考点10 电场中功能关系的综合问题（解析版）—高中物理

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电场中常见的功能关系
(1)若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变．
(2)若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变．
(3)除重力之外，其他力对物体做的功等于物体机械能的变化量．
(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量．
1．合力做功等于物体动能的变化量，即W合＝ΔEk，这里的W合指合外力做的功．
2．电场力做功决定带电体电势能的变化量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp.这与重力做功和重力势能变化之间的关系类似．
3．只有电场力做功时，带电体电势能与机械能的总量不变，即Ep1＋E机1＝Ep2＋E机2.这与只有重力做功时，物体的机械能守恒类似．
典例1如图所示，在电场强度大小为E、方向竖直向上的匀强电场中，一质量为m、带电荷量为＋q的物体，以某一初速度沿电场方向做匀减速直线运动，不计空气阻力，其加速度大小为eq \f(0.6qE,m)，物体运动距离s时速度变为零．则在此过程中( )
A．物体克服静电力做功0.6qEs
B．物体的电势能增加了qEs
C．物体的重力势能增加了qEs
D．物体的动能减少了0.6qEs
答案 D
解析 由于物体所受静电力和运动方向相同，故静电力做正功W＝Eqs，故A错误；静电力做正功，电势能减小，物体的电势能减小了qEs，故B错误；重力做功WG＝－mgs，重力做负功，重力势能增加，又由题可知，mg＝1.6qE，所以重力势能增加了1.6qEs，故C错误；物体做减速运动，所受合外力做负功，动能减小，由动能定理得：ΔEk＝－F合s＝－mas＝－0.6Eqs，所以物体的动能减少了0.6qEs，故D正确．更多课件 教案 视频 等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 典例2(2023·黑龙江省高三检测)如图所示，放置在竖直平面内的粗糙直线轨道AB与光滑圆弧轨道BCD相切于B点，C为最低点，圆心角∠BOC＝37°，线段OC垂直于OD，圆弧轨道半径为R，直线轨道AB长为L＝5R，整个轨道处于匀强电场中，电场强度方向平行于轨道所在的平面且垂直于直线OD，现有一个质量为m、带电荷量为＋q的小物块P从A点无初速度释放，小物块P与AB之间的动摩擦因数μ＝0.25，电场强度大小E＝eq \f(mg,q)，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，重力加速度为g，忽略空气阻力．求：
(1)小物块第一次通过C点时对轨道的压力大小；
(2)小物块第一次从D点飞出后上升的最大高度；
(3)小物块在直线轨道AB上运动的总路程．
答案 (1)10.8mg (2)1.2R (3)15R
解析 (1)由几何关系知，轨道AB与水平面的夹角为37°，小物块从A点第一次到C点的过程，由动能定理知：
(qE＋mg)(Lsin 37°＋R－Rcs 37°)－μ(qE＋mg)Lcs 37°＝eq \f(1,2)mvC12－0
在C点由牛顿第二定律知：FN－qE－mg＝meq \f(vC12,R) ，联立解得：FN＝10.8mg
由牛顿第三定律知此时小物块对轨道的压力大小是10.8mg.
(2)小物块从A第一次到D的过程，由动能定理知
(qE＋mg)(Lsin 37°－Rcs 37°)－μ(qE＋mg)Lcs 37°＝eq \f(1,2)mvD12－0
小物块第一次到达D点后以速度vD1逆着电场线方向做匀减速直线运动，
1.(2023·山西·模拟)如图所示为一匀强电场，某带电粒子从A点运动到B点，在这一运动过程中克服重力做的功为2.0 J，静电力做的功为1.5 J．下列说法中正确的是( )
A．粒子带负电
B．粒子在A点的电势能比在B点少1.5 J
C．粒子在A点的动能比在B点少0.5 J
D．粒子在A点的机械能比在B点少1.5 J
答案 D
解析 由粒子运动的轨迹可知粒子带正电，A错误；粒子从A到B的过程中静电力做正功，所以电势能减小，B错误；根据动能定理得W＋WG＝ΔEk＝－0.5 J，所以粒子在A点的动能比在B点多0.5 J，C错误；静电力做正功，机械能增加，所以粒子在A点的机械能比在B点少1.5 J，D正确．
2.质量为m的带电小球射入匀强电场后，以方向竖直向上、大小为2g的加速度向下运动，重力加速度为g，在小球下落h的过程中( )
A.小球的重力势能减少了2mgh
B.小球的动能增加了2mgh
C.静电力做负功2mgh
D.小球的电势能增加了3mgh
答案 D
解析 带电小球受到向上的静电力和向下的重力，据牛顿第二定律F合＝F电－mg＝2mg，得F电＝3mg，在下落过程中静电力做功W电＝－3mgh，重力做功WG＝mgh，总功W＝W电＋WG＝－2mgh，根据做功与势能变化关系可判断：小球重力势能减少了mgh，电势能增加了3mgh，根据动能定理，小球的动能减少了2mgh，故选D.
