考点02 万有引力定律（解析版）—高中物理

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1．内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比．
2．表达式
F＝Geq \f(m1m2,r2)，G为引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪什测定．
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．
1．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：有mg＝Geq \f(Mm,R2)，得g＝eq \f(GM,R2).
(2)地球上空的重力加速度大小g′
地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度大小为g′，则有mg′＝eq \f(GMm,R＋h2)，得g′＝eq \f(GM,R＋h2).所以eq \f(g,g′)＝eq \f(R＋h2,R2).
2．万有引力的“两点理解”和“两个推论”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．
②地球上(两极除外)的物体受到的重力只是万有引力的一个分力．
(2)星体内部万有引力的两个推论
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同更多课件 教案 视频 等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 心球体(M′)对它的万有引力，即F＝Geq \f(M′m,r2).
3.万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示．
(1)在赤道上：
Geq \f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R.
(2)在两极上：Geq \f(Mm,R2)＝mg0.
(3)在一般位置：万有引力Geq \f(Mm,R2)等于重力mg与向心力F向的矢量和．
越靠近两极，向心力越小，g值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即eq \f(GMm,R2)＝mg.
典例1(万有引力定律的理解和简单计算)(2023·南京市·期末)要使相距较远的两物体间的万有引力增加到原来的4倍，下列方法不可行的是( )
A．使两物体的质量各变成原来的2倍，距离不变
B．使其中一个物体的质量增加到原来的4倍，距离不变
C．使两物体间的距离减小为原来的eq \f(1,2)，质量不变
D．使两物体间的距离和两个物体质量都减少为原来的eq \f(1,2)
答案 D
解析 根据F＝eq \f(Gm1m2,r2)可知，使两物体的质量各变成原来的2倍，距离不变，两物体间的万有引力增加到原来的4倍，故A可行；根据F＝eq \f(Gm1m2,r2)可知，使其中一个物体的质量增加到原来的4倍，距离不变，两物体间的万有引力增加到原来的4倍，故B可行；根据F＝eq \f(Gm1m2,r2)可知，使两物体间的距离减小为原来的eq \f(1,2)，质量不变，两物体间的万有引力增加到原来的4倍，故C可行；根据F＝eq \f(Gm1m2,r2)可知，使两物体间的距离和两个物体质量都减少为原来的eq \f(1,2)，两物体间的万有引力不变，故D不可行．
典例2(重力和万有引力的关系)某行星为质量分布均匀的球体，半径为R、质量为M.科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍．已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为( )
A.eq \r(\f(GM,10R3)) B.eq \r(\f(GM,11R3))
C.eq \r(\f(1.1GM,R3)) D.eq \r(\f(GM,R3))
答案 B
解析 设赤道处的重力加速度大小为g，物体在两极时万有引力大小等于重力大小，即Geq \f(Mm,R2)＝1.1mg，在赤道时万有引力大小等于重力和自转所需的向心力的合力大小，即Geq \f(Mm,R2)＝mg＋mω2R，由以上两式解得该行星自转的角速度为ω＝eq \r(\f(GM,11R3))，故选B.
典例3(星体内部万有引力的两个推论的应用)(2023·湖北省模拟)中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10 000米，首次实现了无缆无人潜水器万米坐底并连续拍摄高清视频影像．若把地球看成质量分布均匀的球体，且球壳对球内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小g和下潜深度h的关系图像可能正确的是( )

答案 D
解析 设地球的质量为M，地球的半径为R，“海斗一号”下潜h深度后，以地心为球心、以R－h为半径的球体的质量为M′，则根据密度相等有eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(M′,\f(4,3)πR－h3)，由于球壳对球内任一质点的万有引力为零，根据万有引力定律有Geq \f(M′m,R－h2)＝mg，联立以上两式并整理可得g＝eq \f(GM,R3)(R－h)，由该表达式可知D正确，A、B、C错误．
典例4(填补法求解万有引力)有一质量为M、半径为R的密度均匀球体，在距离球心O为3R的地方有一质量为m的质点．先从M中挖去一半径为eq \f(R,2)的球体，如图所示，已知引力常量为G，则剩余部分对质点的万有引力大小为( )
A．Geq \f(Mm,9R2) B．Geq \f(Mm,4R2)
C．Geq \f(41Mm,450R2) D．Geq \f(7Mm,36R2)
答案 C
解析 半径为R且密度均匀的完整球体对距离球心O为3R且质量为m的质点的万有引力大小为F＝Geq \f(Mm,r2)＝Geq \f(Mm,3R2)，挖去部分的质量为M′＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)×eq \f(4,3)π(eq \f(R,2))3＝eq \f(1,8)M，挖去部分对质点的万有引力大小为F1＝Geq \f(M′m,r′2)＝Geq \f(\f(1,8)Mm,2R＋\f(1,2)R2)＝eq \f(1,50)Geq \f(Mm,R2)，则剩余部分对质点的万有引力大小为F2＝F－F1，解得F2＝Geq \f(41Mm,450R2)，故选C.
