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2022-2023学年江苏省无锡市苏教版五年级下册期末测试数学试卷答案
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这是一份2022-2023学年江苏省无锡市苏教版五年级下册期末测试数学试卷答案，共23页。试卷主要包含了06， 直接写出得数，56；0， 解方程，4，解方程即可， 求涂色部分的面积，25平方厘米；18，5÷2等内容，欢迎下载使用。
（时限：90分钟）
一、计算题（共26分）
1. 直接写出得数。
【答案】1；；；；
；；0.56；0.36
【解析】
2. 解方程。
【答案】；；
【解析】
【分析】第一小题，化简方程为：，根据等式的性质，方程的两个同时除以62，解方程即可。
第二小题，化简方程为：，根据等式的性质，方程的两个同时除以5.4，解方程即可。
第三小题，化简方程为：，根据等式的性质，方程的两个同时加上4，再同时除以2.5，解方程即可。
【详解】
解：
解：
解：
3. 计算下面各题，能简算的要简算。
【答案】；；
；
【解析】
【分析】第一小题，利用加法交换律，先算与的和，再减去；
第二小题，先算括号里面的减法，再算括号外面的减法即可；
第三小题， 利用加法交换律，把原式变为，再进一步计算即可。
第四小题，原式变为：，先化简括号里面的部分再进一步计算，然后计算括号外面的减法。
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
4. 求涂色部分的面积。（单位：厘米）
【答案】39.25平方厘米；18.24平方厘米
【解析】
【分析】观察图形可知，第一幅图阴影部分的面积相当于半径是5厘米的半圆的面积，再根据圆的面积公式：；第二幅图的面积相当于一个半径（8÷2）厘米的圆的面积减去2个底8厘米、高（8÷2）厘米的三角形的面积，再根据圆的面积、三角形的面积计算公式即可解题。
【详解】3.14×52÷2
＝3.14×25÷2
＝78.5÷2
＝39.25（平方厘米）
所以，第二幅图的面积是39.25平方厘米。
3.14×（8÷2）2－8×（8÷2）÷2×2
＝3.14×42－8×4÷2×2
＝3.14×16－8×4÷2×2
＝50.24－32
＝18.24（平方厘米）
所以，第二幅图面积是18.24平方厘米。
二、填空题（共20分）
5. 看图列方程。
（ ）
【答案】17＋x＝52
【解析】
【分析】根据题意可得数量关系：已经上车的人数＋空座位数量＝座位总数；据此列式即可。
【详解】解：设上车的人数为x人，可得：
17＋x＝52
所以，列方程为：17＋x＝52。
【点睛】找出等量关系，是解答此题的关键。
6. 看图列方程。
（ ）
【答案】28＋45＝x
【解析】
【分析】根据题意可得数量关系是：邮票的张数＋邮票比画片少的张数＝画片的张数；据此列方程为：28＋45＝x；据此解题即可。
【详解】解：设画片x张，可得：
28＋45＝x
所以列方程为：28＋45＝x。
【点睛】找出等量关系，是解答此题的关键。
7. 12和42的公因数有（ ），它们的最小公倍数是（ ）．
【答案】 ①. 1、2、3、6 ②. 84
【解析】
【详解】略
8. （ ）÷18。
【答案】15；42
【解析】
【分析】根据分数的基本性质，可得：＝ ＝ ，再根据分数与除法的关系可得：＝15÷18；据此解题即可。
【详解】根据分析可得：
【点睛】本题主要考查了分数的性质、分数与除法的关系。
9. 在括号里填最简分数。
250毫升＝（ ）升 35秒＝（ ）分
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】1升＝1000毫升，1分＝60秒；最简分数是指分子和分母只有公因数1，据此解答即可。
【详解】根据分析可得：
250毫升
＝（250÷1000）升
＝升
＝
35秒
＝（35÷60）分
＝分
＝分
【点睛】本题考查单位换算、最简分数，解答本题的关键是掌握约分的方法。
10. 的分数单位是（ ），再添上（ ）个这样的分数单位就是最小的质数。
【答案】 ①. ②. 9
【解析】
【分析】根据分数单位的意义，一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一；最小的质数是2，用2减去，分子就是所要添上这样的分数单位个数。
【详解】的分数单位是
最小质数是2
2－＝
要添上9个这样的分数单位就是最小的质数。
【点睛】本题考查分数单位意义，以及最小质数。
11. 从0、2、5、7中选出两个数字，组成一个既是3的倍数，又是5的倍数的两位数，这个数是（ ），把这个数分解质因数是（ ）。
【答案】 ①. 75 ②. 75＝3×5×5
【解析】
【分析】根据3、5倍数的特征可知：这个数的个位上要么是0，要么是5，且个位和十位的数相加的和必须是3的倍数，由此可知，这个数最大是75，然后进行分解质因数。
【详解】根据分析可知，
从0、2、5、7中选出两个数字，组成一个既是3的倍数，又是5的倍数的两位数，这个数是75；
75＝3×5×5
所以，从0、2、5、7中选出两个数字，组成一个既是3的倍数，又是5的倍数的两位数，这个数是75，把这个数分解质因数是75＝3×5×5。
【点睛】本题主要考查了3、5的倍数的数的特征，注意基础知识的灵活运用；每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。
12. 在推导圆的面积公式时，将圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形。如果拼成的近似长方形的长是6.28厘米，那么圆的周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。
【答案】 ①. 12.56 ②. 6.28
【解析】
【分析】根据圆面积公式的推导过程可知：将圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形，拼成的近似长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，根据圆的周长公式为：、圆的面积公式：，把数据代入公式先求出半径，再求面积即可解答。
【详解】6.28×2＝12.56（厘米）
3.14×（12.56÷3.14÷2）
＝3.14×2
＝6.28（平方厘米）
圆的周长是12.56厘米，面积是6.28平方厘米。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程，以及圆面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
13. 一节数学课的时间是小时，李老师讲课的时间是这节课的。第一个“”的含义是把（ ）看作单位“1”，平均分成3份，表示这样的2份；第二个“”的含义是把（ ）小时看作单位“1”，平均分成3份，表示这3样的2份。
【答案】 ①. 1小时 ②.
