第09讲 动态平衡 平衡中的临界与极值问题（讲义）（解析版）—高中物理

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复习目标
网络构建
考点一 动态平衡
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点1 动态平衡及基本思路
知识点2 处理动态平衡问题的四种方法
【提升·必考题型归纳】
考向1 解析法
考向2 图解法
考向3 相似三角形法
考向4 拉密定理法（正弦定理法或辅助圆法）
考点二 平衡中的临界与极值问题
【夯基·必备基础知识梳理】
知识点 平衡中的临界、极值问题的处理方法
【提升·必考题型归纳】
考向1 图解法
考向2 数学解析法
真题感悟
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掌握处理动态平衡问题的方法。
会利用数学的方法处理临界极值问题。
考点一 动态平衡
知识点1 动态平衡及基本思路
1.所谓动态平衡问题，是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，常利用图解法解决此类问题。
2.基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”。
知识点2 处理动态平衡问题的四种方法
1.解析法：对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
2.图解法：
(1)特点：物体受三个共点力，有一个力是恒力、另有一个力方向不变的问题。
(2)方法：
eq \x(\a\al(受力,分析))eq \(――→,\s\up7(化“动”为“静”))eq \x(\a\al(画不同状态,下的平衡图))eq \(――→,\s\up7(“静”中求“动”))eq \x(\a\al(确定力,的变化))
3.三角形相似法：
(1)特点：在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系。(2)方法：①对物体在某个位置作受力分析；②以两个变力为邻边，利用平行四边形定则，作平行四边形；③找出相似的力的矢量三角形和空间几何三角形；④利用相似三角形对应边的比例关系确定力的变化。
4.拉密定理法（正弦定理法或辅助圆法）：
(1)特点：物体受三个共点力，这三个力其中一个力为恒力，另外两个力都变化，且变化两个力的夹角不变。
(2)拉密定理：
（3）辅助圆法：画出三个力的矢量三角形的外接圆，不便力为一固定弦，因为固定弦所对的圆周角大小始终不变，改变一力的方向，另一大小方向变化情况可得。
考向1 解析法
1．如图所示，P为光滑定滑轮，O为光滑轻质动滑轮，轻绳跨过滑轮，左端与物体A相连，右端固定在杆Q上，重物B悬挂在动滑轮上。将A置于静止在粗糙水平面的斜面体上，轻绳段与斜面平行，系统处于静止状态。若将杆Q向右移动一小段距离，斜面体与物体A仍保持静止状态，待动滑轮静止后，下列说法正确的是（ ）

A．轻绳中拉力减小
B．物体A与斜面体之间的摩擦力一定增大
C．斜面体与地面之间的弹力增大
D．斜面体与地面之间的摩擦力增大
【答案】D
【详解】A．若将杆Q移动一段距离，斜面体与物体A仍保持静止状态，待动滑轮静止后， 变大，两绳拉力大小相等，合力与B的重力等大反向，设绳OP与竖直方向夹角为，则有角度变大，则绳中拉力变大，A错误；
B．根据上述，绳中拉力变大，如果开始A受到的摩擦力沿斜面向上，则摩擦力可能减小，也有可能反向，如果开始A受到摩擦力沿斜面向下，则摩擦力增大，B错误；
C．对A和斜面整体分析，斜面倾角为，水平方向有竖直方向有绳的拉力变大，斜面体与地面之间的摩擦力变大，斜面体与地面之间的弹力变小，C错误，D正确。故选D。
2．如图所示，A是圆柱体的横截面，其弧形表面光滑，与地面接触的下表面粗糙，在光滑竖直墙壁与柱体之间放置一质量为m的球体，系统处于平衡状态。若使柱体向左移动少许，球体m仍未与地面接触，系统仍处于平衡状态，则（ ）
A．球对墙的压力变大B．柱体与球之间的作用力变小
C．柱体对地面的压力大小不变D．柱体对地面的摩擦力大小变小
【答案】AC
【详解】AB．对小球进行受力分析可得，如图所示
根据平衡条件可得；柱体向左移动，增大，、都增大，又因为球对墙的压力大小等于墙对球的支持力，故A正确，B错误；
