《2.3.2 函数的单调性和最值(2)》精品教案

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第二章 函数 2.3.2 函数的单调性和最值(2)教学目标1．理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．2．能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值（或值域）．3．能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．教学重难点重点：证明函数的单调性；能利用函数的单调性求函数的最值．难点：求含参的一元二次函数的最值，利用函数最值解决实际问题．教学过程新课导入我们已经学习了函数单调性的定义，也感受到了函数的图像在判断函数单调性中的作用，但是，当函数的解析式很复杂，图象很难画出的时候，我们就需要利用函数的解析式和单调性的定义来判断函数的单调性了．二、新知探究探究：已知函数fx=x+4x，（1）利用定义，判断fx在区间1，2上的单调性；（2）根据fx的单调性求出fx在区间1，2的最值．答案：（1）任取x1、x2∈1，2，且x10，1fx2，即fx在区间1，2上的单调递减．（2）由于函数fx=x+4x在区间1，2单调递减，所以它的最大值是f1=5，最小值是f2=4．问题１：利用函数的解析式和单调性的定义判断函数的单调性步骤是怎样的？答案：一取，二作差，三定号，四判断．追问：在利用函数的解析式和单调性的定义判断函数的单调性时，需要注意哪些问题？答案：１.单调性定义中的x1、x2需要具有以下特征：①任意性：即“任意取x1、x2”中“任意”两个字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；②有大小，通常规定x1＜x2；③在整个区间内任取．２.在作差定号的过程中要把差整理成能够直接判断正负的形式．问题２：函数在区间1，2或者1，2 是否存在最值？答案：由最值的定义，当把区间改为1，2时，此时无最大值，最小值是f2=4．同样地，当把区间改为1，2时，此时有最大值是f1=5，无最小值．追问：若函数y=fx是定义在a，b上的增（或减）函数，这个函数有最值吗？如果是区间a，b呢？答案：若函数y=fx是定义在a，b上的增函数，则其最小值为fa，最大值为fb．若函数y=fx是定义在a，b上的减函数，则其最大值为fa，最小值为fb．若定义域为区间a，b，则没有最值，但可以说值域为（fa，fb）或者（fb，fa）．探究：求函数y=x2−2ax−1在区间0，2上的最值．尝试判断函数在区间0，2上的单调性并结合函数图象求函数在区间0，2上的最值：二次函数y=x2−2ax−1的图象为开口向上的抛物线且对称轴为x=a，分析对称轴x=a与定区间0，2的相对位置关系，当a<0时，函数在0，2上单调递增，如图1故函数在x=0处取的最小值−1，在x=2处取得最大值3−4a；当0≤a≤1时，函数在0，a上单调递减，a，2]上单调递增，结合图2可知，函数在x=a处取得最小值−a2−1，在x=2处取得最大值3−4a；当12时，函数在区间0，2上单调递减，结合图4可知，函数在x=0取得最大值−1，在x=2处取得最小值3−4a；综上，当a<0时，函数在区间0，2上的最小值−1，最大值为3−4a；当0≤a≤1时，函数在区间0，2上的最小值−a2−1，最大值为3−4a；当12时，函数在区间0，2上的最小值3−4a，最大值为−1．总结：二次函数的开口方向确定，函数的定义域确定而对称轴不定，这种问题叫做“动轴定区间问题”，这种问题的核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．探究：函数fx=x2−2x+2其中x∈t，t+1，t∈R的最小值为gt，求gt的表达式．答：由函数fx=x2−2x+2知其图象开口向上，对称轴为x=1，下面分三种情况讨论：当t+1≤1，即t≤0时，即如图1所示，此时函数fx在t，t+1上单调递减，所以gt=ft+1=t+12−2t+1+2=t2+1．当t<1，t+1>1，即00，即fx1>fx2．由函数单调性的定义可知，函数fx=−3x+2在定义域R上是减函数．这个证明是在定义域内任取x1fx2，从而有函数单调性的定义判断函数fx=−3x+2在定义域R上是减函数．例2 判断函数fx=x的单调性，并给出证明．解：画出函数fx=x的图象．由图象可以看出，函数fx=x在定义域[0，+∞）上是增函数．证明：任取x1、x2∈[0，+∞）且x10，可知fx1−fx2<0，即fx10即fx1−fx2>0．这表明函数fx=x+1x在区间（0，1]上单调递减，同理可证，函数fx=x+1x在区间[1，+∞)上单调递增．在判断函数的单调性时，常常借助其图象，得到猜测，证明函数fx在一个区间上的单调性时，通常在这个区间上任取x1、x2，且x10恒成立；（2）存在x1、x2∈a，b，使得fx1−fx2x1−x2>0成立；（3）对任意的a0恒成立，并且对任意的a+b2≤x10也恒成立．2.已知fx=xx2+4，x∈−2，2．用定义判断证明函数在−2，2上的单调性．3．已知函数fx=x2−2mx−3在区间1，2上单调，求实数m的取值范围．参考答案：1.（1）能判断函数fx在区间a，b上单调递增，由任意的x1、x2∈a，b，x1≠x2，都有fx1−fx2x1−x2>0恒成立，可知对任意的x1、x2∈a，b，x1≠x2，若x10，x1x2−4<0，则fx1−fx2<0，即f(x1)