2024江西省“三新”协同教研共同体高二上学期12月联考数学试卷

这是一份2024江西省“三新”协同教研共同体高二上学期12月联考数学试卷，共12页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，下列排列组合数中，正确的是，已知圆,直线,下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号深黑．如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章至第五章计数原理中的排列组合（不考二项式定理）．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，若四点共面，则（ ）
A．3 B． C．7 D．
3．已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，P为抛物线C上一点，若．则的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知正方体的棱长为a,点P是平面内的动点，若点P到直线的距离与到直线的距离相等，则点P的轨迹为（ ）
A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆
5．手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力．某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个正方体的组合体．其直观图如图所示，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
6．某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动．根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有（ ）
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
7．如图，正方体的棱长为2，点分别是的中点，过点的平面截该正方体所得的截面记为，则截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．曲率半径可用来描述曲线在某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小，已知椭圆上任意一点处的曲率半径公式为．若椭圆C上任意一点相应的曲率半径的最大值为,最小值为1，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列排列组合数中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知圆,直线,下列说法正确的是（ ）
A．无论a取何值，直线l与圆C相交
B．直线l被圆C截得的最短弦长为4
C．若,则圆C关于直线l对称的圆的方程为
D．直线l的方程能表示过点的所有直线的方程
11．在棱长为2的正方体中，两点在线段上运动，且在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．在平面内存在点P,使得平面
C．E点在正方形（包括边界）内运动，且直线与直线成角，则线段长度的最小值为
D．与平面所成角的正弦值的取值范围为
12．已知抛物线上任意一点处的切线方程可以表示为．直线分别与该抛物线相切于点相交于点D,与分别相交于点P,Q,则下列说法正确的是（ ）
A．点D落在一条定直线上 B．若直线过该抛物线的焦点，则
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．圆与圆的位置关系是&&．
14．已知空间向量的模长分别为2,2,3，且两两夹角均为，点G为的重心，则&&．
15．2023年10月11日，习近平总书记在江西省上饶市考察，他来到婺源县秋口镇王村石门自然村了解推进乡村振兴等情况．其中婺源“晒秋”展开的是一幅乡村振兴新图景．当地百姓不仅要晾晒农产品使其得到更好的保存和售卖，更要考虑晒出独一无二的“中国最美的符号”．当地百姓现将“金色南瓜”“白色扁豆”“红色辣椒”“黄色皇菊”四种农产品全部晒入如图所示的5个小区域中，规定每个区域只能晒一种农产品，且相邻区域的农产品不能相同，则不同的晾晒方案种数为&&．（用数字作答）
16．已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点A,B（不重合），线段的垂直平分线过点，则双曲线C的离心率为&&．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
用数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数．
（1）偶数不能相邻，则不同的六位数有多少个？（结果用数字表示）
（2）若数字1和2之间恰有一个奇数，没有偶数，则不同的六位数有多少个？（结果用数字表示）
18．（12分）
已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若过点的直线l被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程．
19．（12分）
如图，在四棱锥中，平面为线段的中点，已知．
（1）证明：平面．
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（12分）
已知双曲线的渐近线方程为,实轴长为2．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）直线l与双曲线C相切，且与双曲线C的两条渐近线相交于两点，求（O为坐标原点）的面积．
21．（12分）
如图，在四棱台中，底面是菱形，,，平面．
（1）证明：．
（2）棱上是否存在一点E,使得二面角的余弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．
22．（12分）
已知分别是椭圆的右顶点和上顶点，,直线的斜率为．
（1）求椭圆C的方程．
（2）已知是椭圆C上的两点，直线的斜率为,直线的斜率为,且满足．过点A作,垂足为H,试问平面上是否存在定点T,使得线段的长度为定值？若存在，求出该定点；若不存在，请说明理由．
2023年“三新”协同教研共同体高一联考
数学试卷参考答案
选择题
1．C ．
2．B 由题可得解得．
3．B 由命题p可得,解得,所以p可以推出q,q推不出p,故p是q的充分不必要条件．
4．D A选项，当时不符合；B选项，当时不符合；C选项，当时不符合；D选项，，由,可得．
5．D 图象的对称轴为直线,且最大值为．令,可得或．由，可得．
6．A 由，得，则，当且仅当，即时，等号成立．
7．C 由题知的周期为4．又函数为奇函数，所以．
8．D 由题意可设,由,得，
则,所以．
构造函数
则在上单调递减．由的图象（图略），可得．
9．AB A选项，；B选项，由题可得；C选项，；D选项，．
10．AC 由的图象（图略），可知．
由，得，故A正确，B错误；由,
可得,故C正确，D错误．
11．ACD 当时，可得,故A,D均不可能；设，
由,可得,化简可得在R上恒成立，所以故C选项不可能．
12．AC 在R上任取,且,则．因为,所以,
即,则,所以在R上为增函数．令,可得,令,可得，同理可得，故在上的值域为．令,可得,故的图象关于点对称．
由,可得，所以在R上恒成立，则解得．
填空题
13．30 等价于，所以解得，则，故集合A的非空真子集的个数为30．
14． 原式．
15． 由题意可得，则．
16． 由，可得当不等式在上恒成立时，则解得，此时，所以a的取值范围是．
解答题
17．解：． 2分
（1）∵“”是“”的充分条件，
,
． 5分
（2）． 7分
当时，． 8分
当时，． 9分
综上，或． 10分
18．解：（1）当时，可设．由表知， 2分
．
当时，可设，
则 4分
解得 5分
．
综上， 6分
（2）当时，函数单调递增，． 8分
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
∴当时，． 10分
又，∴当广告宣传费投入3万元时，超市的利润最大． 12分
19．（1）证明：令, 2分
． 4分
． 6分
（2）解：
结合图象（图略）可知，方程的根是的图象与交点的横坐标，方程的根是的图象与交点的横坐标．
又的图象与的图象关于直线对称， 8分
解得 10分
∴点与点关于点对称，所以． 12分
20．解：（1）由题知,方程的两根为,2，
解得 2分
由，可得，即， 4分
，∴不等式的解集为． 6分
（2）． 8分
，当且仅当，即时，等号成立． 10分
又在上单调递减，当时，，
∴当时，有最小值2． 12分
21．解：（1）．①
令,得．②
联立①②，解得． 4分
（2）∵在上单调递增，． 5分
又．
对，不妨设,
则．
单调递增．
又，
,即在上单调递增， 8分
．
又由题意可知的值域的值域． 10分
，可得． 12分
22．解：（1）为奇函数，的定义域关于原点对称．
又的解集关于原点对称，
,即， 2分
．
当时，；当时，．
综上，当时，不等式的解集为;当时，不等式的解集为． 5分
（2）的定义域为或,由题意可知,且,
， 6分
在上单调递减， 7分
,
即方程在上有两个不相等的实数根等价于方程在上有两个不相等的实数根． 9分
令．
又,所以要满足题意，需有解得．
综上，a的取值范围为． 12分1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
B
B
D
D
A
C
D
AB
AC
ACD
AC