7
B．在一个只装了红球的袋子里，摸出一个白球
C．在一副扑克牌中抽出一张，抽出的牌是黑桃6
D．画一个三角形，其内角和是180°
【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为不确定事件；事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的，据此逐项判断即可．
解：A、投掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数小于7，是必然事件；
B、在一个只装了红球的袋子里，摸出一个白球，是不可能事件；
C、在一副扑克牌中抽出一张，抽出的牌是黑桃6，属于随机事件；
D、画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件；
故选：C．
【点评】本题主要考查随机事件的概念：随机事件是可能发生，也可能不发生的事件．
4．用配方法解方程2x2﹣4x﹣7＝0，下列变形结果正确的是（ ）
A．B．
C．（x﹣2）2＝3D．
【分析】先移项，再方程两边除以2，最后配方后找出选项即可．
解：2x2﹣4x﹣7＝0，
2x2﹣4x＝7，
x2﹣2x＝，
配方，得x2﹣2x+1＝+1，
（x﹣1）2＝．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
5．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0有实根，则m的取值范围是（ ）
A．m≠2B．m≥﹣6且m≠0C．m≤6D．m≤6且m≠2
【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m﹣2≠0且Δ＝4m2﹣4（m﹣2）（m+3）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
解：根据题意得m﹣2≠0且Δ＝4m2﹣4（m﹣2）（m+3）≥0，
解得m≤6且m≠2，
即m的取值范围是m≤6且m≠2．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
6．已知1＜p＜2，化简+（）2＝（ ）
A．1B．3C．3﹣2pD．1﹣2p
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
解：∵1＜p＜2，
∴1﹣p＜0，2﹣p＞0，
∴原式＝|1﹣p|+2﹣p
＝p﹣1+2﹣p
＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根式的性质．
7．如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L距离6km，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为43°，则这枚火箭此时的高度AL为（ ）km．
A．6sin43°B．6cs43°C．D．6tan43°
【分析】根据正切的定义即可求解．
解：在Rt△ALR中，RL＝6，∠ARL＝43°，
∴tanR＝，
∴AL＝LR•tanR＝6•tan43°（km）．
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，仰角问题，掌握三角函数的定义是解题的关键．
8．如图，D是△ABC边AB延长线上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACB＝∠DB．∠ACD＝∠ABCC．D．
【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
解：A、当∠ACB＝∠D时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
B、当∠ACD＝∠ABC时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
C、当时，无法得出△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；
D、当时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
9．如图，某小区规划在一个长40米，宽30米的矩形场地ABCD上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每块草坪面积都为168平方米，设道路的宽度为x米．则（ ）
A．（40﹣2x）（30﹣x）＝168×6
B．30×40﹣2×30x﹣40x＝168×6
C．（30﹣2x）（40﹣x）＝168
D．（40﹣2x）（30﹣x）＝168
【分析】设道路的宽度为x米．则横、纵道路的宽分别为x米、2x米，则每块草坪的相邻两边的长度分别为（40﹣2x）米、（30﹣x）米，根据每一块草坪的面积都为168平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：设横、纵道路的宽分别为x米、2x米，则每块草坪的相邻两边的长度分别为（40﹣2x）米、（30﹣x）米，
