【期中复习】人教版 初中数学九年级上册 期末专题复习 几何探究压轴题专题训练（含解析）

这是一份【期中复习】人教版 初中数学九年级上册 期末专题复习 几何探究压轴题专题训练（含解析），共57页。试卷主要包含了如图，和都是等腰直角三角形，，对于一个四边形给出如下定义，知识探究，如图，在正方形中，.，探究，综合与实践等内容，欢迎下载使用。

1．如图1，在中，，，点为边上的一点，将绕点逆时针旋转 得到，易得，连接．
(1)求的度数；
(2)当，时，求、的长；
(3)如图2，取中点，连接，交于点，试探究线段、的数量关系和位置关系，并说明理由．
2．如图，和都是等腰直角三角形，．
(1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
(2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
(3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长．
3．对于一个四边形给出如下定义：有一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形．
(1)填空：“另一组邻边也相等的奇特四边形为正方形”是______命题（“真”或“假”）．
(2)如图，在正方形中，E是边上一点，将点E绕着点C顺时针旋转到F的位置，连接、、、，取的中点G，连接并延长交于点H．探究：四边形是否是奇特四边形，如果是证明你的结论，如果不是请说明理由．
(3)在（2）的条件下，若四边形的面积为16，直接写出的值．
4．知识探究：如图1，点E是正方形对角线AC上任意一点，以点E为直角顶点的直角两边，分别角与，相交于M点，N点．当时，请探究与的数量关系，并说明理由；
拓展探究：当绕点E顺时针旋转到点M与点D重合时，如图2，请探究与的数量关系，并说明理由；
迁移运用：在图2的基础上，过点E作于点H，如图3，证明H是线段的中点．

5．如图，在正方形中，.

(1)求证：；
(2)如图2，点、分别是线段、上的动点，，连接，探究三条线段、、之间满足的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，在（2）的条件下，，在、运动过程中，若，当最小时，______.
6．已知、，其中，，，将绕着点B旋转．

(1)当旋转到图1位置，连接、交于点，连接；
①探究线段与线段的关系；
②证明：平分；
(2)当旋转到图2位置，连接、，过点作于点，交于点，证明：．
7．探究：如图和图，四边形中，已知，，点、分别在、上，．

(1)如图，若、都是直角，把绕点逆时针旋转至，使与重合，直接写出线段、和之间的数量关系______；
如图，若、都不是直角，但满足，线段、和之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(2)拓展：如图，在中，，点、均在边边上，且，若，求的长．
8．综合与实践
【问题情境】如图1，点是等边内一点，连接，将绕点，逆时针旋转得到线段，连接．
【独立思考】试猜想线段与的数量关系，并说明理由．
【实践探究】如图2，将绕点顺时针旋转，得到线段，连接，试猜想四边形的形状，并说明理由．
【拓展延伸】如图3，设，连接，求的最小值（直接写出答案）．

9．如图1，已知正方形和正方形，点E在的延长线上，点G在边上．

(1)求证：．
(2)现将正方形绕点A按顺时针方向旋转度，在旋转过程中，探究下列问题．
①当正方形AEFG旋转至图2位置时，分别交，于点M，N．求证：．
②若，，当正方形的顶点（点A除外）在直线上时，求的长度．
10．如图，点是等边内一点，，，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，．

(1)直接写出D是 三角形．
(2)求的度数；
(3)当时，探究线段的数量关系；
(4)请你探究：当= 时是等腰三角形？
11．如图1，已知，，点D平面内的一点，连接，将线段绕点C顺时针方向旋转得到，连接．
(1)【问题发现】如图1，若点D为内的一点，线段与的数量关系是 ___________，线段与位置关系是 ___________；
(2)【问题探究】如图2，若点D为外的一点，连接，若，探究线段与的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】如图3，若点D为外的一点，且，，（），当是以为腰的等腰三角形时，求的值．
12．如图1，在中，，，将线段绕点B逆时针旋转得线段，旋转角为，连接．

(1)①若，则 °；
②若，求的度数．
(2)如图2，当时，过点B作于点E，与相交于点F，请探究线段与线段之间的数量关系；
(3)当时，作点A关于所在直线的对称点，当点在线段所在的直线上时，求的面积．
13．小明和小颖做图形的旋转实验探究：如图1，将两块大小不同的等腰直角三角板（即和）的两直角边，紧靠在一起，另两直角边，在同一直线上（三角板的宽度忽略不计），连接，.

