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【期末复习】人教版 初中数学 2023-2024学年 八年级上册 期末基础专题训练 05 整式的乘法 原卷+解析卷.zip
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一、同底数幂的乘法
（其中都是正整数）．即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
注意：①底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式．
②三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）．
③逆用公式：（都是正整数）．
二、幂的乘方
（其中都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘．
注：①推广： （，均为正整数）
②逆用公式：．
三、积的乘方
（其中是正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
注意：①推广： （为正整数）．
②逆用公式：．如：
四、单项式与单项式相乘
法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
1．只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏．
2．单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用．
3．单项式乘单项式的结果仍然是单项式．
【注意】1．积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值．
2．相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算．
五、单项式与多项式相乘
法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是单项式）．
【注意】1．单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项．
2．计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．
3．对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果．
六、多项式与多项式相乘
1．法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
2．多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘，得m（a+b+c）与n（a+b+c），再用单项式乘多项式的法则展开，即
（m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc．
【注意】1．运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏．
2．多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．
七、同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：
一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）．
语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减．
【拓展】1．同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）．
2．同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）．
八、零指数幂的性质
零指数幂的性质：
同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如am÷am，根据除法的意义可知所得的商为1．另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有am÷am=am-m=a0．
于是规定：a0=1（a≠0）．
语言叙述：任何不等于0的数的0次幂都等于1．
【注意】1．底数a不等于0，若a=0，则零的零次幂没有意义．
2．底数a可以是不为零的单顶式或多项式，如50=1，（x2+y2+1）0=1等．
3．a0=1中，a≠0是极易忽略的问题，也易误认为a0=0．
九、单项式除以单项式
单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式．
【归纳】该法则包括三个方面：（1）系数相除；（2）同底数幂相除；（3）只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式．
【注意】可利用单项式相乘的方法来验证结果的正确性．
十、多项式除以单项式
多项式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
【注意】1．多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号．
2．多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项．
3．多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验．
十一、平方差公式
1．平方差公式
语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式．
2．平方差公式的特点
（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．
（2）右边是相同项的平方减去相反项的平方．
（3）公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以是多项式．
