2019-2020年北京市西城区高二数学上学期期末试题及答案

这是一份2019-2020年北京市西城区高二数学上学期期末试题及答案，共12页。试卷主要包含了 已知数列满足,,则， 已知命题p， 已知,若,则， 已知向量，且，那么， 已知向量,,,若共面,则等于， 曲线等内容，欢迎下载使用。
一､选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.
1. 已知椭圆的一个焦点为,则的值为
A. B. C. D.
【答案】A
解：由于，所以.
2. 已知数列满足,,则
A. B. C. D.
【答案】B
解：依题意.
3. 已知命题p：∃x＜1，x2≤1，则￢p为（ ）
A. ∀x≥1，x2≤1B. ∃x＜1，x2＞1C. ∀x＜1，x2＞1D. ∃x≥1，x2＞1
【答案】C
解：命题p：∃x＜1，x2≤1，则￢p：∀x＜1，x2＞1；
4. 已知,若,则
A. B. C. D.
【答案】D
解：对于A选项，若，如，但是，即，所以A选项错误.
对于B选项，若，如，但是，即，所以B选项错误.
对于C选项，若，如，但是，即，所以C选项错误.
对于D选项，若，则，则，所以.
5. 已知向量，且，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解：根据题意，向量，2，，，，，且，
则设，即，，，2，，
则有，则，，
则，，，故；
6. 已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
解：当“直线a和直线b相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立；
当“平面α和平面β相交”，则 “直线a和直线b可以没有公共点”，即必要性不成立.
7. 已知向量,,,若共面,则等于
A. B. C. 或D. 或
【答案】B
解：由于共面，所以存在，使得，即
，所以，所以.
8. 德国著名数学家高斯,享有“数学王子”之美誉.他在研究圆内整点问题时,定义了一个函数,其中表示不超过的最大整数,比如. 根据以上定义,当时,数列,,
A. 是等差数列,也是等比数列B. 是等差数列,不是等比数列
C. 是等比数列,不是等差数列D. 不是等差数列,也不是等比数列
【答案】D
解：由于，所以，所以，即三个数为.而，，所以数列,,不是等差数列,也不是等比数列
9. 设有四个数的数列,该数列前项成等比数列,其和为m,后项成等差数列,其和为. 则实数m的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】B
解：设的前项为，由于数列的前项成等比数列,其和为m,后项成等差数列,其和为，所以，由（3）（4）得，所以即，先将（2）代入（1），然后将（3）代入（1）得，整理得.
10. 曲线.给出下列结论:
①曲线关于原点对称;
②曲线上任意一点到原点的距离不小于1;
③曲线只经过个整点(即横､纵坐标均为整数的点).
其中,所有正确结论的序号是
A. ①②B. ②C. ②③D. ③
【答案】C
解：①，将代入曲线，得，与原方程不相等，所以曲线不关于原点对称，故①错误.
②，对于曲线，由于，所以，所以对于任意一个，只有唯一确定的和它对应.函数是单调递减函数.当时，有唯一确定的；当时，有唯一确定的.所以曲线过点，这两点都在单位圆上，到原点的距离等于.当时，，所以.当时，，所以.当时，，且
，
所以.
综上所述，曲线上任意一点到原点的距离不小于1，所以②正确.
③，由②的分析可知，曲线过点，这是两个整点.由可得，当且时，若为整数，必定不是某个整数的三次方根，所以曲线只经过两个整点.故③正确.
综上所述，正确的为②③.
二､填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
11. 设是椭圆上的点,到该椭圆左焦点的距离为,则到右焦点的距离为__________.
【答案】
解：依题意，而到该椭圆左焦点的距离为,则到右焦点的距离为.
故答案为：
12. 不等式的解集为________
【答案】
解：因为所以，
即不等式的解集为.
13. 能说明“若a﹥b，则”为假命题的一组a，b的值依次为_________.
【答案】（答案不唯一）
解：分析：举出一个反例即可．
详解：当时，
不成立，
即可填．
14. 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．
【答案】2
解：因为双曲线的焦点到渐近线即的距离为所以，因此
15. 某渔业公司今年初用万元购进一艘渔船用于捕捞,已知第一年捕捞工作需各种费用万元,从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加万元.若该渔船预计使用年,其总花费(含购买费用)为________ 万元;当______时,该渔船年平均花费最低(含购买费用).
【答案】 ①. ②.
解：每年的费用是首项为，公差为的等差数列，所以总费用
.平均费用为，当且仅当时，等号成立，也即时，该渔船年平均花费最低.
16. 若 表示从左到右依次排列的9盏灯,现制定开灯与关灯的规则如下:
(1)对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作;
(2)灯在任何情况下都可以进行一次操作;对任意的,要求灯的左边有且只有灯是开灯状态时才可以对灯进行一次操作.如果所有灯都处于开灯状态,那么要把灯关闭最少需要_____次操作;如果除灯外,其余8盏灯都处于开灯状态,那么要使所有灯都开着最少需要_____次操作.
