2023-2024学年新疆喀什地区喀什市浩罕乡、色满乡部分学校联考八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年新疆喀什地区喀什市浩罕乡、色满乡部分学校联考八年级（上）期中数学试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了下列各组数中，是勾股数的是，以下六个数等内容，欢迎下载使用。
1．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（﹣6）2的平方根是（ ）
A．﹣6B．36C．±6D．±
3．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，16，25B．1，1，C．1，，2D．8，15，17
4．如图，已知∠ACB＝∠DBC，若要使△ABC≌△DCB，则添加的一个条件不能是（ ）
A．∠A＝∠DB．∠ABC＝∠DCBC．AB＝DCD．AC＝DB
5．以下六个数：﹣，，3.14，，，0.1010010001，无理数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．在联合会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边中垂线的交点D．三边上高的交点
7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BD，使BE＝BD，分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝3，AB＝10，则△ABG的面积为（ ）
A．无法确定B．10C．15D．30
8．如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝6，AD＝10，则DE长为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OBC，△OAC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是（ ）
A．S1＞S2+S3B．S1＝S2+S3C．S1＜S2+S3D．无法确定
10．如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝6，则△BCD的面积为（ ）
A．9B．6C．10D．12
二．填空题（共8小题）
11．若有意义，则a的取值范围为
12．东台市西溪天仙缘景区建筑以汉朝风格为主，一个美丽的传说，各式传统的小吃，吸引着无数游客心驰神往．景区游客日最大接待量为55500人，数字55500用四舍五入法精确到千位可以表示为 ．
13．已知实数x，y满足+（y+1）2＝0，则xy＝ ．
14．比较大小： ．
15．若一个正数m的两个平方根是1﹣2a和a﹣5，则m＝ ．
16．△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则BC的长为 ．
17．如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ．
18．如图，等边△ABC中，AB＝2，D为△ABC内一点，且DA＝DB，E为△ABC外一点，BE＝AB，且∠EBD＝∠CBD，连接DE，CE，则下列结论：①∠DAC＝∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB＝30°；④若EC∥AD，则S△EBC＝1，其中正确的有 ．
三．解答题（共9小题）
19．求下列各式中x的值．
（1）（x﹣3）2﹣4＝21；
（2）27（x+1）3+8＝0．
20．计算：
（1）﹣（﹣）2+；
（2）|﹣3|﹣（+2）（﹣2）．
21．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在格点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C′；
（2）在直线l上找一点P，使PB+PC最小，则最小值为 ；
（3）若点Q在格点上，使得△ABQ的三边长分别为4，，，则图中这样的格点Q共有 个．
22．如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若BG＝CA，求证：GA＝2DE．
23．如图，△ABC，点E是边AB上的中点，AD是边BC上的高，DC＝BE，DG⊥CE，G是垂足，求证：
（1）G是CE的中点；
（2）∠B＝2∠BCE．
24．如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5米/秒．
（1）求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；
（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间．
25．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，沿AB的垂线DE折叠△ABC，
（1）如图①，若点A落在点B处，求AD的长；
（2）如图②，若点A落在AB的延长线的点F处，AD折叠后与CB交点G，且CG＝BG，求AD的长．
26．阅读：如图1，在△ABC中，3∠A+∠B＝180°，BC＝8，AC＝10，求AB的长．
小明的思路：如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，易得∠A＝∠D，△ABD为等腰三角形，由3∠A+∠B＝180°和∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，易得∠BCA＝2∠A，△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB的长．
解决下列问题：
（1）图2中，AE＝ ，AB＝ ；
（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c．如图3，当3∠A+2∠B＝180°时，用含a，c式子表示b．
27．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4，
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、是轴对称图形．
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2．（﹣6）2的平方根是（ ）
A．﹣6B．36C．±6D．±
【分析】首先根据平方的定义求出（﹣6）2的结果，然后利用平方根的定义即可解决问题．
解：∵（﹣6）2＝36，
∴±＝±6，
∴（﹣6）2的平方根是±6．
故选：C．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
3．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，16，25B．1，1，C．1，，2D．8，15，17