根据题意得：（40﹣2x）×（30﹣x）＝168×6，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据每一块草坪的面积都为168平方米结合矩形的面积，找出关于x的一元二次方程是解题的关键．
10．如图，四边形ABCD中，AD⊥CD于点D，BC＝2，AD＝8，CD＝6，点E是AB的中点，连接DE，则DE的最大值是（ ）
A．5B．C．6D．
【分析】连接AC，取AC的中点为M，连接DM、EM，由勾股定理可求AC的长，利用直角三角形斜边上的中线可求解DM的长，根据三角形的中位线可求解EM的长，再利用三角形的三边关系可求解．
解：如图，连接AC，取AC的中点为M，连接DM、EM，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝8，CD＝6，
∴AC＝，
∵M是AC的中点，
∴DM＝AC＝5，
∵M是AC的中点，E是AB的中点，
∴EM是△ABC的中位线，
∵BC＝2，
∴EM＝BC＝1，
∵DE≤DM+EM（当且仅当点M在线段DE上时，等号成立），
∴DE≤6，
∴DE的最大值为6．
故选：C．
【点评】本题主要考查勾股定理，直角三角形的性质，三角形的中位线，三角形的三边关系等知识的综合运用，构造直角三角形是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11．要使代数式有意义，则x的取值范围是 x≥﹣2且x≠3 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
解：由代数式有意义，得
．
解得x≥﹣2且x≠3，
故答案为：x≥﹣2且x≠3．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．福建省体育中考的抽考项目为：篮球绕杆运球、排球对墙垫球、足球绕杆运球．2025年漳州市体育中考的抽考项目抽中“排球对墙垫球”的概率为 ．
【分析】根据题目条件回答即可，属于简单的概率问题．
解：由题意得，考试项目共三种，
∴抽中“排球对墙垫球”的概率为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了概率问题，属于基础题，要认真读题．
13．已知α、β是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 ﹣1 ．
【分析】根据方程的根的定义，以及根与系数之间的关系，即可得到α2+2α﹣1＝0，α+β＝﹣2，根据α2+3α+β＝α2+2α+α+β即可求解．
解：∵α，β是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，
∴α2+2α﹣1＝0，α+β＝﹣2．
∴α2+2α＝1
∴α2+3α+β＝α2+2α+α+β＝1﹣2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了一元二次方程根的定义．
14．如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则sin∠BAC的值为 ．
【分析】连接BD，CD，由tan∠ACK＝tan∠DCM＝，得到∠ACK＝∠DCM，由∠DCM+∠DCK＝180°，得到∠ACK+∠DCK＝180°，推出A、C、D共线，由勾股定理的逆定理推出∠BDC＝90°，由勾股定理求出BD＝，AB＝＝5，即可求出sin∠BAC＝＝．
解：连接BD，CD，
∵tan∠ACK＝tan∠DCM＝，
∴∠ACK＝∠DCM，
∵∠DCM+∠DCK＝180°，
∴∠ACK+∠DCK＝180°，
∴A、C、D共线，
∵CD2＝BD2＝22+12，BC2＝32+12，
∴BC2＝BD2+CD2，
∴∠BDC＝90°，
∵BD＝，AB＝＝5，
∴sin∠BAC＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查解直角三角形，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用锐角的正弦定义求解．
15．如图，△ABD中，∠A＝60°．点B为线段DE的中点，EF⊥AD，交AB于点C，若AC＝BC＝3，则AD＝ ．
【分析】由已知条件∠A＝60°，EF⊥AD，AC＝3，可求AF＝AC＝，作BG∥AD交EF于点G，结合AC＝BC，易证△ACF≌△BCG，进而求得BG＝AF＝，易证△BEG∽△DEF，根据相似三角形的性质，结合点B为线段DE的中点，可推出，所以DF＝2BG＝2×＝3，即可求AD的长．
解：如图，作BG∥AD交EF于点G，
∵∠A＝60°，EF⊥AD，AC＝3，
∴AF＝AC＝，
∵BG∥AD，
∴∠A＝∠CBG，∠AFC＝∠BGC，
又∵AC＝BC，
∴△ACF≌△BCG（AAS），
∴BG＝AF＝，
∵BG∥AD，
∴△BEG∽△DEF，
∴，
∵点B为线段DE的中点，
∴，
∴DF＝2BG＝2×＝3，
∴AD＝AF+DF＝+3＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，结合已知条件添辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
16．若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2），且﹣1＜x1＜0．则下列说法正确的有 ①③ ．（将正确选项的序号填在横线上）
