2023-2024学年河南省三门峡市灵宝市八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省三门峡市灵宝市八年级（上）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，解答下列各题等内容，欢迎下载使用。
1．下面四个图形标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．点P（﹣2，1）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（2，﹣1）C．（2，1）D．（1，﹣2）
3．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cmB．12cm，13cm，19cm
C．7cm，8cm，15cmD．5cm，5cm，12cm
4．一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则它的周长为（ ）
A．8B．10C．9D．8或10
5．如图，要使△ABC≌△ABD，下面给出的四组条件，错误的一组是（ ）
A．∠C＝∠D，∠BAC＝∠BAD
B．BC＝BD，AC＝AD
C．∠BAC＝∠BAD，∠ABC＝∠ABD
D．BD＝BC，∠BAC＝∠BAD
6．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．不等边三角形D．不能确定形状
7．在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝90°﹣∠CB．∠A＝∠B﹣∠C
C．∠A＝2∠B＝3∠CD．∠A＝∠B＝∠C
8．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠AOB的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
9．如图：△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE＝4cm，则△ABD的周长是（ ）
A．22cmB．20cmC．18cmD．15cm
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，AD⊥AB交BE延长线于点D，CF平分∠ACB交BD于点F，连接CD．下面结论不一定成立的是（ ）
A．AD∥CFB．AD＝CFC．DC＝DFD．CE＝CF
二、选择题（每小题3分，共15分）
11．如图，河谷大桥桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，原理是 ．
12．如图，河边某一块关于“游泳危险，禁止下河”的警示牌为六边形，该六边形的内角和是 度．
13．如图，△ACF≌△ADE，AD＝12，AE＝5，则DF的长为 ．
14．如图，在△ABC中，点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝4，则S△BEF＝ ．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，△ABC面积为40，AD⊥BC于点D，直线EF垂直平分AB交AB于点E，交BC于点F，P为直线EF上一动点，则△PBD的周长的最小值为 ．
三、解答下列各题（共75分）
16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多1，AB与AC的和为11．
（1）求AB、AC的长；
（2）求BC边的取值范围．
17．如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，AF＝CE，AD＝BC．AD∥BC，求证：∠B＝∠D．
18．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动，若∠BDE＝78°，求∠CDE的度数．
19．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点O．
（1）求证：△OBC是等腰三角形；
（2）若∠BAC＝80°，求∠BOC的度数．
20．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）点A，B的坐标分别是： ；
（2）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△DEF，点F的坐标是 ；
（3）求△DEF的面积．
21．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD．
（1）求证：△CDF≌△CBE；
（2）若AB＝15，AD＝7，求DF的长．
22．在△ABC中，若AD是∠BAC的角平分线，点E和点F分别在AB和AC上，且DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F（如图（1）），则可以得到以下两个结论：
①∠AED+∠AFD＝180°；②DE＝DF．
那么在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的角平分线，点E和点F，分别在AB和AC上”，请探究以下两个问题：
（1）若∠AED+∠AFD＝180°（如图（2）），则DE与DF是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请举出反例．
（2）若DE＝DF，则∠AED+∠AFD＝180°是否成立？（只写出结论，不证明）
23．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）如图1，连接EC，若BC＝4，则CE＝ ；
（2）如图2，点M是线段CA延长线上的一点（不与点A重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G．在DG边上取一点H，使DH＝DM，求证：△DMB≌△HMG；
（3）在（2）的条件下，请你写出MD，DG与DE之间的数量关系，并证明你的结论．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下面四个图形标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．
解：A、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．点P（﹣2，1）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（2，﹣1）C．（2，1）D．（1，﹣2）
【分析】让横坐标不变，纵坐标为原来点的纵坐标的相反数即可求得所求点的坐标．
解：∵两点关于x轴对称，
∴所求点的横坐标为﹣2，纵坐标为﹣1，
即（﹣2，﹣1），
故选：A．
【点评】考查两点关于x轴对称的知识；用到的知识点为：两点关于x轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数．
3．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cmB．12cm，13cm，19cm
