2020-2021年江苏省扬州市宝应县高一数学下学期期中试卷及答案

这是一份2020-2021年江苏省扬州市宝应县高一数学下学期期中试卷及答案，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1． 下列复数中，纯虚数是（ ）A
A． B． －i C．(2i)2 D． 5i+8
2． ＋ cs60°=（ ）B
A． B．－ C． D．
3． 一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，
若，那么原△ABO的面积是（ ）C
A． B． C． D．
4．已知向量a=(3，4)，b =(8，6)，=(2，k)，且a∙c= b∙c，则k的值为（ ）D
A．－4 B．4 C．5 D．－5
5． 已知：α，β均为锐角，tanα=，tanβ=，则α+β＝（ ）B
A．B．C．D．
6．“全民健身活动周” 中，某长跑运动员沿公路向正北方向前进时,看见正西方向有两个相距1500 m的地标恰好与它在一条直线上，继续前进3分钟后, 看见一地标在他的南偏西60°方向上，另一地标在他的南偏西75°方向上，则他跑步的速度是（ ）C
A．125 米/分 B．125米/分
C．250 米/分 D．250米/分
7． 设向量a，b，c满足|a|=|b|=1，a∙b=－，a－c，b－c的夹角为60°，则| c |的最大值等于（ ）A
A．2B．C．D．1
8． 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，∠ABC=120，直线BD交AC于点D，将△ABC分成两部分，且∠CBD =3∠ABD，BD=1，则a＋2c的最小值为（ ）D
A． B．4 C．4 D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．设向量a，b满足|a|=|b|=1，且| b－2a |=，则以下结论正确是（ ）AC
A．a⊥bB．| a＋b |=2C．| a－b |= D．向量a，b夹角为60
10．设 f(α)=sinxα＋csxα，x∈{n|n=2k，k∈N＋}，下列结论正确的是（ ）ABCD
A．x=2时，f(α)的取值范围为{1}，
B．x=4时，f(α)的取值范围为[,1]，
C．x=6时，f(α)的取值范围为[,1]，
D．对于x∈{n|n=2k，k∈N＋}，f(α)的取值范围为[,1]，
11．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知(b＋c)：(c＋a)：(a＋b)= 4：5：6，下列结论正确的是（ ）ABD
A．csB+csC=，
B．若AD为BC边上的角平分线，则 eq \O(AD,\s\up8())= eq \O(AB,\s\up8())＋ eq \O(AC,\s\up8())，
C．BC边上的中线长为，
D．若b＋c =8，则△ABC的外接圆半径是，
12．瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数学家之一，他发现了被人们称为“世界上最完美的公式”——欧拉公式：eiθ=csθ＋isinθ（其中i是虚数单位，e是自然对数的底数），它也满足实数范围内指数的运算性质，下列结论正确的是（ ）ABC
A．|4e5i|=4，
B．i2020+2021i = ，
C．若复数eiθ∙的虚部为，θ∈(0,π)，则(eiθ)2的实部为， D．已知z1=，z2=eiθ，复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，则三角形O Z1Z2面积的最大值为.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知a,b∈R，i是虚数单位．若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2= ▲ .3＋4i
14．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中， E，F分别是棱BC，CC1的中点， 则异面直线EF与B1D1所成的角为 ▲ . 60°

（第14题图）
15． 已知sin(α－)= QUOTE ，α∈(0,π) ，则tan(2α－)= ▲ .
16．践行“劳动教育”系列活动中，某班学生被分配剪“六芒星”彩纸，如图，“六芒星”是由两个边长为3的全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），若 eq \O(OP,\s\up8())=x eq \O(OA,\s\up8())＋y eq \O(OB,\s\up8())，当x＋y取得最大值时， eq \O(OP,\s\up8())∙ eq \O(OA,\s\up8())的值是 ▲ .

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
已知复数z满足z∙eq \(z,\s\up4(–))=2，且z的虚部为－1，z在复平面内所对应的点在第四象限.
（1）求z；
（2）若z，z2在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，求∠OAB.
（1）设复数z=x－i（x，y∈R），
因为z∙eq \(z,\s\up4(–))=2，，所以x2＋1=2，得x =1或x =－1， …………………………… 2分
又z在复平面内所对应的点在第四象限，所以z=1－i； ……………………………4分
（2）z2=(1－i) 2=－2i， …………………………… 6分
所以A(1,－1)，B(0, －2)，O(0, 0)，eq \(AO,\s\up10(→))=(－1, 1)，eq \(AB,\s\up10(→))=(－1, －1)，………………… 8分
所以cs∠OAB= eq \f(\(AO,\s\up10(→))∙ \(AB,\s\up10(→)), |\(AO,\s\up10(→))|| \(AO,\s\up10(→))|)=0，
所以∠OAB =eq \f(π,2). …………………………… 10分
18．（本小题满分12分）
已知cs(eq \f(π,6)＋α)∙cs(eq \f(π,3)－α)=－eq \f(1,4)，α∈(eq \f(π,3)，eq \f(π,2)).
