高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3 频率与概率教案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3 频率与概率教案，共10页。教案主要包含了整体概览，探索新知，初步应用，归纳小结，布置作业，目标检测设计等内容，欢迎下载使用。
教学目标
1．在实际情境中，让学生体会频率估计概率的必要性和合理性，并理解用频率估计概率的意义；培养学生数学抽象的数学素养．
2．通过经历数学试验，观察、发现随机事件的统计规律性，了解通过大量重复试验，用频率估计概率的方法求随机事件发生的概率，并在试验中体会精准估计的前提条件；提升学生数学运算的数学素养．
3．通过发现随机事件的发生既有随机性，又存在着统计规律性的过程，体会偶然性和必然性的对立统一．
教学重难点
教学重点：让学生了解用频率估计概率的必要性与合理性，同时还要注意发展学生的数据分析观念．
教学难点：频率和概率的意义及关系．
课前准备
PPT课件．
教学过程
一、整体概览
问题1：阅读课本，回答下列问题：
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节要研究的问题在数学中的地位是怎样的？
师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容．
预设的答案：（1）本节将要研究频率与概率；（2）频率与概率是两个不同的概念，但是二者又有密切的联系．如何从二者的异同点中抽象出概率的定义是本课时的主要内容．本节课蕴涵了具体与抽象之间的辩证关系．讲授过程中对教材处理稍有不当，可能直接影响学生对本节重点（即概念的理解）的掌握程度．因此，如何设计合适的实例，怎样引导学生理解和总结是通过本节课教学，使学生能理清频率和概率的关系，并能正确理解概率的意义，增强学生的对立与统一的辩证思想意识．处理好本节的关键，也是处理好本节教材的难点．由于频率在大量重复试验的前提下可以近似地叫作这个事件的概率，因此本节课应从具有大量重复试验的实例入手．为加深学生的理解程度，可采用学生亲自参与到试验中去，从操作中去体会，去总结．概率可看作频率理论上的期望值，从数量上反映了随机事件发生的可能性大小．因此，为巩固学生总结出的知识，最后还要回归到实例中去，让学生去运用，以符合认知过程．
设计意图：通过本节课内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．
二、探索新知
1．形成定义
（1）《中国青年报》社会调查中心联合问卷网，对2000名18—35岁的青年进行的一项调查显示，在生活节奏加快的今天，70.0%的受访青年表示仍要培养古典诗词爱好，15.5%的人认为不需要，14.5%的人表示不好说．
随机选取一名18—35岁的青年，这名青年认为仍要培养古典诗词爱好的概率为多少？
（2）随机抛一个瓶盖，观察它落地后的状态，怎样确定瓶盖盖口朝下的概率？
师生活动：学生自主阅读，并给出认为的答案。
预设的答案：（1）这名青年认为仍要培养古典诗词爱好的概率为70.0%，（2）可以重复做抛瓶盖试验若干次（设为n次），然后观察盖口朝下的次数（设为m次），最后用盖口朝下的频率作为盖口朝下的概率的估计值。
设计意图：情境与问题中的两个问题，显然不是古典概型，这也说明了古典概型的局限性．促使学生思考在问题背景不是古典概型时如何获得随机事件的概率，即自然想到用频率来帮助决策，从而体会频率估计概率的必要性．
问题2：你觉得利用频率来估计概率的办法可靠吗？怎样检验这种方法的可靠性？
师生活动：把全班分成10个小组，每组两枚质地均匀的硬币，抛掷一枚硬币一次，统计“正面朝上”的情况．每小组分成两队，每队完成25次试验，每组共完成50次试验，做好记录；每小组的组长汇总50次试验的结果，并报给教师，师生共同完成统计表．
预设的答案：为了验证这种确定事件发生的概率的方法的可靠性，历史上很多学者做过成千上万次抛均匀硬币的试验，得到的结果如下表所示：
注：抛均匀硬币观察朝上的面时，利用古典概型可算的正面朝上的概率为，不难看出，以上学者们得到的频率值，都可以较好地作为正面朝上的概率的近似值．（板书：频率与概率）
设计意图：大量重复做同一试验是更为精确估计事件发生概率的有效手段．一方面，可以累加所有数据，累积出来的数据等同于大量重复做同一试验．另一方面，受时空限制，大量重复做同一试验不太现实，可以借助历史上统计学家曾经做过的成千上万次抛硬币的试验数据，而且学生可以从数学家们所做的试验中感受科学探索的精神．
教师讲解：
