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《3.1不等式的性质》优秀教案北师大新课标
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这是一份《3.1不等式的性质》优秀教案北师大新课标，共13页。
3.1不等式的性质教学目标1．掌握作差法比较两个实数（代数式）大小的基本方法；掌握不等式的基本性质；熟练运用不等式的基本性质进行不等式的变形、运算和证明．2．通过不等式性质的运用，提高学生数学运算能力和数学建模能力．教学重难点重点：不等式的基本性质的灵活运用；使用综合法和分析法证明不等式；难点：运用不等式的基本性质进行不等式的变形、运算和证明．课前准备PPT课件教学过程一、问题导入问题1：一天，同学甲问同学乙：“你今年多少岁了？”乙回答说：“16岁了，你呢？”“我满15岁了，哈哈！再过一年，明年我们就一样大了！”乙默然.这个对话里面包含了什么数学知识呢？问题2：高速路上的限速标志，上面的数字是什么意思？ 师生活动：学生分别用不等式表达，若有表达不准确，或表达困难的，引导学生先用符号表示题中的量，再用不等号表示问题中的不等关系．预设的答案：（1）两人相差1岁，过一年，两人的年龄同时加1，不可能相等.（2）车速为v，行车道上的车速应该满足100km/ℎ≤v≤120km/ℎ. 设计意图：提炼生活中的不等关系式，让学生学会从现实问题中抽象出不等式，提升学生的学习兴趣.问题3：今天我们来学习不等式的性质．因为不等式和等式一样，都是大小关系的刻画，所以我们可以从等式性质及其研究方法出发，通过类比研究不等式性质．首先梳理一下，等式都有哪些性质？师生活动：学生自主思考，教师通过提问，对等式性质不断完善．在提问过程中，让学生明白每一个性质反映出不等式的特性．学生容易回答出等式的性质3至5，对于性质1和2需要教师借助问题引导：“等式自身还有哪些特性？” ★资源名称： 【数学探究】等式的性质1 【数学探究】等式的性质2★使用说明：本资源适用于等式的性质的教学，供教师备课和授课使用.可以形象地表达事物的动态变化过程.直观具体、生动形象、表现力强，吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率.注：此图片为“动画”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设的答案：性质1：如果那么；性质2：如果，那么；性质3：如果，那么；如果那么．设计意图：从上节课所学的内容出发，引入本节课，有助于学生从整体上认识本节课的内容，同时通过等式和不等式的联系，明确不等式性质的研究是类比等式来研究的，确定研究方法．追问：观察等式的5条基本性质，哪些性质具有共性？是什么？师生活动：学生先观察，如果学生不能发现就由教师来讲解．性质2，3具有共性，它们都是在等式的两边进行了运算，是从运算的角度提出的，性质2可以看作加法运算，性质3可以看作是乘法运算．性质1是等式的对称性.教师总结：可见，等式的基本性质是“相等关系对运算保持不变”，反映了等式大小关系的本质属性．设计意图：通过学生回忆、分析等式的基本性质，并对性质分类、归纳和深入分析，梳理等式的基本性质的研究角度和方法，为研究不等式的基本性质明确方向．二、新知探究问题4：类比等式的性质，你能猜想不等式的性质吗？写出你的猜想．师生活动：学生独立思考，之后展示交流．如果学生有困难，教师可以提示从不等式的“运算”这个视角来研究不等式的基本性质．★资源名称： 【数学探究】不等式的基本性质★使用说明：本资源为《不等式基本性质》知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率。注：此图片为“动画”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设的答案：性质1：如果，，那么；性质2：如果，那么；性质3：如果，那么；如果，，那么．设计意图：由学生自主发现研究问题的方法，用类比的方法来猜想出不等式的性质．追问1：类比得到的结论一定正确吗？如何论证或者反驳？师生活动：教师引导学生从第一个性质开始，逐一进行分析，在对不等式性质1－3的分析中，教师引导学生从实数的大小关系的基本事实及实数的其他性质进行证明，首先将条件用实数大小关系表示出来，再利用大小关系进行证明．