高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识4 一元二次函数与一元二次不等式4.2 一元二次不等式及其解法教案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识4 一元二次函数与一元二次不等式4.2 一元二次不等式及其解法教案，共6页。教案主要包含了教学重点，教学难点等内容，欢迎下载使用。


1、知识与技能
（1）从实际问题中建立一元二次不等式，解一元二次不等式；
（2）应用一元二次不等式解决日常生活中的实际问题；
（3）能用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来.
2、过程与方法
通过学生感兴趣的上网问题引入一元二次不等式的有关概念，通过让学生比较两种不同的收费方式，抽象出不等关系；利用计算机将数学知识用程序表示出来.
3、情感态度与价值观
培养学生通过日常生活中的例子，找到数学知识规率，从而在实际生活问题中数形结合的应用以及计算机在数学中的应用.
教学重难点
【教学重点】
从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.
【教学难点】
理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系.
教学过程
（一）新课导入
问题:园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？设这个矩形的一条边长为xm，则另一条边长为（12-x）m.由题意，得（12-x）x>20，其中x∈{x|0求得不等式①的解集，就得到了问题的答案.
（二）新课讲授
考察下面含未知数x的不等式：x2-12x+20<0.
这个不等式有个共同特点：
（1）含有一个未知数x；
（2）未知数的最高次数为2.
一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式.
一元二次不等式f(x)>0，或f(x)<0 (a≠0)的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合.
一元二次方程f(x)=0 (a≠0)的解集，就是使二次函数f(x)为零时自变量x的取值的集合.
因此二次函数，一元二次方程，一元二次不等式之间有非常密切的联系.
探究一：一元二次不等式的解法
我们来考察它与其所对的二次函数y= x2-12x+20的关系：
当x＜2，或x＞10时，y＞0.
当x=2，或x=10时，y=0.
当2＜x＜10时，y＜0.

那么对于一般的不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)又怎样去寻求解集呢？
一元二次不等式的解法
（三）例题探究
例1 求不等式x2﹣5x+60＞0的解集.
分析：因为方程x2﹣5x+6=0的根是函数y=x2﹣5x+6的零点，所以先求出x2﹣5x+6=0的根，再根据函数图象得到x2﹣5x+6>0的解集.
解：对于方程x2﹣5x+6=0，因为△>0，所以它有两个实数根.解得x1=2，x2=3.
画出二次函数x2﹣5x+6的图象，结合图象得不等式
x2﹣5x+6>0的解集为{x|x<2，或x>3}.

