北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识4 一元二次函数与一元二次不等式4.3 一元二次不等式的应用教学设计

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识4 一元二次函数与一元二次不等式4.3 一元二次不等式的应用教学设计，共4页。教案主要包含了新课导入，应用举例，课堂练习，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。

1.4.3 一元二次不等式的应用
教学目标
1. 能从实际情境中抽象出一元二次不等式.
2. 通过解一元二次不等式解决实际问题.
教学重难点
重点：利用一元二次不等式解决实际问题.
难点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型．
教学过程
一、新课导入
温故知新：同学们，我们在上节课学习了一元二次不等式及其解法，有图像法和判别式法两种方法，一般步骤为：
（1）对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零；
（2）计算相应的判别式；
（3）当△≥0时，求出相应的一元二次方程的根；
（4）根据二次函数图象写出一元二次不等式的解集.
想一想：同学们，了解了一元二次不等式的解法后，我们应如何运用呢？面对生活中一些常见的实际问题，你能否运用一元二次不等式解决出来呢？
答案：结合一元二次不等式及其解法，了解一元二次不等式的现实意义，把实际问题中的文字语言转化为数学语言，构建数学模型，解决实际问题.
设计意图：通过对旧知的复习，巩固学生对一元二次不等式的求解基础，并且引出新的课题，激发学生的学习兴趣，让学生在对新问题的挑战中，进一步深化数学建模思想，对这个强有力的学科工具的运用方法更加灵活多变．
三、应用举例
例1：某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满.该农家院欲提高档次，并提高租金.经市场调研，每间客房日租金每增加10元，客房出租数就会减少1间.每间客房日租金不得超过130元，要使每天客房的租金总收入不低于1800元，该农家院每间客房日租金提高的空间有多大?
分析：首先将大问题转化为几个小问题，然后分步完成：
（1）你能用含x的表达式分别表示租金提高空间、每间客房日租金提高值和租金总收入吗?（2）租金总收入y与每间客房日租金提高的比例x的函数关系如何?
（3）利用题目中所给的不等关系求解.
解： 设每间客房日租金提高x个10元，即每间客房日租金提高到(80+10x)元，则客房出租数减少x(x∈N)间，此时客房的租金总收入为(80+10x)(20−x)元.
又因为每天客房的租金总收人不低于1800元，所以
(80+10x)(20−x)≥1800.
化简，得 x2−12x+20≤0.
解得 2≤x≤10.
由题意可知：每间客房日租金不得超过130元，即80+10x≤130，所以x≤5.
因此，x=2，3，4，5，该农家院每间客房日租金提高的空间是20元，30元，40元，50元.
想一想：遇到文字类的应用题，我们应该如何巧妙将文字语言转化为数学语言呢？
答案：遇到大篇幅的文字不要慌，善用分步思想将大问题转化为小问题，首先用一个未知量表示多个未知量，然后列出未知量之间的关系表达式，求出结果.
例2：为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：y=−10x+500.
（1）设袁阳每月获得的利润为w（单位:元），写出每月获得的利润w与销售单价x的函数关系.
（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少?
分析：选取合适的字母表示题中的未知数，用未知数表示出销售利润和销售量，再代入题目中所给关系式求解.
解：(1)依题意可知每件的销售利润为(x−10)元，每月的销售量为(−10x+500)件，所以每月获得的利润w与销售单价x的函数关系为w=(x−10)(−10x+500).
(2)由每月获得的利润不小于3000元，得
(x−10)(−10x+500)≥3000.
化简，得 x2−60x+800≤0.
解得 20≤x≤40.
又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以
20≤x≤25.
设政府每个月为他承担的总差价为p元，则
p=12−10−10x+500=−20x+1000.
由20≤x≤25，得500≤−20x+1000≤600.
故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为[500，600]元.
知识点：与一元二次不等式有关的实际应用问题，经常涉及物价、路程、产值、环保等最值问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．
解答这类问题的关键是确立相应的函数解析式，然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以综合解答．操作步骤如下：
（1）理解题意，搞清量与量之间的关系；
（2）建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；
（3）解这个一元二次不等式，得到实际问题的解.
设计意图：我们主要针对常见的一元二次不等式及其解法的应用进行展开，其中较为重要的应该是数学建模的能力以及把文字语言转换成数学语言的能力，因此在这一部分例题的选取中，都会出现体现上述能力的模块，由此丰富学生的解题技巧，让他们感知数学在实际生活中运用的魅力所在.
四、课堂练习
1. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，要求十二月份的销售额不少于193.6万元，求这两个月的平均增长率最少为多少.
2. 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出350−10a件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要至少盈利400元，最少进货多少件?每件商品应最少定价多少?
3. 国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k元(叫做税率k%)，则每年的产销量将减少10k万瓶.要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，问h应怎样确定?
4.求某摩托车生产企业，上年度投入的成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆本年度为适应市场需要，计划提高产品档次.若每辆车投入成本增加的比例
为x(05.某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳锐10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.
（1）写出税收y（万元）与x的函数关系式;
（2）要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.分析：重复上题步骤，将大问题转化为几个小问题，然后分步完成：（1）你能用含x的表达式分别表示投入的成本、出厂价和年销售量吗?（2）本年度的预期年利润y与投入成本增加的比例x的函数关系如何?
要得出预期年利润y与投入成本增加的比例x的函数关系，我们首先要用含x的表达式分别表示投入的成本、出厂价和年销售量，而后代入题目所给公式，即可求出一元二次函数关系表达式.
参考答案：
1. 10％.
解析：设这两个月的平均增长率是x，则根据题意，得2001−20%1+x2≧
193.6，即(1+x)2≥1.21，解这个方程，得x1≥0.1，x2≤−2.1 (舍去) .
答：这两个月的平均增长率最少是10%.
2.100件，25元.
解析：根据题意，得(a−21)(350−10a)≥400，整理，得a2−56a+775=0，
解这个方程，得a1≥25 ， a2≤31.因为21×1+20%=25.2，所以a2=31 不合题意舍.350−10a=350−10×25=100 (件) .
答：至少需要进货100件，每件商品最低应定价25元.
3.2≤k≤8.
解析：设产销量为每年x万瓶，则销售收人每年70x万元，从中征收的税金为
70x×k%万元，其中x=100−10k.由题意，得70(100−10k)k%≥112
整理得k2−10k+16≤0，解得2≤k≤8.
因此当2≤k≤8(单位:元)时，每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元.
4. (0，3)
解析： 根据题意，提高产品档次后得成本为1+x，出厂价为1.2(1+0.75x) ，年销售量为1000(1+0.6x)，则预期年利润y与投入成本增加的比例x的函数关系为y=1.21+0.75x−1−x×10001+0.6x=−60x2+20x+200(0 则 −60x2+20x+200>(1.2−1)×1000，
解得 0 即投入成本增加的比例x应在(0，3)内.
5.0解析：（1）降低税率后的税率为(10−x)%，农产品的收购量为a(1+2x%)万担，
收购总金额为200a(1+2x%)万元.
依题意: y=200a(1+2x%)(10−x)%
=150a(100+2x)(10−x)(0（2）原计划税收为200a×10%=20a(万元).
依题意得 a(100+2x)(10−x)≥20a×83.2%，
化简得 x2+40x−84≤0，
−42又因为 0所以，x的取值范围是0五、课堂小结
1．利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：
（1）选取合适的字母表示题中的未知数；
（2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
（3）求解所列出的不等式（组）；
（4）结合题目的实际意义确定答案.
六、布置作业
教材第39页练习题1、2.