1．在万有引力定律的发现历程中，下列叙述符合史实的是( )
A．开普勒通过分析第谷的天文观测数据，发现了万有引力定律
B．丹麦天文学家第谷经过多年的天文观测和记录，提出了“日心说”的观点
C．卡文迪什通过实验推算出来引力常量G的值，被誉为第一个能“称量地球质量”的人
D．伽利略利用“地—月系统”验证了万有引力定律的正确性，使得万有引力定律得到了推广和更广泛的应用
答案 C
解析 万有引力定律是由牛顿发现的，故A错误；日心说是哥白尼提出的，故B错误；卡文迪什通过扭称装置测出了引力常量，由黄金代换式可得地球质量，故C正确；牛顿利用“地—月系统”验证了万有引力定律的正确性，故D错误．
2．(2023·东莞市模拟)下列关于万有引力定律的说法正确的是( )
A．两物体间的万有引力不遵循牛顿第三定律
B．两物体间的距离趋近0时，物体不能看成质点
C．只适用于质量半径较小的天体，天体半径大就不能用此公式计算万有引力
D．牛顿总结得出万有引力定律的表达式，同时也测定出了引力常量G的值
答案 B
解析 万有引力定律适用于任何两个可以看成质点的物体之间或均质球体之间的引力计算，说明两个物体间的万有引力是相互作用的两个力，因此遵循牛顿第三定律，A、C错误；两物体间的距离趋近0时，物体不能看成质点，公式不再适用，B正确；牛顿总结得出万有引力定律的表达式，公式中引力常量G的值是卡文迪什通过实验测出来的，故D错误．
3.(2020·全国卷Ⅰ)火星的质量约为地球质量的eq \f(1,10)，半径约为地球半径的eq \f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A.0.2B.0.4
C.2.0D.2.5
答案 B
解析 由万有引力定律可得，质量为m的物体在地球表面上时，受到的万有引力大小为F地＝Geq \f(M地m,Req \\al(2,地))，质量为m的物体在火星表面上时，受到的万有引力大小为F火＝Geq \f(M火m,Req \\al(2,火))，二者的比值eq \f(F火,F地)＝eq \f(M火Req \\al(2,地),M地Req \\al(2,火))＝0.4，B正确，A、C、D错误.
4．(2022·江苏高二学业考试)2021年4月29日，我国空间站“天和”核心舱发射成功．在地球引力作用下，绕地球做匀速圆周运动，已知地球的质量为M，地球的半径为R，“天和”的质量为m，离地面的高度为h，引力常量为G，则地球对“天和”的万有引力大小为( )
A．Geq \f(Mm,R＋h2) B．Geq \f(Mm,R2)
C．Geq \f(Mm,h2) D．Geq \f(Mm,R＋h)
答案 A
解析 根据万有引力定律可知地球对“天和”的万有引力大小为F＝Geq \f(Mm,R＋h2)，故选A.
5．(2021·安阳一中高一期中)已知地球半径为R，将一物体从地面发射至离地面高度为h处时，物体所受万有引力减小到原来的一半，则h为( )
A．R B．2R
C.eq \r(2)R D．(eq \r(2)－1)R
答案 D
解析 在地面上有F＝Geq \f(Mm,R2)，在高度为h处有F′＝Geq \f(Mm,R＋h2)，因为F′＝eq \f(1,2)F，所以eq \f(R＋h2,R2)＝eq \f(2,1)，所以h＝(eq \r(2)－1)R，故D正确，A、B、C错误．
6.地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( )
A．物体在赤道处受到的地球引力等于两极处，而重力小于两极处
B．赤道处的角速度比南纬30°的角速度大
C．地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大
D．地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力
答案 A
解析 由F＝Geq \f(Mm,R2)可知，若地球看成球形，则物体在地球表面上任何位置受到的地球引力都相等，除两极外，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转所需的向心力．在赤道上，向心力最大，重力最小，A对．地球各处的(除两极外)角速度均等于地球自转的角速度，B错．地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C错．地面上物体随地球自转所需的向心力是由物体所受万有引力与地面支持力的合力提供的，D错．
7.如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P(图中未画出)的万有引力为F.如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝eq \f(R,2)，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为( )
A.eq \f(F,2) B.eq \f(F,8) C.eq \f(7F,8) D.eq \f(F,4)
答案 C
解析 原来物体间的万有引力为F，挖去的半径为eq \f(R,2)的球体的质量为原来球体质量的eq \f(1,8)，其他条件不变，故剩余部分对质点P的万有引力为F－eq \f(F,8)＝eq \f(7,8)F.
