《2.3函数的单调性和最值》第2课时优秀教案北师大新课标

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第二章　函数2.3函数的单调性和最值第2课时教学目标1．知识目标(1)利用图象判断函数的单调性、寻找函数的单调区间．(2)掌握函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性，作差结果符号的判断方法．(3)熟悉常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用．2．核心素养目标(1)通过函数单调性的概念的学习和简单的应用，体会数形结合、分类讨论等基本的数学思想方法．(2)提高学生的数学运算和直观想象能力．教学重难点教学重点：利用函数的图象判断单调性、寻找函数单调区间．教学难点：对函数单调性概念中关键词的理解．课前准备PPT课件．教学过程一、导入新课问题1：初中学习了一次函数y=kx+b的图象和性质，当自变量x变化时，函数值f(x)随之怎样变化？师生活动：教师引导学生观察图象的升降，学生观察图像并说出自己对图象的直观认识．预设的答案：当k>0时，直线是由左向右上升，即函数值y随自变量x的增大而增大；当k<0时，直线由左向右下降，即函数值y随自变量x的增大而减小．设计意图：在函数图象的观察中获取函数单调性的直观认识．问题2：二次函数、反比例函数的函数值是如何变化的？师生活动：引导学生从“形变”过渡到“数变”；从定性分析到定量分析，学生思考并回答．预设的答案：不同函数，其图象上升、下降规律不同；且同一函数在不同区间上的变化规律也不同；比如二次函数，当时，函数值随着自变量的变大而变大；当时，函数值随着自变量的变大而变小．设计意图：体会同一函数在不同区间上的变化差异．教师引语：用增大或减小来刻画一个函数在一个区间的变化是非常重要的，这一节课我们一起来学习函数的单调性，并板书课题．二、新知探究问题3：如图所示，是某个函数的图象，说出在各个区间，函数值fx随自变量x的值的变化情况．师生活动：学生观察图像并做出回答．预设的答案：在区间[−6，−5]，[−2，1]，[3，4.5]，[7，8]上，函数值fx都是随x的值的增大而增大；在区间(−5，−2)，(1，3)，(4.5，7)，(8，9]上，函数值fx都是随x的值的增大而减小．设计意图：让学生观察具体的函数图象“上升、下降”的特征，加强学生对函数的单调性的直观认识．追问：怎样用数学符号语言表达函数值fx在区间上随的值增大而增大呢？师生活动：先让学生从具体到抽象尝试概括，教师进行启发，最后得到符号表示只要，就有．预设的答案：对任意的，若，则；或则对任意的，若，则．教师总结：我们借助数学符号语言，给出了一个与“无限”相关的变化规律的定量描述，即任取，，把“无穷”问题转化为了可操作的有限过程，这就是数学抽象的力量．设计意图：通过师生的合作、交流，突破增函数符号化这一难点；高一的学生符号化能力较弱，但是单调性的定义这一抽象过程尤为重要；这为以后学习其它知识的符号化学习提供了经验，同时也提升了学生的数学抽象素养．教师总结：函数值fx在区间上随值的增大而增大，我们称y=fx在区间上是增函数或递增的．问题4：对于函数，若在区间上存在两个实数，当时，有，那么能否说函数在区间上是增函数？若不正确，请给出一个反例．师生活动：先由学生独立完成并交流，再由教师给出严格的单调性定义表述．预设的答案：不正确；对于函数满足，显然在区间上不是增函数．追问1：类比函数fx在区间是增函数的符号化语言，你能给出“定义域为的函数在定义域的某个区间上单调递增”的符号化语言表述吗？师生活动：先由学生独立完成并交流，再由教师给出严格的单调性定义表述．预设的答案：如果对于任意的，当x1f(x2)，那么就称函数y=fx在区间上是减函数或递减的；当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数(Decreasing function)；减函数的图象是下降的．教师总结：函数y=fx在区间上是增函数（减函数），那么就称函数在区间上是单调函数，或称在区间上具有单调性，区间称为函数y=fx的单调区间；如二次函数fx=x2在区间上是单调增函数（单调递增），区间是函数fx=x2的单调增区间．设计意图：这个环节是本节课的重点，也是难点，其核心是通过从具体到抽象的过程，让学生学会用严格的符号语言刻画“在区间上，当增大时，相应的随之减小”．从图象到定性再到定量的不断精确化的过程中，通过问题串，设法引出“任意”，引导学生体会用“任意”和刻画“无限”的力量．