2023-2024学年四川省绵阳市游仙区富乐教育集团八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省绵阳市游仙区富乐教育集团八年级（上）期中数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．2023年全国民航工作会议介绍了2023年民航业发展目标：民航业将按照安全第一、市场主导、保障先行的原则，在做好运行保障能力评估的基础上，把握好行业恢复发展的节奏．下列航空图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A．春秋航空B．东方航空C．厦门航空D．海南航空
2．下列各运算中，正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6B．（﹣4a3）2＝16a6
C．a6÷a6＝a0＝0D．（a﹣1）2＝a2﹣1
3．数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是（ ）
A．边角边
B．三角形中位线定理
C．边边边
D．全等三角形的对应角相等
4．如果三角形的两边长分别为6和8，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是（ ）
A．16B．17C．24D．25
5．若计算（x2+ax+5）•（﹣2x）﹣6x2的结果中不含有x2项，则a的值为（ ）
A．﹣3B．﹣C．0D．3
6．如图，AD为△ABC的中线，AD＝3，AC＝4，则AB的长的取值范围是（ ）
A．4＜AB＜7B．2＜AB＜10C．3＜AB＜5D．2＜AB＜7
7．现有边长相等的正三角形、正方形、正六边形、正八边形状的地砖，如果选择其中的两钟铺满平整的地面，那么选择的两种地砖形状不能是（ ）
A．正三角形与正方形B．正三角形与正六边形
C．正方形与正六边形D．正方形与正八边形
8．如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边的中点，E是AC边（端点除外）上的动点，过点D作DE的垂线交BC边于点F．下列结论错误的是（ ）
A．AE＝CF
B．DE＝DF
C．四边形CEDF的面积等于△ABC面积的一半
D．2DF＞AC
10．如图，平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上的动点，点B为y轴正半轴上的动点，△AOB中∠BAO的平分线与∠OBA的外角平分线所在直线交于点C，则下列语句中正确的是（ ）
A．点B不动，在点A向右运动的过程中，∠BCA逐渐减小
B．点A不动，在点B向上运动的过程中，∠BCA逐渐减小
C．在点A向左运动，点B向下运动的过程中，∠BCA逐渐增大
D．在点A，B运动的过程中，∠BCA的大小不变
11．如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为10，BC长为5，点E，F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
12．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题。（共6小题，共18分）
13．已知点A（m，﹣3）与点B（2，n）关于y轴对称，则m+n＝ ．
14．若2m＝3，4n＝8，则23m﹣2n+1的值是 ．
15．若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于 ．
16．已知A＝2x，B为多项式，小明在计算B+A时，把B+A看成了B×A，结果为3x3﹣2x2﹣2x，则B+A的正确结果为 ．
17．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 度．
18．如图，在△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝90°，在△ACE中，AC＝AE，∠EAC＝90°，CD，BE相交于点F，有下列四个结论：①∠BDC＝∠BEC；②FA平分∠DFE；③DC＝BE；④DC⊥BE．其中，正确的结论有 ．
三、解答题。（共6小题，共46分）
19．计算：
（1）；
（2）先化简再求值，已知x2+2x﹣1＝0，求代数式（2x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）+2（x﹣1）（x+4）的值．
20．如图，已知A（1，2），B（4，1），C（3，﹣2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1，B1的坐标；
（2）P为x轴上一点，请在图中画出使PA+PB最小时的点P，并写出点P的坐标（画图要准确）．
21．如图△ADF和△BCE中，∠A＝∠B，点D、E、F、C在同一直线上，有如下三个关系式：①AD＝BC；②DE＝CF；③BE∥AF．
（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果①、②，那么③）
（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由．
23．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD．
（1）求证：DB＝DE；
（2）过点A作AF∥BC，交ED延长线于点F，交AB于M，连接BF：
①若EM＝12，则BD＝ ；
②求证：AB垂直平分DF．
24．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB．
（1）直接写出∠ADE的度数；
（2）求证：DE＝AD+DC；
（3）作BP平分∠ABE，EF⊥BP，垂足为F（如图2），若EF＝3，求BP的长．
参考答案
一、选择题。（共12小题，共36分）
1．2023年全国民航工作会议介绍了2023年民航业发展目标：民航业将按照安全第一、市场主导、保障先行的原则，在做好运行保障能力评估的基础上，把握好行业恢复发展的节奏．下列航空图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A．春秋航空B．东方航空C．厦门航空D．海南航空
【分析】根据轴对称的性质，找到对称轴的图形即可．
解：A、B、C三个图形都找不到对称轴，只有选项D符合轴对称的特点．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称的性质，图形沿着某一直线折叠能够完全重合的图形是轴对称图形．
2．下列各运算中，正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6B．（﹣4a3）2＝16a6