(1)线段，之间的关系（位置关系和数量关系）为______.
(2)如图2，将绕点顺时针旋转（），那么（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由.
(3)在（2）的旋转过程中，当点A，，在同一直线上时，若，，则的长为______.
14．已知点C为线段上一点，分别以为边在线段AB同侧作和，且．，，直线与交于点F．

(1)如图1，可得___________；若，则___________．
(2)如图2，若，则___________．（用含a的式子表示）
(3)设，将图2中的绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在中的一条线段上），如图3．试探究与a的数量关系，并予以说明．
15．如图1，在中，，点D，E分别在边上，，连接，点M，P，N分别为的中点．
(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是_______，位置关系是_______；
(2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，，请直接写出面积的最大值．
16．如图1所示，在正方形中，是上一点（点G不与点C、点D重合），延长到，使．

(1)求证：．
(2)将绕点D顺时针旋转得到，判断四边形是什么特殊四边形，并说明理由．
(3)如图2所示，过点G作交于点，交于点N，连接，设的长为x，正方形的边长为a（），的面积为S，试探究S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
17．已知：在正方形中，为对角线上一点，过点作，交于点，连接，为的中点，连接，．

【猜想论证】
(1)猜想线段与的数量关系，并加以证明．
【拓展探究】
(2)将图中绕点逆时针旋转得到图，取中点，连接，你在中得到的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．
18．如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，点为的中点，连接，．

(1)观察猜想：线段和的数量关系为；和的位置关系为_____．
(2)探究证明：把绕点逆时针旋转到如图所示位置，试判断（）中的关系是否仍然成立．如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由．
(3)拓展应用；若，，把绕点逆时针旋转的过程中，请直接写出当D，E，B三点共线时CF的长度．
19．综合与实践
如图1，在正方形中，，是正方形内一点，连接，，且，将绕点顺时针旋转，得到，延长交于点．

(1)【问题发现】根据旋转的性质，易得四边形是________．（填特殊四边形的名称）
(2)【深入探究】如图2．过点作于点，连接．请判断四边形的形状，并说明理由．
(3)【拓展应用】在（2）的条件下，若点是的三等分点，请直接写出线段的长．
20．如图1，在中，，，过点作于点，点为线段上一点（不与，重合），在线段上取点，使，连接，．
(1)观察猜想：线段与的数量关系是______，与的位置关系是______；
(2)类比探究：将绕点旋转到如图2所示的位置，请写出与的数量关系及位置关系，并就图2的情形说明理由；
(3)问题解决：已知，，将绕点旋转，当以、、、四点为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出的长．
参考答案：
1．(1)
(2)；
(3)；，
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定．
（1）由旋转可知，即可得出，
（2）由旋转，可知，，故，利用勾股定理即可得出的长，过作于，再由，可得出，在中即可求出：，利用勾股定理即可得出的长；
（3）如图，延长到点，使，记和的交点为点，利用可证得：可得，，故，结合，可得出：．利用可证得：，即可得出：，，即可证得．
【详解】（1）证明：由旋转可知，
∵，
∴；
（2）∵，，
∴，．
由旋转，可知，，
∴，
∴．
过作于，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）与有如下关系：，．理由如下：
如图，延长到点，使，
∵点为的中点，
∴．
∵，
∴．
∴，，
∴，
∴．
由（1）知，
∴．
又由旋转知，
∴，
∴，，
∴，
∴．
2．(1)，
(2)（1）中的结论成立，理由见解析
(3)或
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，得出，再用，即可得出结论；
（2）先由旋转得出，进而判断出，得出，进而得出，即可得出结论；
（3）分两种情况，①当点E在线段上时，过点C作于M，求出，再用勾股定理求出，即可得出结论；
②当点E在线段的延长线上时，过点C作于N，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，，
∴，，
，
，
∵，
，
故答案为：；
（2）解：（1）中结论仍然成立，
理由：
由旋转知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
在中，
；
②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
在中，
；
综上，的长为或．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
3．(1)假
(2)四边形是奇特四边形，证明见解析
(3)
【分析】（1）假命题，根据命题画图验证即可；
（2）根据旋转得出，，根据等腰三角形三线合一得出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出，根据正方形性质得出，从而得出，再结合题意，得出四边形是奇特四边形；
（3）过点作，，利用得出，进而判断出四边形是正方形，根据等量代换，得出，从而求出，再根据正方形的面积公式，求出，根据，得出，即可求出的值．
【详解】（1）解：假命题，如图，
∵，，
又∵，
而四边形不是正方形．

