浙教版2023年九年级上册数学举一反三系列 专题1.3 二次函数的性质【六大题型】（学生版+教师版）

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专题1.3 二次函数的性质【六大题型】【浙教版】TOC \o "1-2" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc25735" 【题型1 利用二次函数的性质判断结论】  PAGEREF _Toc25735 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc23027" 【题型2 利用二次函数的性质比较函数值】  PAGEREF _Toc23027 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc26774" 【题型3 二次函数的对称性的应用】  PAGEREF _Toc26774 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc28267" 【题型4 利用二次函数的性质求字母的范围】  PAGEREF _Toc28267 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc25183" 【题型5 利用二次函数的性质求最值】  PAGEREF _Toc25183 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc16982" 【题型6 二次函数给定范围内的最值问题】  PAGEREF _Toc16982 \h 12【知识点1 二次函数的性质】①当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．②当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．【题型1 利用二次函数的性质判断结论】【例1】（2022•新华区校级一模）已知函数y＝2mx2+（1﹣4m）x+2m﹣1，下列结论错误的是（　　）A．当m＝0时，y随x的增大而增大 B．当m时，函数图象的顶点坐标是（，） C．当m＝﹣1时，若x，则y随x的增大而减小 D．无论m取何值，函数图象都经过同一个点【分析】根据题意中的函数解析式和各个选项中的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：当m＝0时，y＝x﹣1，则y随x的增大而增大，故选项A正确，当m时，y＝x2﹣x＝（x）2，则函数图象的顶点坐标是（，），故选项B正确，当m＝﹣1时，y＝﹣2x2+5x﹣3＝﹣2（x）2，则当x，则y随x的增大而增大，故选项C错误，∵y＝2mx2+（1﹣4m）x+2m﹣1＝2mx2+x﹣4mx+2m﹣1＝（2mx2﹣4mx+2m）+（x﹣1）＝2m（x﹣1）2+（x﹣1）＝（x﹣1）[2m（x﹣1）+1]，∴函数y＝2mx2+（1﹣4m）x+2m﹣1，无论m取何值，函数图象都经过同一个点（1，0），故选项D正确，故选：C．【变式1-1】（2022秋•遂川县期末）关于抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a﹣2，下列说法错误的是（　　）A．开口向上 B．当a＝2时，经过坐标原点O C．不论a为何值，都过定点（1，﹣2） D．a＞0时，对称轴在y轴的左侧【分析】根据函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a﹣2，∴此抛物线开口向上，故选项A正确，当a＝2时，y＝x2﹣3x过点（0，0），故选项B正确，当x＝1时，y＝﹣2，此时解析式中的a正好可以消掉，故选项C正确，抛物线的对称轴是直线x，当a＞0时，对称轴x在y轴右侧，故选项D错误，故选：D．【变式1-2】（2022秋•金牛区期末）对于抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1：③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞﹣1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确．【解答】解：∵抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，a＝﹣2＜0，∴抛物线的开口向下，故①正确，对称轴是直线x＝﹣1，故②错误，顶点坐标为（﹣1，3），故③正确，x＞﹣1时，y随x的增大而减小，故④正确，故选：C．【变式1-3】（2022•赤壁市一模）对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，有下列结论：①它的图象与x轴有两个交点；②如果当x≤﹣1时，y随x的增大而减小，则m＝﹣1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m＝1；④如果当x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等，则m＝5．其中一定正确的结论是　①③④　．（把你认为正确结论的序号都填上）【分析】①利用根的判别式Δ＞0判定即可；②根据二次函数的增减性利用对称轴列不等式求解即可；③根据向左平移横坐标减求出平移前的点的坐标，然后代入函数解析式计算即可求出m的值；④根据二次函数的对称性求出对称轴，再求出m的值，然后把x＝2012代入函数关系式计算即可得解．