C．a6÷a6＝a0＝0D．（a﹣1）2＝a2﹣1
【分析】同底数幂的乘除法运算法则以及积的乘方运算．
解：A、a3⋅a2＝a5，故A错误，不符合题意；
B、（﹣4a3）2＝16a6，故B正确，符合题意；
C、a6÷a6＝a0＝1，故C错误，不符合题意；
D、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故D错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确掌握运算法则是解题关键．
3．数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是（ ）
A．边角边
B．三角形中位线定理
C．边边边
D．全等三角形的对应角相等
【分析】根据SAS公理解答即可．
解：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB＝CD，
∴此方案依据判断三角形全等的SAS公理，
故选：A．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握SAS公理是解题的关键．
4．如果三角形的两边长分别为6和8，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长可以是（ ）
A．16B．17C．24D．25
【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长，从而求得三角形的周长．
解：设第三边为acm，根据三角形的三边关系知，2＜a＜14．
由于第三边的长为偶数，
则a可以为4cm或6cm或8cm或10cm或12cm．
∴三角形的周长是 6+8+4＝18cm或6+8+6＝20cm或6+8+8＝22cm或6+8+10＝24cm或6+8+12＝26cm．
故选：C．
【点评】考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．
5．若计算（x2+ax+5）•（﹣2x）﹣6x2的结果中不含有x2项，则a的值为（ ）
A．﹣3B．﹣C．0D．3
【分析】首先将（x2+ax+5）•（﹣2x）﹣6x2展开，合并同类项得﹣2x3+（﹣2a﹣6）x2﹣10x；接下来根据结果中不含有x2项可得﹣2a﹣6＝0，至此，就能求出a的值了．
解：原式＝﹣2x3﹣2ax2﹣10x﹣6x2
＝﹣2x3+（﹣2a﹣6）x2﹣10x，
∵结果中不含有x2项，
∴﹣2a﹣6＝0，
∴a＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是整式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．
6．如图，AD为△ABC的中线，AD＝3，AC＝4，则AB的长的取值范围是（ ）
A．4＜AB＜7B．2＜AB＜10C．3＜AB＜5D．2＜AB＜7
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AB的取值范围．
解：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，
在△BDE与△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC，
∵AD＝3，AC＝4，
∴AE﹣BE＜AB＜AE+BE，
∴6﹣4＜AB＜6+4，
∴2＜AB＜10，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
7．现有边长相等的正三角形、正方形、正六边形、正八边形状的地砖，如果选择其中的两钟铺满平整的地面，那么选择的两种地砖形状不能是（ ）
A．正三角形与正方形B．正三角形与正六边形
C．正方形与正六边形D．正方形与正八边形
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件：要密铺地面，围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好等于360°，分别计算即可求出答案．
解：A、正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°＝360°，成立．
B、正六边形的每个内角是120°，正三角形的每个内角是60度．∵2×120°+2×60°＝360°，或120°+4×60°＝360°，成立．
C、正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120°，90°m+120°n＝360°，m＝4﹣n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满；
D、正方形的每个内角为90°，正八边形的每个内角为135°，因为90°+135°×2＝360°，成立．
故选：C．
【点评】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
8．如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，据此进行判断即可．
解：A、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；
B、如图所示，△ABC不能够分成两个等腰三角形；
C、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；
D、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；
故选：B．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题时注意：等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边的中点，E是AC边（端点除外）上的动点，过点D作DE的垂线交BC边于点F．下列结论错误的是（ ）
A．AE＝CF
B．DE＝DF
C．四边形CEDF的面积等于△ABC面积的一半
D．2DF＞AC
【分析】连接CD、EF，证△ADE≌△CDF（ASA），即可解决问题．
解：如图，连接CD、EF，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB中点，
∴CD＝AB＝AD＝BD，∠A＝45°，∠ACD＝∠BCD＝45°，CD⊥AB，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，DE＝DF，故选项A、B不符合题意；
∵△ADE≌△CDF，