例2 求不等式9x2-6x+1>0的解集.
解：对于方程9x2-6x+1=0，因为△=0，所以它有两个相等的实数根，解得x1=x2=13
画出二次函数y=9x2-6x+1的图象，结合图象得不等式9x2-6x+1>0的解集为{x|x≠13}.
例3 求不等式﹣x2+2x-3>0的解集.
解：不等式可化为x2﹣2x﹢3<0.
因为△=﹣8<0，所以方程x2﹣2x﹢3=0无实数根.
画出二次函数y= x2﹣2x﹢3的图象.
结合图象得不等式x2﹣2x﹢3<0的解集为∅.
因此，原不等式的解集为必∅.
跟踪训练1
解下列不等式：(1) 4x2－4x＋1>0；(2) 2x2－3x－2≥0；(3) －x2＋2x－3>0；
解:（1）因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，
所以方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝eq \f(1,2)，
所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠\f(1,2))).
（2）∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－eq \f(1,2)，x2＝2，
且a＝2>0，∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是{x|x≤－eq \f(1,2)或x≥2}.
（3）不等式可化为x2－2x＋3<0.
因为Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无实数解，
而y＝x2－2x＋3的图象开口向上，
所以原不等式的解集是∅.
探究二：分式不等式的解法
一般的分式不等式的同解变形法则：
(1) fxgx＞0⇔f(x)·g(x)＞0；
(2) fxgx≤0⇔fx∙gx≤0fx∙gx≠0；
(3) fxgx≥a⇔fx−agxgx≥0.
例4 解不等式：(1)eq \f(x＋2,1－x)<0；(2)eq \f(x＋1,x－2)≤2.
(1)由eq \f(x＋2,1－x)<0得eq \f(x＋2,x－1)>0，此不等式等价于(x＋2)(x－1)>0，
∴原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}.
(2)法一：移项得eq \f(x＋1,x－2)－2≤0，左边通分并化简有eq \f(－x＋5,x－2)≤0，即eq \f(x－5,x－2)≥0，
它的同解不等式为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2x－5≥0，,x－2≠0，))∴x<2或x≥5.
∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}.
法二：原不等式可化为eq \f(x－5,x－2)≥0，此不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－5≥0，,x－2>0，))①
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－5≤0，,x－2<0，))②解①得x≥5，解②得x<2，∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}.
跟踪训练2 解不等式：(1)eq \f(x＋2,3－x)≥0；(2)eq \f(2x－1,3－4x)>1.
解：(1)原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋23－x≥0，,3－x≠0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2x－3≤0，,x≠3))⇒－2≤x<3.
∴原不等式的解集为{x|－2≤x<3}.
(2)原不等式可化为eq \f(2x－1,3－4x)－1>0，即eq \f(3x－2,4x－3)<0，
等价于(3x－2)(4x－3)<0.∴eq \f(2,3)∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|\f(2,3)探究三：不等式恒成立问题
例5 关于x的不等式(1＋m)x2＋mx＋m＜x2＋1对x∈R恒成立，求实数m的取值范围.
解：原不等式等价于mx2＋mx＋m－1＜0，
对x∈R恒成立，
当m＝0时，0·x2＋0·x－1＜0对x∈R恒成立.
当m≠0时，由题意，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＜0，,Δ＝m2－4mm－1＜0))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＜0，,3m2－4m＞0))
⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＜0，,m＜0，或m＞\f(4,3)))⇔m＜0.
综上，m的取值范围为m≤0.
注：不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0，它的解集为R的条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0，,Δ＝b2－4ac＜0；))
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R的条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0，,Δ＝b2－4ac≤0；))
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为∅的条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜0，,Δ≤0.))
跟踪训练3 若关于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，求实数a的取值范围.
解：当a＝0时，原不等式可化为2x＋2＞0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；
当a≠0时，要使原不等式的解集为R，只需
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0，,Δ＝22－4×2a＜0，))解得a＞eq \f(1,2).
综上，所求实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
（四）课堂检测
1、不等式－6x2－x＋2≤0的解集是( )
A、eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－\f(2,3)≤x≤\f(1,2))) B、eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≤－\f(2,3)或x≥\f(1,2))) C、eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≥\f(1,2))) D、eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≤－\f(3,2)))
答案：B
解析：∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，
∴(2x－1)(3x＋2)≥0，∴x≥eq \f(1,2)或x≤－eq \f(2,3).
2、已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是( )
A、－4≤a≤4 B、－4＜a＜4
C、a≤－4或a≥4 D、a＜－4或a＞4
解析：选A 依题意应有Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4，故选A.
3、不等式eq \f(x＋1,x)≤3的解集为________.
解析：eq \f(x＋1,x)≤3⇔eq \f(x＋1,x)－3≤0⇔eq \f(2x－1,x)≥0⇔x(2x－1)≥0且x≠0⇔x<0或x≥eq \f(1,2).
答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＜0或x≥\f(1,2)))
4、你能用一根长为100 m的绳子围成一个面积大于600 m2的矩形吗？
解：设围成的矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x) m，且0＜x＜50.由题意，得围成矩形的面积S＝x(50－x)＞600，即x2－50x＋600＜0，解得20＜x＜30.
所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形.
（五）课堂总结
1、解一元二次不等式的常见方法
(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
③由图象得出不等式的解集.
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.
当m0，则可得x>n或x若(x－m)(x－n)<0，则可得m有口诀如下：大于取两边，小于取中间.
2、含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0).
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x13、解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时，分母不为零.
4、对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)若f(x)有最大值f(x)max，则a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max；(2)若f(x)有最小值f(x)min，则a5、解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解.
教学反思
略.
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有两相异实根
x1，x2(x1有两相等实根
x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c>0
(a>0)的解集
{x|xx2}
{x|x≠－eq \f(b,2a)}
R
ax2＋bxc<0
(a>0)的解集
{x|x1∅
∅