事实上，在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且，试验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大．
（1）一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，则
当n很大时，可以认为事件A发生的概率的估计值为
（2）；
（3）若事件与互斥，则．
问题3：根据频率与概率的概念，试着填写下表。
频率与概率的区别与联系
师生活动：学生小组讨论，共同填写，教师给出答案。
预设的答案：频率与概率的区别与联系
设计意图：通过小组讨论，总结频率与概率的异同点，培养学生的逻辑推理素养和提高学生的总结能力。
三、初步应用
例1 为了确定某类种子的发芽率，从一大批这类种子种随机抽取了2000粒试种，后来观察到有1806粒发了芽，试估计这类种子的发芽率
师生活动：学生自己做，并按照步骤要求写出过程，教师给出答案。
预设的答案：因为
所以估计这类种子的发芽率为0.903．
教师讲解：（1）在用频率估计概率时，不同的试验结果可能会得到不同的估计值。
（2）需要注意的是，即使我们估计出发芽率为0.903，我们也不能指望下一次种10000粒种子时，得到发芽的种子正好为9030粒，而只能说发芽的种子接近9030．
设计意图：通过例题的设置，让学生体会频率与概率的区别，老师要重点强调“估计”二字。
例2 2013年，北京地区拥有科普人员48800人，其中科普专职人员7727人，其余均为科普兼职人员。2013年9月的科普日活动种，到清华大学附属中学宣讲科普知识的是科普人员张明，估计张明是科普专职人员的概率（精确到0.01）
师生活动：学生自己做，并按照步骤要求写出过程，教师给出答案。
预设的答案：可以算得，2013年北京地区科普专职人员占所有科普人员的比例为：
因此张明是科普专职人员的概率可估计为：0.16
设计意图：通过例题的设置，让学生体会频率与概率的区别，老师要重点强调“估计”二字。
例3 某女篮运动员统计了她最近几次参加比赛投篮的得分情况，得到的数据如下表所示：
注：每次投篮，要么得两分，要么得三分，要么没投中
记该女篮运动员在一次投篮中，投中两分为事件A，投中三个为事件B，没投中为事件C，试估计P（A），P（B），P（C）
师生活动：学生自己做，并按照步骤要求写出过程，教师给出答案。
预设的答案：因为
所以可估计：
注意到，而且A与B互斥，因此估计：
设计意图：通过例题的设置，主要为了说明用频率估计的概率满足互斥事件的概率加法公式、对立事件的概率之和为1等，让学生体会频率与概率的区别，老师要重点强调“估计”二字。
例4 为了了解某次数学考试全校学生得得分情况，数学老师随机读取了若干名学生的成绩，并以 为分组，作出了如图所示的频率分步直方图，从该学校中随机选取了一名学生，估计这名学生数学考试成绩在内的概率．
师生活动：学生自己做，并按照步骤要求写出过程，教师给出答案。
预设的答案：由频率分布直方图可以看出，所抽取的学生成绩中，在内的频率为：
因为由样本的分布可以估计总体的分布，所以全校学生的数学得分在内的概率可以估计为0.1．
根据用频率估计概率的方法可知，随机抽取一名学生，这名学生该次数学成绩在内的概率可以估计为0.1
设计意图：将前面学过的统计知识与概率的知识进行了有机整合，旨在给学生一个相对完整的用频率估计概率的过程：先收集样本数据，然后整理数据，最后通过样本的分布估计整体的分布，再用频率估计概率。
问题4：已知某彩票的中奖概率为，这是否意味着买了1000张彩票就一定能中奖？试着分析各种可能的情况（例如彩票总数正好为1000和超过1000等），给出这个问题一个比较完善的回答。
师生活动：学生小组讨论，分析各种情况，给出小组的完善答案，教师帮助完成合理解答。
预设的答案：从概率的统计定义出发，我们先来考虑此题的简化情形：在投掷一枚均匀硬币的随机试验中，正面出现的概率是，这是否意味着投掷2次硬币就会出现1次正面呢？
根据经验，我们投掷2次硬币有可能1次正面也不出现，即出现2次反面的情形，但是在大量重复掷硬币的试验中，如掷10000次硬币，则出现正的次数约为5000次．
买1000张彩票相当于做1000次试验，结果可能是一次奖也没中，或者中一次奖，或者多次中奖．所以“彩票中奖概率为”并不意味着买1000张彩票就一定能中奖．只有当所买彩票的数量n非常大时，才可以将大量重复买彩票这个试验看成中奖的次数约为（比如说买1000000张彩票，则中奖的次数约为1000），并且n越大，中奖次数越接近于．
追问：某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么，前9个病人都没有治愈，第10个病人就一定能治愈吗？