∴S△ADE＝S△CDF，
∴S四边形CEDF＝S△CDE+S△CDF＝S△CDE+S△ADE＝S△ADC＝S△ABC，故选项C不符合题意；
在△DEF中，DE+DF＞EF，
∴2DF＞EF，
没有条件可以得出2DF＞AC，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，证明三角形全等是解题的关键．
10．如图，平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上的动点，点B为y轴正半轴上的动点，△AOB中∠BAO的平分线与∠OBA的外角平分线所在直线交于点C，则下列语句中正确的是（ ）
A．点B不动，在点A向右运动的过程中，∠BCA逐渐减小
B．点A不动，在点B向上运动的过程中，∠BCA逐渐减小
C．在点A向左运动，点B向下运动的过程中，∠BCA逐渐增大
D．在点A，B运动的过程中，∠BCA的大小不变
【分析】给图中角标上序号，根据“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”，即可得出∠1＝∠2+90°﹣∠1＝∠2+∠C，进而即可得出∠C＝×90°＝45°，此题得解．
解：给图中角标上序号，如图所示
∵∠1＝∠2+90°，∠1＝∠2+∠C，
∴∠C＝×90°＝45°．
∴在点A、B运动的过程中，∠BCA的度数不变．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
11．如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为10，BC长为5，点E，F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】作A关于CD的对称点H，由CD是△ABC的角平分线，得到点H一定在BC上，过H作HF⊥AC于F，交CD于E，则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值＝HF，过A作AG⊥BC于G，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论．
解：作A关于CD的对称点H，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴点H一定在BC上，
∵AE＝HE，
∴AE+EF＝HE+EF，
过H作HF⊥AC于F，交CD于E，
∵垂线段最短，
∴HE+EF最小，
∴AE+EF的值最小，AE+EF的最小值＝HF，
过A作AG⊥BC于G，
∵△ABC的面积为10，BC长为5，
∴AG＝4，
∵CD垂直平分AH，
∴AC＝CH，
∴，
∴HF＝AG＝4，
∴AE+EF的最小值是4，
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明AE+EF的最小值为三角形某一边上的高线．
12．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②∠BOC＝90°+∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF＝BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，故④正确．
解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故②正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，
∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，
∴BE＝OE，CF＝OF，
∴EF＝OE+OF＝BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON＝OD＝OM＝m，
∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AE•OM+AF•OD＝OD•（AE+AF）＝mn；故④正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．
故选：D．
【点评】此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
二、填空题。（共6小题，共18分）
13．已知点A（m，﹣3）与点B（2，n）关于y轴对称，则m+n＝ ﹣5 ．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特点解答即可．
解：∵点A（m，﹣3）与点B（2，n）关于y轴对称，
∴m＝﹣2，n＝﹣3，
∴m+n＝﹣2﹣3＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解题的关键是熟练的掌握关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同．
14．若2m＝3，4n＝8，则23m﹣2n+1的值是 ．
【分析】根据同底数幂的乘除法的逆运算即可求解．
解：∵23m﹣2n+1
＝23m÷22n×2
＝（2m）3÷（22）n×2
＝（2m）3÷4n×2，
∴原式＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘除法的逆运算，掌握同底数幂的运算法则是解题的关键．
15．若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于 7或﹣1 ．
【分析】根据已知完全平方式得出2（m﹣3）x＝±2•x•4，求出即可．
解：∵x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，
∴2（m﹣3）x＝±2•x•4，
解得：m＝7或﹣1，
故答案为：7或﹣1．
【点评】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的内容是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2．
16．已知A＝2x，B为多项式，小明在计算B+A时，把B+A看成了B×A，结果为3x3﹣2x2﹣2x，则B+A的正确结果为 x2+x﹣1． ．
【分析】先根据小明计算结果得到多项式B，在计算B+A即可．
解：由B×A，结果为3x3﹣2x2﹣2x，可得B＝（3x3﹣2x2﹣2x）÷2x＝x2﹣x﹣1，
∴B+A＝x2﹣x﹣1+2x＝x2+x﹣1，
故答案为：x2+x﹣1．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是根据已知求出多项式B．