C．7cm，8cm，15cmD．5cm，5cm，12cm
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
解：A、3+4＜8，长度是3cm，4cm，8cm的三根小木棒不能摆成三角形，故A不符合题意；
B、12+13＞19，长度是12cm，13cm，19cm的三根小木棒能摆成三角形，故B不符合题意；
C、7+8＝15，长度是7cm，8cm，15cm的三根小木棒不能摆成三角形，故C不符合题意；
D、5+5＜12，长度是5cm，5cm，12cm的三根小木棒不能摆成三角形，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
4．一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则它的周长为（ ）
A．8B．10C．9D．8或10
【分析】分4是腰长与底边两种情况，再根据三角形任意两边之和大于第三边讨论求解即可．
解：①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、2，
4+2＞4；
能组成三角形；
所以，周长为10；
②4是底边时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形，
综上所述，周长为10．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论．
5．如图，要使△ABC≌△ABD，下面给出的四组条件，错误的一组是（ ）
A．∠C＝∠D，∠BAC＝∠BAD
B．BC＝BD，AC＝AD
C．∠BAC＝∠BAD，∠ABC＝∠ABD
D．BD＝BC，∠BAC＝∠BAD
【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．
解：A、∠C＝∠D，∠BAC＝∠BAD，又AB＝AB，根据AAS证明△ABC和△ABD全等，故本项正确，不符合题意；
B、BC＝BD，AC＝AD，又AB＝AB，根据SSS证明△ABC和△ABD全等，故本项正确，不符合题意；
C、∠BAC＝∠BAD，∠ABC＝∠ABD，又AB＝AB，根据ASA证明△ABC和△ABD全等，故本项正确，不符合题意；
D、BD＝BC，∠BAC＝∠BAD，又AB＝AB，不能证明△ABC和△ABD全等，故本项错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定方法，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
6．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．不等边三角形D．不能确定形状
【分析】先证得△ABE≌△ACD，可得AE＝AD，∠BAE＝∠CAD＝60°，即可证明△ADE是等边三角形．
解：∵△ABC为等边三角形
∴AB＝AC
∵∠1＝∠2，BE＝CD
∴△ABE≌△ACD
∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD＝60°
∴△ADE是等边三角形．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对等边三角形的判定及三角形的全等等知识点的掌握．
7．在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝90°﹣∠CB．∠A＝∠B﹣∠C
C．∠A＝2∠B＝3∠CD．∠A＝∠B＝∠C
【分析】根据三角形内角和定理和各选项中的条件计算出△ABC的内角，然后根据直角三角形的判定方法进行判断．
解：A、∵∠A＝90°﹣∠C，
∴∠A+∠C＝90°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意；
B、∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠C+∠B＝180°，
∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意；
C、∵∠A＝2∠B＝3∠C，
设∠A＝x，
∴∠B＝x，∠C＝x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+x+x＝180°，
解得x＝（）°＞90°，
∴△ABC不是直角三角形，故选项符合题意；
D、∵∠A＝∠B＝∠C，
设∠A＝∠B＝x，
∴∠C＝2x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+x+2x＝180°，
解得x＝45°，
∴∠C＝2x＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及直角三角形的判定，解题的关键是掌握三角形的内角和等于180°并灵活运用．
8．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠AOB的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
【分析】如图，过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OA于点F．利用角平分线的判定定理解决问题即可．
解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OA于点F．
∵直尺的宽度相等，
∴PE＝PF，
∵PE⊥OB，PF⊥OA，
∴OP平分∠AOB．
故选：D．
【点评】本题考查角平分线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9．如图：△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE＝4cm，则△ABD的周长是（ ）
A．22cmB．20cmC．18cmD．15cm
【分析】由图形和题意可知AD＝DC，AE＝CE＝4cm，AB+BC＝22cm，△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+CD+BC﹣CD＝AB+BC，即可求出周长为22cm．
解：∵AE＝4cm，
∴AC＝8（cm），
∵△ABC的周长为30cm，
∴AB+BC＝22（cm），
∵△ABD的周长＝AB+AD+BD，AD＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+CD+BC﹣CD＝AB+BC＝22（cm），
故选：A．
【点评】本题主要考查翻折变换的性质、三角形的周长，关键在于求出AB+BC的长度．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，AD⊥AB交BE延长线于点D，CF平分∠ACB交BD于点F，连接CD．下面结论不一定成立的是（ ）
A．AD∥CFB．AD＝CFC．DC＝DFD．CE＝CF
【分析】证出∠DAC＝∠FCE可判定A选项成立，证明△ADE≌△CFE可判定B选项成立，证明△ACD≌△CBF可得∠ACD＝∠CBF，可证∠DCF＝∠DFC，即可判定C选项成立，D选项不一定成立．