①若x2＞0，则c＜0；
②|x1|+|x2|＝；
③若|x2﹣x1|＝2，则|1﹣b+c|﹣|1+b+c|＞2|4+2b+c|﹣6；
④若＝7，则b2＝﹣c．
【分析】根据根与系数的关系即可判断①；分为x2≥0和x2＜0两种情况，分别将x1，x2表示出来，相加即可判断②；由|x2﹣x1|＝2得出x2的范围，由二次函数图象的性质可得x＝﹣1，x＝1，x＝2时y的值，即可判断③；利用根与系数的关系将等量关系化为关于b，c的式子，即可判断④．
解：（1）∵﹣1＜x1＜0，x2＞0，a＝1，
∴，
故①正确；
∵﹣1＜x1＜0，x1＜x2，a＝1，
∴，，
当x2≥0时，
，
∴，
当x2＜0时，
，
∴|x1|+|x2|＝﹣x2﹣x1＝b，
故②错误；
∵﹣1＜x1＜0，x1＜x2，|x2﹣x1|＝2，
∴1＜x2＜2，
∴，
∴b＜0，
当x＝﹣1时，y＝1﹣b+c＞0，
∴|1﹣b+c|＝1﹣b+c，
当x＝1时，y＝1+b+c＜0，
∴|1+b+c|＝﹣（1+b+c），
当x＝2时，y＝4+2b+c＞0，
∴|4+2b+c|＝4+2b+c，
∴|1﹣b+c|﹣|1+b+c|＝2+2c，2|4+2b+c|﹣6＝4b+2c+2，
∵2+2c＞4b+2c+2，
∴|1﹣b+c|﹣|1+b+c|＞2|4+2b+c|﹣6，
故③正确；
∵x1+x2＝﹣b，x1x2＝c，
∴，
∴，
∵＝7，
∴（b2﹣2c）2﹣2c2＝7c2，
∴（b2﹣2c）2﹣9c2＝0，
∴（b2﹣2c+3c）（b2﹣2c﹣3c）＝0，
∴（b2+c）（b2﹣5c）＝0，
∴b2＝﹣c或b2＝5c，
故④错误．
故答案为：①③．
【点评】本题考查绝对值的分类讨论，熟练掌握绝对值的性质，根与系数的关系是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．计算：．
【分析】先化简各项，再计算即可．
解：原式＝2+2﹣﹣2
＝
＝．
【点评】本题考查实数的混合运算，解题的关键是根据二次根式、特殊角度三角函数、负整数指数幂进行化简．
18．解方程：x2+6x+2＝0．
【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方，再利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程，求出解即可．
解：方程x2+6x+2＝0，
配方得：（x+3）2＝7，
开方得：x+3＝±，
解得：x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
19．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x1＝0．x2＝﹣1，则方程：x2+x＝0是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断方程x2+x﹣2＝0是否是“邻根方程”；
（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0（k是常数）是“邻根方程”，求k的值．
【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义判断即可；
（2）设方程x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0的两根分别为x1，x2（x1≥x2），利用根与系数的关系得到x1+x2＝k﹣3，x1x2＝﹣3k，再由“邻根方程”的定义得到x1＝x2+1，从而得到关于k的方程，解方程即可得到答案．
解：（1）∵x2+x﹣2＝0，
∴（x﹣1）（x+2）＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣2，
∵x1≠x2+1，
∴方程x2+x﹣2＝0不是“邻根方程”；
（2）设方程x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0（k是常数）的两根分别为x1，x2（x1≥x2），
∴x1+x2＝k﹣3，x1x2＝﹣3k，
∵关于x的方程x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0（k是常数）是“邻根方程”，
∴x1＝x2+1，
∴x2+1+x2＝k﹣3，
∴x2＝，
∴x1＝
∴•＝﹣3k，
∴k2+6k+8＝0，
解得k＝﹣2或k＝﹣4．
经检验，k＝﹣2与k＝﹣4均符合题意．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，正确理解题意和熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．如图，点C是△ABD边AD上一点，且满足∠CBD＝∠A．
（1）证明：△BCD∽△ABD；
（2）若BC：AB＝3：5，AC＝16，求BD的长．
【分析】（1）利用有两个角对应相等的两个三角形相似解答即可；
（2）利用相似三角形的性质列出比例式解答即可．
【解答】（1）证明：∵∠CBD＝∠A，∠D＝∠D，
∴△BCD∽△ABD；
（2）解：由（1）知：△BCD∽△ABD，
∴．
∵BC：AB＝3：5，
∴．
设BD＝3x，则AD＝5x，
∴CD＝AD﹣AC＝5x﹣16．
∵△BCD∽△ABD，
∴，