C．把柱体和球看做一个整体进行受力分析，根据平衡条件可得；，增大，增大，柱体所受地面的摩擦力增大，而柱体对地面的压力大小等于地面对柱体的支持力，由于整体的重力不变，柱体对地面的压力也不变，故C正确，D错误。故选AC。
考向2 图解法
3．在没有起重机的情况下，工人要将油桶搬运上汽车，常常用如图所示的方法。已知油桶重力大小为G，斜面的倾角为。当工人对油桶施加方向不同的推力F时，油桶始终处于匀速运动状态。假设斜面与油桶的接触面光滑。在推力F由水平方向逐渐变为竖直方向的过程中，以下关于油桶受力的说法正确的是（ ）
A．若力F沿水平方向，F的大小为
B．若力F沿水平方向，斜面对油桶的支持力大小为
C．F由水平方向逐渐变为竖直方向的过程中，斜面对油桶的支持力逐渐变大
D．F由水平方向逐渐变为竖直方向的过程中，推力F的最小值为
【答案】D
【详解】AB．当力F沿水平方向时，由于油箱为匀速运动状态，因此受力平衡，则水平和竖直方向上有
解得故AB错误；
CD．当力F由水平方向逐渐变为竖直方向的过程中，油桶的受力分析图如下所示
故支持力在逐渐变小，且推力最小为力F和支持力N垂直，也即沿斜面方向，此时最小值为
故C错误，D正确。故选D。
4．质量均匀分布的直导体棒放置于四分之一的光滑圆弧轨道上，其截面如图所示。导体棒中通有电流强度大小为I的电流，空间存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场的方向竖直向上。导体棒平衡时，导体棒与圆心的连线跟竖直方向的夹角为），轨道对导体棒的弹力为。下列说法正确的是（ ）

A．若仅将电流强度I缓慢增大，则θ逐渐减小
B．若仅将电流强度I缓慢增大，则逐渐减小
C．若仅将磁场方向沿逆时针缓慢转过，则逐渐增大再减小
D．若仅将磁场方向沿逆时针缓慢转过，则θ逐渐增大再减小
【答案】D
【详解】AB．对导体棒受力分析，受重力、支持力和电场力，受力如图

若仅将电流强度Ⅰ缓慢增大，安培力的逐渐增大，根据受力平衡和平行四边形法则可知θ逐渐增大，FN逐渐增大，故AB错误；
CD．导体棒受到重力、安培力和弹力，安培力和弹力的合力始终与重力等大反向，的大小不变，作出矢量图如下图所示

的方向始终与磁场方向垂直，根据矢量图可知若仅将磁场方向沿逆时针缓慢转过90°，先增大再减小，逐渐减小，故C错误，D正确。故选D。
考向3 相似三角形法
5．如图，在竖直平面内固定一光滑的半圆环，圆心为O、半径为R，OA为半圆环的竖直半径，AB为与OA在同一直线上的光滑固定杆，半圆环上套有一小球a，杆AB上套有另一小球b。两小球之间连接一轻弹簧，初始时小球a在距圆环A点右侧不远处的P点，小球b固定于杆AB上的Q点，两小球间距离为R。现用外力使小球b沿杆AB缓慢向上移动一段距离，但未到达A点。在移动过程中弹簧始终在弹性限度内且在一条直线上，两小球均可视为质点，则下列说法正确的是（ ）
A．初始时弹簧弹力大于半圆环对小球a的弹力
B．初始时弹簧弹力大于小球a的重力
C．小球b沿杆缓慢向上移动过程中，环对小球a的支持力先增大后减小
D．小球b沿杆缓慢向上移动过程中，弹簧弹力增大
【答案】D
【详解】AB．对小球a进行受力分析，小球a受重力G，半圆环对小球a的支持力和弹簧弹力F，三力平移后构成一首尾相连的三角形，如图所示，力的三角形与三角形OPQ相似，根据三角形相似有
初始时，所以选项AB错误；
C．小球b缓慢上移过程，小球a处于动态平衡状态，随着小球b上移，OQ减小，OP不变，重力G不变，半圆环对小球的支持力增大，选项C错误；
D．设弹簧的原长为L，弹簧的形变量为x，根据胡克定律有则，OQ减小，重力G不变，L不变，则弹簧形变量x增大，弹簧弹力F增大，选项D正确。故选D。
6．如图所示，木板B放置在粗糙水平地面上，O为光滑铰链。轻杆一端与铰链O固定连接，另一端固定连接一质量为m的小球A。现将轻绳一端拴在小球A上，另一端通过光滑的定滑轮由力F牵引，定滑轮位于O的正上方，整个系统处于静止状态。现改变力F的大小使小球A和轻杆从图示位置缓慢运动到正下方，木板始终保持静止，则在整个过程中（ ）
A．外力F大小不变B．轻杆对小球的作用力大小变小
C．地面对木板的支持力逐渐变小D．地面对木板的摩擦力逐渐减小
【答案】D
【详解】A．对小球A进行受力分析，三力构成矢量三角形，如图所示