【解答】解：①∵△＝（﹣2m）2﹣4×1×（﹣3）＝4m2+12＞0，∴它的图象与x轴有两个公共点，故本小题正确；②∵当x≤﹣1时y随x的增大而减小，∴对称轴直线x1，解得m≤﹣1，故本小题错误；③∵将它的图象向左平移3个单位后过原点，∴平移前的图象经过点（3，0），代入函数关系式得，32﹣2m•3﹣3＝0，解得m＝1，故本小题正确；④∵当x＝2时的函数值与x＝8时的函数值相等，∴对称轴为直线x5，∴5，解得m＝5，故本小题正确；综上所述，结论正确的是①③④共3个．故答案为：①③④．【题型2 利用二次函数的性质比较函数值】【例2】（2022•陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3【分析】首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y2＜y1＜y3，故选：D．【变式2-1】（2022秋•金安区校级月考）抛物线y＝x2+x+2，点（2，a），（﹣1，﹣b），（3，c），则a，b，c的大小关系是（　　）A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．无法比较大小【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x，然后比较三个点都直线x的远近得到a、b、c的大小关系．【解答】解：∵y＝x2+x+2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x，∵（2，a）、（﹣1，b），（3，c），∴点（3，c）离直线x最远，（﹣1，﹣b）离直线x最近，∴c＞a＞b；故选：A．【变式2-2】（2022春•鼓楼区校级月考）已知点A（b﹣m，y1），B（b﹣n，y2），C（b，y3）都在二次函数y＝﹣x2+2bx+c的图象上，若0＜m＜n，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2【分析】逐次比较A、B、C三个点离函数对称轴距离即可求解．【解答】解：抛物线开口向下，对称轴为直线x＝b，∵0＜m＜n，∴点B离对称轴最远，点A离对称轴近，∴y2＜y3＜y1，故选：B．【变式2-3】（2022•朝阳区校级一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y3＞y1＞y2．结合图象，则m的取值范围是 　m　．【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，分类讨论y3＞y1与y1＞y2，由两点中点与对称轴的位置关系求解．【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+4（a＞0），∴抛物线对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，∵y3＞y1，∴1，即1，解得m，∵y1＞y2，∴1，解得m，∴m，故答案为：m．【知识点2 二次函数的对称性】①如果抛物线上与对应的函数值相等，那么根据抛物线的对称性可知，其对称轴为直线.②如果抛物线与轴的交点为（，0），（，0），那么根据抛物线的对称性可知，其对称轴为直线.【题型3 二次函数的对称性的应用】【例3】（2022秋•望江县期末）在二次函数y＝﹣x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：则m、n的大小关系为（　　）A．m＜n B．m＞n C．m＝n D．无法确定【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，再根据二次函数的图象具有对称性，可以得到m、n的大小关系，从而可以解答本题．【解答】解：由表格可得，二次函数y＝﹣x2+bx+c的对称轴是直线x，∵二次函数y＝﹣x2+bx+c∴该函数图象开口向下，∵1，3，∴m＞n，故选：B．【变式3-1】（2022秋•甘州区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：则该二次函数图象的对称轴为（　　）A．y轴 B．直线x C．直线x＝1 D．直线x【分析】根据图表找出函数值相等时对应的自变量即可求出对称轴．【解答】解：由图表可知：x＝0时，y＝﹣6，x＝1时，y＝﹣6，∴二次函数的对称轴为：x故选：B．【变式3-2】（2022•随州校级模拟）已知二次函数y＝2x2﹣9x﹣34，当自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等，则当自变量x取x1+x2时的函数值应当与（　　）A．x＝1时的函数值相等 B．x＝0时的函数值相等 C．x的函数值相等 D．x的函数值相等【分析】由于二次函数y＝2x2﹣9x﹣34，当自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等，由此可以确定x1+x2的值，然后根据已知条件即可求解．【解答】解：∵y＝2x2﹣9x﹣34，∴对称轴为x，而自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等，∴x1+x2，而x和x＝0关于x对称，当自变量x取x1+x2时的函数值应当与x＝0时的函数值相等．故选：B．【变式3-3】（2022•临安区模拟）已知二次函数的解析式为y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2），若函数过（a，b）和（a+6，b）两点，则a的取值范围（　　）A．﹣2≤a B．﹣2≤a≤﹣1 C．﹣3≤a D．0≤a≤2【分析】先将原二次函数整理得一般式，再得当x时取最小值，根据函数过（a，b）和（a+6，b）两点，得x＝a+3时取最小值，根据1≤m≤2，进而可得a的取值范围．【解答】解：方法一：∵y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2），∴y＝x2﹣（m+1）x+m，∴当x时取最小值，∵函数过（a，b）和（a+6，b）两点，∴xa+3时取最小值，∴a+3，∴m＝2a+5，方法二：令y＝0，则x＝m，x＝1，又函数过（a，b）和（a+6，b），所以对称轴x＝（a+a+6）÷2＝a+3，得出m＝2a+5∵1≤m≤2，∴1≤2a+5≤2，解得﹣2≤a．