【分析】利用勾股数定义进行分析即可．
解：A、92+162≠252，不是勾股数，故此选项不合题意；
B、不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；
C、不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；
D、82+152＝172，都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
4．如图，已知∠ACB＝∠DBC，若要使△ABC≌△DCB，则添加的一个条件不能是（ ）
A．∠A＝∠DB．∠ABC＝∠DCBC．AB＝DCD．AC＝DB
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
解：A．∠A＝∠D，∠ACB＝∠DBC，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
B．∠ACB＝∠DBC，BC＝CB，∠ABC＝∠DCB，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
C．AB＝DC，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；
D．AC＝DB，∠ACB＝∠DBC，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
5．以下六个数：﹣，，3.14，，，0.1010010001，无理数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：3.14，0.1010010001是有限小数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
无理数有：﹣，，共2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
6．在联合会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边中垂线的交点D．三边上高的交点
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．
故选：C．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．
7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BD，使BE＝BD，分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝3，AB＝10，则△ABG的面积为（ ）
A．无法确定B．10C．15D．30
【分析】先利用基本作图得到BG平分∠ABC，然后根据角平分线的性质和三角形的面积公式求解．
解：由作法得BG平分∠ABC，
过G作GH⊥AB于H，
∵∠C＝90°，
∴GH＝CG＝3，
∵AB＝10，
∴△ABG的面积＝AB•CG＝10×3＝15．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质．
8．如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝6，AD＝10，则DE长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝10，AB＝CD＝6，再根据折叠的性质得AF＝AD＝10，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝8，则CF＝BC﹣BF＝2，设CE＝x，则DE＝EF＝6﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+22＝（6﹣x）2，解方程即可得到DE的长．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝6，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝10，EF＝DE，
在Rt△ABF中，BF＝＝8，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，
设CE＝x，则DE＝EF＝6﹣x，
在Rt△ECF中，CE2+FC2＝EF2，
∴x2+22＝（6﹣x）2，
解得x＝，
∴DE＝6﹣x＝，
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的综合运用．解题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
9．如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OBC，△OAC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是（ ）
A．S1＞S2+S3B．S1＝S2+S3C．S1＜S2+S3D．无法确定
【分析】过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，如图，根据角平分线的性质得到OD＝OE＝OF，再利用三角形面积公式得到S1＝•AB•OD，S2+S3＝OD•（BC+AC），然后根据三角形三边的关系得到S1＜S2+S3．
解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，如图，
∵O是△ABC的三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF，
∵S1＝•AB•OD，S2+S3＝•BC•OE+•AC•OF＝OD•（BC+AC），
而AB＜BC+AC，
∴S1＜S2+S3．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．
10．如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝6，则△BCD的面积为（ ）
A．9B．6C．10D．12
【分析】首先作AE⊥BC于E，作DF⊥CB交CB的延长线于F．根据等腰三角形三线合一的性质，得出CE＝BE＝BC，证明△ABE≌△BDF，得出△BCD的高即为EB，即可求得面积．
解：作AE⊥BC于E，作DF⊥CB交CB的延长线于F．
∵AB＝AC，BC＝6，
∴CE＝BE＝BC＝3，
∵∠ABD＝90°，DF⊥CB，
∴∠ABC+∠DBF＝∠BDF+∠DBF，
∴∠ABC＝∠BDF，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠BFD＝90°，
在△ABE和△BDF中，
，
∴△ABE≌△BDF（AAS），
∴DF＝BE＝3，△BCD的高即为DF，
∴S△BCD＝BC•DF＝×6×3＝9．