根据几何关系可知两三角形相似，因此缓慢运动过程越来越小，则F逐渐减小，故A错误；
B．由于OA长度不变，杆对小球的作用力大小不变，故B错误；
CD．对木板，由于杆对木板的作用力大小不变，方向向右下，但杆的作用力与竖直方向的夹角越来越小，所以地面对木板的支持力逐渐增大，地面对木板的摩擦力逐渐减小，故C错误，D正确。
故选D。
考向4 拉密定理法（正弦定理法或辅助圆法）
7．如图所示，V型光滑挡板AOB之间放置有一质量均匀的球体，初始时系统处于静止状态，现将整个装置以O点为轴顺时针缓慢转动（∠AOB保持不变），在AO由水平转动90°到竖直的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．挡板AO的弹力逐渐增大B．挡板AO的弹力先增大后减小
C．挡板BO的弹力逐渐减小D．挡板BO的弹力先增大后减小
【答案】B
【详解】AB．V型光滑挡板转动过程中，对小球受力分析，各个力的夹角如图所示
由拉密定理可得因为整个装置以O点为轴顺时针缓慢转动，
∠AOB保持不变，故不变，不变，保持不变，在AO由水平转动90°到竖直的过程中，从锐角增大到钝角，先增大后减小，故挡板AO的弹力先增大后减小，A错误，B正确；
CD．从180°减小到90°，一直增大，故挡板BO的弹力一直增大，CD错误。故选B。
8．如图所示为某独轮车搬运光滑圆柱体的截面图，两挡板OA、OB可绕O点转动，且保持不变，初始时OB与水平方向夹角为60°。保持O点的位置不变，使两挡板沿逆时针方向缓慢转动至OA水平。在此过程中关于圆柱体的受力情况，下列说法正确的是（ ）
A．挡板OA对圆柱的作用力一直增大
B．挡板OA对圆柱的作用力先增大后减小
C．挡板OB对圆柱的作用力一直增大
D．小车对圆柱的作用力先减小后增大
【答案】B
【详解】由题意可知，初始状态两挡板对圆柱弹力均等于mg，重力个两弹力组成闭合三角形，如图
两挡板沿逆时针方向缓慢转动至OA水平过程中，两挡板弹力夹角不变，则挡板OA对圆柱的作用力先增大后减小，挡板OB对圆柱的作用力逐渐减小。小车对圆柱的作用力等于mg保持不变。
故选B。
考点二 平衡中的临界与极值问题
知识点 平衡中的临界、极值问题的处理方法
1．临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等语言叙述。
2．极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值或最小值。
3．解决极值问题和临界问题的方法
(1)图解法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。
(2)数学解析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、三角函数极值等)。
考向1 图解法
1．一不可伸长的细线套在两光滑且大小不计的定滑轮上，质量为m的圆环穿过细线，如图所示。现施加一作用力F使圆环保持静止状态，且细线始终有张力作用，若AC段竖直，BC段水平，AC长度等于BC长度，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．F的大小不可能为mgB．F的最小值为
C．大小为2mg的力F对应有两个方向D．F的方向可能竖直向下
【答案】B
【详解】同一根细线上拉力大小相等，AC细线、BC细线的合力为T，方向与竖直方向成45°角，如图所示
A．力F在水平方向时，大小为mg，A错误；
B．当F与T垂直时取最小值，可知F的最小值为，B正确；
C．大小为2mg的力F只对应一个方向，C错误；
D．F的方向与竖直向下时，不能构成闭合矢量三角形，无解，D错误；故选B。
2．如图所示，将质量为m的球放在和两个与纸面垂直的光滑板之间，两板与水平面夹角并保持静止。板固定，板与板活动连接，板可绕通过点且垂直纸面的轴转动。在角缓慢地由增大到的过程中（ ）
A．球对板压力的最大值为B．球对板压力的最大值为
C．球对板压力的最大值为D．球对板压力的最大值为
【答案】B
【详解】小球受到重力，板的支持力，板的支持力三个力作用下保持平衡状态，在角缓慢地由增大到的过程中，小球的重力保持不变，板对球的支持力方向不变，只有板对球的支持力方向在变化，如图所示分别是小球在与水平面夹角在和的受力情景图
