2020-2021年浙江杭州高一数学下学期期中试卷及答案

这是一份2020-2021年浙江杭州高一数学下学期期中试卷及答案，共9页。试卷主要包含了选择题.，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题（共8小题）.
1．复数4+2i的虚部为（ ）
A．2B．﹣2C．2iD．﹣2i
A．
2．已知用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为，那么原正方形的面积为（ ）
A．36B．C．72D．
C．
3．△ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝（ ）
A．B．1C．D．2
D．
4．黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1：0.618，即长段为全段的被公认为最具有审美意义的比例数字．宽与长的比为的矩形叫作黄金矩形．它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中．在黄金矩形ABCD中，，AB＞BC，那么的值为（ ）
A．B．C．4D．
C．
5．已知圆锥SO的底面半径为r，当圆锥的体积为πr3时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
A．
6．在△ABC中，点D在直线AC上，且＝，点E在直线BD上，且＝2，若＝λ1+λ2，则λ1+λ2＝（ ）
A．0B．C．D．
B．
7．三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝，AP＝3，BC＝6，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．57πB．63πC．45πD．84π
C．
8．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′＝（ ）
A．2：1B．3：1C．3：2D．4：3
A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α∥β
AC．
10．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A．i+i2+i3+i4＝0
B．3+i＞1+i
C．若z＝（1+2i）2，则复平面内对应的点位于第四象限
D．已知复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线
AD．
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（b+c）：（c+a）：（a+b）＝4：5：6，下列结论正确的是（ ）
A．sinA：sinB：sinC＝7：5：3
B．
C．若c＝6，则△ABC的面积是
D．若b+c＝8，则△ABC的外接圆半径是
ACD．
12．已知图1中的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，体积为2，去掉其侧棱，再将上底面绕上下底面的中心所在直线逆时针旋转180°后，添上侧棱，得到图2所示的几何体，则下列说法正确的是（ ）
A．A2B2∥平面ABC
B．
C．四边形ABA2B2为正方形
D．正三棱柱ABC﹣A1B1C1与几何体ABCA2B2C2的外接球的体积相等
ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量、为单位向量，，若，则与所成角的余弦值为 ．
14．已知复数z＝1+i（i为虚数单位）是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q为实数）的一个根，则p+q＝ 0 ．
15．《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有如图所示的“堑堵”ABC﹣A1B1C1，其中AC⊥BC，AA1＝AC＝1，当“阳马”四棱锥B﹣A1ACC1体积为时，则“堑堵”即三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的体积为 ．
16．在棱长为1的正方体中ABCD﹣A1B1C1D1，M、N分别是AC1、A1B1的中点．点P在正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于 2+ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知复数z1＝2+i，z2＝2﹣3i．
（1）计算z1•z2；
（2）求．
解：（1）∵z1＝2+i，z2＝2﹣3i，
∴；
（2）∵z1＝2+i，z2＝2﹣3i，
∴．
18．在复平面内，O是原点，对应的复数分别为2+icsx，，i是虚数单位设函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数y＝f（x）﹣m在区间上有2个零点，求实数m的取值范围．
解：（1）由题意可得，＝（2，csx），，
则＝（，2），
∴＝2sinx+2csx＝；
（2）∵f（x）在上递增，在上递减，且函数y＝f（x）﹣m在区间上有2个零点，
∴，
∵，
∴．
即实数m的取值范围是[2，4）．
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已
B．
（1）求角C的大小；
（2）若b＝1，c＝，求cs2（B﹣C）的值．
解：（1）因为B，
整理可得sin2A+sin2B﹣sin2C＝sinAsinB，
利用正弦定理可得a2+b2﹣c2＝ab，
由余弦定理可得csC＝＝＝，
因为C∈（0，π），
所以C＝．
（2）因为C＝，b＝1，c＝，
所以由正弦定理，可得sinB＝＝＝，
因为b＜c，可得B为锐角，可得csB＝＝，
可得cs（B﹣C）＝csBcsC+sinBsinC＝×+×＝，
可得cs2（B﹣C）＝2cs2（B﹣C）﹣1＝2×（）2﹣1＝．
20．已知四边形ABCD，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°．现将△ABD沿BD边折起使得平面ABD⊥平面BCD，此时AD⊥CD．点P为线段AD的中点．
（1）求证：BP⊥平面ACD；
（2）若M为CD的中点，求MP与平面BPC所成角的正弦值．
（1）证明：因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三角形，
因为P为AD的中点，所以BP⊥AD，
取BD的中点E，连结AE，则AE⊥BD，
因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AE⊥平面BCD，
又CD⊂平面BCD，所以AE⊥CD，
又因为CD⊥AD，AD∩AE＝A，AE，AD⊂平面ABD，所以CD⊥平面ABD，
因为BP⊂平面ABD，所以CD⊥BP，
又因为CD∩AD＝D，CD，AD⊂平面ACD，
所以BP⊥平面ACD；
（2）解：由（1）可知CD⊥BD，取BC的中点F，则EF⊥DE，即EA，EF，ED两两垂直，
以E为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，
所以，
设平面BPC的法向量为，
则，即，
令x＝1，则，故，
又，
所以，
故MP与平面BPC所成角的正弦值为．
21．杭州市为迎接2022的亚运会，规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料、工具和配件．所以项目设计需要预留出BD，BE为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），ED，DC，CB，BA，AE为赛道，∠BCD＝∠BAE＝，∠CBD＝，CD＝2km，DE＝8km．
（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；
①∠CDE＝；②cs∠DBE＝．
（2）在（1）的条件下，应该如何设计，才能使折线赛道BAE最长（即BA+AE最大），最长值为多少？
解：选择①，在△BCD中，由正弦定理：
，
又，所以，
在Rt△BDE中，；
选择②，在△BCD中，由正弦定理：
，
在△BDE中，由余弦定理：
即：5BE2﹣36BE﹣140＝0，解得BE＝10（负值舍去）
解：在△ABE中，由余弦定理：
，，
当时取等号．故时，折线赛道BAE最长，最长值为．
22．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，
∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．
（Ⅰ）证明：EF⊥BC；
（Ⅱ）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．
（Ⅲ）求二面角A﹣A1C﹣B的正弦值．
（Ⅰ）证明：连接A1E，∵A1A＝A1C，E是AC的中点，
∴A1E⊥AC，又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，
∴A1E⊥平面ABC，
如图，以E为原点，在平面ABC中，过E作AC的垂线为x轴，
EC，EA1所在直线分别为y，z轴，建立空间直角坐标系，设AC＝4，则A1（0，0，2），
B（），B1（），F（），A（0，﹣2，0），C（0，2，0），
＝（），＝（），由＝0，得EF⊥BC．
（Ⅱ）解：设直线EF与平面A1BC所成角为θ，
由（Ⅰ）得＝（），＝（0，2，﹣2），
设平面A1BC的法向量＝（x，y，z），则，
取x＝1，得＝（1，），∴sinθ＝，
∴直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为．
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）可知：平面AA1C的一个法向量是＝（1，0，0），
由图可知该二面角为锐二面角，设该二面角的平面角为φ，
∵cs＜＞＝，∴csφ＝．