十二、完全平方公式
1．完全平方公式
，
语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式．
2．完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同．
十三、添括号法则
法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
1．首先要清楚括到括号里的是哪些项．
2．括号前面是什么符号，括到括号里的项是否要改变符号，这与去括号一样，要变都变，要不变都不变．
3．添括号后是否正确，可以用去括号来检验．
考向解读
（1）了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）．
（2）会推导乘法公式，了解公式的几何背景，并能进行简单计算．
考点突破
考点目录
TOC \ "1-3" \h \z \u 考点01 同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方 PAGEREF _Tc152316053 \h 6
考点02 零指数幂 PAGEREF _Tc152316054 \h 8
考点03 单项式乘单项式、多项式，多项式乘多项式 PAGEREF _Tc152316055 \h 9
考点04 同底数幂的除法、整式的除法 PAGEREF _Tc152316056 \h 11
考点05 整式的混合运算 PAGEREF _Tc152316057 \h 12
考点06 利用乘法公式进行计算 PAGEREF _Tc152316058 \h 13
考点07 构造完全平方公式求值 PAGEREF _Tc152316059 \h 15
考点08 添括号与去括号 PAGEREF _Tc152316060 \h 18
考点09 乘法公式的几何背景 PAGEREF _Tc152316061 \h 20
考点10 整式的化简求值 PAGEREF _Tc152316062 \h 24
考点01 同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方
【例1】（2023春•高青县期末）若，则的值为
A．1B．2C．3D．4
【例2】（2023春•湘潭县期末）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【例3】（2023春•宝塔区期末）若，均为正整数，且，则的值为
A．3B．5C．4或5D．3或4或5
考点02 零指数幂
【例1】（2023春•唐山期末）计算的结果为
A．0B．1C．2D．4
【例2】（2022秋•青浦区期末）关于代数式，下列说法正确的是
A．的值一定是0B．的值一定是1
C．当时，的值是1D．当时，的值是1
【例3】（2022秋•磁县期末）若有意义，则的取值范围是
A．B．C．D．
考点03 单项式乘单项式、多项式，多项式乘多项式
【例1】（2022秋•利通区期末） ．
【例2】（2023春•泗洪县期末）若的积中，的一次项系数为3，则的值为 ．
【例3】（2022秋•舒兰市期末）若，其中，为常数，则点关于轴的对称点的坐标为 ．
考点04 同底数幂的除法、整式的除法
【例1】（2023春•房山区期末）计算： ．
【例2】（2022秋•沂南县期末）计算： ．
【例3】（2022秋•青浦区校级期末）计算：．
考点05 整式的混合运算
【例1】（2022秋•舒兰市期末）计算：．
【例2】（2023春•陈仓区期末）计算：．
【例3】（2023春•榆林期末）化简：．
考点06 利用乘法公式进行计算
【例1】（2023春•淮安期末）计算
（1）．
（2）．
【例2】（2023春•海淀区校级期末）（1）计算：；
（2）计算．
【例3】（2023春•东昌府区期末）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
考点07 构造完全平方公式求值
【例1】（2023春•兴庆区期末）如果是一个完全平方式，求的值．
【例2】（2023春•青羊区期末）完全平方公式适当的变形，可以解决很多的数学问题．
请尝试解决：
（1）若，，求的值；
（2）若，，求的值．
【例3】（2023春•诸暨市期末）阅读理解以下材料内容：
完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例：若，，求的值．
解：，，
，．
．
．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，求的值；应用以上知识进行思维拓展；
（2）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
考点08 添括号与去括号
【例1】在 中，小括号内依次应填入
A．，B．，
C．，D．，
【例2】在括号内填上适当的项：
．
【例3】在括号内填入适当的项：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
考点09 乘法公式的几何背景
【例1】（2023春•昭平县期末）将长、宽分别为、的四个完全一样的长方形，拼成如图所示的两个正方形，则这个图形可以用来解释的代数恒等式是
A．B．
C．D．
【例2】（2023秋•永春县期中）如图分割的正方形，拼接成长方形方案中，可以验证
A．B．
C．D．
【例3】（2023秋•武汉期中）材料一：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．
（1）用不同代数式表示图1中的阴影部分的面积，可得等式为 ．
材料二：已知，，求的值．
解：，，．
请你根据上述信息解答下面问题：
（2）①已知，，求的值；
②已知，求的值；
③如图2，在长方形中，，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为35，则图中阴影部分的面积和为 ．
考点10 整式的化简求值
【例1】（2023春•石阡县期中）先化简，再求值：，其中，．
【例2】（2022春•胶州市期中）（1）用整式乘法公式计算：；
（2）先化简，再求值：，其中，．
【例3】先化简，，并请选取你所喜欢的的值代入求值．
考技提升
