高中北师大版 (2019)2.2 全称量词与存在量词教案

这是一份高中北师大版 (2019)2.2 全称量词与存在量词教案，共5页。教案主要包含了新课导入，新知探究，应用举例，课堂练习，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。

教学目标
1. 能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.
2. 能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
3. 能判断全称量词命题与存在量词命题否定的真假.
4. 能利用命题与它的否定（只能一真一假）解答简单的问题．
教学重难点
重点：能正确地对含有一个量词的命题进行否定，并会判断它的真假.
难点：能正确判断全称量词命题与存在量词命题否定的真假．
教学过程

一、新课导入
情境引入：某班举行一次全体会议，如下图所示：
看看有没有人没到呗！
我怎么知道是不是所有的人都到了呢？

问题：这幅漫画反映了一个什么问题？
生思考、交流、回答
提示：用全称量词命题和存在量词命题的否定解释．全称量词命题的否定是存在量词命题.
今天，我们将学习全称量词与存在量词（2）——全称量词命题与存在量词命题的否定.
设计意图：通过情境问题进行引入，激发学生思考常见的量词，为顺利引出本节内容做铺垫.
二、新知探究
探究一：全称量词命题的否定
观察下面的全称命题：
（1）∀x∈R，有x+1>0；
（2） ∀x∈R，有x2−2x+2>0 ；
你能写出它们的否定吗？
分析：（1）要否定该命题的，只需找一个实数x,使得x+1>0不成立
即找到一个实数x,使得x+1⩽0．
也就是“∃x∈R，使有x+1⩽0”
（2）要否定该命题的，只需找一个实数x,使得x2−2x+2>0不成立
即找到一个实数x,使得x2−2x+2⩽0．
也就是“∃x∈R，使x2−2x+2⩽0”
知识点：1. 一般地，要否定一个全称量词命题，只需要在给定集合中找到一个元素，使命题的结论不正确，即全称量词命题不成立.全称量词命题的否定是存在量词命题.
2．对于全称量词命题p: ∀x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为:
∃ x∈M，x不具有性质p(x).
探究二：存在量词命题的否定
观察下面的存在量词命题：
（1）∃x∈R，使有x+1⩽0；
（2） ∃x∈R，使x2−2x+2⩽0 ；
你能写出它们的否定吗？
分析：（1）要否定该命题，需判定全体实数x ，都使得x+1⩽0不成立
即需判定对全体实数x, 有x+1>0成立．
也就是“∀x∈R，有x+1>0”
（2）要否定该命题，需判定全体实数x ，都使得x2−2x+2⩽0不成立
即需判定对全体实数x, 有x2−2x+2>0成立 ．
也就是“∀x∈R，有x2−2x+2>0”
知识点：
1．一般地，要否定一个存在量词命题，需要判定给定集合中每一个元素均不能使存在量词命题的结论成立．存在量词命题的否定是全称量词命题.
2．对于存在量词命题p:∃ x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为：∀ x∈M，x不具有性质p(x).
思考：常见的量词有哪些？它们的否定是什么？
分析：
小结：（1）写出一个全称量词命题或存在量词命题的否定时，通常要将命题的两个地方进行改变，一是量词符号要改变，二是结论要进行否定．
（2）全称量词命题（或存在量词命题）与其否定的真假性恰好相反．
设计意图：通过观察命题尝试写出否定形式，既复习了上节课所学，又引出了本节课探究的主要问题，活动的开展让学生总结全称量词命题或存在量词命题的否定的概念，在理解的基础上进行方法技巧的提升，帮助学生强化逻辑思维、数学运算等核心素养.
三、应用举例
例1 写出下列全称量词命题的否定
（1）任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交；
（2）∀x∈R，有x2=x.
解：（1）“任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交”的否定是“存在一个一元二次函数的图像，它的图象与x轴不相交；
（2）“∀x∈R，有x2=x”的否定是“∃x∈R，有x2≠x”.
例2 写出下列存在量词命题的否定
（1）某箱产品中至少有一件次品；
（2）方程x2−8x+15=0有一个根是偶数；
（3）∃x∈R，x2+x+1≤0 .
解：（1）“某箱产品中至少有一件次品”的否定是“某箱产品都是正品”；