（2）解：四边形是奇特四边形，理由如下：
∵点E绕着点C顺时针旋转到F的位置，
∴，，
∵G为的中点，
∴，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴四边形是奇特四边形．
（3）解：过点作，，如图所示：

∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴四边形是正方形，
∵，，

∴，
∵四边形的面积为，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定、直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定、真假命题的判断，解本题的关键是熟练掌握相关性质与定理．
4．知识探究：，理由见解析；拓展探究：EM=EN，理由见解析；迁移运用：见解析
【分析】知识探究：根据正方形的性质可得，平分，再根据垂直定义可得，从而可得四边形是矩形，然后利用矩形的性质可得，从而利用角平分线的性质即可解答．
拓展探究：过点E作，垂足为P，过点E作，垂足为Q，根据垂直定义可得，再根据正方形的性质可得，平分，从而可得四边形是矩形，进而可得，然后利用等式的性质可得，再利用角平分线的性质可得，从而证明，最后利用全等三角形的性质即可解答；
迁移运用：连接，根据正方形的性质可得，平分，从而可得，然后证明，从而可得，进而可得，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答．
【详解】解：知识探究：，
理由：∵四边形是正方形，
∴，平分，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
拓展探究：，
理由：过点E作，垂足为P，过点E作，垂足为Q，

∴，
∵四边形是正方形，
∴，平分，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∴；
迁移运用：连接，

∵四边形是正方形，
∴，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴H是线段的中点．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
5．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据得到平行四边形，继而得到，根据等角的余角相等证明即可．
（2）将绕点Ｃ逆时针旋转得到，根据正方形的性质，证明证明即可．
（3）设，则，
，根据二次函数确定最小值，再利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）∵正方形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
（2）三条线段、、之间满足的数量关系为．理由如下：如图，将绕点Ｃ逆时针旋转得到，
则，
∴，，，，
∵正方形，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）如图，将绕点Ｃ逆时针旋转得到，
则，
∴，，，，
∵正方形，

∴，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵正方形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
∴，
设，
∵，
则
∴
故当时，取得最小值32，故也取得最小值，
∵四边形是平行四边形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
整理，得，
解得（舍去）．
故，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，构造二次函数求最值，熟练掌握勾股定理，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，构造二次函数求最值是解题的关键．
6．(1)①，，见解析；②见解析
(2)见解析
【分析】（1）①证明，即可得证；②证明，再根据全等三角形对应边上的高相等，推出，可得结论；
（2）在上截取，使，连接，用证明，再证明，可得结论．
【详解】（1）解：，，
，
，
又，，
，
，，
，
，
，
；
②证明：如图，过点作于点，于点，

，
，
又，，
，
又，，
（全等三角形对应边上的高相等），
平分；
（2）证明：在上截取，使，连接

，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题属于旋转变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
7．(1)①；②成立，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据旋转的性质得出，，，求出，证≌，根据全等三角形的性质得出，即可求出答案；
结合中证明过程即可求解；
（2）作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出，，根据旋转的性质得出，，，求出，证≌，根据全等得出，设，则，，根据勾股定理得出方程，求出即可．
【详解】（1）解：如图，
把绕点逆时针旋转至，使与重合，
，，，，
，
、、共线，
，，
，
，
即，
在和中，

，
≌，
，
，
，
故答案为：；
成立，
理由：如图，把绕点旋转到，使和重合，
则，，，
，
，
、、在一条直线上，
与同理得，，
在和中，
，
≌，
，
，
；
（2）解：中，，，
，
由勾股定理得：，