一、选择题
1．（2022秋•潮安区期末）下列不能用平方差公式直接计算的是
A．B．
C．D．
2．（2022秋•临邑县期末）已知，，则的值为
A．3B．9C．49D．100
3．（2023春•昭平县期末）将长、宽分别为、的四个完全一样的长方形，拼成如图所示的两个正方形，则这个图形可以用来解释的代数恒等式是
A．B．
C．D．
4．（2022秋•肇源县期末）如果整式恰好是一个整式的平方，那么的值是
A．B．C．D．9
5．（2022秋•唐河县期末）将一块边长为米的正方形广场进行扩建，扩建后的正方形边长比原来长2米，则扩建后广场面积增大了
A．4平方米B．平方米C．平方米D．平方米
二、填空题
6．（2022秋•内乡县期末）已知是含字母的单项式，要使多项式是某个多项式的完全平方式，则 ．
7．（2023春•峡江县期末）若的值是 ．
8．（2022秋•郸城县期末）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形．若拼成的长方形一边长为3，则另一边长为 ．
三、解答题
9．（2023春•唐山期末）已知代数式：．
（1）化简这个代数式．
（2）若，求原代数式的值．
10．（2023春•亳州期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数恒等式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．请结合相关知识，解答下列问题：
（1）如图1是由4个大小相同，长为、宽为的长方形围成的边长为的正方形，用含字母，的代数式表示出阴影部分的面积．
①通过计算阴影部分正方形的边长，求阴影部分的面积，可列代数式： ；
②通过用较大正方形的面积减去4个小长方形的面积，求阴影部分的面积，可列代数式： ；
（2）根据图1中的阴影部分的面积关系写出一个代数恒等式： ；
（3）若，，求图2中阴影部分的面积．
11．（2023春•张店区期末）【问题发现与提出】：在探索研究“完全平方公式”时，喜欢思考的小明顺势发现并提出了新的问题：当，，均为正数时，如何说明不成立？
【问题探究与解决】：同学们提供了不同的思路，其中，小颖的思路是：构造正方形，通过计算面积能发现一个数学等式，从而说明上面式子不成立．请你帮小颖画出图形（标明字母，，，完成说理过程，并写出这个数学等式；
【问题拓展与延伸】：类比小颖发现的数学等式，解决下面的问题：
（1）直接写出结果： ；
（2）已知，，求的值．
12．（2023春•碑林区校级期末）数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数问题时，我们常常可以通过构造几何图形，用面积直观地推导公式．
（1）观察如图，通过如图中阴影部分面积的表示可以得到我们熟悉的数学公式 ．
（2）请你借助下面的正方形，画出能说明下列完全平方公式的图形，并在图上标注清楚相应的字母．（只画出图形，不写推理过程）
（3）有两个大小不同的正方形和，现将，并列放置后构造新的正方形得到图①，其阴影部分的面积为20：将放在的内部得到图②，其阴影部分（正方形）的面积为9，求正方形、的面积之差．
1．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用．
（2）单个字母或数字可以看成指数为1的幂．
（3）底数不一定只是一个数或一个字母，也可以是单项式或多项式．
2．积的乘方
（1）每个因式都要乘方，不能漏掉任何一个因式．
（2）要注意系数应连同它的符号一起乘方，尤其是当系数是﹣1时，不可忽略．
3．同底数幂的乘法与幂的乘方的异同点
同底数幂的乘法
幂的乘方
相同点
底数不变
不同点
指数相加
指数相乘
00无意义．
1．单项式乘单项式
（1）单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用．
（2）运用单项式与单项式相乘的乘法法则进行运算时，不能与合并同类项混淆．
（3）在计算时，应先确定积的符号，再计算积的绝对值．
2．单项式乘多项式
（1）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项．
（2）单项式与多项式相乘的步骤
①利用乘法分配律，将其转化为单项式乘单项式．
②将单项式与单项式相乘的结果相加．
（3）单项式与多项式相乘，多项式中的每一项都包括它前面的符号，积的符号由单项式与多项式共同决定．
3．多项式乘多项式
（1）多项式乘多项式最终是通过转化成单项式乘单项式来计算的．
（2）计算时先把一个多项式看成一个整体．
多项式除以单项式，被除式有几项，商也应该有几项，不要漏项．
整式的混合运算，要注意运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的．
1．应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的和可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
2．完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同．
3．在计算时要注意依据题目的已知条件以及两个公式的各自特征去合理选择，有时不能直接套用公式，需要先对式子进行变形，比如合理的裂项、添加括号等，再利用整体思想套用公式，这是应用乘法公式解题的基本技巧．
1．凑完全平方式时，求中间项，先看前后项是谁的平方（和），中间项为乘积的±2倍（）．
2．完全平方公式的一些主要变形有
（a+b）2+（a－b）2=2（a2+b2），
（a+b）2－（a－b）2=4ab，
a2+b2=（a+b）2－2ab=（a－b）2+2ab．
在四个量a+b，a－b，ab和a2+b2中，知道其中任意的两个量，就能求出其余的两个量（整体代换）．
1．法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
2．注意事项：
（1）首先要清楚括到括号里的是哪些项．
（2）括号前面是什么符号，括到括号里的项是否要改变符号，这与去括号一样，要变都变，要不变都不变．
（3）添括号后是否正确，可以用去括号来检验．
解题思路是用两种方法表示出同一图形的面积，由面积相等列出等式．