3.质量为m的带电小球射入匀强电场后，以方向竖直向上、大小为2g的加速度向下运动，在小球下落h的过程中( )
A．小球的重力势能减少了2mgh
B．小球的动能增加了2mgh
C．电场力做负功2mgh
D．小球的电势能增加了3mgh
答案 D
解析 带电小球受到向上的电场力和向下的重力，据牛顿第二定律F合＝F电－mg＝2mg，得F电＝3mg，在下落过程中电场力做功W电＝－3mgh，重力做功WG＝mgh，总功W＝W电＋WG＝－2mgh，根据做功与势能变化关系可判断：小球重力势能减少了mgh，电势能增加了3mgh，根据动能定理，小球的动能减少了2mgh，故选D.
4.(2023·河南·模拟)如图所示，在水平向右的匀强电场中有一个绝缘斜面，斜面上有一带电金属块沿斜面滑下，已知在金属块滑下的过程中动能增加了12 J，金属块克服摩擦力做功8 J，重力做功24 J.下列说法中正确的是( )
A.金属块带负电荷
B.金属块克服电场力做功8 J
C.金属块的电势能减少4 J
D.金属块的机械能减少12 J
答案 D
解析 金属块滑下的过程中动能增加了12 J，由动能定理知WG＋Wf＋WF＝ΔEk，摩擦力做功Wf＝－8 J，重力做功WG＝24 J，解得电场力做功WF＝－4 J，电场力做负功，金属块带正电荷，电势能增加了4 J，A、B、C错误；由功能关系可知机械能的变化量ΔE＝Wf＋WF＝－12 J，即机械能减少了12 J，D正确.
5.(多选)(2023·济南·期末)如图所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧竖直立于水平地面上，上面放一带正电的小球，小球与弹簧不连接，施加外力将小球向下压至某位置静止．现撤去外力，小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，重力、电场力对小球所做的功分别为W1和W2，则上述过程中( )
A．小球与弹簧组成的系统机械能守恒
B．小球的重力势能增加－W1
C．小球的电势能增加W1＋W2
D．小球的电势能减少W2
答案 BD
解析 由于电场力做正功，故小球与弹簧组成的系统机械能增加，故A错误；由题意知重力做负功，小球的重力势能增加，增加量为－W1，故B正确；电场力做正功，电势能减少，减少量为W2，故C错误，D正确．
6.如图所示，在粗糙水平面上间隔一定距离放置两个带电的物体A、B，带电荷量分别为Q和—q(设两电荷间只有库仑力)，开始时，A、B均处于静止状态，在物体B上施加一水平向右的恒力F，使物体 A、B向右运动．在此过程中，下列说法正确的是( )
A．力F、库仑力及摩擦力对物体A所做的功之和等于物体A的动能增量
B．力F做的功与摩擦力对物体B做的功之和等于物体B的动能增量
C．力F做的功加上摩擦力对物体B做的功等于物体B的动能增量
D．力F做的功及摩擦力对物体A和B做功的代数和等于物体A和B的动能增量及电势能增量之和
答案 D
解析 力F 没有作用在物体A上，故力F对A不做功，故选项A错误；根据动能定理，力F做的功与摩擦力对物体B做的功及库仑力对物体B做的功之和等于物体B的动能增量，故选项B错误；由功能关系可得，力F做的功加上摩擦力对物体B做的功等于物体B的动能增量与B克服库仑力做功之和，故C错误；根据能量守恒可知：力F做的功及摩擦力对物体A和B做功的代数和等于物体A和B的动能增量及电势能增量之和，故选项D正确．
7.如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带电小球，以初速度v从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，则小球从M运动到N的过程( )
A．动能增加eq \f(1,2)mv2 B．机械能增加2mv2
C．重力势能增加eq \f(3,2)mv2 D．电势能增加2mv2
答案 B