由于学生对代数证明比较生疏，所以教师可以示范其中之一，然后学生模仿完成．注意订正学生在此处证明中容易出现循环论证的错误．实数的其他性质有：（1）两个实数大小关系的基本事实；（2）正数大于0 ，也大于一切负数；负数小于0，也小于一切正数；（3）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数；（4）两个正数的和是正数，两个负数的和是负数；（5）同号两数相乘，其积为正数；异号两数相乘，其积为负数．但是，不需要一下子提供给学生，在需要的时候指明即可．预设的答案：性质1证明：根据两个正数的和还是正数，得．∴性质2证明：∵，∴．∴∴.追问2：从不同角度表达不等式的性质，可以加深理解，用文字语言怎样表达性质2？师生活动：教师引导学生先独立思考，再进行交流．并不断对学生的语言表述进一步规范．预设的答案：不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向．问题5：上述的性质3正确吗？为什么？如果不正确，应该怎样修正？师生活动：学生发现两个结论不正确，并通过举例进行反驳．教师引导学生思考，需要加上什么条件，才能使结论正确，并利用作差比较来分析，发现，由于，所以的正负由的正负决定，从而需要分析讨论．得到性质3的准确表述：如果，，那么；如果那么．追问：用文字语言怎样表述此性质？师生活动：先由学生表述：“不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向”．教师总结此性质反映了“不等式在乘法运算中的规律性”．同时教师强调可以把“乘法”“除法”合并为“乘法”，高中数学对运算的认识更趋于一般性，乘法是基本运算，此性质仍为基本性质．设计意图：让学生体会类比得到的结论不一定正确，并进行修正和证明，一方面让学生经历类比的探究过程，了解类比得到的猜想不一定正确，并学会用举反例的办法进行反驳；另一方面使学生体会数学证明的逻辑性和严谨性，感受到“猜想需要证明，证明要有依据”．问题6：上面通过类比，从不等式的“运算”视角，得到了不等式的3基本性质．不等式与等式基本性质的共性与差异有哪些？师生活动：引导学生从共性和不同两个方面去总结．两者都具有““运算中的不变性、 规律性”．教师强调由于不等号具有方向性，所以“两边同乘负数时，不等号变号”是不等式表现出的特性．设计意图：通过总结两者共性和差异，进一步明确加深对不等式性质的理解，尤其是性质3的理解．问题7：利用不等式的基本性质，你还能得到哪些不等式性质？比如在性质2中，不等式的两边同加同一个实数．如果两边同加不同的实数，即不等式的两边分别加上不相等的两个数，能得到什么不等关系？试试用不等式的性质证明你的猜想．师生活动：学生猜想“大数加大数，大于小数加小数”，教师引导学生将其用数学符号表示，即“如果，，那么”．然后让学生独立证明，小组交流证明过程，说出每一步的依据．预设的答案：证明：．∴，即．∴．设计意图：利用不等式的基本性质，推出其他常用的不等式性质，为以后的推理作准备．追问：你能用不等式性质证明吗？师生活动：教师引导学生思考如何寻找一个实数，利用性质1将 a+c和b+d联结，联想到实数b+c．要求学生写出证明过程．教师总结这种方法是不等式性质的应用，它的证明为为综合运用不等式的基本性质证明不等关系提供了范例．同时强调这个结论是今后进行逻辑推理的一个重要的理论基础，总结为性质4．预设答案：证明：由性质2，得，；由性质1，得．问题8：在基本性质3中，不等式的两边同乘同一个实数．如果同乘不同的实数，能得到什么结论？预设方案：学生猜想“大数乘大数，大于小数乘小数”，即“如果，那么”．追问：你认为上述结论是否正确？为什么？如何修正？师生活动：先由学生回答，教师引导学生回到不等式基本性质3中来分析，或者学生可以举反例来说明．在修正时，引导学生与性质3进行对比，发现对于正数乘法是具有“保号性”的．师生共同修改为“如果，那么”，教师引导学生模仿性质4的证明该性质的证明，也可以尝试多种解法，教师指出此为不等式性质5．问题：如果，那么有怎样的大小关系？师生活动：教师引导学生利用完成的证明.记作性质5.同时，利用性质5可以得出“如果那么”，并能推广到“如果，那么”．