在这里渗透由特殊到一般的数学思想方法，后面给出一般增函数的定义就更加自然了．问题5：你能写出函数和函数的单调区间吗？师生活动：先由学生思考并交流，教师帮助完善．预设的答案：函数在，上单调递减；函数在上调递增，在上单调递增．设计意图：通过学生自己举反例是深化理解概念的重要方式，注意培养学生数学表达的严谨性和规范性．追问：能否说在定义域内单调递减？为什么？师生活动：先由学生思考并交流，教师帮助完善．预设的答案：函数的定义域为，由图象可知，在两个区间上函数都是单调递减的，但不能说成“函数在定义域内递减”或“函数的单调递减区间是”，这不符合减函数的定义；只能说“函数在区间和区间上都是递减的”．设计意图：这个辨析是为了区分“单调递增”与“增函数”、“单调递减”与“减函数”等概念，也是为了引导学生体会函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的，是函数的局部性质．函数在某个区间上单调，并不意味着函数在整个定义域内都是单调的．问题6：“函数在区间上单增”与“函数的单增区间是”两种叙述含义相同吗？举例说明．预设的答案：含义不同，如函数fx=x2−2ax−1的单调递增区间为，则对称轴a=2；函数fx=x2−2ax−1在区间上单调递增，则对称轴a≤2．问题7：(1)如图所示是函数y＝－x2－2x；y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)；y＝f(x)的图象，观察这三个图象，你能归纳出它们的共同特征吗？(2)在函数y＝f(x)的图象上任取一点A(x，y)，设点C的坐标为(x0，y0)，谁能用数学符号解释函数y＝f(x)的图象有最高点C？(3)形如上述问题中函数y＝f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y＝f(x)的最大值．谁能给出函数最大值的定义？(4)函数最大值的定义中f(x)≤ M即f(x)≤ f(x0)，这个不等式反映了函数y＝f(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？(5)函数最大值的几何意义是什么？(6)函数y=－2x＋1，x∈(－1，+∞)有最大值吗？为什么？(7)点(－1，3)是不是函数y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)的最高点？(8)求函数最值你发现了什么值得注意的地方？师生活动：小组讨论，教师来回巡视指导．预设的答案：(1)函数y＝－x2－2x的图象有最高点A，函数y＝－2x＋1，x∈[－1,＋∞)的图象有最高点B，函数y＝f(x)的图象有最高点C；也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点．(2)由于点C是函数y＝f(x)图象上的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意x，都有y≤ y0，即f(x)≤ f(x0)；也就是对函数y＝f(x)的定义域内任意x，均有f(x)≤ f(x0)成立．(3)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足；①对于任意的x∈I，都有f(x)≤ M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M；那么称M是函数y＝f(x)的最大值．(4)f(x)≤ M反映了函数y＝f(x)的所有函数值不大于实数M；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M．(5)函数最大值的几何意义：函数图象上最高点的纵坐标．(6)函数y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)没有最大值，因为函数y＝－2x＋1，x∈(－1，＋∞)的图象没有最高点．(7)不是，因为该函数的定义域中没有－1．(8)讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最高点时，这个函数才存在最大值；最高点必须是函数图象上的点．设计意图：小组合作讨论解决问题，提升学生合作意识；同时数形结合增强学生对函数最大值概念的理解．问题8：(1)类比函数的最大值，请你给出函数的最小值定义及其几何意义吗？(2)你认为讨论函数最小值应注意什么？师生活动：让学生思考函数最大值的定义，利用定义来类比定义．最高点类比最低点，不等号“≤”类比不等号“≥”．