解析 小球动能的增加量为ΔEk＝eq \f(1,2)m(2v)2－eq \f(1,2)mv2＝eq \f(3,2)mv2，A错误；小球在竖直方向上的分运动为匀减速直线运动，到N时竖直方向的速度为零，则M、N两点之间高度差为h＝eq \f(v2,2g)，小球重力势能的增加量为ΔEp＝mgh＝eq \f(1,2)mv2，C错误；静电力对小球做正功，则小球的电势能减少，由能量守恒定律可知，小球减小的电势能等于重力势能与动能的增加量之和，则电势能的减少量为ΔEp′＝eq \f(3,2)mv2＋eq \f(1,2)mv2＝2mv2，D错误；由功能关系可知，除重力外的其他力对小球所做的功在数值上等于小球机械能的增加量，即2mv2，B正确．
8.(多选)如图所示，半圆槽光滑、绝缘、固定，圆心是O，最低点是P，直径MN水平．a、b是两个完全相同的带正电小球(视为点电荷)，b固定在M点，a从N点由静止释放，沿半圆槽运动经过P点到达某点Q(图中未画出)时速度为零．则小球a( )
A．从N到Q的过程中，重力与库仑力的合力先增大后减小
B．从N到P的过程中，速率先增大后减小
C．从N到Q的过程中，电势能一直增加
D．从P到Q的过程中，动能减少量小于电势能增加量
答案 BC
解析 小球a从N点静止释放，过P点后到Q点速度为零，整个运动过程只有重力和库仑力做功，库仑力方向与小球a速度方向夹角一直大于90°，所以库仑力整个过程做负功．小球a从N到Q的过程中，库仑力增大，库仑力与重力的夹角减小，所以它们的合力一直增大，故A错误；小球a受力如图所示，
在靠近N点的位置，合力与速度夹角小于90°，在P点合力与速度夹角大于90°，所以小球a从N到P的过程中，速率应先增大后减小，故B正确；从N到Q的过程中，库仑力一直做负功，所以电势能一直增加，故C正确；根据能量守恒可知，P到Q的过程中，动能的减少量等于重力势能和电势能的增加量之和，故D错误．
9.如图所示，一带电微粒沿与CD平行方向(垂直AD方向)射入倾角为θ的光滑斜面上，斜面所在区域存在和AD平行的匀强电场，微粒运动轨迹如图中虚线所示，则( )
A．若微粒带正电荷，则电场方向一定沿斜面向下
B．微粒从M点运动到N点电势能一定增加
C．微粒从M点运动到N点动能一定增加
D．微粒从M点运动到N点机械能一定增加
答案 C
解析 若微粒带正电荷，重力沿斜面向下的分力大于静电力时，静电力的方向可以沿斜面向上，也可以沿斜面向下，故A错误；当静电力沿斜面向上时，则静电力做负功，电势能增加，当静电力沿斜面向下时，静电力做正功，电势能减小，故B错误；由于合力沿斜面向下，故合力一定做正功，根据动能定理可知，动能一定增加，故C正确；若静电力沿斜面向上，静电力做负功，机械能减小，故D错误．
10.(2023·江西省第二中学模拟)如图所示，倾角为α＝30°的绝缘斜面AB长度为3l，BC长度为eq \f(3,2)l，斜面BC段上方有沿斜面向上的匀强电场．一质量为m、电荷量为＋q的小物块自A端左上方某处以初速度v0＝eq \r(3gl)水平抛出，恰好在A点与斜面相切滑上斜面，沿斜面向下运动，经过C点但未能到达B点，在静电力作用下返回，最终恰好静止在A点，已知物块与斜面间的动摩擦因数为μ＝eq \f(\r(3),3)，不考虑运动过程中物块电荷量的变化，不计空气阻力，重力加速度为g，求：
(1)物块平抛过程中的位移大小；
(2)物块在电场中的最大电势能．
答案 (1)eq \f(\r(13),2)l (2)2mgl
解析 (1)物块落到斜面上A点时，速度方向与水平方向夹角为α，设此时速度为v，则v＝eq \f(v0,cs α)，
竖直速度vy＝vsin α，平抛运动时间t＝eq \f(vy,g)，
平抛过程中水平位移x＝v0t，
又有竖直位移y＝eq \f(vy2,2g)，
平抛的位移s＝eq \r(x2＋y2)，联立解得s＝eq \f(\r(13),2)l.
(2)设物块沿斜面向下运动的最大位移为x′，自物块从A点开始向下运动到再次返回A点，根据动能定理有－2μmgcs α·x′＝0－eq \f(1,2)mv2，解得x′＝2l.物块位于最低点时，电势能最大，物块自A点到最低点过程中，设静电力做功为W，根据动能定理有mgsin α·x′－μmgcs α·x′－W＝0－eq \f(1,2)mv2，
解得W＝2mgl，即物块电势能的最大值为2mgl.