故选：A．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
二．填空题（共8小题）
11．若有意义，则a的取值范围为 a≤4且a≠﹣2
【分析】二次根式的被开方数是非负数且分式的分母不等于零．
解：依题意得：4﹣a≥0且a+2≠0，
解得a≤4且a≠﹣2．
故答案为：a≤4且a≠﹣2．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．东台市西溪天仙缘景区建筑以汉朝风格为主，一个美丽的传说，各式传统的小吃，吸引着无数游客心驰神往．景区游客日最大接待量为55500人，数字55500用四舍五入法精确到千位可以表示为 5.6×104 ．
【分析】精确到千位，根据四舍五入法，保留到第二个5这一位，将后面的5“五入”即可．
解：数字55500用四舍五入法精确到千位可以表示为5.6×104．
故答案为：5.6×104．
【点评】本题考查近似数和有效数字，用科学记数法表示近似数，精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．
13．已知实数x，y满足+（y+1）2＝0，则xy＝ ﹣2 ．
【分析】根据非负数的性质，即可求得x，y的值，代入代数式即可求解．
解：∵，
∴x﹣2＝0，y+1＝0，
解得x＝2，y＝﹣1，
∴xy＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了算术平方根的非负性，平方的非负性，代数式求值，掌握非负数的性质是解题的关键．
14．比较大小： ＜ ．
【分析】求出﹣＝，根据＜5得出﹣＜0，再得出答案即可．
解：﹣
＝
＝，
∵＜5，
∴﹣＜0，
∴＜，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了估算无理数的范围和实数的大小比较，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
15．若一个正数m的两个平方根是1﹣2a和a﹣5，则m＝ 81 ．
【分析】根据平方根的性质，一个正数有两个平方根，他们互为相反数，即可求出m．
解：∵m的两个平方根是1﹣2a和a﹣5，
∴1﹣2a＝﹣（a﹣5），
解得：a＝﹣4，
把a＝﹣4代入1﹣2a或a﹣5中，得m的平方根为9或﹣9，
∴m＝81．
故答案为：81．
【点评】本题考查平方根的性质，解题的关键是掌握平方根的性质．
16．△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则BC的长为 14或4 ．
【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC＝BD+CD，在钝角三角形中，BC＝BD﹣CD．
解：（1）如图，锐角△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得：
BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81，
∴BD＝9，
在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12，由勾股定理得
CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25，
∴CD＝5，
∴BC的长为BD+DC＝9+5＝14；
（2）钝角△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得：
BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81，
∴BD＝9，
在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12，由勾股定理得：
CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25，
∴CD＝5，
∴BC的长为BD﹣CD＝9﹣5＝4．
故答案为14或4．
【点评】本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答．
17．如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 5 ．
【分析】根据AD是∠BAC的平分线确定出点B关于AD的对称点B′在AC上，根据垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N＝BM+MN，过点B作BE⊥AC于E，利用三角形的面积求出BE，再根据等腰三角形两腰上的高相等可得B′N＝BE，从而得解．
解：如图，∵AD是∠BAC的平分线，
∴点B关于AD的对称点B′在AC上，
过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，
由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N＝BM+MN，
过点B作BE⊥AC于E，
∵AC＝10，S△ABC＝25，
∴×10•BE＝25，
解得BE＝5，
∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称，
∴AB＝AB′，
∴△ABB′是等腰三角形，
∴B′N＝BE＝5，
即BM+MN的最小值是5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂线段最短的性质，等腰三角形两腰上的高相等的性质，熟练掌握各性质并准确确定出点M的位置是解题的关键．
18．如图，等边△ABC中，AB＝2，D为△ABC内一点，且DA＝DB，E为△ABC外一点，BE＝AB，且∠EBD＝∠CBD，连接DE，CE，则下列结论：①∠DAC＝∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB＝30°；④若EC∥AD，则S△EBC＝1，其中正确的有 ①③④ ．
【分析】连接DC，证△ACD≌△BCD得出①∠DAC＝∠DBC；再证△BED≌△BCD，得出∠BED＝∠BCD＝30°；其它两个条件运用假设成立推出答案即可．
【解答】证明：连接DC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝60，
∵DB＝DA，DC＝DC，
在△ACD与△BCD中，
，
∴△ACD≌△BCD （SSS），
∴∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝30°，
∵BE＝AB，
∴BE＝BC，
∵∠DBE＝∠DBC，BD＝BD，
在△BED与△BCD中，
，
∴△BED≌△BCD （SAS），
∴∠BED＝∠BCD＝30°．
由此得出①③正确．
∵EC∥AD，
∴∠DAC＝∠ECA，
∵∠DBE＝∠DBC，∠DAC＝∠DBC，
∴设∠ECA＝∠DBC＝∠DBE＝∠ACE，
∵BE＝BA，
∴BE＝BC，
∴∠BCE＝∠BEC＝60°+∠ACE，
在△BCE中三角和为180°，
∴2∠ACE+2（60°+∠ACE）＝180°