【解析】
【分析】根据分数的意义，把单位“1”平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数。据此分析即可。
【详解】根据分析可知，
一节数学课的时间是小时，李老师讲课的时间是这节课的。第一个“”的含义是把1小时看作单位“1”，平均分成3份，表示这样的2份；第二个“”的含义是把小时看作单位“1”，平均分成3份，表示这3样的2份。
【点睛】分数的意义：一个整体被平均分成几份，其中的1份或几份占这个整体的几分之一或几分之几；注意单位“1”的变化。
14. 如图（单位：厘米），涂色部分是正方形，图中最大长方形的周长是（ ）厘米；如果最大长方形的面积是正方形的3倍，那么最大长方形的面积是（ ）平方厘米。
【答案】 ①. 40 ②. 75
【解析】
【分析】观察图形可知，图中最大长方形的宽等于阴影部分正方形的边长，所以最大长方形的周长是（25＋15）厘米。
最大长方形的宽边的长度等于正方形的边长，根据“长方形面积＝长×宽、正方形面积＝边长×边长”可知，最大长方形的长边的长度是宽边的长度的3倍，已经求出最多长方形的周长，可知最大长方形长与宽的和是（40÷2）厘米、宽边的长度是[20÷（3＋1）＝5]厘米、长边是（5×3）厘米，再根据“长方形面积＝长×宽”，即可求出最大长方形的面积。
【详解】25＋15＝40（厘米）
由“最大长方形的面积是正方形的3倍”，可得最大长方形宽边的长度：
20÷（3＋1）
＝20÷4
＝5（厘米）
5×3＝15（厘米）
15×5＝75（平方厘米）
所以，如图（单位：厘米），涂色部分是正方形，图中最大长方形周长是40厘米；如果最大长方形的面积是正方形的3倍，那么最大长方形的面积是75平方厘米。
【点睛】熟记长方形周长、面积计算公式，是解答此题的关键。
15. 要把1米长的铜管锯成54毫米和76毫米两种规格的铜管，每锯一次都要损耗1毫米的铜管。那么，只有当锯得的54毫米的铜管为（ ）段，76毫米的铜管为（ ）段时，才能使所损耗的铜管最少。
【答案】 ①. 7 ②. 8
【解析】
【分析】根据题意可知，锯铜管的总次数越少则损耗的就越少，要想分割的次数越少就要使每一段的长度最大，本题中就是要让76毫米的铜管达到最多，而让54毫米的铜管最少；因为锯一次要损耗1毫米铜管，设54毫米、76毫米的铜管分别锯x段、y段，那么，根据题意就有：54x＋76y＋（x＋y－1）＝1000；同时需要根据实际讨论损耗最少的情况。
【详解】解：设54毫米、76毫米的铜管分别锯x段、y段，可得：
54x＋76y＋（x＋y－1）＝1000
54x＋76y＋x＋y－1＝1000
55x＋77y －1＋1＝1000＋1
55x＋77y＝1001
11×（5x＋7y）＝1001
11×（5x＋7y）÷11＝1001÷11
5x＋7y＝91
因为：
5×0＋7×13
＝0＋91
＝91
所以，当x＝0，y＝13时，5x＋7y＝91成立。
但是题干中要求据成两种规格，所以此方案不合适。
因为：
5×7＋7×8
＝35＋56
＝91
所以，当x＝7，y＝8时， 5x＋7y＝91成立。
此时的损耗为7＋8－1＝14（毫米）
5×14＋7×3
＝70＋21
＝91
所以，当x＝14，y＝3时， 5x＋7y＝91成立。
此时的损耗为14＋3－1＝16（毫米）
14＜16
所以当x＝7，y＝8时，即，只有当锯得的54毫米的铜管为7段，76毫米的铜管为8段时，才能使所损耗的铜管最少。
【点睛】要使损耗的钢管最少，应该使锯的次数最少，而且1米长的钢管不要有剩余。
三、选择题（将正确答案前的字母填入括号内）（共6分）
16. 用圆规画圆时，圆规两脚间的距离是圆的（ ）。
A. 半径B. 直径C. 周长D. 面积
【答案】A
【解析】
【分析】画圆时有三个步骤：定点（即确定圆心），定长（确定半径的长），旋转一周。
其中画圆时的圆规两角间的距离确定的是圆的半径长。
【详解】用圆规画圆时，圆规两脚间的距离是圆的半径；
故答案为：A。
【点睛】本题主要考查圆规画圆的方法，要注意圆规的各部分在画圆时的作用。
17. 在3.5＋x＜8、2.6y＝5.2、7b、（n－2）×180＝540中，方程有（ ）。
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】方程是含有未知数的等式，等式是含有等号的式子；据此进行判断选择即可。
【详解】根据分析可知，
在3.5＋x＜8、2.6y＝5.2、7b、（n－2）×180＝540中，方程有2.6y＝5.2、（n－2）×180＝540，共有2个。
故答案为：B
【点睛】正确理解方程的意义，是解答此题的关键。
18. 打开数学书，左、右两边页码和一定是（ ）。
A. 合数B. 质数C. 偶数D. 奇数
【答案】D
【解析】
【分析】任意两个相邻自然数的和是奇数，不管数学书左、右两边的页码，还是任意相邻的自然数，都是一个奇数和一个偶数，奇数＋偶数＝奇数，所以和一定是奇数。
【详解】根据分析可知，
打开数学书，左、右两边页码的和一定是奇数。
故答案为：D
【点睛】此题考查了奇偶性的知识，要求学生掌握。
19. 如图，列竖式计算“7.76÷2.5”，虚线框里的“1”表示（ ）。
A. 1个一B. 1个十分之一C. 1个百分之一D. 1个千分之一
【答案】B
【解析】
【分析】除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算；计算除数是整数的小数除法时，按照整数除法的方法计算，被除数的整数部分不够除时，要在被除数的个位数字上面商0，对齐被除数的小数点点上商的小数点，再继续往下除，竖式除法中，余数的小数点和被除数的小数点对齐；据此观察算式可知，虚线框里的“1”在十分位上，表示1个十分之一。
【详解】根据分析可知，
如图，列竖式计算“7.76÷2.5”，虚线框里的“1”表示1个十分之一。
故答案为：B
【点睛】熟练掌握除数是小数的除法的计算方法，是解答此题的关键。
20. 妈妈带了100元到超市购物，买了两袋大米，大米的单价是31.4元/袋，买了一块牛肉用了19.4元，她还想买一条15.9元的鱼。请你帮妈妈估算一下，她带的钱还够不够买鱼？下面的估算方法中，合理的是（ ）。
A. 31.4×2＋19.4＋15.9≈30×2＋20＋16＝96，够买鱼
B. 31.4×2＋19.4＋15.9≈31×2＋19＋16＝97，够买鱼
C. 31.4×2＋19.4＋15.9≈31×2＋19＋15＝96，够买鱼
D. 31.4×2＋19.4＋15.9≈32×2＋20＋16＝100，够买鱼
【答案】D
【解析】
【分析】把大米、牛肉和鱼的价格都估大一些，求出需要的总钱数，再与100元比较，由此求解。
【详解】把需要的钱数都要估大一点，如果总价还比带的钱数少，那么一定够；即：