教师指出这是不等式的乘方性质，是性质5的特例．教师指出以“不等式在运算中的不变性、规律性”为研究抓手，还能推导出很多不等关系，鼓励同学们多发现、提出和证明一些结论．预设答案：根据性质3有 ．．再根据性质1可知．很明显，这个推论也可以推广为更一般的结论：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．设计意图：让学生经历“猜想—证明—修正—再证明—得出性质—理解”的研究数学问题的过程，加深学生对类比学习的理解；在探究过程中让学生充分认识到“运算中的不变性、规律性”在研究不等式性质中的作用，加深学生对不等式性质的认识，从而发展学生逻辑推理的核心素养．从同向不等式的可加性出发，类似地推证出同向同正不等式可乘的性质，有利于提高学生的合情推理以及推理论证能力．问题9：不等式有没有与开方有关的性质呢？师生活动：师生一起猜想，得到结论后，教师给出证明．性质6：如果，n∈N+，那么· 预设答案： 证明：假设，即或．根据性质5和根式的性质，得或．这都与a>b矛盾，因此假设不成立，从而．问题10：证明性质6中不等式的方法具有什么特征？师生活动：师生一起探讨：可以看出，不等式开方性质证明方法的实质是：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．教师总结：这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法．反证法的一般步骤：初步应用例1.已知，求证：．师生活动：教师引导，师生共同分析问题中的条件和结论，发现条件和结论之间的联系不太明显，因此先从结论出发，寻求使式子成立的条件，并和已知条件相结合寻找思路．教师写出规范解答．预设的答案：证明：法一）法二）∵a＞b＞0，∴ab＞0，．于是，即．又由c＜0，得．设计意图：本题是不等式基本性质的应用，体现“分析法”寻找证明思路和“综合法”的表达方式，隐含了“夹逼法”，即分别从已知和结论两个方向进行化简，找到化简之后的式子的联系，从而证明．有助于提高学生分析解决问题的能力，提升学生的数学应用意识．教师总结：上述这种证明方法通常称为分析法．分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为pq，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件．例2.试比较与的大小.师生活动：师生一起分析，教师写出规范解答.预设的答案：解：作差比较，设计意图：通过本例让学生进一步熟悉比较两个数的常用做法．例3.试证明：若，则.师生活动：教师引导学生分析问题后，要求学生自主写出证明过程，并展示学生作答情况，对不规范的地方给予纠正．预设的答案：证明 ：法一）， 所以结论成立．法二）作差比较， 因为，所以，又因，所以∴设计意图：通过本例让学生熟悉分析法和综合法的证明方法和格式．例4. (1)已知，求证：；(2)已知，求证：.师生活动：小组相互讨论，完成证明 ，小组展示交流.预设的答案：证明：(1)因，则，由不等式的性质3，，得.(2)因. 由不等式的性质3， 再由，利用不等式的性质4，同向不等式相加，得.设计意图：让学生充分掌握不等式性质的应用.【课堂练习一】若，则下列不等式中一定不成立的是（ ） B． C． D．师生活动：学生独立完成，交流讨论.预设的答案：AD对于，，所以，所以，所以，故选项一定不成立；对于，不妨取，，则，故选项可能成立；对于，不妨取，，则，故选项可能成立；对于，，故，故选项一定不成立；故选：．设计意图：根据不等式的性质及作差法判断即可．【课堂练习二】已知，则的取值范围是_________，的取值范围是________．师生活动：学生完成后讨论做题过程.预设的答案： ，即，，．又，，；又，，又，.综上所述：的取值范围为；的取值范围为.设计意图： 巩固不等式的性质运算，对比不等式的同向可加性和同向可乘性.四、课堂小结，布置作业问题11：本节课我们重点学习了不等式的基本性质和不等式的常用性质，你是怎样研究不等式的基本性质的？在探究不等式性质时经历什么过程？师生活动：学生代表进行口答，其他学生评价．