17．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 108 度．
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA＝OB，根据等边对等角可得∠ABO＝∠BAO，再求出∠OBC，根据全等三角形的性质可得OB＝OC，根据等边对等角求出∠OCB＝∠OBC，根据翻折的性质可得OE＝CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC＝54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO＝∠BAC＝×54°＝27°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣54°）＝63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝27°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝63°﹣27°＝36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB＝AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE＝CE，
∴∠COE＝∠OCB＝36°，
在△OCE中，∠OEC＝180°﹣∠COE﹣∠OCB＝180°﹣36°﹣36°＝108°．
故答案为：108．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．
18．如图，在△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝90°，在△ACE中，AC＝AE，∠EAC＝90°，CD，BE相交于点F，有下列四个结论：①∠BDC＝∠BEC；②FA平分∠DFE；③DC＝BE；④DC⊥BE．其中，正确的结论有 ②③④ ．
【分析】由等腰直角三角形的性质得出∠ADB＝∠AEC＝45°，由∠ADC和∠AEB不一定相等，则可得出①错误；先证明△ADC≌△ABE得到DC＝BE，则可对③进行判断；过A点作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，利用全等三角形对应边上的高相等得到AM＝AN，则根据角平分线的性质定理的逆定理可对②进行判断．利用三角形内角和证明∠BFD＝∠DAB＝90°，则可对④进行判断．
解：∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴∠ADB＝∠AEC＝45°，
∵∠BDC＝∠ADB﹣∠ADC＝45°﹣∠ADC，
∠BEC＝∠AEC﹣∠AEB＝45°﹣∠AEB，
∵∠ADC和∠AEB不一定相等，
∴∠BDC与∠BEC不一定相等，故①错误；
∵∠DAB＝∠EAC＝90°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE，
在△ADC和△ABE中，
，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴DC＝BE，∠ADC＝∠ABE，S△ADC＝S△ABE，故③正确；
∵∠1＝∠2，
又∵∠ADC+∠1+∠DAB＝∠ABE+∠2+∠BFD，
∴∠BFD＝∠DAB＝90°，
∴DC⊥BE，故④正确；
如图，过A点作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，
∵S△ADC＝S△ABE，
∴，
∵DC＝BE，
∴AM＝AN，
∴AF平分∠DFE，故②正确．
综上分析可知，正确的结论为②③④．
故选：②③④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．证明△ADC≌△ABE是解决问题的关键．也考查了等腰直角三角形的性质．
三、解答题。（共6小题，共46分）
19．计算：
（1）；
（2）先化简再求值，已知x2+2x﹣1＝0，求代数式（2x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）+2（x﹣1）（x+4）的值．
【分析】（1）根据整式混合运算法则进行计算即可；
（2）先根据整式混合运算法则进行化简得出（2x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）+2（x﹣1）（x+4）＝5（x2+2x）﹣3，然后整体代入求值即可．
解：（1）
＝[（﹣8a3）⋅（﹣a3b6）﹣（8a6b6+2a2b5﹣20ab2）]÷（﹣2ab）
＝（8a6b6﹣8a6b6﹣2a2b5+20ab2）÷（﹣2ab）
＝（﹣2a2b5+20ab2）÷（﹣2ab）
＝ab4﹣10b；
（2）∵x2+2x﹣1＝0，
∴x2+2x＝1，
∴（2x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）+2（x﹣1）（x+4）
＝4x2+4x+1﹣（x2﹣4）+2（x2+3x﹣4）
＝4x2+4x+1﹣x2+4+2x2+6x﹣8
＝5x2+10x﹣3
＝5（x2+2x）﹣3
＝5×1﹣3
＝2．
【点评】本题主要考查了整式混合运算，整式化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，注意整体思想的应用．
20．如图，已知A（1，2），B（4，1），C（3，﹣2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1，B1的坐标；
（2）P为x轴上一点，请在图中画出使PA+PB最小时的点P，并写出点P的坐标（画图要准确）．
【分析】（1）根据轴对称的性质，找出对应点即可求解，再根据图形写出点的坐标；
（2）作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B交x轴于点P，则点P即为所求．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（﹣1，2），B1（﹣4，1）；
（2）如图所示，点P即为所求，P（3，0）．
【点评】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
21．如图△ADF和△BCE中，∠A＝∠B，点D、E、F、C在同一直线上，有如下三个关系式：①AD＝BC；②DE＝CF；③BE∥AF．
（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题．（用序号写出命题书写形式，如：如果①、②，那么③）