A．31.4×2＋19.4＋15.9≈30×2＋20＋16＝60＋20＋16＝80＋16＝96，一部分估大了一部分估小了，96＜100，不能确定是否够买鱼；
B．31.4×2＋19.4＋15.9≈31×2＋19＋16＝62＋19＋16＝81＋16＝97，一部分估大了一部分估小了，97＜100，不能确定是否够买鱼；
C．31.4×2＋19.4＋15.9≈31×2＋19＋15＝62＋19＋15＝81＋15＝96，都估小了，96＜100，不能确定是否够买鱼；
D．31.4×2＋19.4＋15.9≈32×2＋20＋16＝64＋20＋16＝84＋16＝100 （元） ，都估大了，100＝100， 所以：一定够买鱼。
故答案为：D
【点睛】这种问够不够的问题，应该把需要的带钱数往多处估算，这样才一定能多于准确的价钱，从而解决问题。
21. 一根蜡烛第一次烧掉全长的，第二次烧掉剩下的一半。这根蜡烛还剩下全长的（ ）。
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，第一次烧掉后还剩下全长的（1－），那么第二次烧掉全长的（1－）×；用这根蜡烛的全长分别减去第一次、第二次烧掉部分的长度即可。
【详解】1－－（1－）×
＝1－－×
＝1－－
＝－
＝
所以，这根蜡烛还剩下全长的。
故答案为：C
【点睛】求出第二次烧掉部分的长度，是解答此题的关键。
四、操作题（共4分）
22. （1）在下边的方格图中，画一个正方形ABCD，其中点A和点B的位置分别是，。用数对表示点C和点D的位置。
C（ ） D（ ）
（2）在这个正方形内画一个最大的圆，并标出圆心O。
（3）在这个圆中画一个扇形，使扇形面积正好是圆面积的。
【答案】（1）（8，1）；（8，7）；
（2）见详解；
（3）见详解
【解析】
【分析】（1 ）根据正方形的四条边相等，四个角都是直角，结合题意，画正方形ABCD即可，然后根据用数对表示位置时，列数在前、行数在后，用数对表示点C和点D的位置即可。
（2）根据圆的画法，圆心在正方形的对角线交点处，半径是正方形边长的一半，据此在这个正方形内画一个最大的圆，并标出圆心O。
（3）根据扇形的画法，在这个圆中画一个扇形，使扇形面积正好是圆面积的即可。
【详解】（1）7－1＝6
在如图的方格图中，画一个正方形ABCD，其中点A和点B的位置分别是A（2，7），B（2，1）。 用数对表示点C和点D的位置。
C（8，1），D（8，7）。
（2）在这个正方形内画一个最大的圆，并标出圆心O。如下图；
（3）在这个圆中画一个扇形OEF，扇形OEF的面积正好是圆面积的；如下图阴影部分：
【点睛】本题考查了数对表示位置、正方形和圆的画法以及扇形的画法，结合题意分析解答即可。
五、解决实际问题（第5题4分，其余各题5分，共24分）
23. 同学们参观“抗震救灾英雄事迹展览”。五年级去的人数是四年级的1.2倍，四年级比五年级少去24人。两个年级各去了多少人？（列方程解答）
【答案】四年级：120人；五年级：144人
【解析】
【分析】根据“五年级去的人数是四年级的1.2倍”可知，假设四年级的人数为x人，那么五年级的人数是1.2x人，再根据等量关系“五年级人数－四年级人数＝24人”，据此列方程解题即可。
【详解】解：设四年级的人数为x人，则五年级的人数是1.2x人，可得，
1.2x－x＝24
0.2x＝24
0.2x÷0.2＝24÷0.2
x＝120
1.2×x
＝1.2×120
＝144（人）
答：四年级有120人，五年级有144人。
【点睛】找出题中等量关系是解答此题的关键。
24. 初中一节课有小时。同学们做实验大约用了全部时间的，老师讲解大约用了全部时间的，其余时间用来做作业。做作业的时间大约是整节课的几分之几？
【答案】
【解析】
【分析】根据减法的意义，把这节课的总时间看作单位“1”，分别减去学生实验及老师讲解所用时间占的分率，即得做作业所用时间是这节课的几分之几。
【详解】1－－
＝－
＝－
＝
答：做作业的时间大约是整节课的。
【点睛】熟练掌握异分母分数加减法是解决本题的关键。
25. 一个圆形花圃的半径是15米。沿着它的边线大约每隔0.6米种一棵杜鹃花，一共要种多少棵？
【答案】157棵
【解析】
【分析】根据圆的周长公式：，代入数据，求出半径是15米的圆形池塘的周长；沿着它的边线每隔0.3米种一颗杜鹃花，由于圆是封闭图形，相当于植树问题中的一端植树，一端不植树，即间距数＝棵数，由此可知用圆的周长除以0.6，即可求出种多少棵杜鹃花。
【详解】3.14×2×15÷0.6
＝6.28×15÷0.6
＝94.2÷0.6
＝157（棵）
答：一共要种157棵杜鹃花
【点睛】利用圆的周长公式以及植树问题进行解答。
26. 一块草坪被3条1米宽的小路分成了6小块（如图）。草坪的面积是多少平方米？
【答案】230平方米
【解析】
【分析】根据题意，把中间的小路向左、向上平移，6块小草坪可拼成一个长方形草坪，则草坪的面积就是长（24－1＝23）米，宽（12－1－1＝10）米的长方形面积，根据“长方形面积＝长×宽”，代入数据，即可解答。
【详解】（24－1）×（12－1－1）
＝23×10
＝230（平方米）
答：草坪的面积是230平方米。
【点睛】此题的解题关键是通过平移拼成一个长方形，根据长方形的面积公式求解。
27. 小明在装满水的玻璃瓶口放上风信子，每两天观察一次，测量芽和根的长度，并将结果制成下图。
（1）小明是第（ ）天开始看到根的，第20天根和芽的长度相差（ ）毫米。
（2）在记录芽的长度的这些数中，4的倍数有（ ）。
（3）风信子的根第18天的长度是第16天的（ ）（填分数）。
【答案】（1） ①. 4 ②. 43
（2）20、32 （3）
【解析】
【分析】（1）观察图意可知，小明是第4天开始看到根的，第20天根和芽的长度相差（118－75）毫米。
（2）4的倍数的特征是：十位和个位上的数组成的两位数（一个数的后两位）是4的倍数，则这个数就是4的倍数；当一个数个位上是1、3、5、7、9时，这个数肯定不是4的倍数；据此在记录芽的长度的这些数中找出4的倍数即可；
（3）用风信子的根第18天的长度除以第16天的长度，即可求出风信子的根第18天的长度是第16天的几分之几。
【小问1详解】
根据分析可知，
118－75＝43（毫米）
小明是第4天开始看到根的，第20天根和芽的长度相差43毫米。
【小问2详解】
根据分析可得：
在记录芽的长度的这些数中，4的倍数有20、32。
【小问3详解】
观察图意可知，
96÷80
＝
＝
＝
所以，风信子的根第18天的长度是第16天的（填分数）。
【点睛】熟练掌握从统计图的数据中获取信息的方法，是解答此题的关键。
六、综合应用题（共20分）