预设的答案：学生能回答，先梳理等式的基本性质及蕴含的思想方法，从不等式的自身性质和运算的角度猜想并证明不等式的基本性质，由不等式的基本性质推理不等式的一些常用性质．经历的过程：经历“前备经验—归纳特点—类比猜想—推理证明（修正）—理解表达—探究个性—应用反思”的过程．设计意图：从知识和思想方法的角度进行课堂小结，有助于学生在学会知识的同时，又学会思想方法，这样可将知识与思想方法共同纳入到认知结构中．作业：教材P26页课后练习1－6五、目标检测设计1．已知，则下列结论正确的是（ ）A． B． C． D．设计意图：考查不等式的基本应用.2．“且”是“”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件设计意图：考查不等式的同向可加性.3．在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜.已知克糖水中含有克糖()，再添加克糖()(假设全部溶解)，可将糖水变甜这一事实表示为下列哪一个不等式（ ）A． B． C． D．设计意图：巩固不等式在生活中的应用.已知实数，满足，．设，则的取值范围是______．设计意图：考查不等式的综合应用.5.杯中有浓度为的盐水克，杯中有浓度为的盐水克，其中杯中的盐水更咸一些．若将、两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为_____．设计意图：考查不等式的实际应用.参考答案1．B对于A，当时，满足，但此时，故A错误；对于B，由函数在R上单调递增可得：若，则，故B正确；对于C，若，，故C错误；对于D，若，满足，但此时，故D错误.2．A当且时，根据不等式的性质，可得；当时，不能推出且，比如取，.所以“且”是“”的充分不必要条件.3．B解：根据不等式中两个重要不等式判定得，．糖水变甜说明加糖后分式的值变大了，只有符合.4．∵，∴，又．∴，即．故答案为：．5．由题意，将、两杯盐水混合再一起后浓度为．，．杯中的盐水更咸一些．．．故答案为：. 性质内容备注性质1如果，且，那么传递性性质2如果，那么加（减）乘（除）运算性质3如果，，那么如果，，那么c性质4如果，，那么同向不等式相加性质5如果，，那么如果，，那么特别地， 如果，那么．不等式相乘不等式的乘方性质性质6如果，那么．不等式的开方性质
3.1不等式的性质教学目标1．掌握作差法比较两个实数（代数式）大小的基本方法；掌握不等式的基本性质；熟练运用不等式的基本性质进行不等式的变形、运算和证明．2．通过不等式性质的运用，提高学生数学运算能力和数学建模能力．教学重难点重点：不等式的基本性质的灵活运用；使用综合法和分析法证明不等式；难点：运用不等式的基本性质进行不等式的变形、运算和证明．课前准备PPT课件教学过程一、问题导入问题1：一天，同学甲问同学乙：“你今年多少岁了？”乙回答说：“16岁了，你呢？”“我满15岁了，哈哈！再过一年，明年我们就一样大了！”乙默然.这个对话里面包含了什么数学知识呢？问题2：高速路上的限速标志，上面的数字是什么意思？ 师生活动：学生分别用不等式表达，若有表达不准确，或表达困难的，引导学生先用符号表示题中的量，再用不等号表示问题中的不等关系．预设的答案：（1）两人相差1岁，过一年，两人的年龄同时加1，不可能相等.（2）车速为v，行车道上的车速应该满足100km/ℎ≤v≤120km/ℎ. 设计意图：提炼生活中的不等关系式，让学生学会从现实问题中抽象出不等式，提升学生的学习兴趣.问题3：今天我们来学习不等式的性质．因为不等式和等式一样，都是大小关系的刻画，所以我们可以从等式性质及其研究方法出发，通过类比研究不等式性质．首先梳理一下，等式都有哪些性质？师生活动：学生自主思考，教师通过提问，对等式性质不断完善．在提问过程中，让学生明白每一个性质反映出不等式的特性．学生容易回答出等式的性质3至5，对于性质1和2需要教师借助问题引导：“等式自身还有哪些特性？” ★资源名称： 【数学探究】等式的性质1 【数学探究】等式的性质2★使用说明：本资源适用于等式的性质的教学，供教师备课和授课使用.可以形象地表达事物的动态变化过程.直观具体、生动形象、表现力强，吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率.