【答案】 ①. 3 ②. 21
解：（1）如果所有灯都处于开灯状态,那么要把灯关闭最少需要的操作如下，设为开灯，0为关灯：初始状态，操作如下，共次.
（2）①关闭前个灯最少需要的操作如下，设为开灯，0为关灯：初始状态，操作如下：，共次.
②此时前盏灯的状态如下：，操作次，变为，打开.
③将步骤①倒过来做一遍，打开前个灯，共次操作.
综上所述，如果除灯外,其余8盏灯都处于开灯状态,那么要使所有灯都开着最少需要次操作
三､解答题:本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. 已知等比数列的公比为,且,,成等差数列.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)设的前项和为,且,求的值.
【答案】(Ⅰ) . (Ⅱ) 的值是.
解：(Ⅰ)因为为公比为的等比数列,
所以,,,
依题意得 ,
即,
整理得, 解得.
所以数列的通项公式为.
(Ⅱ)依题意 ,
.
所以,整理得,
解得
所以的值是.
18. 已知函数,.
(Ⅰ)若,求的取值范围;
(Ⅱ)若对恒成立,求的取值范围;
(Ⅲ)求关于的不等式的解集.
【答案】(Ⅰ) 或. (Ⅱ) . (Ⅲ)见解析
解：(Ⅰ)由得,
整理得, 解得或.
(Ⅱ)对恒成立,则,
所以,
整理得,
解得.
(Ⅲ)解,得,
①当时,即时,或 ;
②当时,即时,或 ;
③当时,即时, .
综上,当时,不等式的解集为或;当时,不等式的解集为或;当时,不等式的解集为.
19. 已知椭圆的右焦点为,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点为椭圆的上顶点,点在椭圆上且位于第一象限,且,求的面积.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
解：(Ⅰ)依题意 ,,
解得,,
所以椭圆的方程为.
(Ⅱ)设点,因为点在椭圆上,所以…①,
因为,所以,得…②,
由①②消去得,,
解得(舍),,
代入方程②得,所以,
所以,又,
所以的面积
20. 如图,四棱锥中,平面,, .,,,是的中点.
(Ⅰ)证明:⊥平面;
(Ⅱ)若二面角的余弦值是,求的值;
(Ⅲ)若,在线段上是否存在一点,使得⊥. 若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由.
【答案】
(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) . (Ⅲ)不存在，见解析
解：(Ⅰ)证明:因为 平面,,
所以 平面.
又因为 平面,所以 . 在中,,是的中点,
所以 .
又因为 ,所以 平面.
(Ⅱ)解:因为 平面,
所以,.
又因 ,
所以 如图建立空间直角坐标系.
则,,,,
,,
,.
设平面的法向量为.
则
即 令,则,,
于是.
因平面,所以. 又,
所以平面.
又因为,
所以 取平面的法向量为.
所以 ,
即,解得.
又因为,所以.
(Ⅲ)结论:不存在.理由如下:
证明:设.
当时,.
,.
由知,,,.这与矛盾.
所以,在线段上不存在点,使得.
21. 已知抛物线，拋物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3．
（1）求抛物线C的方程及其准线方程；
（2）过的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线于点E，直线BF交直线于点D，是否存在这样的直线l，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l的方程．
【答案】
（1）抛物线C的方程为，准线方程为； （2）存在直线或．
解：（1）因为横坐标为的点到焦点的距离为,所以,解得, 所以，
即准线方程为.
（2）显然直线的斜率存在,设直线的方程为,.
联立得，消去得.
由,解得. 所以且.
由韦达定理得,.
直线的方程为,
又,所以,所以,
因为,所以直线与直线的斜率相等
又,所以.
整理得,即,
化简得,,即.
所以,整理得,
解得. 经检验,符合题意.
所以存在这样的直线,直线的方程为或．
22. 若无穷数列满足:对任意两个正整数,与至少有一个成立,则称这个数列为“和谐数列”.
(Ⅰ)求证:若数列为等差数列,则为“和谐数列”;
(Ⅱ)求证:若数列为“和谐数列”,则数列从第项起为等差数列;
(Ⅲ)若是各项均为整数的“和谐数列”,满足,且存在使得，,求p的所有可能值.
【答案】
(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) 见解析 (Ⅲ) .
解：(Ⅰ)证明:因为数列为等差数列,
所以对任意两个正整数,有 ,
所以 .
所以 数列为“和谐数列”.
(Ⅱ)证明:因为数列为“和谐数列”,
所以 当,时,只能成立, 不成立.
所以 ,即.
当,时,也只能成立,不成立.
所以 ,,,
即,
所以.
令,则数列满足.
所以,数列从第3项起为等差数列.
(Ⅲ)解:①若,则,与矛盾,不合题意.
②若,则,,但,不合题意
③若,则,,由,得,
此时数列为:,符合题意.
④若,设,
则.
所以
即 .
因为,所以.
所以不合题意.
所以.
因为p为整数,所以为整数,所以.
综上所述,p的所有可能值为.