28. 我国元朝朱世杰《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马几日追及之。”
【答案】20日
【解析】
【分析】题意是良马每天行走240里，驽马每天行走150里，驽马先走12天，问良马几天可以追上驽马；根据“速度×时间＝路程”，求出驽马12天行走的总路程，再根据“路程÷速度差＝追上的时间”解题即可。
【详解】150×12÷（240－150）
＝1800÷90
＝20（天）
答：良马20日追及之。
【点睛】本题主要考查了追击问题，熟记公式并灵活运用，是解答此题的关键。
29. 仔细观察下面图与算式的规律，并填空。
（1）（ ）；
（2）利用发现的规律计算：（ ）。
【答案】（1）
（2）45
【解析】
【分析】根据图形可知，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也就是大正方形的边长有几个小正方形，就用小正方形的个数的的平方减去小正方形的个数减1的差的平方即可。
（1）观察算式：、、，可知：。
（2）根据“”可得：，进一步计算即可。
【小问1详解】
所以，
【小问2详解】
根据分析可知，
所以，。
【点睛】本题考查了图形变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
30. 京沪高速铁路（Beijing－Shanghai High－speed Railway），简称京沪高铁，又名京沪客运专线，是一条连接北京市与上海市的高速铁路，是2016年修订的《中长期铁路网规划》中“八纵八横”高速铁路主通道之一。京沪高速铁路于2008年4月18日正式开工；2010年11月15日铺轨完成；2011年5月11日开始进入运行试验阶段；2011年6月30日，全线正式通车，初期运营速度300千米/小时。京沪高速铁路由北京南站至上海虹桥站，全长1318千米，设24个车站，设计的最高速度为380千米/小时。请你算一算。
（1）京沪高铁从开工到全线正式通车共用时（ ）天。（含全线正式通车日）
（2）G28于19：00从上海虹桥始发，20：00到达南京南，23：18到达北京南。G28从上海虹桥到北京南的平均时速是（ ）千米。（结果保留一位小数）
【答案】（1）1169
（2）306.5
【解析】
【分析】（1）京沪高速铁路于2008年4月18日正式开工； 2011年6月30日，全线正式通车。2008年4月18日到2011年4月17日是（365×3＝1095）天，从4月18日到6月30日是74天，所以共用时（1095＋74＝1169）天。
（2）先求出行驶的时间，再根据“速度＝路程÷时间”，列式解答即可。
【小问1详解】
6月30日－4月18日＋1日＝74（天）
365×3＝1095（天）
1095＋74＝1169（天）
答：京沪高铁从开工到全线正式通车共用时1169天。
【小问2详解】
23时18分－19时＝4时18分
4时18分＝4.3小时
1318÷4.3≈306.5（千米/时）
答： G28从上海虹桥到北京南的平均时速是306.5千米。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握经过的时间的推算方法及应用，以及路程、速度、时间三者之间的关系及应用。
31. 公元4世纪，古希腊数学家佩波斯提出猜想：截面呈正六边形的密铺（不留空隙，也不相互重叠）的蜂窝巢房，是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建成的。这一猜想被称为“蜂窝猜想”。
（1）假设蜜蜂用正五边形建蜂巢，结果会怎样？请通过计算说明。
（2）在同种正多边形中，能密铺的只有（ ）。
（3）如下图，图①中的三种图形（正三角形、正方形、正六边形）面积相等。假设蜜蜂用这三种图形建蜂巢（如图②），其中正三角形、正六边形图上所标数据取近似值，保留两位小数。（单位；厘米）
那么在建蜂巢的这三种图形中，正方形的内切圆的直径是（ ）厘米，正六边形的面积是（ ）平方厘米；（ ）形的周长最长；（ ）形的内切圆的面积最大。
（4）用3张同种规格的A4纸分别折成如图所示的正三棱柱、正四棱柱和正六棱柱，比较它们的抗压能力，（ ）柱的抗压能力最强。
（5）生活中具有蜂巢结构的物体还有：蜂窝板材、蜂窝填充料、蜂窝底的锅、移动通信基站的蜂窝状排列等。这种设计有什么好处？
【答案】（1）计算见详解；结果会浪费材料；正六边形的一个内角是120度，3个正六边形拼在一起时，在公共顶点上的三个角之和是360°，正六边形可以密铺，不浪费空间；正五边形的内角是108°，不能密铺，所以蜜蜂用正五边形建蜂巢，结果会浪费材料。
（2）
【解析】
【分析】（1）由图片可知截面呈正六边形的蜂巢用最少材料，最多的空间，正六边形内角是120°，正六边形的3个内角正好可以拼成360°，不浪费空间；边数超过六边形，则会浪费空间，边数少于六边形，浪费材料，据此解答；
（2）在同种正多边形中，能密铺的只有正三角形、正方形、正六边形，据此解答；
（3）正方形的内切圆的直径是3厘米，正六边形的面积是两个梯形面积，上底是1.86厘米， 下底是1.86 ×2 ＝ 3.72（厘米），高是1.61厘米，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，再乘2即可，正三角形蜂巢周长是（4.56 × 6）厘米，正方形蜂巢周长是（3 × 8）厘米，正六边形蜂巢周长是（1.86×14）厘米，计算后比较即可，3÷2 ＝ 1.5（厘米），1.61 ＞ 1.5 ＞ 1.32，正六边形的内切圆的面积最大，据此解答；
（4）因为正三角形稳定性好，正三棱柱的抗压能力最强；
（5）节省材料、体积大，容量大等好处。
【详解】（1）120°×3＝360°
360÷108＝3……36
正六边形可以密铺，正五边形不能密铺，
答：正六边形的一个内角是120度，3个正六边形拼在一起时，在公共顶点上的三个角之和是360°，正六边形可以密铺，不浪费空间；正五边形的内角是108°，不能密铺，所以蜜蜂用正五边形建蜂巢，结果会浪费材料。
（2）根据分析可知，
在同种正多边形中，能密铺的只有正三角形、正方形、正六边形。
（3）正方形的内切圆的直径是3厘米。
（1.86＋1.86×2）×1.61×2
＝（1.86＋3.72）×1.61×2
＝5.58×1.61×2
＝8.9838×2
＝17.9676（平方厘米）
4.56 × 6 ＝ 27.36（厘米）
3×8＝24（厘米）
1.86×14 ＝ 26.04（厘米）
27.36＞26.04＞24
故正三角形蜂巢周长最长。
3÷2＝ 1.5（厘米）
1.61 ＞ 1.5＞ 1.32
故正六边形的内切圆的面积最大。
答：正方形的内切圆的直径是3厘米，正六边形的面积是17.9676平方厘米，正三角形蜂巢周长最长，正六边形的内切圆的面积最大。