注：此图片为“动画”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设的答案：性质1：如果那么；性质2：如果，那么；性质3：如果，那么；如果那么．设计意图：从上节课所学的内容出发，引入本节课，有助于学生从整体上认识本节课的内容，同时通过等式和不等式的联系，明确不等式性质的研究是类比等式来研究的，确定研究方法．追问：观察等式的5条基本性质，哪些性质具有共性？是什么？师生活动：学生先观察，如果学生不能发现就由教师来讲解．性质2，3具有共性，它们都是在等式的两边进行了运算，是从运算的角度提出的，性质2可以看作加法运算，性质3可以看作是乘法运算．性质1是等式的对称性.教师总结：可见，等式的基本性质是“相等关系对运算保持不变”，反映了等式大小关系的本质属性．设计意图：通过学生回忆、分析等式的基本性质，并对性质分类、归纳和深入分析，梳理等式的基本性质的研究角度和方法，为研究不等式的基本性质明确方向．二、新知探究问题4：类比等式的性质，你能猜想不等式的性质吗？写出你的猜想．师生活动：学生独立思考，之后展示交流．如果学生有困难，教师可以提示从不等式的“运算”这个视角来研究不等式的基本性质．★资源名称： 【数学探究】不等式的基本性质★使用说明：本资源为《不等式基本性质》知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率。注：此图片为“动画”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设的答案：性质1：如果，，那么；性质2：如果，那么；性质3：如果，那么；如果，，那么．设计意图：由学生自主发现研究问题的方法，用类比的方法来猜想出不等式的性质．追问1：类比得到的结论一定正确吗？如何论证或者反驳？师生活动：教师引导学生从第一个性质开始，逐一进行分析，在对不等式性质1－3的分析中，教师引导学生从实数的大小关系的基本事实及实数的其他性质进行证明，首先将条件用实数大小关系表示出来，再利用大小关系进行证明．由于学生对代数证明比较生疏，所以教师可以示范其中之一，然后学生模仿完成．注意订正学生在此处证明中容易出现循环论证的错误．实数的其他性质有：（1）两个实数大小关系的基本事实；（2）正数大于0 ，也大于一切负数；负数小于0，也小于一切正数；（3）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数；（4）两个正数的和是正数，两个负数的和是负数；（5）同号两数相乘，其积为正数；异号两数相乘，其积为负数．但是，不需要一下子提供给学生，在需要的时候指明即可．预设的答案：性质1证明：根据两个正数的和还是正数，得．∴性质2证明：∵，∴．∴∴.追问2：从不同角度表达不等式的性质，可以加深理解，用文字语言怎样表达性质2？师生活动：教师引导学生先独立思考，再进行交流．并不断对学生的语言表述进一步规范．预设的答案：不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向．问题5：上述的性质3正确吗？为什么？如果不正确，应该怎样修正？师生活动：学生发现两个结论不正确，并通过举例进行反驳．教师引导学生思考，需要加上什么条件，才能使结论正确，并利用作差比较来分析，发现，由于，所以的正负由的正负决定，从而需要分析讨论．得到性质3的准确表述：如果，，那么；如果那么．追问：用文字语言怎样表述此性质？师生活动：先由学生表述：“不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向”．教师总结此性质反映了“不等式在乘法运算中的规律性”．同时教师强调可以把“乘法”“除法”合并为“乘法”，高中数学对运算的认识更趋于一般性，乘法是基本运算，此性质仍为基本性质．设计意图：让学生体会类比得到的结论不一定正确，并进行修正和证明，一方面让学生经历类比的探究过程，了解类比得到的猜想不一定正确，并学会用举反例的办法进行反驳；另一方面使学生体会数学证明的逻辑性和严谨性，感受到“猜想需要证明，证明要有依据”．问题6：上面通过类比，从不等式的“运算”视角，得到了不等式的3基本性质．不等式与等式基本性质的共性与差异有哪些？师生活动：引导学生从共性和不同两个方面去总结．两者都具有““运算中的不变性、 规律性”．