∴BD2＝AD•CD，
∴（3x）2＝5x（5x﹣16），
∴16x2﹣80x＝0．
解得：x＝0（不合题意，舍去）或x＝5，
∴BD＝3x＝15．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
21．顺德华侨城景区在2022年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2024年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．
（1）求顺德华侨城景区2022至2024年春节长假期间奇游客人次的年平均增长率；
（2）华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯.2024年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
【分析】（1）设年平均增长率为x，根据2022年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在24春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．列出方程求解即可；
（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解作出取舍即可．
解：（1）设年平均增长率为x，由题意得：
20（1+x）2＝28.8，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍）．
答：年平均增长率为20%；
（2）解：设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得：
（y﹣6）[300+30（25﹣y）]＝6300，
整理得：y2﹣41y+420＝0，
解得：y1＝20，y2＝21．
∵售价不超过20元，
∴y＝20．
答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．
【点评】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键．
22．某校为了了解九年级男生的体质锻炼情况，随机抽取部分男生进行1000米跑步测试，按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，其中良好的学生人数占抽取学生总数的40%，学校绘制了如下不完整的统计图：
（1）求被抽取的合格等级的学生人数，并补全条形统计图；
（2）为了进一步强化训练，学校决定每天组织九年级学生开展半小时跑操活动，并准备从上述被抽取的成绩优秀的学生中，随机选取1名担任领队，小明是被抽取的成绩优秀的一名男生，求小明被选中担任领队的概率；
（3）学校即将举行冬季1000米跑步比赛．预赛分为A，B，C三组进行，选手由抽签确定分组，求某班甲、乙两位选手在预赛中恰好分在同一组的概率是多少？请画出树状图或列表加以说明．
【分析】（1）先利用良好等级的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出合格等级的人数，从而补全统计图；
（2）直接根据概率公式求解即可；
（3）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出甲、乙两人恰好分在同一组的结果数，然后根据概率公式求解即可．
解：（1）合格等级的人数为16÷40%﹣12﹣16﹣4＝8，
补全图形如下：
（2）∵被抽取的成绩优秀的学生有12人，
∴小明被选中担任领队的概率为；
（3）根据题意画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两人恰好分在同一组的结果数为3，
∴甲、乙两人恰好分在同一组的概率是＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与列举法求概率的知识．此题难度适中，注意理解题意是解此题的关键，注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠B．
（1）在AB的延长线上，求作点D，使得△CBD∽△ACD（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若AB＝5，S△ABC＝5，求tan∠CDB的值．
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作法作出图形即可；
（2）过C作CH⊥AB于H，根据三角形的面积求得CH＝2，过C作CG⊥CD交AB于G，根据直角三角形的性质得到CG＝AG＝BG＝，根据勾股定理得到HG＝＝，求得BH＝BG﹣HG＝1，推出△CBH∽△ACH，根据相似三角形的性质得到，设BD＝x，CD＝2x，根据勾股定理得到DH＝，根据三角函数的定义得到tan∠CDB＝＝．
解：（1）如图所示；
（2）过C作CH⊥AB于H，
∵AB＝5，S△ABC＝5，
∴，
∴CH＝2，
过C作CG⊥CD交AB于G，
∴∠DCG＝∠ACB＝90°，
∴∠DCB＝∠ACG，
∵∠DCB＝∠A，
∴∠ACG＝∠A，
∴CG＝AG，
∴CG＝AG＝BG＝，
∴HG＝＝，
∴BH＝BG﹣HG＝1，