（4）根据分析可知，
正三棱柱的抗压能力最强。
（5）根据分析可知，
答：节省材料，体积大，容量大等好处。
【点睛】本题考查了组合图形、图形密铺，注意观察图形。
（时限：90分钟）
一、计算题（共26分）
1. 直接写出得数。
【答案】1；；；；
；；0.56；0.36
【解析】
2. 解方程。
【答案】；；
【解析】
【分析】第一小题，化简方程为：，根据等式的性质，方程的两个同时除以62，解方程即可。
第二小题，化简方程为：，根据等式的性质，方程的两个同时除以5.4，解方程即可。
第三小题，化简方程为：，根据等式的性质，方程的两个同时加上4，再同时除以2.5，解方程即可。
【详解】
解：
解：
解：
3. 计算下面各题，能简算的要简算。
【答案】；；
；
【解析】
【分析】第一小题，利用加法交换律，先算与的和，再减去；
第二小题，先算括号里面的减法，再算括号外面的减法即可；
第三小题， 利用加法交换律，把原式变为，再进一步计算即可。
第四小题，原式变为：，先化简括号里面的部分再进一步计算，然后计算括号外面的减法。
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
4. 求涂色部分的面积。（单位：厘米）
【答案】39.25平方厘米；18.24平方厘米
【解析】
【分析】观察图形可知，第一幅图阴影部分的面积相当于半径是5厘米的半圆的面积，再根据圆的面积公式：；第二幅图的面积相当于一个半径（8÷2）厘米的圆的面积减去2个底8厘米、高（8÷2）厘米的三角形的面积，再根据圆的面积、三角形的面积计算公式即可解题。
【详解】3.14×52÷2
＝3.14×25÷2
＝78.5÷2
＝39.25（平方厘米）
所以，第二幅图的面积是39.25平方厘米。
3.14×（8÷2）2－8×（8÷2）÷2×2
＝3.14×42－8×4÷2×2
＝3.14×16－8×4÷2×2
＝50.24－32
＝18.24（平方厘米）
所以，第二幅图面积是18.24平方厘米。
二、填空题（共20分）
5. 看图列方程。
（ ）
【答案】17＋x＝52
【解析】
【分析】根据题意可得数量关系：已经上车的人数＋空座位数量＝座位总数；据此列式即可。
【详解】解：设上车的人数为x人，可得：
17＋x＝52
所以，列方程为：17＋x＝52。
【点睛】找出等量关系，是解答此题的关键。
6. 看图列方程。
（ ）
【答案】28＋45＝x
【解析】
【分析】根据题意可得数量关系是：邮票的张数＋邮票比画片少的张数＝画片的张数；据此列方程为：28＋45＝x；据此解题即可。
【详解】解：设画片x张，可得：
28＋45＝x
所以列方程为：28＋45＝x。
【点睛】找出等量关系，是解答此题的关键。
7. 12和42的公因数有（ ），它们的最小公倍数是（ ）．
【答案】 ①. 1、2、3、6 ②. 84
【解析】
【详解】略
8. （ ）÷18。
【答案】15；42
【解析】
【分析】根据分数的基本性质，可得：＝ ＝ ，再根据分数与除法的关系可得：＝15÷18；据此解题即可。
【详解】根据分析可得：
【点睛】本题主要考查了分数的性质、分数与除法的关系。
9. 在括号里填最简分数。
250毫升＝（ ）升 35秒＝（ ）分
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】1升＝1000毫升，1分＝60秒；最简分数是指分子和分母只有公因数1，据此解答即可。
【详解】根据分析可得：
250毫升
＝（250÷1000）升
＝升
＝
35秒
＝（35÷60）分
＝分
＝分
【点睛】本题考查单位换算、最简分数，解答本题的关键是掌握约分的方法。
10. 的分数单位是（ ），再添上（ ）个这样的分数单位就是最小的质数。
【答案】 ①. ②. 9
【解析】
【分析】根据分数单位的意义，一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一；最小的质数是2，用2减去，分子就是所要添上这样的分数单位个数。
【详解】的分数单位是
最小质数是2
2－＝
要添上9个这样的分数单位就是最小的质数。
【点睛】本题考查分数单位意义，以及最小质数。
11. 从0、2、5、7中选出两个数字，组成一个既是3的倍数，又是5的倍数的两位数，这个数是（ ），把这个数分解质因数是（ ）。
【答案】 ①. 75 ②. 75＝3×5×5
【解析】
【分析】根据3、5倍数的特征可知：这个数的个位上要么是0，要么是5，且个位和十位的数相加的和必须是3的倍数，由此可知，这个数最大是75，然后进行分解质因数。
【详解】根据分析可知，
从0、2、5、7中选出两个数字，组成一个既是3的倍数，又是5的倍数的两位数，这个数是75；
75＝3×5×5
所以，从0、2、5、7中选出两个数字，组成一个既是3的倍数，又是5的倍数的两位数，这个数是75，把这个数分解质因数是75＝3×5×5。
【点睛】本题主要考查了3、5的倍数的数的特征，注意基础知识的灵活运用；每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。
12. 在推导圆的面积公式时，将圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形。如果拼成的近似长方形的长是6.28厘米，那么圆的周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。
【答案】 ①. 12.56 ②. 6.28
【解析】
【分析】根据圆面积公式的推导过程可知：将圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形，拼成的近似长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，根据圆的周长公式为：、圆的面积公式：，把数据代入公式先求出半径，再求面积即可解答。
【详解】6.28×2＝12.56（厘米）
3.14×（12.56÷3.14÷2）
＝3.14×2
＝6.28（平方厘米）
圆的周长是12.56厘米，面积是6.28平方厘米。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程，以及圆面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
13. 一节数学课的时间是小时，李老师讲课的时间是这节课的。第一个“”的含义是把（ ）看作单位“1”，平均分成3份，表示这样的2份；第二个“”的含义是把（ ）小时看作单位“1”，平均分成3份，表示这3样的2份。
【答案】 ①. 1小时 ②.