教师强调由于不等号具有方向性，所以“两边同乘负数时，不等号变号”是不等式表现出的特性．设计意图：通过总结两者共性和差异，进一步明确加深对不等式性质的理解，尤其是性质3的理解．问题7：利用不等式的基本性质，你还能得到哪些不等式性质？比如在性质2中，不等式的两边同加同一个实数．如果两边同加不同的实数，即不等式的两边分别加上不相等的两个数，能得到什么不等关系？试试用不等式的性质证明你的猜想．师生活动：学生猜想“大数加大数，大于小数加小数”，教师引导学生将其用数学符号表示，即“如果，，那么”．然后让学生独立证明，小组交流证明过程，说出每一步的依据．预设的答案：证明：．∴，即．∴．设计意图：利用不等式的基本性质，推出其他常用的不等式性质，为以后的推理作准备．追问：你能用不等式性质证明吗？师生活动：教师引导学生思考如何寻找一个实数，利用性质1将 a+c和b+d联结，联想到实数b+c．要求学生写出证明过程．教师总结这种方法是不等式性质的应用，它的证明为为综合运用不等式的基本性质证明不等关系提供了范例．同时强调这个结论是今后进行逻辑推理的一个重要的理论基础，总结为性质4．预设答案：证明：由性质2，得，；由性质1，得．问题8：在基本性质3中，不等式的两边同乘同一个实数．如果同乘不同的实数，能得到什么结论？预设方案：学生猜想“大数乘大数，大于小数乘小数”，即“如果，那么”．追问：你认为上述结论是否正确？为什么？如何修正？师生活动：先由学生回答，教师引导学生回到不等式基本性质3中来分析，或者学生可以举反例来说明．在修正时，引导学生与性质3进行对比，发现对于正数乘法是具有“保号性”的．师生共同修改为“如果，那么”，教师引导学生模仿性质4的证明该性质的证明，也可以尝试多种解法，教师指出此为不等式性质5．问题：如果，那么有怎样的大小关系？师生活动：教师引导学生利用完成的证明.记作性质5.同时，利用性质5可以得出“如果那么”，并能推广到“如果，那么”．教师指出这是不等式的乘方性质，是性质5的特例．教师指出以“不等式在运算中的不变性、规律性”为研究抓手，还能推导出很多不等关系，鼓励同学们多发现、提出和证明一些结论．预设答案：根据性质3有 ．．再根据性质1可知．很明显，这个推论也可以推广为更一般的结论：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．设计意图：让学生经历“猜想—证明—修正—再证明—得出性质—理解”的研究数学问题的过程，加深学生对类比学习的理解；在探究过程中让学生充分认识到“运算中的不变性、规律性”在研究不等式性质中的作用，加深学生对不等式性质的认识，从而发展学生逻辑推理的核心素养．从同向不等式的可加性出发，类似地推证出同向同正不等式可乘的性质，有利于提高学生的合情推理以及推理论证能力．问题9：不等式有没有与开方有关的性质呢？师生活动：师生一起猜想，得到结论后，教师给出证明．性质6：如果，n∈N+，那么· 预设答案： 证明：假设，即或．根据性质5和根式的性质，得或．这都与a>b矛盾，因此假设不成立，从而．问题10：证明性质6中不等式的方法具有什么特征？师生活动：师生一起探讨：可以看出，不等式开方性质证明方法的实质是：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．教师总结：这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法．反证法的一般步骤：初步应用例1.已知，求证：．师生活动：教师引导，师生共同分析问题中的条件和结论，发现条件和结论之间的联系不太明显，因此先从结论出发，寻求使式子成立的条件，并和已知条件相结合寻找思路．教师写出规范解答．预设的答案：证明：法一）法二）∵a＞b＞0，∴ab＞0，．于是，即．又由c＜0，得．设计意图：本题是不等式基本性质的应用，体现“分析法”寻找证明思路和“综合法”的表达方式，隐含了“夹逼法”，即分别从已知和结论两个方向进行化简，找到化简之后的式子的联系，从而证明．有助于提高学生分析解决问题的能力，提升学生的数学应用意识．教师总结：上述这种证明方法通常称为分析法．分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为pq，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件．