∵∠CBA+∠A＝∠CBA+∠BCH＝90°，
∴∠BCH＝∠A，
∴△CBH∽△ACH，
∴，
∵△CBD∽△ACD，
∴，
∴设BD＝x，CD＝2x，
∵CD2＝DH2+CH2，
∴（2x）2＝（x+1）2+22，
∴x＝（负值舍去），
∴DH＝，
∴tan∠CDB＝＝．
【点评】本题考查了作图﹣相似变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
24．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E是边AB，AC的中点，连接DE，DC，点M，N分别是DE和DC的中点，连接MN．
（1）如图1，MN与BD的数量关系是 MN＝BD ；
（2）如图2，将△ADE绕点A顺时针旋转，连接BD，请写出MN和BD的数量关系并就图2的情形说明理由；
（3）在△ADE的旋转过程中，当B，D，E三点共线时，求线段MN的长．
【分析】（1）由三角形中位线定理可得MN＝CE，即可求解；
（2）由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD＝CE，由三角形中位线定理可得MN＝CE，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由勾股定理可求解．
解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴BC＝8，
∵点D，E是边AB，AC的中点，
∴AE＝AD＝2＝BD＝CE，DE＝BC＝4，
∵点M，N分别是DE和DC的中点，
∴MN＝CE，
∴MN＝BD，
故答案为：MN＝BD；
（2）MN＝BD，理由如下：
如图2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BAD，
又∵AE＝AD，AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∵点M，N分别是DE和DC的中点，
∴MN＝CE，
∴MN＝BD；
（3）当点E在线段BD上时，如图3，连接CE，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BAD，
又∵AE＝AD，AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD，
∴∠ABD+∠ABC+∠BCE＝∠ABC+∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∵BE2+EC2＝BC2，
∴（EC﹣4）2+EC2＝32，
∴EC＝2+2（负值舍去），
∵点M，N分别是DE和DC的中点，
∴MN＝CE＝+1，
当点D在线段BE上时，如图4，连接CE，
同理可求：MN＝﹣1，
综上所述：MN的长为+1或﹣1．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25．问题背景：
（1）如图1，点E是△ABC内一点，且△ABC∽△DEC，连接AD，BE，求证：△ADC∽△BEC．
（2）如图2，点C是线段AB垂直平分线上位于AB上方的一动点，△PCB是位于AB上方的等腰直角三角形，且PB＝BC，则
① ≥ 1（填一个合适的不等号）；
②的最大值为 ，此时∠CBA＝ 22.5 °．
问题组合与迁移：
（3）如图3，AD是等腰△ABC底边BC上的高，点E是AD上的一动点，△PEC位于BC的上方，且△ABC∽△PEC，若，求的最小值．
【分析】（1）由△ABC∽△DEC，得，∠BCA＝∠ECD，则∠BCE＝∠ACD，即可证明结论；
（2）①连接AC，根据线段垂直平分线的性质得CA＝CB，再利用三角形三边关系可得结论；
②根据等腰三角形的性质得到PB＝CB，根据勾股定理得到PC＝，求得PA＝（1+）PB，于是得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（3）根据等腰三角形的性质得到BC＝2BD，BE＝EC，连接BE，根据三角函数的定义求得，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC∽△DEC，
∴，∠BCA＝∠ECD，
∴∠BCE＝∠ACD；
∴△ADC∽△BEC；
（2）解：①连接AC，
∵点C在线段AB垂直平分线上，
∴CA＝CB，
∴，
在△PAC中，PC+CA≥PA，
∴≥1，
故答案为：≥，
②当∠PCA＝180°时，最大，
∵△PBC是等腰三角形，
∴PB＝CB，PC＝，
∵CB＝AC，
∴PB＝AC，
∴PA＝AC+PC＝PB+PB＝（1+）PB，
∴，
∴∠ACB＝180°﹣∠PCB＝180°﹣45°＝135°，
∴∠CBA＝＝22.5°，
故答案为：，22.5；
（3）解：∵AD是等腰△ABC底边上的高，
∴BC＝2BD，BE＝EC，
∵，
连接BE，
∴，
∵△ABC∽△PEC，
∴由（1）同理可得△APC∽△BEC，
∴，
∴，
又∵，
∴PE＝AP
∵PE+BE≥PB，
∴，
∴，
∴ 最小值为 ．
【点评】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，正确地作出辅助线是解题的关键．
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