函数的最大值和最小值统称为函数的最值．预设的答案：(1)函数最小值的定义是：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足；①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么称M是函数y＝f(x)的最小值．函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标．(2)讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最低点时，这个函数才存在最小值；最低点必须是函数图象上的点．设计意图：让学生类比函数最大值的概念、特征得出函数最小值的概念、特征，提升学生自我解决问题的能力．三、巩固练习例1设fx=1x(x<0)，画出函数fx+3(x<−3)的图象，并通过图象直观判断它的单调性．师生活动：先让学生独立思考，共同讨论研究思路，教师展示图像的平移变换．预设的答案：解：函数fx+3=1x+3(x<−3)，其图象是函数fx=1x的图象向左平移3个单位得到，如图所示；该函数在区间上单调递减．设计意图：掌握利用图象划分函数单调区间的方法．例2根据函数图象直观判断y=|x−1|的单调性，并求出函数的最值．师生活动：教师引导思考如何作图，学生观察图像得到函数的增减区间．预设的答案：解：函数，画出该函数的图象，如图所示，函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，函数的最小值，无最大值．设计意图：掌握利用图象划分函数单调区间的方法．【课堂练习】1．函数单调减区间是__________，函数的最大值为__________．师生活动：学生独立完成作图并展示交流，教师点评指导．预设的答案：去绝对值，可得函数，当时，函数的单调递减区间为，当时，函数的单调递减区间为，故函数的最大值为．综上，函数的单调递减区间为，，函数的最大值为．设计意图：强化作图意识，增强学生对函数单调性和最值的理解．2．对于，记函数的最小值是(　　)A．1 B．2 C．3 D．4师生活动：学生独立完成，小组合作讨论，并安排小组代表回答，教师鼓励学生使用多种方法解决问题．预设答案：B．，当时，，显然当时，有，当时，，显然当时，有，因此函数的最小值是2．设计意图：利用一次函数解析式求函数最值．四、归纳小结问题9：本节课我们学习了哪些内容？判断函数单调性时，应把握好哪些关键问题？结合本节课的学习过程，你对函数性质的研究方法有什么体会？师生活动：学生思考并回答，教师进行归纳．预设答案：(1)增函数、减函数的定义．(2)要特别注意定义中“定义域内某个区间”“属于”“任意”“都有”这几个关键词语．设计意图：①让学生准确叙述单调递增、单调递减、增函数、减函数的定义，通过举例使学生进一步把握函数单调性的要点．②引导学生进一步理解单调性是函数的局部性质、初步掌握如何对进行代数变形．③使学生体会“从定性到定量”的研究思路，即通过图象及自然语言刻画得到函数性质的定性刻画，再用符号语言进行定量刻画，从而使函数性质得到严谨的数学表达．作业布置：教材P62页习题2-3，A组第1、2题，B组第2、3题．五、目标检测设计1．函数的单调增区间是__________．设计意图：巩固由函数图像观察函数的单调区间．2．函数在上是增函数，在上是减函数，则_________．设计意图：巩固函数增减区间概念．4．若函数在内不单调，则实数a的取值范围是__________．设计意图：由函数单调性求参数范围．5．已知函数．(1)判断函数的单调性，并用定义法证明；(2)若，求实数的取值范围．设计意图：强化函数单调性的规范证明．参考答案：1．答案：，．解析：去绝对值，可得函数，当时，函数的单调递减区间为，当时，函数的单调递减区间为，综上，函数的单调递减区间为，．2．答案：(−∞,−1)，(−1,＋∞)．解析：因为，所以f(x)的图象是由的图象沿x轴向左平移1个单位，然后沿y轴向上平移一个单位得到，的单调增区间为(−∞，0)，(0，＋∞)，故f(x)的单调增区间是(−∞，−1)，(−1，＋∞)．3．答案：－23．解析：由于函数在上是增函数，在上是减函数，所以，所以，故．4．答案：．解析：由题意得函数的对称轴为，因为函数在上不单调，所以，即．故实数a的取值范围是：．5．解：(1)，该函数由函数向左平移一个单位，再向上平移2个单位即可得到，如图所示；由图可知，函数在单增，现证明如下；设，则，故，由于，，所以，即，故在上单调递增；(2)若，在上单调递增，所以，解得．故实数的取值范围为．