（2）“方程x2−8x+15=0有一个根是偶数”的否定是“方程x2−8x+15=0有一个根是偶数”；
（3）“∃x∈R，x2+x+1≤0”的否定是“∀x∈R，有x2+x+1>0”.
例3 写出下列命题的否定，并判断真假：
（1）p:∃ x>1，使x2−2x−3=0；
（2）p：有些素数是奇数﹔
（3）∀ a， b∈R，方程ax=b都有唯一解；
（4）可以被5整除的整数，末位是0.
解：（1）命题的否定：∀ x>1，x2−2x−3≠0.假命题，
如x=3时，x2−2x−3=0.
（2）命题的否定：任意素数都不是奇数．假命题，如素数3为奇数.
（3）是全称命题，其否定：∃ a， b∈R，使方程ax=b的解不唯一或不存在．真命题，如a=0，b=0时，x∈R；α=0，b≠0，解不存在.
（4）是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.真命题，如15.
设计意图：通过三个例子，对全称量词命题及存在量词命题的否定进行思考、并判断真假，从案例中剖析全称量词命题及存在量词命题的否定的判断，尝试自主解答.
四、课堂练习
1．判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）∃ x∈M，x具有性质p(x)与∀ x∈M，x不具有性质p(x)的真假性相反﹒（ ）
（2）“任意x∈R，x2≥0”的否定为“∃x ∈R，x2< 0.”（ ）
（3）从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定.（）
（4）全称量词命题与它的否定真假性相反﹒（）
2. 以下四个命题中，真命题的个数是（）.
①若a，b中至少有一个不小于1，则α+b≥2；
②存在正实数a，b，使得a+b=ab ；
③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”.
A. 0 B.1 C. 2 D.3
3. 写出下列命题的否定：
（1）命题“对于任意的x∈R,x3−x2+1≤0”；
（2）命题“∃ x>0，x2−3x+2>0”.
4. 判断下列命题的真假，并写出它们的否定：
（1）∃x，y∈Z,3x−4y=20；
（2）在实数范围内，有些一元二次方程无解；
（3）正数的绝对值是它本身.
参考答案：
1．（1）√（2）√（3）×（4）√
解析：由全称量词命题及存在量词命题的否定理解可知.
2. C
解析：①a=2, b=− 2满足条件a， b中至少有一个不小于1，但此时a+b=0，故①是假命题；②当a=b=2时，a+b=ab，故②是真命题；③“所有奇数都是素数”的否定为“至少有一个奇数不是素数”，故③是真命题.故选C.
3. （1）∃ x∈R，x3−x2+1>0；（2）∀ x>0，x2−3x+2≤0.
解析：由全称量词命题及存在量词命题的否定得：
（1）∃ x∈R，x3−x2+1>0；
（2）∀ x>0，x2−3x+2≤0.
4. （1）真命题，否定为“∀ x， y∈Z，3x−41≠20”.
（2）真命题，否定为“在实数范围内，所有的一元二次方程都有解”﹒
（3）是全称量词命题，省略了量词“所有”，命题为真命题．否定为“有的正数的绝对值不是它本身”.
解析：（1）真命题，否定为“∀ x， y∈Z，3x−41≠20”.
（2）真命题，否定为“在实数范围内，所有的一元二次方程都有解”﹒
（3）是全称量词命题，省略了量词“所有”，命题为真命题．否定为“有的正数的绝对值不是它本身”.
五、课堂小结
1. 全称量词命题的否定：一般地，要否定一个全称量词命题，只需要在给定集合中找到一个元素，使命题的结论不正确，即全称量词命题不成立.全称量词命题的否定是存在量词命题.对于全称量词命题p: ∀x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为:∃ x∈M，x不具有性质p(x).
2. 存在量词命题的否定：一般地，要否定一个存在量词命题，需要判定给定集合中每一个元素均不能使存在量词命题的结论成立．存在量词命题的否定是全称量词命题.对于存在量词命题p:∃ x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为：∀ x∈M，x不具有性质p(x).
六、布置作业
教材第22页练习1题．词语
是
一定是
都是
大于
小于
且
词语的否定
不是
不一定是
不都是
小于或等于
大于或等于
或
词语
必有一个
至少有n个
至多有一个
所有x成立
所有x不成立
能
词语的否定
一个也没有
至多有n-1个
至少有两个
存在一个x不成立
存在一个x成立
不能