黑龙江省哈尔滨市第九中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题（Word版附答案）

这是一份黑龙江省哈尔滨市第九中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题（Word版附答案），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知为实数，为虚数单位，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2.已知两条直线及平面，则下列推理正确的是（ ）
A.， B.
C. D.
3．已知直线的倾斜角为，则
A．B．C．D．
4.下列命题错误的是
A．已知非零向量，，，则“”是“”的必要不充分条件
B．已知，是实数，则“”的一个必要不充分条件是“”
C．命题“，”的否定为“，”
D．若命题“，，”是真命题，则实数的取值范围是
5．若直线与直线平行，则它们之间的距离为
A．B．C．D．
6．已知函数满足，，且（1），则（1）（2）（3）的值为
A．96B．C．102D．
7．已知点是圆上的动点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值是
A．B．C．D．
8．已知为椭圆：上一点，，为左右焦点，设，，若，则离心率
A．B．C．D．
二．多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知，分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是
A．△的周长为10B．椭圆的焦距为6
C．△面积的最大值为D．椭圆的离心率为
10．已知空间四点，0，，，3，，，0，，，6，，则下列说法正确的是
A．B．
C．点到直线的距离为D．，，，四点共面
11．下列结论正确的是
A．若圆，圆，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是
B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C．曲线与曲线恰有三条公切线，则
D．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引条切线，其中为切点，则的最小值为4
12．如图三棱锥中，点为边中点，点为线段上的动点，则下列说法正确的是
A．存在实数使得
B．当、、两两垂直时，
C．当、、两两所成角为且为中点时
D．当、、两两垂直时，为中点，是锥体侧面上一点，若，则动点运动形成的路径长为
= 2 \* ROMAN II卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.函数在上的单调递增区间为
14．对任意的正整数，直线恒过定点，则这个定点的坐标为 ，若点在直线上，则数列的前10项和为 ．
15．三个“臭皮匠”在阅读一本材料时发现原来空间直线与平面也有方程．即过点，，且一个法向量为，，的平面的方程为，过点，，且方向向量为，，的直线的方程为．三个“臭皮匠”利用这一结论编了一道题：“已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成的角的正弦值是多少？”想着这次可以难住“诸葛亮”了．谁知“诸葛亮”很快就算出了答案．请问答案是 ．
16．如图，直四棱柱中，底面为平行四边形，，，，，点是半圆弧上的动点（不包括端点），点是半圆弧上的动点（不包括端点），若三棱锥的外接球表面积为，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求；
（2）已知，为边上的一点，若，，求的长．
18．给定椭圆，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”．已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为．
（1）求椭圆和其“准圆”的方程；
（2）若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围．
19.已知圆：，两点，.
= 1 \* GB2 ⑴若，直线过点且被圆所截的弦长为6，求直线的方程；
= 2 \* GB2 ⑵若圆存在点，使得，求圆半径的取值范围.
20．设是数列的前项和，已知，
（1）证明：是等比数列；
（2）求满足的所有正整数．
21．如图①所示，长方形中，，，点是边靠近点的三等分点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．
（1）求四棱锥的体积的最大值；
（2）设二面角的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
22．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数，若恒成立，求的最大值；
（3）已知，证明：．
哈九中2024届高三学年上学期12月月考数学试卷
参考答案
= 1 \* ROMAN I卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B 2.D 3．A 4.B 5.B 6．C 7．D 8．B
二．多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．AB 10．BD 11．ABC 12．BC
= 2 \* ROMAN II卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 14．； 15． 16．．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解答】（1）因为，
所以，
即，
所以，因为，
所以，所以，
因为，所以．
（2）因为，，，
根据余弦定理得，
所以，
因为，
所以，
在中，由正弦定理知，，
所以，
所以，，
所以．
18．【解答】（1）因为椭圆的一个焦点为，
所以，
因为椭圆短轴的一个端点到点的距离为，
所以，
则，
故椭圆的方程为，其“准圆”方程为；
（2）不妨设，
因为点为椭圆上的一个动点，
所以，
不妨设，，
此时，，
所以，
因为，
所以，
则的取值范围是，．
19.【解答】 = 1 \* GB2 ⑴过点B且与圆相交的直线斜率必存在，设直线l斜率为k，则直线l方程为，即，圆心到的距离，因为直线被圆所截的弦长为6，且圆的半径，故，所以，解得，故直线的方程为或
= 2 \* GB2 ⑵设圆上一点，使得，则有，整理得，即，故点在以为圆心，且半径为2的圆上.又因为.当两圆外切时，，这时，当两圆内切时，，，当两圆相交时，，这时.综上所述，的取值范围是
20．【解答】（1）证明：由题意，
可知，
两边同时减去2，
可得，
，，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列．
（2）解：由（1），可得，
则，
，
，
，
，
当时，单调递减，且，，，
满足的所有正整数为1，2．
21．【解答】（1）取的中点，连接，
，，
当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，
此时平面，且，
底面为梯形，面积为，
则四棱锥的体积最大值为；
（2）连接，由，得，
为的平面角，即，过点作平面，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，3，，，3，
过作于点，由题意得平面，
设，，，
则，
即，
，
设平面的法向量为，
由，
取，得；
设平面的法向量为，
，
由，
取，得．
设两平面夹角为，
则
．
令，则，，得．
，
当且仅当，即时，有最小值．
平面和平面夹角余弦值的最小值为．
22．【解答】（1）因为，所以，
当，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
所以单调递减区间为，单调递增为；
（2），则，
所以，所以在上单调递增，
又（1），，
故存在唯一的实数，使得即成立．
故时；，时．
所以在上单调递减，在，上单调递增．
所以，
其中，令，，
因为，，
所以在上单调递减，所以（2）（1）即，
故，故所求的最大值为．
（3）证明：由（1）可得（1），则，
可得，即，即，
令，所以，所以，即，
所以，，2，，，
令，则，且不恒为零，
所以，函数在上单调递增，故，则，
所以，，2，，，
所以