（1）求sin 2α的值；
（2）求tan α－eq \f(1,tan α)的值．
（1）∵cs(eq \f(π,6)＋α)·cs(eq \f(π,3)－α)＝cseq \f(π,6)＋α·sin(eq \f(π,6)＋α)＝eq \f(1,2)sin(2α＋eq \f(π,3))＝－eq \f(1,4)，……… 2分
∴sin(2α＋eq \f(π,3))＝－eq \f(1,2).
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))，∴2α＋eq \f(π,3)
∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(4π,3)))， …………………………… 6分
∴cs(2α＋eq \f(π,3))＝－eq \f(\r(3),2)，∴sin 2α＝sin[(2α＋eq \f(π,3))－eq \f(π,3)]
＝sin(2α＋eq \f(π,3))cseq \f(π,3)－cs(2α＋eq \f(π,3))sineq \f(π,3)＝eq \f(1,2). ……………………………8分
（2）∵α∈(eq \f(π,3)，eq \f(π,2))，∴2α∈(eq \f(2π,3)，π)，
又由(1)知sin 2α＝eq \f(1,2)，∴cs 2α＝－eq \f(\r(3),2). …………………………… 10分
∴tan α－eq \f(1,tan α)＝eq \f(sin α,cs α)－eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(sin2α－cs2α,sin αcs α)＝eq \f(－2cs 2α,sin 2α)＝－2×eq \f(－\f(\r(3),2),\f(1,2))＝2eq \r(3). ……… 12分
19．（本小题满分12分）
已知向量a=(cs，sin)，b=(cs，－sin)，且x∈(0，)．
（1）求a∙b及|a＋b|；
（2）若f(x)= a∙b－2λ|a＋b|的最小值为－，求正实数λ的值．
（1）a∙b=cscs－sinsin=cs2x
a＋b=( cs ＋cs，sin－sin) …………………………… 2分
|a＋b|2=( cs ＋cs)2＋(sin－sin)2
=2+2 cs2x=4cs2x． …………………………… 4分
又x∈(0，)，则csx≥0，因此|a＋b|=2csx． …………………………… 6分
（2）由（1）知f(x)=cs2x﹣4λcsx＝2cs2x﹣4λcsx﹣1，
则f(x)=2(csx﹣λ)2﹣1﹣2λ2，csx∈[0，1]， …………………………… 8分
①当0＜λ＜1时，当csx=λ时，f(x)有最小值﹣1﹣2λ2=－，解得λ=．………… 10分
②当λ≥1时，当csx=1时，f(x)有最小值1﹣4λ=－，解得λ=（舍去），
综上可得λ=． …………………………… 12分
20．（本小题满分12分）
如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．
（1）求| eq \O(AB,\s\up8())|；
（2）已知点D是AB上一点，满足 eq \O(AD,\s\up8())=λ eq \O(AB,\s\up8())，点E是边CB上一点，满足 eq \O(BE,\s\up8())=λ eq \O(BC,\s\up8())．
①当λ=时，求 eq \O(AE,\s\up8())∙ eq \O(CD,\s\up8())；
②是否存在非零实数λ，使得 eq \O(AE,\s\up8())⊥ eq \O(CD,\s\up8())？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．
A
B
C
D
E
（1）| eq \O(AB,\s\up8())|= …………………………… 2分
（2）①λ=时， eq \O(AD,\s\up8())= eq \O(AB,\s\up8())， eq \O(BE,\s\up8())= eq \O(BC,\s\up8())，
则D、E分别是BC，AB的中点，∴ eq \O(AE,\s\up8())= eq \O(AC,\s\up8())+ eq \O(CE,\s\up8())= eq \O(AC,\s\up8())+ eq \O(CB,\s\up8())， eq \O(CD,\s\up8())=( eq \O(CA,\s\up8())+ eq \O(CB,\s\up8()))，… 4分
∴ eq \O(AE,\s\up8())∙ eq \O(CD,\s\up8())=( eq \O(AC,\s\up8())+ eq \O(CB,\s\up8()))∙( eq \O(CA,\s\up8())+ eq \O(CB,\s\up8()))
= eq \O(AC,\s\up8())∙ eq \O(CA,\s\up8())+ eq \O(AC,\s\up8())∙ eq \O(CB,\s\up8())+ eq \O(CB,\s\up8())∙ eq \O(CA,\s\up8())+ eq \O(CB,\s\up8())2=； …………………………… 6分
②假设存在非零实数λ，使得 eq \O(AE,\s\up8())⊥ eq \O(CD,\s\up8())，
由 eq \O(AD,\s\up8())=λ eq \O(AB,\s\up8())，得 eq \O(CD,\s\up8())= (1﹣λ) eq \O(CA,\s\up8())+ λ eq \O(CB,\s\up8())，
又 eq \O(BE,\s\up8())=λ eq \O(BC,\s\up8())，∴ eq \O(AE,\s\up8())=﹣ eq \O(CA,\s\up8())+ (1﹣λ) eq \O(CB,\s\up8())， …………………………… 8分
∴ eq \O(AE,\s\up8())∙ eq \O(CD,\s\up8())=λ(1﹣λ) eq \O(CB,\s\up8())2﹣λ eq \O(CB,\s\up8())∙ eq \O(CA,\s\up8())+(1﹣λ)2 eq \O(CB,\s\up8())∙ eq \O(CA,\s\up8())﹣(1﹣λ) eq \O(CA,\s\up8())2
=4λ(1﹣λ)﹣λ+(1﹣λ) 2﹣(1﹣λ)=﹣3λ2+2λ=0， …………………………… 10分
解得λ=或λ=0（不合题意，舍去）；
即存在非零实数λ=，使得 eq \O(AE,\s\up8())⊥ eq \O(CD,\s\up8())． …………………………… 12分
21．（本小题满分12分）
“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设△ABD中边BD所对的角为A，△BCD中边BD所对的角为C，经测量已知AB=BC=CD=2，AD=2 QUOTE .