例2.试比较与的大小.师生活动：师生一起分析，教师写出规范解答.预设的答案：解：作差比较，设计意图：通过本例让学生进一步熟悉比较两个数的常用做法．例3.试证明：若，则.师生活动：教师引导学生分析问题后，要求学生自主写出证明过程，并展示学生作答情况，对不规范的地方给予纠正．预设的答案：证明 ：法一）， 所以结论成立．法二）作差比较， 因为，所以，又因，所以∴设计意图：通过本例让学生熟悉分析法和综合法的证明方法和格式．例4. (1)已知，求证：；(2)已知，求证：.师生活动：小组相互讨论，完成证明 ，小组展示交流.预设的答案：证明：(1)因，则，由不等式的性质3，，得.(2)因. 由不等式的性质3， 再由，利用不等式的性质4，同向不等式相加，得.设计意图：让学生充分掌握不等式性质的应用.【课堂练习一】若，则下列不等式中一定不成立的是（ ） B． C． D．师生活动：学生独立完成，交流讨论.预设的答案：AD对于，，所以，所以，所以，故选项一定不成立；对于，不妨取，，则，故选项可能成立；对于，不妨取，，则，故选项可能成立；对于，，故，故选项一定不成立；故选：．设计意图：根据不等式的性质及作差法判断即可．【课堂练习二】已知，则的取值范围是_________，的取值范围是________．师生活动：学生完成后讨论做题过程.预设的答案： ，即，，．又，，；又，，又，.综上所述：的取值范围为；的取值范围为.设计意图： 巩固不等式的性质运算，对比不等式的同向可加性和同向可乘性.四、课堂小结，布置作业问题11：本节课我们重点学习了不等式的基本性质和不等式的常用性质，你是怎样研究不等式的基本性质的？在探究不等式性质时经历什么过程？师生活动：学生代表进行口答，其他学生评价．预设的答案：学生能回答，先梳理等式的基本性质及蕴含的思想方法，从不等式的自身性质和运算的角度猜想并证明不等式的基本性质，由不等式的基本性质推理不等式的一些常用性质．经历的过程：经历“前备经验—归纳特点—类比猜想—推理证明（修正）—理解表达—探究个性—应用反思”的过程．设计意图：从知识和思想方法的角度进行课堂小结，有助于学生在学会知识的同时，又学会思想方法，这样可将知识与思想方法共同纳入到认知结构中．作业：教材P26页课后练习1－6五、目标检测设计1．已知，则下列结论正确的是（ ）A． B． C． D．设计意图：考查不等式的基本应用.2．“且”是“”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件设计意图：考查不等式的同向可加性.3．在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜.已知克糖水中含有克糖()，再添加克糖()(假设全部溶解)，可将糖水变甜这一事实表示为下列哪一个不等式（ ）A． B． C． D．设计意图：巩固不等式在生活中的应用.已知实数，满足，．设，则的取值范围是______．设计意图：考查不等式的综合应用.5.杯中有浓度为的盐水克，杯中有浓度为的盐水克，其中杯中的盐水更咸一些．若将、两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为_____．设计意图：考查不等式的实际应用.参考答案1．B对于A，当时，满足，但此时，故A错误；对于B，由函数在R上单调递增可得：若，则，故B正确；对于C，若，，故C错误；对于D，若，满足，但此时，故D错误.2．A当且时，根据不等式的性质，可得；当时，不能推出且，比如取，.所以“且”是“”的充分不必要条件.3．B解：根据不等式中两个重要不等式判定得，．糖水变甜说明加糖后分式的值变大了，只有符合.4．∵，∴，又．∴，即．故答案为：．5．由题意，将、两杯盐水混合再一起后浓度为．，．杯中的盐水更咸一些．．．故答案为：. 性质内容备注性质1如果，且，那么传递性性质2如果，那么加（减）乘（除）运算性质3如果，，那么如果，，那么c性质4如果，，那么同向不等式相加性质5如果，，那么如果，，那么特别地， 如果，那么．不等式相乘不等式的乘方性质性质6如果，那么．不等式的开方性质
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