故选：A．【题型4 利用二次函数的性质求字母的范围】【例4】（2022•西湖区一模）设函数y＝kx2+（4k+3）x+1（k＜0），若当x＜m时，y随着x的增大而增大，则m的值可以是（　　）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2【分析】当k＜0时，抛物线对称轴为直线x，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，根据题意，得m，而当k＜0时，22，可确定m的范围，【解答】解：∵k＜0，∴函数y＝kx2+（4k+3）x+1的图象在对称轴直线x的左侧，y随x的增大而增大．∵当x＜m时，y随着x的增大而增大∴m，而当k＜0时，22，所以m≤﹣2，故选：D．【变式4-1】（2022•盐城）若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 　1≤n＜10　．【分析】由题意可知﹣2＜m＜2，根据m的范围即可确定n的范围．【解答】解：∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，∴二次函数y＝x2+2x+2的图象开口象上，顶点为（﹣1，1），对称轴是直线x＝﹣1，∵P（m，n）到y轴的距离小于2，∴﹣2＜m＜2，而﹣1﹣（﹣2）＜2﹣（﹣1），当m＝2，n＝（2+1）2+1＝10，当m＝﹣1时，n＝1，∴n的取值范围是1≤n＜10，故答案为：1≤n＜10．【变式4-2】（2022秋•鹿城区校级期中）已知抛物线y＝﹣（x﹣2）2+9，当m≤x≤5时，0≤y≤9，则m的值可以是（　　）A．﹣2 B．1 C．3 D．4【分析】根据题意和二次函数的性质，可以求得m的取值范围，从而可以求得m可能的值．【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣2）2+9，∴该函数图象开口向下，当x＝2时，y取得最大值9，∵m≤x≤5，∴m≤2；又∵当m≤x≤5时，0≤y≤9，令y＝0，则﹣（x﹣2）2+9＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝5，∴m≥﹣1．∴m的取值范围为：﹣1≤m≤2，故选：B．【变式4-3】（2022•绵竹市模拟）若抛物线y＝（x﹣m）（x﹣m﹣3）经过四个象限，则m的取值范围是（　　）A．m＜﹣3 B．﹣1＜m＜2 C．﹣3＜m＜0 D．﹣2＜m＜1【分析】抛物线y＝（x﹣m）（x﹣m﹣3）中，令y＝0，可得x1＝m，x2＝m+3，即该抛物线与x轴交点为（m，0 ）和（m+3，0），又抛物线过四个象限，故这两点必须位于原点的左右两侧，故能得出正确答案．【解答】解：令y＝0，得 （x﹣m）（x﹣m﹣3）＝0， 解得x1＝m，x2＝m+3，∴抛物线与x轴的两个交点为（m，0 ）和（m+3，0），∵抛物线经过四个象限，∴（m，0 ）和（m+3，0）分别位于原点两侧， 即 m＜0＜m+3，∴﹣3＜m＜0，故选：C．【题型5 利用二次函数的性质求最值】【例5】（2022秋•丹阳市期末）若实数m、n满足m+n＝2，则代数式2m2+mn+m﹣n的最小值是_______．【分析】设y＝2m2+mn+m﹣n，由m+n＝2得n＝2﹣m，再由二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：设y＝2m2+mn+m﹣n，∵m+n＝2，∴n＝2﹣m，∴y＝2m2+m（2﹣m）+m﹣（2﹣m）＝m2+4m﹣2＝（m+2）2﹣6，此为一个二次函数，开口向上，有最小值，当m＝﹣2时，y有最小值为﹣6，故答案为：﹣6．【变式5-1】（2022秋•宁明县期中）已知抛物线y＝﹣x2﹣3x+t经过A（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P（m，n）在该抛物线上，求m+n的最大值．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据图象上点的坐标特征，得到n＝﹣m2﹣3m+3，进而得到m+n＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，根据二次函数的性质即可求得结果．【解答】解：（1）将A（0，3）代入解析式，得t＝3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+3；（2）∵点P（m，n）在抛物线y＝﹣x2﹣3x+3上，∴n＝﹣m2﹣3m+3，∴m+n＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，∴当m＝﹣1时，m+n有最大值是4．【变式5-2】（2022•雁塔区校级四模）抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）过A（4，4），B（2，m）两点，点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，则实数m的取值范围是（　　）A．m≤2或m≥3 B．m≤3或m≥4 C．2＜m＜3 D．3＜m＜4【分析】把A（4，4）代入抛物线y＝ax2+bx+3得4a+b，根据对称轴x，B（2，m），且点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，所以，解得或a，把B（2，m）代入y＝ax2+bx+3得：4a+2b+3＝m，得到a，所以或，即可解答．