解决此类题目的关键是运用乘法公式以及多项式的乘法法则将整式进行化简，然后再将所提供的数值代入到化简后的式子中进行计算．
一、同底数幂的乘法
（其中都是正整数）．即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
注意：①底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式．
②三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）．
③逆用公式：（都是正整数）．
二、幂的乘方
（其中都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘．
注：①推广： （，均为正整数）
②逆用公式：．
三、积的乘方
（其中是正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
注意：①推广： （为正整数）．
②逆用公式：．如：
四、单项式与单项式相乘
法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
1．只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏．
2．单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用．
3．单项式乘单项式的结果仍然是单项式．
【注意】1．积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值．
2．相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算．
五、单项式与多项式相乘
法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是单项式）．
【注意】1．单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项．
2．计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．
3．对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果．
六、多项式与多项式相乘
1．法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
2．多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘，得m（a+b+c）与n（a+b+c），再用单项式乘多项式的法则展开，即
（m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc．
【注意】1．运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏．
2．多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．
七、同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：
一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）．
语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减．
【拓展】1．同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）．
2．同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）．
八、零指数幂的性质
零指数幂的性质：
同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如am÷am，根据除法的意义可知所得的商为1．另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有am÷am=am-m=a0．
于是规定：a0=1（a≠0）．
语言叙述：任何不等于0的数的0次幂都等于1．
【注意】1．底数a不等于0，若a=0，则零的零次幂没有意义．
2．底数a可以是不为零的单顶式或多项式，如50=1，（x2+y2+1）0=1等．
3．a0=1中，a≠0是极易忽略的问题，也易误认为a0=0．
九、单项式除以单项式
单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式．
【归纳】该法则包括三个方面：（1）系数相除；（2）同底数幂相除；（3）只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式．
【注意】可利用单项式相乘的方法来验证结果的正确性．
十、多项式除以单项式
多项式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
【注意】1．多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号．
2．多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项．
3．多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验．
十一、平方差公式
1．平方差公式
语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式．
2．平方差公式的特点
（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．
（2）右边是相同项的平方减去相反项的平方．
（3）公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以是多项式．
十二、完全平方公式
1．完全平方公式
，
语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式．