解：∵CF平分∠ACB，∠ACB＝90°，
∴∠ECF＝45°，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠BAC＝45°，
∵AD⊥AB，
∴∠DAC＝45°，
∴∠DAC＝∠FCE，
∴AD∥CF，故A选项成立；
∵E为AC边的中点，
∴AE＝CE，
∵∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△CFE，
∴AD＝CF，故B选项成立；
∵AC＝CB，∠DAC＝∠FCB，AD＝CF，
∴△ACD≌△CBF（SAS），
∴∠ACD＝∠CBF，
∵∠DCF＝∠ACD+∠ECF＝∠ACD+45°，∠DFC＝∠CBF+∠BCF＝∠CBF+45°，
∴∠DCF＝∠DFC，
∴DC＝DF，故C选项成立；
没有条件证出CE＝CF，故D选项不一定成立．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等腰三角形的判定与性质．
二、选择题（每小题3分，共15分）
11．如图，河谷大桥桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，原理是 三角形具有稳定性 ．
【分析】根据三角形具有稳定性即可求解．
解：河谷大桥桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，原理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
【点评】题目主要考查三角形稳定性的性质，理解三角形的性质是解题关键．
12．如图，河边某一块关于“游泳危险，禁止下河”的警示牌为六边形，该六边形的内角和是 720 度．
【分析】利用多边形的内角和公式即可求得答案．
解：（6﹣2）×180°＝720°，
即该六边形的内角和是720度，
故答案为：720．
【点评】本题考查多边形的内角和，熟练掌握内角和公式是解题的关键．
13．如图，△ACF≌△ADE，AD＝12，AE＝5，则DF的长为 7 ．
【分析】根据题意得AF＝AE＝5，即可求解．
解：∵△ACF≌△ADE，
∴AF＝AE＝5，
∵AD＝12，
∴DF＝AD﹣AF＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝4，则S△BEF＝ 1 ．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，分别求出三角形ACD、CDE、DEF的面积各是多少即可．
解：∵点D是BC的中点，
∴S△ABD＝S△ABC＝×4＝2；
∵点E是AD的中点，
∴S△CDE＝S△ABD＝2＝1；
S△CDE＝S△EBC＝1，
∵点F是CE的中点，
S△BEF＝S△BEC＝×2＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了三角形的面积的求法，解答此题的关键是要明确：三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，△ABC面积为40，AD⊥BC于点D，直线EF垂直平分AB交AB于点E，交BC于点F，P为直线EF上一动点，则△PBD的周长的最小值为 19 ．
【分析】如图，连接PA．利用三角形的面积公式求出AD，由EF垂直平分AB，推出PB＝PA，推出PB+PD＝PA+PD，由PA+PD≥AD，推出PA+PD≥16，推出PA+PD的最小值为16，由此即可解决问题．
解：如图，连接PA．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝5，
∵S△ABC＝•BC•AD＝40，
∴AD＝16，
∵EF垂直平分AB，
∴PB＝PA，
∴PB+PD＝PA+PD，
∵PA+PD≥AD，
∴PA+PD≥16，
∴PA+PD的最小值为416，
∴△PBD的最小值为14+5＝19，
故答案为：19．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答下列各题（共75分）
16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多1，AB与AC的和为11．
（1）求AB、AC的长；
（2）求BC边的取值范围．
【分析】（1）根据三角形中线的定义，BD＝CD．所以△ABD和△ADC的周长之差也就是AB与AC的差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可．
（2）根据三角形三边关系解答即可．
解：（1）∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝1，
即AB﹣AC＝1①，
又AB+AC＝11②，
①+②得．2AB＝12，
解得AB＝6，
②﹣①得，2AC＝10，
解得AC＝5，
∴AB和AC的长分别为：AB＝6，AC＝5；
（2）∵AB＝6，AC＝5，
∴1＜BC＜11．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，三角形的中线定义，二元一次方程组的求解，利用加减消元法求解是解题的关键．
17．如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，AF＝CE，AD＝BC．AD∥BC，求证：∠B＝∠D．
【分析】欲证明∠B＝∠D，只要证明△ADF≌△CBE（SAS）即可；
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠D＝∠B．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
18．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动，若∠BDE＝78°，求∠CDE的度数．
【分析】由等腰三角形的性质可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，由外角性质可得∠ODC＝26°，据此即可求解．
解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∴∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝78°，
∴∠ODC＝26°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝102°，
∴∠CDE＝102°﹣∠ODC＝76°．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是等腰三角形性质定理的应用．
19．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点O．
（1）求证：△OBC是等腰三角形；
（2）若∠BAC＝80°，求∠BOC的度数．
【分析】（1）根据等边对等角推出∠ABC＝∠ACB，利用高线及三角形内角和得到∠DBC＝∠ECB，证得OB＝OC即可；