∴∠ACE＝15°，
∴∠CBE＝30，这时BE是AC边上的中垂线，结论②错误．
BE边上的高＝BC＝1，
∴S△EBC＝1，结论④是正确的．
故答案为：①③④
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等．
三．解答题（共9小题）
19．求下列各式中x的值．
（1）（x﹣3）2﹣4＝21；
（2）27（x+1）3+8＝0．
【分析】（1）由原式得（x﹣3）2＝25，利用平方根的定义求解可得；
（2）由原式可得（x+1）3＝，根据立方根定义可得．
解：（1）移项得（x﹣3）2＝25，
∴x﹣3＝5或x﹣3＝﹣5，
∴x＝8或﹣2．
（2）移项整理得（x+1）3＝﹣，
∴x+1＝﹣，
∴x＝﹣．
【点评】本题主要考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
20．计算：
（1）﹣（﹣）2+；
（2）|﹣3|﹣（+2）（﹣2）．
【分析】（1）根据算术平方根，二次根式的性质，立方根的定义即可得出答案；
（2）根据绝对值，平方差公式化简即可得出答案．
解：（1）原式＝3﹣3﹣2
＝﹣2；
（2）原式＝3﹣﹣[（）2﹣22]
＝3﹣﹣1
＝2﹣．
【点评】本题考查了实数的运算，立方根，平方差公式，掌握（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题的关键．
21．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在格点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C′；
（2）在直线l上找一点P，使PB+PC最小，则最小值为 2 ；
（3）若点Q在格点上，使得△ABQ的三边长分别为4，，，则图中这样的格点Q共有 4 个．
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）连接BC′交直线l于点P，连接CP，此时PB+PC的长最小，最小值为线段BC′的长；
（3）利用数形结合的思想画出图形即可．
解：（1）如图，△A'B'C′即为所求；
（2）如图，点P即为所求，最小值＝BC′的长＝＝2，
故答案为：2；
（3）这样的格点Q共有4个，如图所示，
故答案为：4．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题，学会利用数形结合的思想思考问题．
22．如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若BG＝CA，求证：GA＝2DE．
【分析】（1）利用AAS证明△BED≌△CFD，得BE＝CF；
（2）利用HL证明Rt△BGE≌Rt△CAF，得GE＝AF，从而解决问题．
【解答】证明：（1）∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED＝∠F，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴BE＝CF；
（2）在Rt△BGE和Rt△CAF中，
，
∴Rt△BGE≌Rt△CAF（HL），
∴GE＝AF，
∴AG＝EF．
∵△BED≌△CFD，
∴DE＝DF，
∴GA＝2DE．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用HL证明Rt△BGE≌Rt△CAF是解题的关键．
23．如图，△ABC，点E是边AB上的中点，AD是边BC上的高，DC＝BE，DG⊥CE，G是垂足，求证：
（1）G是CE的中点；
（2）∠B＝2∠BCE．
【分析】（1）连接DE，由直角三角形斜边的中线定理得到DE＝BE，结合已知得到DC＝DE，根据等腰三角形的“三线合一”定理即可证得G是CE的中点；
（2）由等腰三角形的性质得到∠DCE＝∠DEC，∠B＝∠BDE，根据三角形外角的性质可得∠BDE＝2∠DCE，进而得到∠B＝2∠DCE．
【解答】证明：（1）连接DE，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵DE是中线，
∴DE＝BE＝AE，
∵DC＝BE，
∴DC＝DE，
∵DG⊥CE，
∴CG＝EG，即G是CE的中点；
（2）由（1）知DE＝CD＝BE，
∴∠DCE＝∠DEC，∠B＝∠BDE，
∵∠BDE＝∠DCE+∠DEC＝2∠DCE，
∴∠B＝2∠DCE．
【点评】本题主要考查了直角三角形斜边的中线定理，等腰三角形的性质，正确作出辅助线，根据直角三角形斜边的中线定理证得DE＝BE并熟练掌握等腰三角形的“三线合一”定理是解决问题的关键．
24．如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5米/秒．
（1）求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；
（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间．
【分析】（1）过点A作AH⊥ON于H，利用含30°角的直角三角形的性质可得答案；
（2）当AC＝AN＝50米时，则卡车在CD段对学校A有影响，利用勾股定理求出CH的长，再根据等腰三角形的性质可得CD的长，从而求出时间．
解：（1）过点A作AH⊥ON于H，
∵∠O＝30°，OA＝80米，
∴AH＝OA＝40米，
∴卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离为40米；
（2）当AC＝AN＝50米时，则卡车在CD段对学校A有影响，
由（1）知AH＝40米，
∴CH＝＝＝30（米），
∴CN＝2CH＝60（米），
∴t＝60÷5＝12（秒），
∴卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间为12秒．
【点评】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，根据题意，构造出直角三角形是解题的关键．
25．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，沿AB的垂线DE折叠△ABC，
（1）如图①，若点A落在点B处，求AD的长；
（2）如图②，若点A落在AB的延长线的点F处，AD折叠后与CB交点G，且CG＝BG，求AD的长．
【分析】（1）设AD＝x，则CD＝8﹣x，再由折叠得BD＝x，然后由勾股定理列出方程解得x的值，即为AD的长；
（2）过点B作BH⊥BC交DF于点H，然后得到△GDC≌△GHB，BH∥AC，进而得到∠A＝∠F，再利用全等三角形的性质得到CD＝BH，∠C＝∠GBH，然后通过折叠的性质证明∠F＝∠HBF，即可得到BH＝HF，再设CD＝x，并用含有x的式子表示出相关线段，最后通过勾股定理求得x的值即可得到AD的长度．
解：（1）设AD＝x，则CD＝8﹣x，
由折叠得，BD＝x，
在Rt△BCD中，CD2+CB2＝BD2，
∴（8﹣x）2+62＝x2，
解得：x＝，
∴AD＝.