11.如图所示，竖直固定的光滑绝缘细杆上O点套有一个电荷量为－q (q>0)的小环，在杆的左侧O′处固定一个电荷量为＋Q (Q>0)的点电荷，杆上a、b两点与O′点正好构成等边三角形，c是ab的中点．使小环从O点无初速度释放，小环通过a点时的速率为v.若已知ab＝Oa＝l，静电力常量为k，重力加速度为g.则( )
A．在a点，小环所受弹力大小为eq \f(kQq,l2)
B．在c点，小环的动能最大
C．在c点，小环的电势能最大
D．在b点，小环的速率为eq \r(v2＋2gl)
答案 D
解析 在a点，小环所受的库仑力沿aO′方向，大小为eq \f(kQq,l2)，水平方向小球受力平衡，所以小球受到向右的弹力大小等于库仑力沿水平方向向左的分力，即eq \f(kQq,l2)sin 60°＝eq \f(\r(3)kQq,2l2)，A错误；在c点，重力与库仑力垂直，竖直方向合力向下且不为零，则小环在c点的动能一定不是最大，B错误；c点距离正点电荷最近，对应电势最高，故带负电荷的小环在c点电势能最小，C错误；从a点到b点，由点电荷形成的电场的分布特点及几何关系知，a、b两点电势相等，则静电力不做功，应用动能定理有mgl＝eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)mv2，解得v2＝eq \r(v2＋2gl)，D正确．
12.如图所示，在空间中存在竖直向上的匀强电场，质量为m、电荷量为＋q的物块从A点由静止开始下落，加速度为eq \f(1,3)g，下落高度H到B点后与一轻弹簧接触，又下落 h后到达最低点C，整个过程中不计空气阻力，且弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，则带电物块在由A点运动到C点过程中，下列说法正确的是( )
A．该匀强电场的电场强度为eq \f(mg,3q)
B．带电物块和弹簧组成的系统机械能减少量为eq \f(mgH＋h,3)
C．带电物块电势能的增加量为mg(H＋h)
D．弹簧的弹性势能的增加量为eq \f(mgH＋h,3)
答案 D
解析 物块从静止开始下落时的加速度为eq \f(1,3)g，根据牛顿第二定律得：mg－qE＝ma，解得：E＝eq \f(2mg,3q)，故A错误；从A到C的过程中，系统除重力和弹力以外，只有静电力做功，静电力做功为：W＝－qE(H＋h)＝－eq \f(2mgH＋h,3)，可知机械能减少量为eq \f(2mgH＋h,3)，故B错误；从A到C过程中，静电力做功为－eq \f(2mgH＋h,3)，则电势能增加量为eq \f(2mgH＋h,3)，故C错误；根据动能定理得：mg(H＋h)－eq \f(2mgH＋h,3)＋W弹＝0，解得弹力做功为：W弹＝－eq \f(mgH＋h,3)，即弹性势能增加量为eq \f(mgH＋h,3)，故D正确．
13.(多选)(2021·湖南卷·9)如图，圆心为O的圆处于匀强电场中，电场方向与圆平面平行，ab和cd为该圆直径．将电荷量为q(q>0)的粒子从a点移动到b点，电场力做功为2W(W>0)；若将该粒子从c点移动到d点，电场力做功为W.下列说法正确的是( )
A．该匀强电场的场强方向与ab平行
B．将该粒子从d点移动到b点，电场力做功为0.5W
C．a点电势低于c点电势
D．若只受电场力，从d点射入圆形电场区域的所有带电粒子都做曲线运动
答案 AB
解析 由于该电场为匀强电场，可采用矢量分解的思路．沿cd方向建立x轴，垂直于cd方向建立y轴，如图所示
从c到d有W＝Exq·2R
从a到b有2W＝Eyq·eq \r(3)R ＋ ExqR
可得Ex＝eq \f(W,2qR)，Ey＝eq \f(\r(3)W,2qR)
则E＝eq \r(Ex2＋Ey2)＝eq \f(W,qR)，tan θ＝eq \f(Ey,Ex)＝eq \r(3)
由于电场方向与水平方向成60°角，则场强方向与ab平行，且由a指向b，A正确；
将该粒子从d点移动到b点，电场力做的功为
W′＝Eqeq \f(R,2)＝0.5W，B正确；
沿电场线方向电势逐渐降低，则a点电势高于c点电势，C错误；
若粒子从d点射入圆形电场区域的速度方向与ab平行，则粒子做匀变速直线运动，D错误．