预设的答案：如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是10%指随着试验次数的增加，有10%的病人能够治愈．对于一次试验来说，其结果是随机的，但治愈的可能性是10%，前9个病人是这样，第10个病人仍是这样，可能治愈，也可能不能治愈，被治愈的可能性仍是10%．
设计意图：本例的设置非常有必要，且有实际意义的；教师在和学生讨论这个问题后的结论必然会引申到买彩票实际上是小概率事件，让学生充分了解实际生活的案例有助于学生素养的提升。
四、归纳小结，布置作业
问题5：本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：
（1）如何用频率估计概率？
（2）频率和概率的区别和联系是什么？
预设的答案：（1）一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率的估计值为
（2）区别：频率本身是随机的，在试验之前无法确定，大多会随着试验次数的改变而改变．做同样次数的重复试验，得到的频率值也可能会不同；而概率是一个[0，1]中的确定值，不随试验结果的改变而改变；联系：（1）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率；（2）在实际问题中，事件的概率通常情况下是未知的，常用频率估计概率
设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确频率估计概率的有关知识．
五、目标检测设计
1．下列关于概率的说法正确的是（ ）
A．频率就是概率
B．任何事件的概率都是在（0，1）之间
C．概率是客观存在的，与试验次数无关
D．概率是随机的，与试验次数有关
设计意图：考查学生对频率估计概率的理解。
2．某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了7次，则下列说法正确的是（ ）
A．正面朝上的概率为0.7B．正面朝上的频率为0.7
C．正面朝上的概率为7D．正面朝上的概率接近于0.7
设计意图：考查学生对频率与概率的理解。
3．对以下命题：
①随机事件的概率与频率一样，与试验重复的次数有关；
②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是；
③若一种彩票买一张中奖的概率是，则买这种彩票一千张就会中奖；
④“姚明投篮一次，求投中的概率”属于古典概型概率问题．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
设计意图：考查学生对频率估计概率的理解。
4、容量为200的样本的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[6，10)内的频数为______，数据落在[6，10)内的概率约为______．
设计意图：考查学生对融合统计知识后的频率与概率的计算问题。
参考答案：
1．【答案】C
【解析】事件A的频率是指事件A发生的频数与n次事件中事件A出现的次数比，一般来说，随机事件A在每次实验中是否发生时不能预料的，但在大量重复的实验后，随着实验次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间[0，1]的某个常数上，这个常数就是事件A的概率，故可得：概率是客观存在的，与试验次数无关．
故选：C．
2．【答案】B
【解析】正面朝上的频率是，正面朝上的概率是0.5．
故选：B
3．【答案】A
【解析】随机事件的概率与频率不一样，与试验重复的次数无关，所以①错误；
抛掷两枚均匀硬币一次，可能的结果：正正，正反，反正，反反，所以出现一正一反的概率是，所以②错误；
若一种彩票买一张中奖的概率是，这是随机事件，则买这种彩票一千张不一定会中奖，所以③错误；
“姚明投篮一次，求投中的概率”，姚明投篮的结果中与不中概率不相等，不属于古典概型概率问题，所以④错误．
故选：A
4．【答案】64；0.32．
【解析】由题图易知组距为4，故样本数据落在[6，10)内的频率为，频数为，故数据落在[6，10)内的概率约为0.32．
故答案为：64；0.32
名称
区别
联系
频率
概率
名称
区别
联系
频率
本身是随机的，在试验之前无法确定，大多会随着试验次数的改变而改变．做同样次数的重复试验，得到的频率值也可能会不同
（1）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率
（2）在实际问题中，事件的概率通常情况下是未知的，常用频率估计概率
概率
是一个[0，1]中的确定值，不随试验结果的改变而改变