【解析】
【分析】根据分数的意义，把单位“1”平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数。据此分析即可。
【详解】根据分析可知，
一节数学课的时间是小时，李老师讲课的时间是这节课的。第一个“”的含义是把1小时看作单位“1”，平均分成3份，表示这样的2份；第二个“”的含义是把小时看作单位“1”，平均分成3份，表示这3样的2份。
【点睛】分数的意义：一个整体被平均分成几份，其中的1份或几份占这个整体的几分之一或几分之几；注意单位“1”的变化。
14. 如图（单位：厘米），涂色部分是正方形，图中最大长方形的周长是（ ）厘米；如果最大长方形的面积是正方形的3倍，那么最大长方形的面积是（ ）平方厘米。
【答案】 ①. 40 ②. 75
【解析】
【分析】观察图形可知，图中最大长方形的宽等于阴影部分正方形的边长，所以最大长方形的周长是（25＋15）厘米。
最大长方形的宽边的长度等于正方形的边长，根据“长方形面积＝长×宽、正方形面积＝边长×边长”可知，最大长方形的长边的长度是宽边的长度的3倍，已经求出最多长方形的周长，可知最大长方形长与宽的和是（40÷2）厘米、宽边的长度是[20÷（3＋1）＝5]厘米、长边是（5×3）厘米，再根据“长方形面积＝长×宽”，即可求出最大长方形的面积。
【详解】25＋15＝40（厘米）
由“最大长方形的面积是正方形的3倍”，可得最大长方形宽边的长度：
20÷（3＋1）
＝20÷4
＝5（厘米）
5×3＝15（厘米）
15×5＝75（平方厘米）
所以，如图（单位：厘米），涂色部分是正方形，图中最大长方形周长是40厘米；如果最大长方形的面积是正方形的3倍，那么最大长方形的面积是75平方厘米。
【点睛】熟记长方形周长、面积计算公式，是解答此题的关键。
15. 要把1米长的铜管锯成54毫米和76毫米两种规格的铜管，每锯一次都要损耗1毫米的铜管。那么，只有当锯得的54毫米的铜管为（ ）段，76毫米的铜管为（ ）段时，才能使所损耗的铜管最少。
【答案】 ①. 7 ②. 8
【解析】
【分析】根据题意可知，锯铜管的总次数越少则损耗的就越少，要想分割的次数越少就要使每一段的长度最大，本题中就是要让76毫米的铜管达到最多，而让54毫米的铜管最少；因为锯一次要损耗1毫米铜管，设54毫米、76毫米的铜管分别锯x段、y段，那么，根据题意就有：54x＋76y＋（x＋y－1）＝1000；同时需要根据实际讨论损耗最少的情况。
【详解】解：设54毫米、76毫米的铜管分别锯x段、y段，可得：
54x＋76y＋（x＋y－1）＝1000
54x＋76y＋x＋y－1＝1000
55x＋77y －1＋1＝1000＋1
55x＋77y＝1001
11×（5x＋7y）＝1001
11×（5x＋7y）÷11＝1001÷11
5x＋7y＝91
因为：
5×0＋7×13
＝0＋91
＝91
所以，当x＝0，y＝13时，5x＋7y＝91成立。
但是题干中要求据成两种规格，所以此方案不合适。
因为：
5×7＋7×8
＝35＋56
＝91
所以，当x＝7，y＝8时， 5x＋7y＝91成立。
此时的损耗为7＋8－1＝14（毫米）
5×14＋7×3
＝70＋21
＝91
所以，当x＝14，y＝3时， 5x＋7y＝91成立。
此时的损耗为14＋3－1＝16（毫米）
14＜16
所以当x＝7，y＝8时，即，只有当锯得的54毫米的铜管为7段，76毫米的铜管为8段时，才能使所损耗的铜管最少。
【点睛】要使损耗的钢管最少，应该使锯的次数最少，而且1米长的钢管不要有剩余。
三、选择题（将正确答案前的字母填入括号内）（共6分）
16. 用圆规画圆时，圆规两脚间的距离是圆的（ ）。
A. 半径B. 直径C. 周长D. 面积
【答案】A
【解析】
【分析】画圆时有三个步骤：定点（即确定圆心），定长（确定半径的长），旋转一周。
其中画圆时的圆规两角间的距离确定的是圆的半径长。
【详解】用圆规画圆时，圆规两脚间的距离是圆的半径；
故答案为：A。
【点睛】本题主要考查圆规画圆的方法，要注意圆规的各部分在画圆时的作用。
17. 在3.5＋x＜8、2.6y＝5.2、7b、（n－2）×180＝540中，方程有（ ）。
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】方程是含有未知数的等式，等式是含有等号的式子；据此进行判断选择即可。
【详解】根据分析可知，
在3.5＋x＜8、2.6y＝5.2、7b、（n－2）×180＝540中，方程有2.6y＝5.2、（n－2）×180＝540，共有2个。
故答案为：B
【点睛】正确理解方程的意义，是解答此题的关键。
18. 打开数学书，左、右两边页码和一定是（ ）。
A. 合数B. 质数C. 偶数D. 奇数
【答案】D
【解析】
【分析】任意两个相邻自然数的和是奇数，不管数学书左、右两边的页码，还是任意相邻的自然数，都是一个奇数和一个偶数，奇数＋偶数＝奇数，所以和一定是奇数。
【详解】根据分析可知，
打开数学书，左、右两边页码的和一定是奇数。
故答案为：D
【点睛】此题考查了奇偶性的知识，要求学生掌握。
19. 如图，列竖式计算“7.76÷2.5”，虚线框里的“1”表示（ ）。
A. 1个一B. 1个十分之一C. 1个百分之一D. 1个千分之一
【答案】B
【解析】
【分析】除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算；计算除数是整数的小数除法时，按照整数除法的方法计算，被除数的整数部分不够除时，要在被除数的个位数字上面商0，对齐被除数的小数点点上商的小数点，再继续往下除，竖式除法中，余数的小数点和被除数的小数点对齐；据此观察算式可知，虚线框里的“1”在十分位上，表示1个十分之一。
【详解】根据分析可知，
如图，列竖式计算“7.76÷2.5”，虚线框里的“1”表示1个十分之一。
故答案为：B
【点睛】熟练掌握除数是小数的除法的计算方法，是解答此题的关键。
20. 妈妈带了100元到超市购物，买了两袋大米，大米的单价是31.4元/袋，买了一块牛肉用了19.4元，她还想买一条15.9元的鱼。请你帮妈妈估算一下，她带的钱还够不够买鱼？下面的估算方法中，合理的是（ ）。
A. 31.4×2＋19.4＋15.9≈30×2＋20＋16＝96，够买鱼
B. 31.4×2＋19.4＋15.9≈31×2＋19＋16＝97，够买鱼
C. 31.4×2＋19.4＋15.9≈31×2＋19＋15＝96，够买鱼
D. 31.4×2＋19.4＋15.9≈32×2＋20＋16＝100，够买鱼
【答案】D
【解析】
【分析】把大米、牛肉和鱼的价格都估大一些，求出需要的总钱数，再与100元比较，由此求解。
【详解】把需要的钱数都要估大一点，如果总价还比带的钱数少，那么一定够；即：