根据三角形定则，可知随着角缓慢地增大，板的对球支持力也逐渐增大，当时，板对球的支持力最大，从受力图可知板对球的支持力等于小球的重力，根据牛顿第三定律可得球对板压力的最大值为，B正确，ACD错误；故选B。
考向2 数学解析法
3．一个质量为1kg的物体放在粗糙的水平地面上，现用最小的拉力拉它，使其做匀速运动，已知这个最小拉力为6N，g取10m/s2，滑动摩擦力等于最大静摩擦力。则物体与地面间的动摩擦因数μ及最小拉力与水平方向的夹角θ的正切值tanθ分别为（ ）
A．μ=，tanθ=0B．μ=，tanθ=
C．μ=，tanθ=D．μ=，tanθ=
【答案】B
【详解】物体在水平地面上做匀速运动，因拉力与水平方向的夹角θ不同，物体与水平地面间的弹力不同，因而滑动摩擦力也不同，但拉力在水平方向的分力与滑动摩擦力大小相等。以物体为研究对象，受力分析如图所示
因为物体处于平衡状态，在水平方向上有Fcsθ=μFN在竖直方向上有Fsinθ+FN=mg
解得F=其中tanφ=当θ+φ=90°即θ=arctanμ时sin(θ+φ)=1
F有最小值Fmin=代入数值得μ=此时tanθ=故选项B正确。
4．如图所示，天花板下方通过支架固定一光滑轻滑轮，一足够长的细绳跨过滑轮，一端悬挂小球b，另一端与套在水平细杆上的小球a连接，小球a与b的质量分别为m和2m。在水平拉力F作用下小球a从图示虚线（最初是竖直的）位置开始缓慢向右移动至（细绳中张力大小视为不变，b球始终未触及细杆）。小球a与细杆间的动摩擦因数为。则此过程中拉力F的可能值为（ ）
A．mgB．C．D．
【答案】ABC
【详解】对小球b有对小球a有进行受力分析如图所示
由于小球a从图示虚线（最初是竖直的）位置开始缓慢向右移动至过程中
可知则在竖直方向上有则在水平方向有
解得假设
，解得则可求得小球a从图示虚线位置开始缓慢向右移动过程中，减小，可知F逐渐增大，解得故选ABC。
1．（2022年河北高考真题）如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的点，将木板以底边为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中（ ）
A．圆柱体对木板的压力逐渐增大
B．圆柱体对木板的压力先增大后减小
C．两根细绳上的拉力均先增大后减小
D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变
【答案】B
【详解】设两绳子对圆柱体的拉力的合力为，木板对圆柱体的支持力为，绳子与木板夹角为，从右向左看如图所示
在矢量三角形中，根据正弦定理在木板以直线为轴向后方缓慢转动直至水平过程中，不变，从逐渐减小到0，又且可知则可知从锐角逐渐增大到钝角，根据由于不断减小，可知不断减小，先增大后减小，可知先增大后减小，结合牛顿第三定律可知，圆柱体对木板的压力先增大后减小，设两绳子之间的夹角为，绳子拉力为，则可得，不变，逐渐减小，可知绳子拉力不断减小，故B正确，ACD错误。故选B。
2．（2022年浙江高考真题）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为，则下列说法正确的是（ ）
A．轻绳的合拉力大小为
B．轻绳的合拉力大小为
C．减小夹角，轻绳的合拉力一定减小
D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小
【答案】B
【详解】AB．对石墩受力分析，由平衡条件可知；；
联立解得故A错误，B正确；
C．拉力的大小为其中，可知当时，拉力有最小值，即减小夹角，轻绳的合拉力不一定减小，故C错误；
D．摩擦力大小为可知增大夹角，摩擦力一直减小，当趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力不是最小，故D错误；
故选B。考点要求
考题统计
考情分析
（1）共点力的动态平衡
（2）平衡中的临界极值问题
2022年河北卷第7题
2022年湖南卷第3题
2022年1月浙江卷第5题
高考对共点力的动态平衡考查相对较为频繁，解决此类问题的主要方法有解析法、图解法、三角形相似法、拉密定理法等，模型的特点相对明显。对于平衡中的临界极值问题考查的频度不是太高，如果考查，解决的方法主要是图解法和数学解析法。两个考点所考查题目的主要出现在选择题部分，难度不是太大。