如图，把绕点旋转到，使和重合，连接．
则，，，
，
，
，
在和中，
≌，
，
设，则，
，
，
，，
，
由勾股定理得：，
，
解得：，
即．
【点睛】本题考查了四边形的综合题，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用．运用类比的思想；首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高．
8．【独立思考】相等，证明见解析；【实践探究】平行四边形，证明见解析；【拓展延伸】
【分析】（1）利用旋转的性质和等边三角形的性质可得，即可解答；
（2）证明为等边三角形，再根据（1）中结论，证明，同理证明，即可证明四边形是平行四边形；
（3）将绕点B逆时针旋转至，连接，交于，可证明，从而得到，可得，解三角形求得，即可解答．
【详解】（1）相等.
证明：由旋转可知，，
，
即，
.
在与中，
，
.
（2）平行四边形.
证明：由旋转可知，
为等边三角形，
即.
由（1）可知，
.
同理可得，，
∴四边形为平行四边形.
（3）解：如图，将绕点B逆时针旋转至，连接，交于，

同（1）中原理，可得，
，
,
， ,
，
，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作出正确的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
9．(1)见解析
(2)①见解析；②或
【分析】（1）首先根据正方形的性质得到，，，然后利用证明即可；
（2）①首先根据题意证明出，然后得到，然后利用三角形内角和定理即可得到，进而证明出；
②根据题意分三种情况讨论：点在直线上，点在直线上和点在直线上，然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】（1）在正方形和正方形中，
，，，
．
（2）①证明：，
，
．
，，
，
．
，
，
．
②解：在正方形中，
平分，
，
根据正方形的顶点（点除外）在直线上，分以下三类：
Ⅰ、如图3，当在直线上时，过点作于点，则，
，
，，
，
．

Ⅱ、如图4，当在直线上时，在正方形中，平分，
，
，，
，，三点共线，
．

Ⅲ、如图5，当在直线上，过点作于点，
，
，
，，
，
．

综上所述：为或．
【点睛】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
10．(1)等边三角形
(2)
(3)
(4)或或
【分析】(1)由旋转的性质可以证明，可以得到三角形为等边三角形；
(2)先根据周角的定义表示的度数，由三角形全等表示的度数，最后由三角形内角和可得结论；
(3)分三种情况：①时；②时；③时；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出结果．
【详解】（1）解：由旋转可知：，
∴是等边三角形，
故答案为：等边．
（2）解：是等边三角形，
，
，，
，
由旋转的性质得：，，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
在中，；
（3）证明：由（2）知：，
，
，
即是直角三角形；
∴,
∴
（4）分三种情况：
①当时，
∵，，
∴，
∴；
②当时，.
∵，，
∴，
∴.
∴；
③当时，.
∵
∴，
综上所述，当为，时，是等腰三角形，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质的运用是解题的关键．
11．(1)
(2)，见解析
(3)20或
【分析】（1）延长交于T，交于K，证明，得，，从而可得；
（2）设交于M，交于N，连接，可证，得，由，知是的垂直平分线，，求出，即得；
（3）分两种情况：①当时，延长交于G，证明是的垂直平分线，可知是等腰直角三角形，即得，从而；②当时，设交于W，由，可得，设，则，可得即可解得或（此时D不在外，舍去），．
【详解】（1）解：延长交于T，交于K，如图：
∵将线段绕点C顺时针方向旋转得到，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）解：，
理由如下：
设交于M，交于N，连接，如图：
同（1）可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
∵将线段绕点C顺时针方向旋转得到，
，
的等腰直角三角形，
，
；
（3）解：当是以为腰的等腰三角形，
①当时，延长交于G，如图：
，
∴C，B都在的垂直平分线上，即是的垂直平分线，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在中，
；
②当时，设交于W，如图：
由（2）知，，
，
，
设，则，
，
，
，，
，
，
变形成整式方程得：，
解得：或（此时D不在外，舍去），
，
综上所述，的值为20或．
【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形性质及应用等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
12．(1)①45；②
(2)
(3)或
【分析】（1）①由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可求，即可求解；②由旋转的性质和等腰三角形的性质可求解；
（2）由“”可证，可得，由等腰直角三角形的性质可求解；
（3）分两种情况讨论，由勾股定理可求，即可求解．
【详解】（1）解：①∵将线段绕点B逆时针旋转得线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：45；
②∵将线段绕点B逆时针旋转得线段，
∴，
∴，，
∴；
（2），理由如下：
证：如图2，过点C作直线于H，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图3，当点在点B的左侧时，