【解答】解：把A（4，4）代入抛物线y＝ax2+bx+3得：16a+4b+3＝4，∴16a+4b＝1，∴4a+b，∵对称轴x，B（2，m），且点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤1，∴∴，∴||≤1，∴或a，把B（2，m）代入y＝ax2+bx+3得：4a+2b+3＝m2（2a+b）+3＝m2（2a4a）+3＝m4a＝m，a，∴或，∴m≤3或m≥4．故选：B．【变式5-3】（2021•永嘉县校级模拟）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+1经过第一象限内的点A（m，y1）和B（2m+1，y2），1＜y1＜y2，则满足条件的m的最小整数是（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据题意得到抛物线开口向上，根据二次函数的性质得到关于m的不等式，解得即可．【解答】解：∵y＝a（x﹣2）2+1，∴抛物线对称轴为x＝2，函数的最值为1，∵抛物线y＝a（x﹣2）2+1经过第一象限内的点A（m，y1）和B（2m+1，y2），1＜y1＜y2，∴抛物线开口向上，∵m＞0，∴0＜m＜2m+1，当0＜m＜2时，则2﹣m＜2m+1﹣2，解得m＞1，当m＞2时，2m+1﹣2＞2﹣m，解得m＞1，∵1＜y1＜y2，∴m≠2，∴满足条件的m的最小整数是3，故选：C．解法二：解：∵抛物线y＝a（x﹣2）2+1经过第一象限内的点A（m，y1）和B（2m+1，y2），1＜y1＜y2，∴抛物线开口向上，即a＞0，∵m＞0，∴0＜m＜2m+1，∵1＜y1＜y2，∴y1﹣y2＝a（m﹣2）2+1﹣[a（2m+1﹣2）2+1]＝﹣3a（m+1）（m﹣1）＜0，∵a＞0，m＞0，∴m﹣1＞0，∴m＞1，∵1＜y1＜y2，∴m≠2，∴满足条件的m的最小整数是3，故选：C．【题型6 二次函数给定范围内的最值问题】【例6】（2022秋•让胡路区期末）若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是（　　）A．﹣4或 B．﹣2或 C．﹣4 或2 D．﹣2或2 【分析】表示出对称轴，分三种情况，找出关于m的方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵y＝﹣x2+mx，∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x，①当1，即m≤﹣2时，当x＝﹣1时，函数最大值为3，∴﹣1﹣m＝3，解得：m＝﹣4；②当2，即m≥4时，当x＝2时，函数最大值为3，∴﹣4+2m＝3，解得：m（舍去）．③当﹣12，即﹣2＜m＜4时，当x时，函数最大值为3，∴3，解得m＝2或m＝﹣2（舍去），综上所述，m＝﹣4或m＝2，故选：C．【变式6-1】（2021•雁塔区校级模拟）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（　　）A．3 B．﹣3或 C．3或 D．﹣3或【分析】先求出对称轴为x＝﹣1，分m＞0，m＜0两种情况讨论解答即可求得m的值．【解答】解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，∴对称轴为直线x＝﹣1，①m＞0，抛物线开口向上，x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，解得：m＝3；②m＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，解得：m；故选：C．【变式6-2】（2022•岳阳）已知二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3（m为常数，m≠0），点P（xp，yp）是该函数图象上一点，当0≤xp≤4时，yp≤﹣3，则m的取值范围是（　　）A．m≥1或m＜0 B．m≥1 C．m≤﹣1或m＞0 D．m≤﹣1【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标，再分两种情况：m＞0或m＜0，根据二次函数的性质求得m的不同取值范围便可．【解答】解：∵二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3，∴对称轴为x＝2m，抛物线与y轴的交点为（0，﹣3），∵点P（xp，yp）是该函数图象上一点，当0≤xp≤4时，yp≤﹣3，∴①当m＞0时，对称轴x＝2m＞0，此时，当x＝4时，y≤﹣3，即m•42﹣4m2•4﹣3≤﹣3，解得m≥1；②当m＜0时，对称轴x＝2m＜0，当0≤x≤4时，y随x增大而减小，则当0≤xp≤4时，yp≤﹣3恒成立；综上，m的取值范围是：m≥1或m＜0．故选：A．【变式6-3】（2022秋•南充期末）若二次函数y＝x2﹣2x+5在m≤x≤m+1时的最小值为6，那么m的值是 　1或　．【分析】由抛物线解析式确定出其对称轴x＝1，分m＞1或m+1＜1或m＜1＜m+1三种情况，分别确定出其最小值，由最小值为6，则可得到关于m的方程，可求得m的值．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，当m＞1时，可知当自变量x满足m≤x≤m+1时，y随x的增大而增大，∴当x＝m时，y有最小值，∴m2﹣2m+5＝6，解得m＝1或m＝1（舍去），当m+1＜1时，可知当自变量x满足m≤x≤m+1时，y随x的增大而减小，∴当x＝m+1时，y有最小值，∴（m+1）2﹣2（m+1）+5＝6，解得m（舍去）或m，当m＜1＜m+1时，可知当自变量x满足m≤x≤m+1时，y随x的增大而减小，∴当x＝1时，y的最小值为4，不合题意，综上可知m的值为1或．故答案为：1或．x…﹣1134…y…﹣6mn﹣6…x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…