A．31.4×2＋19.4＋15.9≈30×2＋20＋16＝60＋20＋16＝80＋16＝96，一部分估大了一部分估小了，96＜100，不能确定是否够买鱼；
B．31.4×2＋19.4＋15.9≈31×2＋19＋16＝62＋19＋16＝81＋16＝97，一部分估大了一部分估小了，97＜100，不能确定是否够买鱼；
C．31.4×2＋19.4＋15.9≈31×2＋19＋15＝62＋19＋15＝81＋15＝96，都估小了，96＜100，不能确定是否够买鱼；
D．31.4×2＋19.4＋15.9≈32×2＋20＋16＝64＋20＋16＝84＋16＝100 （元） ，都估大了，100＝100， 所以：一定够买鱼。
故答案为：D
【点睛】这种问够不够的问题，应该把需要的带钱数往多处估算，这样才一定能多于准确的价钱，从而解决问题。
21. 一根蜡烛第一次烧掉全长的，第二次烧掉剩下的一半。这根蜡烛还剩下全长的（ ）。
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，第一次烧掉后还剩下全长的（1－），那么第二次烧掉全长的（1－）×；用这根蜡烛的全长分别减去第一次、第二次烧掉部分的长度即可。
【详解】1－－（1－）×
＝1－－×
＝1－－
＝－
＝
所以，这根蜡烛还剩下全长的。
故答案为：C
【点睛】求出第二次烧掉部分的长度，是解答此题的关键。
四、操作题（共4分）
22. （1）在下边的方格图中，画一个正方形ABCD，其中点A和点B的位置分别是，。用数对表示点C和点D的位置。
C（ ） D（ ）
（2）在这个正方形内画一个最大的圆，并标出圆心O。
（3）在这个圆中画一个扇形，使扇形面积正好是圆面积的。
【答案】（1）（8，1）；（8，7）；
（2）见详解；
（3）见详解
【解析】
【分析】（1 ）根据正方形的四条边相等，四个角都是直角，结合题意，画正方形ABCD即可，然后根据用数对表示位置时，列数在前、行数在后，用数对表示点C和点D的位置即可。
（2）根据圆的画法，圆心在正方形的对角线交点处，半径是正方形边长的一半，据此在这个正方形内画一个最大的圆，并标出圆心O。
（3）根据扇形的画法，在这个圆中画一个扇形，使扇形面积正好是圆面积的即可。
【详解】（1）7－1＝6
在如图的方格图中，画一个正方形ABCD，其中点A和点B的位置分别是A（2，7），B（2，1）。 用数对表示点C和点D的位置。
C（8，1），D（8，7）。
（2）在这个正方形内画一个最大的圆，并标出圆心O。如下图；
（3）在这个圆中画一个扇形OEF，扇形OEF的面积正好是圆面积的；如下图阴影部分：
【点睛】本题考查了数对表示位置、正方形和圆的画法以及扇形的画法，结合题意分析解答即可。
五、解决实际问题（第5题4分，其余各题5分，共24分）
23. 同学们参观“抗震救灾英雄事迹展览”。五年级去的人数是四年级的1.2倍，四年级比五年级少去24人。两个年级各去了多少人？（列方程解答）
【答案】四年级：120人；五年级：144人
【解析】
【分析】根据“五年级去的人数是四年级的1.2倍”可知，假设四年级的人数为x人，那么五年级的人数是1.2x人，再根据等量关系“五年级人数－四年级人数＝24人”，据此列方程解题即可。
【详解】解：设四年级的人数为x人，则五年级的人数是1.2x人，可得，
1.2x－x＝24
0.2x＝24
0.2x÷0.2＝24÷0.2
x＝120
1.2×x
＝1.2×120
＝144（人）
答：四年级有120人，五年级有144人。
【点睛】找出题中等量关系是解答此题的关键。
24. 初中一节课有小时。同学们做实验大约用了全部时间的，老师讲解大约用了全部时间的，其余时间用来做作业。做作业的时间大约是整节课的几分之几？
【答案】
【解析】
【分析】根据减法的意义，把这节课的总时间看作单位“1”，分别减去学生实验及老师讲解所用时间占的分率，即得做作业所用时间是这节课的几分之几。
【详解】1－－
＝－
＝－
＝
答：做作业的时间大约是整节课的。
【点睛】熟练掌握异分母分数加减法是解决本题的关键。
25. 一个圆形花圃的半径是15米。沿着它的边线大约每隔0.6米种一棵杜鹃花，一共要种多少棵？
【答案】157棵
【解析】
【分析】根据圆的周长公式：，代入数据，求出半径是15米的圆形池塘的周长；沿着它的边线每隔0.3米种一颗杜鹃花，由于圆是封闭图形，相当于植树问题中的一端植树，一端不植树，即间距数＝棵数，由此可知用圆的周长除以0.6，即可求出种多少棵杜鹃花。
【详解】3.14×2×15÷0.6
＝6.28×15÷0.6
＝94.2÷0.6
＝157（棵）
答：一共要种157棵杜鹃花
【点睛】利用圆的周长公式以及植树问题进行解答。
26. 一块草坪被3条1米宽的小路分成了6小块（如图）。草坪的面积是多少平方米？
【答案】230平方米
【解析】
【分析】根据题意，把中间的小路向左、向上平移，6块小草坪可拼成一个长方形草坪，则草坪的面积就是长（24－1＝23）米，宽（12－1－1＝10）米的长方形面积，根据“长方形面积＝长×宽”，代入数据，即可解答。
【详解】（24－1）×（12－1－1）
＝23×10
＝230（平方米）
答：草坪的面积是230平方米。
【点睛】此题的解题关键是通过平移拼成一个长方形，根据长方形的面积公式求解。
27. 小明在装满水的玻璃瓶口放上风信子，每两天观察一次，测量芽和根的长度，并将结果制成下图。
（1）小明是第（ ）天开始看到根的，第20天根和芽的长度相差（ ）毫米。
（2）在记录芽的长度的这些数中，4的倍数有（ ）。
（3）风信子的根第18天的长度是第16天的（ ）（填分数）。
【答案】（1） ①. 4 ②. 43
（2）20、32 （3）
【解析】
【分析】（1）观察图意可知，小明是第4天开始看到根的，第20天根和芽的长度相差（118－75）毫米。
（2）4的倍数的特征是：十位和个位上的数组成的两位数（一个数的后两位）是4的倍数，则这个数就是4的倍数；当一个数个位上是1、3、5、7、9时，这个数肯定不是4的倍数；据此在记录芽的长度的这些数中找出4的倍数即可；
（3）用风信子的根第18天的长度除以第16天的长度，即可求出风信子的根第18天的长度是第16天的几分之几。
【小问1详解】
根据分析可知，
118－75＝43（毫米）
小明是第4天开始看到根的，第20天根和芽的长度相差43毫米。
【小问2详解】
根据分析可得：
在记录芽的长度的这些数中，4的倍数有20、32。
【小问3详解】
观察图意可知，
96÷80
＝
＝
＝
所以，风信子的根第18天的长度是第16天的（填分数）。
【点睛】熟练掌握从统计图的数据中获取信息的方法，是解答此题的关键。
六、综合应用题（共20分）
28. 我国元朝朱世杰《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马几日追及之。”
【答案】20日
【解析】