（2）根据四边形内角和定理得到∠DOE+∠A＝180°，即可求出∠BOC的度数．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD、CE是△ABC的两条高线，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°．
又∵∠A＝∠A，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠DBC＝∠ECB，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰三角形；
（2）∵∠AEC＝∠ADB＝90°，
且四边形AEOD的内角和为360°，
∴∠DOE+∠A＝180°，
∴∠BOC＝∠DOE＝180°﹣80°＝100°．
【点评】此题考查了三角形内角和定理，四边形的内角和定理，等边对等角及等角对等边证明边相等，熟练掌握各定理是解题的关键．
20．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）点A，B的坐标分别是： （﹣2，1），（4，3） ；
（2）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△DEF，点F的坐标是 （3，1） ；
（3）求△DEF的面积．
【分析】（1）根据点的位置写出坐标即可；
（2）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可；
（3）把三角形的面积看成纠错的面积减去周围的三个三角形面积即可，
解：（1）A（﹣2，1），B（4，3）；
故答案为：（﹣2，1），（4，3）；
（2）△DEF如图所示，F（3，1），
故答案为：（3，1）；
（3）＝11．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
21．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD．
（1）求证：△CDF≌△CBE；
（2）若AB＝15，AD＝7，求DF的长．
【分析】（1）先根据角平分线的性质可证CE＝CF，由BC＝CD，根据HL即可判定Rt△BCE≌Rt△DCF；
（2）根据HL证Rt△ACE≌Rt△ACF，即证AF＝AE，在（1）的基础上可得BE＝DF，然后根据AD+DF＝AB﹣EB，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F
∴CE＝CF，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）；
（2）解：在Rt△ACE和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AF＝AE，
∵Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴BE＝DF，
∵AB＝15，AD＝7，
∴AD+DF＝AB﹣EB，
∴7+DF＝15﹣DF，
∴DF＝4．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是得到Rt△ACE≌Rt△ACF．
22．在△ABC中，若AD是∠BAC的角平分线，点E和点F分别在AB和AC上，且DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F（如图（1）），则可以得到以下两个结论：
①∠AED+∠AFD＝180°；②DE＝DF．
那么在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的角平分线，点E和点F，分别在AB和AC上”，请探究以下两个问题：
（1）若∠AED+∠AFD＝180°（如图（2）），则DE与DF是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请举出反例．
（2）若DE＝DF，则∠AED+∠AFD＝180°是否成立？（只写出结论，不证明）
【分析】（1）过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DM＝DN，再根据∠AED+∠AFD＝180°，平角的定义得∠AFD+∠DFN＝180°，可以推出∠DFN＝∠AED，然后利用角角边定理证明△DME与△DNF全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）不一定成立，若DE、DF在点D到角的两边的垂线段上或垂线段与点A的两侧，则成立，若是同侧则不成立．
解：（1）DE＝DF．
理由如下：
过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
∵∠AED+∠AFD＝180°，∠AFD+∠DFN＝180°，
∴∠DFN＝∠AED，
∴△DME≌△DNF（AAS），
∴DE＝DF；
（2）不一定成立．
如图，若DE、DF在点D到角的两边的垂线段与顶点A的同侧则一定不成立，
经过（1）的证明，若在垂线段上或两侧则成立，
所以不一定成立．
【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，从题目提供信息找出求证的思路是解题的关键，读懂题目信息比较重要．
23．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）如图1，连接EC，若BC＝4，则CE＝ 4 ；
（2）如图2，点M是线段CA延长线上的一点（不与点A重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G．在DG边上取一点H，使DH＝DM，求证：△DMB≌△HMG；
（3）在（2）的条件下，请你写出MD，DG与DE之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）利用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”证得△EBC是等边三角形，即可求解；
（2）由“ASA”可证△DMB≌△HMG；
（3）由全等三角形的性质可得HG＝DB，即可求解．
【解答】（1）解：如图1所示：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，BC＝AB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBA＝∠A＝30°，
∴DA＝DB，
∵DE⊥AB于点E，
∴AE＝BE＝AB，
∴BC＝BE，
∴△EBC是等边三角形，
∴CE＝BC＝4，
故答案为：4；
（2）证明：∵∠CBD＝∠DBA＝∠CAB＝30°，DE⊥AB，
∴∠ADE＝∠BDE＝60°，DB＝2DE，
又∵DH＝DM，
∴△DMH是等边三角形，
∴DM＝DH＝MH，∠DMH＝∠DHM＝60°，
∴∠DMH＝∠BMG，∠MHG＝∠ADB＝120°，
∴∠DMB＝∠HMG，
在△DMB和△HMG中，
，
∴△DMB≌△HMG（ASA），
（3）解：DG＝MD+2DE，
理由如下：∵△DMB≌△HMG，
∴HG＝DB，
∴HG＝2DE，
∴DG＝DH+HG＝DM+2DE．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．