2．完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同．
十三、添括号法则
法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
1．首先要清楚括到括号里的是哪些项．
2．括号前面是什么符号，括到括号里的项是否要改变符号，这与去括号一样，要变都变，要不变都不变．
3．添括号后是否正确，可以用去括号来检验．
考向解读
（1）了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）．
（2）会推导乘法公式，了解公式的几何背景，并能进行简单计算．
考点突破
考点目录
TOC \ "1-3" \h \z \u 考点01 同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方 PAGEREF _Tc152316053 \h 6
考点02 零指数幂 PAGEREF _Tc152316054 \h 8
考点03 单项式乘单项式、多项式，多项式乘多项式 PAGEREF _Tc152316055 \h 9
考点04 同底数幂的除法、整式的除法 PAGEREF _Tc152316056 \h 11
考点05 整式的混合运算 PAGEREF _Tc152316057 \h 12
考点06 利用乘法公式进行计算 PAGEREF _Tc152316058 \h 13
考点07 构造完全平方公式求值 PAGEREF _Tc152316059 \h 15
考点08 添括号与去括号 PAGEREF _Tc152316060 \h 18
考点09 乘法公式的几何背景 PAGEREF _Tc152316061 \h 20
考点10 整式的化简求值 PAGEREF _Tc152316062 \h 24
考点01 同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方
【例1】（2023春•高青县期末）若，则的值为
A．1B．2C．3D．4
【例2】（2023春•湘潭县期末）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【例3】（2023春•宝塔区期末）若，均为正整数，且，则的值为
A．3B．5C．4或5D．3或4或5
考点02 零指数幂
【例1】（2023春•唐山期末）计算的结果为
A．0B．1C．2D．4
【例2】（2022秋•青浦区期末）关于代数式，下列说法正确的是
A．的值一定是0B．的值一定是1
C．当时，的值是1D．当时，的值是1
【例3】（2022秋•磁县期末）若有意义，则的取值范围是
A．B．C．D．
考点03 单项式乘单项式、多项式，多项式乘多项式
【例1】（2022秋•利通区期末） ．
【例2】（2023春•泗洪县期末）若的积中，的一次项系数为3，则的值为 ．
【例3】（2022秋•舒兰市期末）若，其中，为常数，则点关于轴的对称点的坐标为 ．
考点04 同底数幂的除法、整式的除法
【例1】（2023春•房山区期末）计算： ．
【例2】（2022秋•沂南县期末）计算： ．
【例3】（2022秋•青浦区校级期末）计算：．
考点05 整式的混合运算
【例1】（2022秋•舒兰市期末）计算：．
【例2】（2023春•陈仓区期末）计算：．
【例3】（2023春•榆林期末）化简：．
考点06 利用乘法公式进行计算
【例1】（2023春•淮安期末）计算
（1）．
（2）．
【例2】（2023春•海淀区校级期末）（1）计算：；
（2）计算．
【例3】（2023春•东昌府区期末）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
考点07 构造完全平方公式求值
【例1】（2023春•兴庆区期末）如果是一个完全平方式，求的值．
【例2】（2023春•青羊区期末）完全平方公式适当的变形，可以解决很多的数学问题．
请尝试解决：
（1）若，，求的值；
（2）若，，求的值．
【例3】（2023春•诸暨市期末）阅读理解以下材料内容：
完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例：若，，求的值．
解：，，
，．
．
．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，求的值；应用以上知识进行思维拓展；
（2）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
考点08 添括号与去括号
【例1】在 中，小括号内依次应填入
A．，B．，
C．，D．，
【例2】在括号内填上适当的项：
．
【例3】在括号内填入适当的项：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
考点09 乘法公式的几何背景
【例1】（2023春•昭平县期末）将长、宽分别为、的四个完全一样的长方形，拼成如图所示的两个正方形，则这个图形可以用来解释的代数恒等式是
A．B．
C．D．
【例2】（2023秋•永春县期中）如图分割的正方形，拼接成长方形方案中，可以验证
A．B．
C．D．
【例3】（2023秋•武汉期中）材料一：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．
（1）用不同代数式表示图1中的阴影部分的面积，可得等式为 ．
材料二：已知，，求的值．
解：，，．
请你根据上述信息解答下面问题：
（2）①已知，，求的值；
②已知，求的值；
③如图2，在长方形中，，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为35，则图中阴影部分的面积和为 ．
考点10 整式的化简求值
【例1】（2023春•石阡县期中）先化简，再求值：，其中，．
【例2】（2022春•胶州市期中）（1）用整式乘法公式计算：；
（2）先化简，再求值：，其中，．
【例3】先化简，，并请选取你所喜欢的的值代入求值．
考技提升
一、选择题
1．（2022秋•潮安区期末）下列不能用平方差公式直接计算的是
A．B．
C．D．
2．（2022秋•临邑县期末）已知，，则的值为
A．3B．9C．49D．100