8．地球表面处重力加速度为g，地球半径为R，若不考虑地球自转，则离地球表面高eq \f(R,2)处的重力加速度为( )
A.eq \f(g,2) B.eq \f(2,3)g C.eq \f(4,9)g D.eq \f(9,16)g
答案 C
解析 地球表面万有引力近似等于重力，则有eq \f(GMm,R2)＝mg，同理离地球表面高eq \f(R,2)处有eq \f(GMm,R＋\f(R,2)2)＝mg′
联立解得g′＝eq \f(4,9)g，故选C.
9.(多选)一宇宙飞船绕地心做半径为r的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m的人站在可称体重的台秤上.用R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，g′表示宇宙飞船所在处的重力加速度，FN表示人对台秤的压力，则下列关系正确的是( )
A.g′＝0 B.g′＝eq \f(gR2,r2)
C.FN＝0 D.FN＝meq \f(R,r)g
答案 BC
解析 处在地球表面处的物体所受重力近似等于万有引力，所以有mg＝Geq \f(Mm,R2)，即GM＝gR2，对处在轨道半径为r的宇宙飞船中的物体，有mg′＝Geq \f(Mm,r2)，即GM＝g′r2，所以有g′r2＝gR2，即g′＝eq \f(gR2,r2)，B正确，A错误；当宇宙飞船绕地心做半径为r的匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，飞船及飞船内物体处于完全失重状态，所以对台秤的压力为零，C正确，D错误.
10.(2021·山东卷)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越．已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍．在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程．悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为( )
A．9∶1 B．9∶2 C．36∶1 D．72∶1
答案 B
解析 悬停时所受平台的作用力等于万有引力，根据F＝Geq \f(m1m2,r2)
可得eq \f(F祝融,F玉兔)＝Geq \f(M火m祝融,R火2)∶Geq \f(M月m玉兔,R月2)＝eq \f(9,22)×2＝eq \f(9,2)，故选B.
11.地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器位于地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心的距离之比为( )
A.1∶9 B.9∶1 C.1∶10 D.10∶1
答案 C
解析 设月球质量为m，则地球质量为81m，月球球心距地球球心的距离为r，飞行器质量为m0，当飞行器距月球球心的距离为r′时，地球对它的引力等于月球对它的引力，则Geq \f(mm0,r′2)＝Geq \f(81mm0,r－r′2)，所以eq \f(r－r′,r′)＝9，r＝10r′，r′∶r＝1∶10，故选项C正确.
12.(2023·北京·模拟)用传感器测量一物体的重力时，发现在赤道测得的读数与其在北极的读数相差大约3‰.如图所示，如果认为地球是一个质量分布均匀的标准球体，下列说法正确的是( )
A.在北极处物体的向心力为万有引力的3‰
B.在北极处物体的重力为万有引力的3‰
C.在赤道处物体的向心力为万有引力的3‰
D.在赤道处物体的重力为万有引力的3‰
答案 C
解析 在北极处，没有向心力，重力等于万有引力，A、B错误；在赤道处F引－G′＝F向，再结合题意eq \f(G－G′,G)＝3‰知，在赤道处eq \f(F向,F引)＝eq \f(F引－G′,F引)＝eq \f(G－G′,G)＝3‰，C正确；赤道处eq \f(G′,F引)＝eq \f(G′,G)＝1－eq \f(G－G′,G)＝997‰，D错误.
13.某地区的地下发现了天然气资源，如图所示，在水平地面P点的正下方有一球形空腔区域内储藏有天然气.假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计.如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g；由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg(k<1).已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是( )
A.eq \f(kgd,Gρ) B.eq \f(kgd2,Gρ)
C.eq \f(1－kgd,Gρ) D.eq \f(1－kgd2,Gρ)
答案 D
解析 如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值，因此，如果将空腔填满密度为ρ的岩石，地面质量为m的物体的重力为mg，没有填满时重力是kmg，故空腔填满的岩石对物体m的引力为(1－k)mg，根据万有引力定律有(1－k)mg＝Geq \f(ρVm,d2)，解得V＝eq \f(1－kgd2,Gρ)，故选D.