（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由．
【分析】（1）本题主要考查全等三角形的判定，能不能成立，就看作为条件的关系式能不能证明△ADF≌△BCE，从而得到结论．
（2）对于“如果①，③，那么②”进行证明，根据平行线的性质得到∠AFD＝∠BEC，因为AD＝BC，∠A＝∠B，利用AAS判定△ADF≌△BCE，得到DF＝CE，即得到DE＝CF．
解：（1）如果①，③，那么②；如果②，③，那么①．
（2）对于“如果①，③，那么②”证明如下：
∵BE∥AF，
∴∠AFD＝∠BEC．
∵AD＝BC，∠A＝∠B，
∴△ADF≌△BCE（SAS）．
∴DF＝CE．
∴DF﹣EF＝CE﹣EF．
即DE＝CF．
对于“如果②，③，那么①”证明如下：
∵BE∥AF，
∴∠AFD＝∠BEC．
∵DE＝CF，
∴DE+EF＝CF+EF．
即DF＝CE．
∵∠A＝∠B，
∴△ADF≌△BCE（AAS）．
∴AD＝BC．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS，SAS，ASA，AAS、HL等．编题然后选择，最后进行证明是现在比较多的一种考题，要注意掌握．
23．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD．
（1）求证：DB＝DE；
（2）过点A作AF∥BC，交ED延长线于点F，交AB于M，连接BF：
①若EM＝12，则BD＝ 8 ；
②求证：AB垂直平分DF．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，∠DBC＝30°，再根据角之间的关系求得∠DBC＝∠CED，根据等角对等边即可得到DB＝DE；
（2）①根据等边三角形的性质得出∠ABC＝60°，，求出∠BME＝180°﹣∠ABC﹣∠CED＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质得出，得出，根据EM＝12，得出，求出结果即可；
②根据平行线的性质得出∠AFD＝∠CED，再利用ASA证明三角形全等，利用全等三角形的性质证明△BDF是等边三角形，即可解答．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°，
又∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED，
又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，
∴，
∴∠DBC＝∠DEC，
∴DB＝DE；
（2）解：①∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC＝60°，，
根据解析（1）可知，∠CED＝30°，
∴∠BME＝180°﹣∠ABC﹣∠CED＝90°，
∵∠MBE＝30°，
∴，
根据解析（1）可知，BD＝DE，
∴，
∵EM＝12，
∴，
解得：BD＝8；
故答案为：8；
②证明：∵AF∥BE，
∴∠AFD＝∠CED，
∵BD为△ABC的中线，
∴AD＝DC，
∵∠ADF＝∠CDE，
∴△AFD≌△CED，
∴AF＝CE＝CD＝AD，DF＝DE＝BD，
∵∠FDB＝∠DBE+∠E＝60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴BF＝BD，
∵AF＝AD，
∴AB垂直平分DF．
【点评】此题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的判定，直角三角形的性质，利用三角形外角的性质得到∠CDE＝30°是正确解答本题的关键．
24．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB．
（1）直接写出∠ADE的度数；
（2）求证：DE＝AD+DC；
（3）作BP平分∠ABE，EF⊥BP，垂足为F（如图2），若EF＝3，求BP的长．
【分析】（1）易求∠ABD的大小，易求AD所在直线垂直平分BC，根据等腰三角形底边三线合一性质可得AD平分∠BAC，根据三角形外角等于不相邻两内角性质即可解题；
（2）在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，易证△ABD≌△AEM，可得BD＝ME，根据BD＝CD即可求得ME＝CD，于是证得结论；
（3））如图2过点P作PQ⊥BE于Q，由角平分线的性质得到PA＝PQ，再由三角形相似得到＝，求得PF＝3（﹣1），得到PE，根据勾股定理列方程求解．
解：（1）∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝75°，
∵DB＝DC，∠DCB＝30°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝45°，
∵AB＝AC，DB＝DC，
∴AD所在直线垂直平分BC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝15°，
∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°；
（2）如图1，在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，
∵∠ADE＝60°，DM＝AD，
∴△ADM是等边三角形，
∴∠ADB＝∠AME＝120°
∵AE＝AB，
∴∠ABD＝∠E，
在△ABD和△AEM中，
，
∴△ABD≌△AEM（AAS），
∴BD＝ME，
∵BD＝CD，
∴CD＝ME，
∵DE＝DM+ME，
∴DE＝AD+CD；
（3）如图2，过点P作PQ⊥BE于Q，
∵BP平分∠ABE，∠BAE＝90°，
∴PA＝PQ，
设PA＝PQ＝x，
∵∠AEB＝45°，
∴PE＝x，
∴AB＝AE＝AP+PE＝（1）x，
∵EF⊥BP，
∴∠PFE＝90°，
∴∠PFE＝∠BAE，
∵∠APB＝∠EPF，
∴△ABP∽△EFP，
∴＝，
∴PF＝3（﹣1），
∴PE2＝PF2+EF2＝+32＝，
解得：x＝3，
∴AB＝3•（+1），
∴PB2＝+＝36，
∴PB＝6．
解法二：延长EF与BA延长线交于H，
在△BFH和△BFE中，
，
∴△BFH≌△BFE（ASA），
∴EF＝FH＝3，
∴EH＝6，
∵∠ABP+∠H＝90°＝∠H+∠AEH，
∴∠ABP＝∠AEH，
在△ABP和△AEH中，
，
∴△ABP≌△AEH（ASA），
∴BP＝EH＝6．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，本题中求证△ABD≌△AEM是解题的关键．