【分析】题意是良马每天行走240里，驽马每天行走150里，驽马先走12天，问良马几天可以追上驽马；根据“速度×时间＝路程”，求出驽马12天行走的总路程，再根据“路程÷速度差＝追上的时间”解题即可。
【详解】150×12÷（240－150）
＝1800÷90
＝20（天）
答：良马20日追及之。
【点睛】本题主要考查了追击问题，熟记公式并灵活运用，是解答此题的关键。
29. 仔细观察下面图与算式的规律，并填空。
（1）（ ）；
（2）利用发现的规律计算：（ ）。
【答案】（1）
（2）45
【解析】
【分析】根据图形可知，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也就是大正方形的边长有几个小正方形，就用小正方形的个数的的平方减去小正方形的个数减1的差的平方即可。
（1）观察算式：、、，可知：。
（2）根据“”可得：，进一步计算即可。
【小问1详解】
所以，
【小问2详解】
根据分析可知，
所以，。
【点睛】本题考查了图形变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
30. 京沪高速铁路（Beijing－Shanghai High－speed Railway），简称京沪高铁，又名京沪客运专线，是一条连接北京市与上海市的高速铁路，是2016年修订的《中长期铁路网规划》中“八纵八横”高速铁路主通道之一。京沪高速铁路于2008年4月18日正式开工；2010年11月15日铺轨完成；2011年5月11日开始进入运行试验阶段；2011年6月30日，全线正式通车，初期运营速度300千米/小时。京沪高速铁路由北京南站至上海虹桥站，全长1318千米，设24个车站，设计的最高速度为380千米/小时。请你算一算。
（1）京沪高铁从开工到全线正式通车共用时（ ）天。（含全线正式通车日）
（2）G28于19：00从上海虹桥始发，20：00到达南京南，23：18到达北京南。G28从上海虹桥到北京南的平均时速是（ ）千米。（结果保留一位小数）
【答案】（1）1169
（2）306.5
【解析】
【分析】（1）京沪高速铁路于2008年4月18日正式开工； 2011年6月30日，全线正式通车。2008年4月18日到2011年4月17日是（365×3＝1095）天，从4月18日到6月30日是74天，所以共用时（1095＋74＝1169）天。
（2）先求出行驶的时间，再根据“速度＝路程÷时间”，列式解答即可。
【小问1详解】
6月30日－4月18日＋1日＝74（天）
365×3＝1095（天）
1095＋74＝1169（天）
答：京沪高铁从开工到全线正式通车共用时1169天。
【小问2详解】
23时18分－19时＝4时18分
4时18分＝4.3小时
1318÷4.3≈306.5（千米/时）
答： G28从上海虹桥到北京南的平均时速是306.5千米。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握经过的时间的推算方法及应用，以及路程、速度、时间三者之间的关系及应用。
31. 公元4世纪，古希腊数学家佩波斯提出猜想：截面呈正六边形的密铺（不留空隙，也不相互重叠）的蜂窝巢房，是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建成的。这一猜想被称为“蜂窝猜想”。
（1）假设蜜蜂用正五边形建蜂巢，结果会怎样？请通过计算说明。
（2）在同种正多边形中，能密铺的只有（ ）。
（3）如下图，图①中的三种图形（正三角形、正方形、正六边形）面积相等。假设蜜蜂用这三种图形建蜂巢（如图②），其中正三角形、正六边形图上所标数据取近似值，保留两位小数。（单位；厘米）
那么在建蜂巢的这三种图形中，正方形的内切圆的直径是（ ）厘米，正六边形的面积是（ ）平方厘米；（ ）形的周长最长；（ ）形的内切圆的面积最大。
（4）用3张同种规格的A4纸分别折成如图所示的正三棱柱、正四棱柱和正六棱柱，比较它们的抗压能力，（ ）柱的抗压能力最强。
（5）生活中具有蜂巢结构的物体还有：蜂窝板材、蜂窝填充料、蜂窝底的锅、移动通信基站的蜂窝状排列等。这种设计有什么好处？
【答案】（1）计算见详解；结果会浪费材料；正六边形的一个内角是120度，3个正六边形拼在一起时，在公共顶点上的三个角之和是360°，正六边形可以密铺，不浪费空间；正五边形的内角是108°，不能密铺，所以蜜蜂用正五边形建蜂巢，结果会浪费材料。
（2）
【解析】
【分析】（1）由图片可知截面呈正六边形的蜂巢用最少材料，最多的空间，正六边形内角是120°，正六边形的3个内角正好可以拼成360°，不浪费空间；边数超过六边形，则会浪费空间，边数少于六边形，浪费材料，据此解答；
（2）在同种正多边形中，能密铺的只有正三角形、正方形、正六边形，据此解答；
（3）正方形的内切圆的直径是3厘米，正六边形的面积是两个梯形面积，上底是1.86厘米， 下底是1.86 ×2 ＝ 3.72（厘米），高是1.61厘米，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，再乘2即可，正三角形蜂巢周长是（4.56 × 6）厘米，正方形蜂巢周长是（3 × 8）厘米，正六边形蜂巢周长是（1.86×14）厘米，计算后比较即可，3÷2 ＝ 1.5（厘米），1.61 ＞ 1.5 ＞ 1.32，正六边形的内切圆的面积最大，据此解答；
（4）因为正三角形稳定性好，正三棱柱的抗压能力最强；
（5）节省材料、体积大，容量大等好处。
【详解】（1）120°×3＝360°
360÷108＝3……36
正六边形可以密铺，正五边形不能密铺，
答：正六边形的一个内角是120度，3个正六边形拼在一起时，在公共顶点上的三个角之和是360°，正六边形可以密铺，不浪费空间；正五边形的内角是108°，不能密铺，所以蜜蜂用正五边形建蜂巢，结果会浪费材料。
（2）根据分析可知，
在同种正多边形中，能密铺的只有正三角形、正方形、正六边形。
（3）正方形的内切圆的直径是3厘米。
（1.86＋1.86×2）×1.61×2
＝（1.86＋3.72）×1.61×2
＝5.58×1.61×2
＝8.9838×2
＝17.9676（平方厘米）
4.56 × 6 ＝ 27.36（厘米）
3×8＝24（厘米）
1.86×14 ＝ 26.04（厘米）
27.36＞26.04＞24
故正三角形蜂巢周长最长。
3÷2＝ 1.5（厘米）
1.61 ＞ 1.5＞ 1.32
故正六边形的内切圆的面积最大。
答：正方形的内切圆的直径是3厘米，正六边形的面积是17.9676平方厘米，正三角形蜂巢周长最长，正六边形的内切圆的面积最大。
（4）根据分析可知，
正三棱柱的抗压能力最强。
（5）根据分析可知，
答：节省材料，体积大，容量大等好处。
【点睛】本题考查了组合图形、图形密铺，注意观察图形。
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