（1）若∠C=60°，求∠A；
（2）霍尔顿发现无论BD多长，eq \r(3)csA﹣csC QUOTE 为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；
（3）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记 QUOTE △ABD 与 QUOTE △BCD 的面积分别为S1 QUOTE 和S2，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出S12 QUOTE +S22 QUOTE 的最大值.
A
B
C
D
（1）由BC=CD=2，∠C=60°，所以 QUOTE △BCD 是等边三角形，所以BD=2，
csA= = QUOTE ，
因为0（2）在△ABD中，由余弦定理得BD2=16﹣8eq \r(3)csA，
在△BCD中，由余弦定理得BD2=8﹣8csC， …………………4分
则8(eq \r(3)csA ﹣csC )=8，eq \r(3)csA ﹣csC =1； …………………6分
（3）S1=2eq \r(3)sinA，S2=2sinC，
则S12 QUOTE +S22=16﹣(12cs2A+4cs2C)， ……………………8分
由（2）知：eq \r(3)csA =csC +1，代入上式得：
S12 QUOTE +S22=﹣24 cs2A +8eq \r(3)csA +12， ………………10分
配方得： S12 QUOTE +S22=﹣24 (csA﹣) 2+14，
因为0当csA=时，S12 QUOTE +S22取到最大值14. ……………………………12分
22．（本小题满分12分）
已知A，B，C为平面内不共线三点，S△ABC表示△ABC的面积
（1）若A(eq \r(3),1)，B(﹣2eq \r(3),2)，C(0,0)，求 S△ABC；
（2）若 A(x1,y1)，B (x2,y2)，C(0,0)，证明：S△ABC =| x1y2 ﹣x2y1|；
（3）若A(2cs, sin)，B (2csβ, sinβ)，C(2csγ, sinγ)，其中，且坐标原点恰好为△ABC的重心，判断S△ABC是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
（1）因为A(eq \r(3),1)，B(﹣2eq \r(3),2)，C(0,0)，，
所以 eq \O(CA,\s\up8())=(eq \r(3),1)， eq \O(CB,\s\up8())=(﹣2eq \r(3),2)，
所以 S△ABC =| eq \O(CA,\s\up8())| eq \O(CB,\s\up8())|∙sinC=4 sinC，
因为csC=﹣，所以sinC =，
所以S△ABC =2eq \r(3) .…………………………… 2分
（2）因为 A(x1,y1)，B (x2,y2)，C(0,0)，所以 eq \O(CA,\s\up8())=(x1,y1)， eq \O(CB,\s\up8())=(x2,y2)，
所以S△ABC =| eq \O(CA,\s\up8())| eq \O(CB,\s\up8())|∙sinC ……………………………4分
因为csC=，
所以1﹣cs2C=1﹣()2，
所以sinC =，
所以S△ABC =| eq \O(CA,\s\up8())| eq \O(CB,\s\up8())|∙sinC=| x1y2 ﹣x2y1|； ……………………………6分
（3）因为O为△ABC的重心，所以S△ABC =3 S△ABO ，
由(2)可知S△ABC =| xAyB ﹣xByA|= |sin(﹣β) | …………………8分
又因为为重心，所以，
平方相加得：2+ 2cs(﹣β)=1，cs(﹣β)= ﹣ ……………………………10分
所以| sin(﹣β) |= ，
所以S△ABC=，
所以S△ABC是定值，值为 .……………………………12分