∵，，
∴，
∵点A关于所在直线的对称点，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴；
如图4，当点在点B的右侧时，同理可求；

综上所述：的面积为或．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
13．(1)垂直且相等
(2)成立，理由见解析
(3)
【分析】（1）延长交于点，证明，得出，之间的关系即可；
（2）分两种情况：和，证明过程与（1）相同；
（3）过点作，垂足为，运用勾股定理求出，即可求出最后结果．
【详解】（1）解：（1）延长交于点，如图1：

和是等腰直角三角形，
，，，
在和中 ，
，，
由上可知，，
，，
.
，
，
故且.
（2）解：（2）成立.
理由如下：当时，如图2，

设与相交于点，交于点，
，，
，
在和中，
，
，，
，，，
，
，
故且，（1）中的结论是否仍然成立.
如图3，当时，同理可证，.

（3）解：（3）.
过点作，垂足为，如图4，

为等腰三角形，，
，
在中，，，由勾股定理得，
，
由（2）知，
．
【点睛】本题主要考查三角形全等和等腰直角三角形的性质，要灵活运用．
14．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据证明，得出，根据三角形的内角和定理即可得到，进而可得答案；
（2）根据证明，得出，根据三角形的内角和定理即可得到，进而可得答案；
（3）分三种情况：当交点F在线段上，在线段上，在线段上时；结合图形，仿照（2）小题的证明解答即可．
【详解】（1）∵，
∴，
在和中，
∴（），
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；

（2）∵，
∴，
在和中，
∴（），
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；

（3）当交点F在线段上时，如图3，
∵，
∴，
在和中，
∴（），
∴，
∵，
∴，
∴；

当交点F在线段上时，如图4，
同理可得：；

当交点F在线段上时，如图5，
∵，
∴，
在和中，
∴（），
∴，
∵，
∴；
综上，或．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、三角形的内角和定理等知识，正确分类、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
15．(1)，；
(2)是等腰直角三角形，理由见解析；
(3)．
【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，由，可得出，再根据，，得到，，由，从而得出，即可得到结论；
（2）先判断出，得出，同（1）类似方法进行证明，即可得出结论；
（3）先判断出最大时，的面积最大，而最大是，进而得出结论．
【详解】（1）解：∵点P，N是的中点，
∴，，
∵点P，M是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
故答案为：，；
（2）解：是等腰直角三角形．
理由：连接，，
由旋转知，，
∵，，
∴，
∴，
∵点P、M、N是、的中点，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
同（1）的方法得，，，
∴，，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：由（2）知，是等腰直角三角形，，
∴最大时即最大时，面积最大，
∴面积最大时，点D在的延长线上，此时，
∵，，
由勾股定理得：，，
∴，
∴，
∴的最大值．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，属于几何变换综合题，熟练掌握这些性质是解此题的关键．
16．(1)见解析
(2)平行四边形，理由见解析
(3)
【分析】（1）由正方形，得，，又，所以．
（2）由（1）得，又由旋转的性质知，所以，从而证得四边形为平行四边形．
（3）延长交于点，结合已知条件可以判定四边形为平行四边形，结合平行四边形的性质和已知条件推知，则，所以根据三角形的面积公式进行解答即可．
【详解】（1）解：证明：四边形是正方形，
，．
，
．
在和中，
，
；
（2）四边形是平行四边形．理由如下：
绕顺时针旋转得到，
．
，
．
四边形是正方形，
，．
．
即．
四边形是平行四边形．
（3）如图，延长交于点，
四边形是正方形，点在的延长线上，
，则，
又，
四边形为平行四边形，．
又由（1）知，，则，，
．
，，
，
，即，
，
．

【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定等知识，解答（3）时，注意辅助线的作法，利用平行线的性质证得是的高线是解题的难点．
17．(1)，理由见解析
(2)（1）中结论仍然成立，即，理由见解析
【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出．
（2）连接，过点作于，与的延长线交于点；再证明≌，得出；再证出，得到；再证明≌，得出；最后证出．
【详解】（1）；
证明：四边形是正方形，
，
在中，
为的中点，
∴，
∵，
同理，在中，
，
．
（2）解：（1）中结论仍然成立，即．
连接，过点作于，与的延长线交于点，

