2020-2021年安徽合肥高一数学下学期期中试卷及答案

这是一份2020-2021年安徽合肥高一数学下学期期中试卷及答案，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．给出下列四个命题：
①底面是正多边形的棱柱是正棱柱；
②四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体；
③所有棱长相等的棱柱一定是直棱柱；
④直角三角形绕其一条边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥．
其中正确的命题个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知某平面图形的直观图如图所示，，若原平面图形的面积为12，则（ ）
A．6 B．4 C． D．2
6．已知在平面四边形中，，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中错误的是（ ）
A．点直线 B．与是共面直线
C． D．与是异面直线
8．已知水的密度为，冰的密度为，水平放置的圆柱形桶内有一个半径为的冰球，待冰球完全融化后测得桶内水面高为，则桶的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
9．伯乐树是中国特有树种、国家一级保护树种，被誉为“植物中的龙风”，常散生于湿润的沟谷坡地或小溪旁．一植物学家为了监测一棵伯乐树的生长情况，需测量树的高度．他在与树干底部在同一水平面的一块平地上利用测角仪（高度忽略不计）进行测量，在点处测得树干底部在西偏北的方向上，沿直线向西前进后，在点处测得树干底部在西偏北的方向上，此时树干顶部的仰角为，则该伯乐树的高度为（ ）
A． B． C． D．
10．在中，点为边上靠近点的三等分点，点为边的中点，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知在锐角中，内角的对边分别为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知三棱锥的侧棱两两垂直，，若该三棱锥的外接球体积为，则该三棱锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．如图所示的后母戊鼎是一件非常有名的青铜重器，是商王武丁之子祭祀母亲戊所铸，现藏于国家博物馆鼎身与四足为整体铸造，鼎耳则是在鼎身铸成之后再浇铸而成，鼎身大致为长方体形状的容器，长为，宽为，壁厚．若一堆祭祀物品在该容器内燃烧后形成的灰平铺且铺满容器底部，灰的高度为，则灰的体积为______．
14．已知是关于的方程的一个根，则_________．
15．已知半径为1的球在一个圆锥内部，该组合体的轴截面是一个正三角形与其内切圆，则圆锥的表面积为_________．
16．已知在中内角的对边分别为，角，边，且，则_________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知向量．
（Ⅰ）若，且，求的值；
（Ⅱ）若与的夹角大小为，求的值．
18．（12分）
当实数满足什么条件时，在复平面内表示复数的点分别满足下列条件？
（Ⅰ）位于第三象限；
（Ⅱ）位于第二象限或第四象限；
（Ⅲ）位于直线上．
19．（12分）
如图所示为一段环形跑道，中间的两段为直跑道，且，两端均为半径为的半圆形跑道，以四点为顶点的四边形是矩形．甲、乙两人同时从的中点处开始以的速率逆向跑步，甲、乙相对于初始位置点的位移分别用向量表示．
（Ⅰ）当甲到达的中点处时，求；
（Ⅱ）求后，的夹角的余弦值．
注：的值取3．
20．（12分）
在四边形中，．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）求的长．
21．（12分）
如图，正三棱柱的高为，底面边长为2，点分别为上的点．
（Ⅰ）在棱上是否存在点使得平面平面？请说明理由．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求几何体的体积．
22．（12分）
已知在中，内角所对的边分别为，其中．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若，求的面积．
答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1．答案 B
2．答案 A
3．答案 B
4．答案 C
5．答案 D
6．答案 B
7．答案 C
8．答案 A
9．答案 A
10．答案 D
11．答案 D
12．答案 C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．答案 3283
14．答案 2
15．答案
16．答案
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．命题意图 本题考查向量的模的定义及向量夹角的定义．
（Ⅰ）由题可知． （2分）
，
，解得． （4分）
（Ⅱ）设与的夹角为．
由题可知． （6分）
． （8分）
解得或． （10分）
18．命题意图 本题考查复数的几何意义．
（Ⅰ）由题可知 （2分）
即
解得的取值范围为． （4分）
（Ⅱ）由题可知或 （6分）
即或
解得的取值范围为． （8分）
（Ⅲ）由题可知， （10分）
即，
解得． （12分）
19．命题意图 本题考查向量的数量积及向量的夹角的余弦值．
（Ⅰ）如图，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系．
当甲到达的中点处时，乙到达的中点处，
设此时甲的位置为点，乙的位置为点，
则， （2分）
， （4分）
． （6分）
（Ⅱ）后甲、乙的路程均为， （7分）
的长度均为，
后甲、乙分别到达点处． （9分）
． （10分）
设的夹角为，
则．
后的夹角的余弦值为． （12分）
20．命题意图 本题考查正、余弦定理的应用．
（Ⅰ）在中，由余弦定理可得， （2分）
因为，
所以． （5分）
（Ⅱ）因为，
所以．
在中，由正弦定理可得，即， （6分）
解得，即． （7分）
因为，所以． （8分）
在中，由正弦定理可得，即， （10分）
解得． （12分）
21．命题意图 本题考查面面平行的性质定理及几何体体积的计算．
（Ⅰ）如图，连接交于点，连接．
由棱柱的性质，知四边形为平行四边形，
∴点为的中点． （1分）
∵平面平面，且平面平面，平面平面,，同理， （3分）
，
又， （5分）
即为的中点，为的中点． （6分）
注：以“为的中点，为的中点”为条件，证明“平面平面”也算对，酌情给分．
（Ⅱ）， （8分）
， （10分）
． （12分）
22．命题意图 本题考查正弦定理、三角形的面积公式、三角恒等变换．
（Ⅰ）因为，
所以，
故，
所以或． （3分）
因为，所以，即，故． （4分）
由余弦定理可得，
解得（负值舍去）． （6分）
（Ⅱ）由，得． （7分）
因为，所以①． （8分）
根据正弦定理，，及，得，
所以②． （10分）
①代入②，得，所以． （1l分）
所以的面积为． （12分）