（2）如图②，过点B作BH⊥BC交DF于点H，则∠HBG＝90°＝∠C，
∴AC∥BH，
∴∠FBH＝∠A，
∵∠HBG＝∠C，BG＝CG，∠BGH＝∠CGD，
∴△BGH≌△CGD（ASA），
∴BH＝CD，DG＝HG，
设BH＝CD＝x，则AD＝8﹣x，
由折叠得，AE＝EF＝AF，AD＝DF＝8﹣x，∠F＝∠A，
∴∠F＝∠FBH，
∴FH＝BH＝x，
∴DH＝DF﹣HF＝8﹣x﹣x＝8﹣2x，
∴DG＝HG＝DH＝4﹣x，
在Rt△DCG中，CD2+CG2＝DG2，
∴x2+32＝（4﹣x）2，
解得：x＝，
∴AD＝8﹣＝．
【点评】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知折叠的性质得到相关的线段与角相等．
26．阅读：如图1，在△ABC中，3∠A+∠B＝180°，BC＝8，AC＝10，求AB的长．
小明的思路：如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，易得∠A＝∠D，△ABD为等腰三角形，由3∠A+∠B＝180°和∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，易得∠BCA＝2∠A，△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB的长．
解决下列问题：
（1）图2中，AE＝ 9 ，AB＝ 12 ；
（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c．如图3，当3∠A+2∠B＝180°时，用含a，c式子表示b．
【分析】（1）作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，根据垂直平分线的性质得到AB＝BD，∠A＝∠D，根据题意、三角形内角和定理得到∠CBD＝∠A，根据勾股定理计算即可；
（2）仿照（1）的作法解答．
解：（1）如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，
则BE是AD的垂直平分线，
∴AB＝BD，∠A＝∠D，
∵3∠A+∠ABC＝180°，∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，
∴∠BCA＝2∠A，
∵∠BCA＝∠D+∠CBD，
∴∠BCA＝∠A+∠CBD＝2∠A，
∴∠CBD＝∠A，
∴DC＝BC＝8，
∴AD＝DC+AC＝8+10＝18，
∴AE＝AD＝9，
∴EC＝AD﹣CD＝9﹣8＝1．
∴在直角△BCE和直角△AEB中，
由勾股定理得到：BC2﹣CE2＝AB2﹣AE2，即82﹣12＝AB2﹣92，
解得，AB＝12，
故答案为：9；12；
（2）作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，
则BE是边AD的垂直平分线，
∴AB＝BD，∠A＝∠D．
∵3∠A+2∠B＝180°，∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，
∴2∠A+∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠D+∠DBC，
∴2∠A+∠ABC＝∠D+∠DBC，
∵∠A＝∠D，
∴∠A+∠ABC＝∠DBC，BD＝AB＝c，即∠DCB＝∠DBC，
∴DB＝DC＝c，
由题意得，DE＝AE＝，
∴EC＝AE﹣AC＝﹣b＝，
在Rt△BEC中，BE2＝BC2﹣EC2，
在Rt△BEA中，BE2＝BA2﹣EA2，
∴BC2﹣EC2＝BA2﹣EA2，即a2﹣（）2＝c2﹣（）2，
整理得，b＝．
【点评】本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
27．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4，
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，则AB＝5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；
（2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN∥BC时，AM＝AN；当DN∥BC时，AD＝AN；得出方程，解方程即可；
②由直角三角形的性质得出DE＝5，根据题意得出当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE＝DM；如果ED＝EM；如果MD＝ME＝t﹣4；分别得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，
则AB＝5x，
在Rt△ACD中，AC＝＝5x，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：S△ABC＝×5x×4x＝40cm2，而x＞0，
∴x＝2cm，
则BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm．
①当MN∥BC时，AM＝AN，
即10﹣t＝t，
∴t＝5；
当DN∥BC时，AD＝AN，
得：t＝6；
∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6．
②∵点E是边AC的中点，CD⊥AB，
∴DE＝AC＝5，
当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；
当t＝4时，点M运动到点D，不构成三角形
当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．
如果DE＝DM，则t﹣4＝5，
∴t＝9；
如果ED＝EM，则点M运动到点A，
∴t＝10；
如果MD＝ME＝t﹣4，
过点E作EF⊥AB于F，如图3所示：
∵ED＝EA，
∴DF＝AF＝AD＝3，
在Rt△AEF中，EF＝4；
∵BM＝t，BF＝7，
∴FM＝t﹣7
则在Rt△EFM中，（t﹣4）2﹣（t﹣7）2＝42，
∴t＝．
综上所述，符合要求的t值为9或10或．
【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．