在与中，
，，，
≌，
；
在与中，
∵，，
∵为的中点，
∴，
，
∴；
∵，
四边形是矩形，
∴，
在与中，
∵，，，
，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定与性质，添加恰当的辅助线本题的关键．
18．(1)，
(2)成立；见解析
(3)长为或
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线可得，根据等边对等角，以及三角形的外角的性质得出，即可得出结论；
（2）在的延长线上截取，连接，，，延长，交于点．证明，得出是等腰直角三角形，进而即可得证；
（3）分两种情况：①当点在直线上方，且，，三点共线时，②当点在直线下方，且，，三点共线时，勾股定理求得，结合图形求得，进而即可求解．
【详解】（1）证明：∵在中，，，点为的中点，
∴，
，
∴
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）成立，证明：如图，在的延长线上截取，连接，，，延长，交于点．

，，．
，
，，
，
．

又，
，
．
又，，
，
，，
，
是等腰直角三角形．
又点是的中点，
，；
（3）解：分两种情况：
①当点在直线上方，且，，三点共线时，如图（）．

，
，
，
，
，
，
②当点在直线下方，且，，三点共线时，如图（）．
，
，
，
，
，
；
综上所述，长为或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，分类讨论，熟练掌握以上知识是解题的关键．
19．(1)正方形
(2)四边形是平行四边形．理由见解析
(3)或
【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质可得，根据矩形的判定和性质可得，根据正方形的判定即可求得；
（2）根据正方形的性质和平行线的判定可推得，，根据全等三角形的判定可得，故，即可证明四边形是平行四边形；
（3）根据全等三角形的判定和性质可得，推得，进行分类讨论：
①当时，根据勾股定理可得求解可得的值；
②当时，根据勾股定理可得求解可得的值．
【详解】（1）∵，，
∴
∴四边形是矩形
又∵
∴矩形是正方形．
故答案为：正方形；
（2）平行四边形，理由如下：
由（1）可知四边形是正方形
∴．
∵
∴
∴．
∴．
∵四边形是正方形
∴，
∵，
∴
又∵
∴
∴
由旋转的性质，可知
∴
∴四边形是平行四边形．
（3）由（2），得
∴
∵，
∴
∴
由题意，可知需分以下两种情况：进行讨论．
①当时，如题图2所示．
设，则，．在
中，
即
解得（负值已舍去）
∴
②当时，如解图所示．

设，则，，
∴
解得（负值已舍去）
∴
∴
综上所述，当点是的三等分点时，线段的长为或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，正方形的判定和性质，勾股定理等，属于综合题，具有一定的难度，解题的关键是熟练掌握和运用这些判定和性质．
20．(1)，；
(2)，，理由见解析；
(3)或．
【分析】（1）延长交于点G，先证明为等腰直角三角形，再证明，问题随之得解；
（2）延长交于点，同（1），先证明为等腰直角三角形，再证明，问题随之得解；
（3）先根据等腰直角三角形的性质求得，再由勾股定理求出AB的长度，分三种情况：①当点N在AB上时，点M在上时，四边形ANDM是平行四边形；
②当点N在上时，四边形ADMN是平行四边形；③当点N在BC外，点M在AB上时，四边形AMND是平行四边形，分别利用勾股定理和平行四边形的性质求解．
【详解】（1）延长交于点G，如图，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴是的中线，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴.
∴，
∴在中，，
∴，
故答案为：，；
（2），
理由如下：延长交于点，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵根据旋转可知，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴.
∵，
∴，
∴在中，，
∴；
（3）∵，，
∴为等腰直角三角形．
∵，，
∴，
∴．
∵，以A，D，M，N四点为顶点的四边形为平行四边形，
①当点N在上时，点M在上时，四边形是平行四边形，
∴，．
∴；
②当点N在上时，四边形是平行四边形，连接，
∴，
∴；
③当点N在外，点M在上时，四边形是平行四边形，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形,
∴．
综上所述，的长度为或．