3．（2023春•昭平县期末）将长、宽分别为、的四个完全一样的长方形，拼成如图所示的两个正方形，则这个图形可以用来解释的代数恒等式是
A．B．
C．D．
4．（2022秋•肇源县期末）如果整式恰好是一个整式的平方，那么的值是
A．B．C．D．9
5．（2022秋•唐河县期末）将一块边长为米的正方形广场进行扩建，扩建后的正方形边长比原来长2米，则扩建后广场面积增大了
A．4平方米B．平方米C．平方米D．平方米
二、填空题
6．（2022秋•内乡县期末）已知是含字母的单项式，要使多项式是某个多项式的完全平方式，则 ．
7．（2023春•峡江县期末）若的值是 ．
8．（2022秋•郸城县期末）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形．若拼成的长方形一边长为3，则另一边长为 ．
三、解答题
9．（2023春•唐山期末）已知代数式：．
（1）化简这个代数式．
（2）若，求原代数式的值．
10．（2023春•亳州期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数恒等式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．请结合相关知识，解答下列问题：
（1）如图1是由4个大小相同，长为、宽为的长方形围成的边长为的正方形，用含字母，的代数式表示出阴影部分的面积．
①通过计算阴影部分正方形的边长，求阴影部分的面积，可列代数式： ；
②通过用较大正方形的面积减去4个小长方形的面积，求阴影部分的面积，可列代数式： ；
（2）根据图1中的阴影部分的面积关系写出一个代数恒等式： ；
（3）若，，求图2中阴影部分的面积．
11．（2023春•张店区期末）【问题发现与提出】：在探索研究“完全平方公式”时，喜欢思考的小明顺势发现并提出了新的问题：当，，均为正数时，如何说明不成立？
【问题探究与解决】：同学们提供了不同的思路，其中，小颖的思路是：构造正方形，通过计算面积能发现一个数学等式，从而说明上面式子不成立．请你帮小颖画出图形（标明字母，，，完成说理过程，并写出这个数学等式；
【问题拓展与延伸】：类比小颖发现的数学等式，解决下面的问题：
（1）直接写出结果： ；
（2）已知，，求的值．
12．（2023春•碑林区校级期末）数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数问题时，我们常常可以通过构造几何图形，用面积直观地推导公式．
（1）观察如图，通过如图中阴影部分面积的表示可以得到我们熟悉的数学公式 ．
（2）请你借助下面的正方形，画出能说明下列完全平方公式的图形，并在图上标注清楚相应的字母．（只画出图形，不写推理过程）
（3）有两个大小不同的正方形和，现将，并列放置后构造新的正方形得到图①，其阴影部分的面积为20：将放在的内部得到图②，其阴影部分（正方形）的面积为9，求正方形、的面积之差．
1．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用．
（2）单个字母或数字可以看成指数为1的幂．
（3）底数不一定只是一个数或一个字母，也可以是单项式或多项式．
2．积的乘方
（1）每个因式都要乘方，不能漏掉任何一个因式．
（2）要注意系数应连同它的符号一起乘方，尤其是当系数是﹣1时，不可忽略．
3．同底数幂的乘法与幂的乘方的异同点
同底数幂的乘法
幂的乘方
相同点
底数不变
不同点
指数相加
指数相乘
00无意义．
1．单项式乘单项式
（1）单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用．
（2）运用单项式与单项式相乘的乘法法则进行运算时，不能与合并同类项混淆．
（3）在计算时，应先确定积的符号，再计算积的绝对值．
2．单项式乘多项式
（1）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项．
（2）单项式与多项式相乘的步骤
①利用乘法分配律，将其转化为单项式乘单项式．
②将单项式与单项式相乘的结果相加．
（3）单项式与多项式相乘，多项式中的每一项都包括它前面的符号，积的符号由单项式与多项式共同决定．
3．多项式乘多项式
（1）多项式乘多项式最终是通过转化成单项式乘单项式来计算的．
（2）计算时先把一个多项式看成一个整体．
多项式除以单项式，被除式有几项，商也应该有几项，不要漏项．
整式的混合运算，要注意运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的．
1．应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的和可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
2．完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同．
3．在计算时要注意依据题目的已知条件以及两个公式的各自特征去合理选择，有时不能直接套用公式，需要先对式子进行变形，比如合理的裂项、添加括号等，再利用整体思想套用公式，这是应用乘法公式解题的基本技巧．
1．凑完全平方式时，求中间项，先看前后项是谁的平方（和），中间项为乘积的±2倍（）．
2．完全平方公式的一些主要变形有
（a+b）2+（a－b）2=2（a2+b2），
（a+b）2－（a－b）2=4ab，
a2+b2=（a+b）2－2ab=（a－b）2+2ab．
在四个量a+b，a－b，ab和a2+b2中，知道其中任意的两个量，就能求出其余的两个量（整体代换）．
1．法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
2．注意事项：
（1）首先要清楚括到括号里的是哪些项．
（2）括号前面是什么符号，括到括号里的项是否要改变符号，这与去括号一样，要变都变，要不变都不变．
（3）添括号后是否正确，可以用去括号来检验．
解题思路是用两种方法表示出同一图形的面积，由面积相等列出等式．
解决此类题目的关键是运用乘法公式以及多项式的乘法法则将整式进行化简，然后再将所提供的数值代入到化简后的式子中进行计算．
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