考点47 带电粒子在匀强磁场中运动的临界、极值和多解问题（核心考点精讲+分层精练）解析版—高中物理

这是一份考点47 带电粒子在匀强磁场中运动的临界、极值和多解问题（核心考点精讲+分层精练）解析版—高中物理，共51页。试卷主要包含了 3年真题考点分布， 命题规律及备考策略，2×107 C/kg等内容，欢迎下载使用。
1. 3年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】近3年新高考卷对于本节内容考查共计7次，主要考查：
有界磁场中的临界问题；
带电粒子电性不确定的多解问题；
临界状态不唯一形成的多解问题；
带电粒子运动的往复性形成的多解问题。
【备考策略】熟练掌握四种处理有界磁场的临界问题；理解并掌握带电粒子在磁场中运动时形成的多解问题。
【命题预测】本节内容的难度角度，在高考题中往往以选择题或解答题的压轴题的形式出现，对物理成绩要求较高的考生，务必掌握好本节内容。更多课件 教案 视频 等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663
考法1 有界磁场中的临界问题
角度1： “放缩放”解决有界磁场中的临界问题
【典例1】（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）如图所示，空间中有一个底角均为的梯形，上底与腰长相等为L，梯形处于磁感应强度大小为B、垂直于纸面向外的匀强磁场中，现c点存在一个粒子源，可以源源不断射出速度方向沿cd，大小可变的电子，电子的比荷为k，为使电子能从ab边射出，速度大小可能为（ ）

A．B．C．D．
【答案】BC
【详解】能够从ab边射出的电子，半径最小为从b点射出，如图所示

由几何关系可知，
半径最大为从a点射出，如图所示

由几何关系可知，
由牛顿第二定律有，
解得，
则有
为使粒子从ab边射出磁场区域，粒子的速度范围为
故选BC。
【变式】（2022·广东·模拟预测）如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B．一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（重力不计）以速度v从AC边的中点O垂直AC边射入磁场区域.若三角形的两直角边长均为2L，要使粒子从CD边射出，则v的取值范围为
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】根据洛伦兹力充当向心力可知，，因此半径越大，速度越大；根据几何关系可知，使粒子与AD边相切时速度最大，如图
由几何关系可知：R=(R+L)sin45，解得最大半径为 ，故最大速度为；当粒子从C点出射时半径最小，为，故最小速度应为，故v的取值范围为，故C正确，ABD错误，故选C．
【点睛】根据洛伦兹力充当向心力可求得速度与半径间的关系，根据几何关系分析粒子可能的运动轨迹；从而明确可能的速度大小；再根据周期公式以及转过的圆心角可求得最长时间．
角度2： “旋转法”解决有界磁场中的临界问题
模型二 “旋转圆”模型的应用
【典例2】如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于底面向里，磁感应强度的大小，磁场内有一块较大的平面感光板，板面与磁场方向平行，在距的距离处，有一个点状的粒子放射源，它向各个方向发射粒子，粒子的速度都是，已知粒子的电荷量与质量之比，现只考虑在图纸平面内运动的粒子，则感光板上被粒子打中区域的长度（ ）
A．5cmB．10cmC．15cmD．20cm
【答案】B
【详解】粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R表示轨道半径，有
解得，
由于，因此，向不同方向发射的粒子的圆轨迹都过S，由此可知，某一圆轨迹在图中N左侧与相切，则此切点就是粒子能打中的左侧最远点；再考虑N的右侧。任何粒子在运动中离的距离不可能超过，以为半径、为圆心作圆，交于右侧的点，此即右侧能打到的最远点。粒子运动轨迹如图所示
根据几何关系可得，，，
则感光板上被粒子打中区域的长度，
故选B。
【变式】如图所示，在等腰直角三角形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，边长。大量相同的带负电的粒子以不同的速率，在纸面内沿不同的方向从点射入磁场。已知粒子质量为，电荷量为，粒子间的相互作用和重力可忽略，则在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】当沿ab方向进入磁场，轨迹与ac相切时粒子在磁场中运动时间最长，且粒子速度最大，轨迹如图
由几何关系得，，即，解得，
由公式，得
则，
故选C。
角度3： “平移圆”模型的应用
【典例2】(2022·山东省青岛市高三下二模)如图所示，竖直放置的半环状ABCD区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B＝0.5 T．外环的半径R1＝16 cm，内环的半径R2＝4 cm，外环和内环的圆心为O，沿OD放置有照相底片．有一线状粒子源放在AB正下方(图中未画出)，不断放出初速度大小均为v0＝1.6×106 m/s，方向垂直AB和磁场的相同粒子，粒子经磁场中运动，最后打到照相底片上，经检验底片上仅有CD区域均被粒子打到．不考虑粒子间的相互作用，粒子重力忽略不计，假设打到磁场边界的粒子被吸收．
(1)粒子的电性；
(2)求粒子的比荷eq \f(q,m)；
(3)若照相底片沿OP放置，求底片上被粒子打到的区域的长度．
[解析] (1)由左手定则可知，粒子带正电．
(2)如图所示，设粒子的质量为m，带电荷量为q，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，依题意有2R＝R1＋R2，R＝10 cm
由牛顿第二定律qv0B＝eq \f(mveq \\al(2,0),R)，代入数据解得eq \f(q,m)＝3.2×107 C/kg
(3)若照相底片沿OP放置，则底片上被粒子打到的区域长度为MN的长度，如图所示，在△O1OM中，由几何关系有OM2＝R2－(R－R2)2，解得OM＝8 cm
MN＝R－OM，联立代入数据解得MN＝2 cm
角度4： “磁聚焦”模型
1．带电粒子的会聚
如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出．(会聚)
证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点．
2．带电粒子的发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)．
【典例4】(2022陕西西安八校联考)如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向(均平行于纸面)且速度大小相等的带正电的粒子(重力及粒子间的相互作用不计)，已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr，则粒子在磁场中运动的最长时间为( )
A.eq \f(π,kB)B．eq \f(π,2kB)
C．eq \f(π,3kB)D．eq \f(π,4kB)
【答案】C
【解析】粒子在磁场中运动的半径为R＝eq \f(mv,qB)＝eq \f(2kBr,Bk)＝2r，周期为T＝eq \f(2πm,Bq)＝eq \f(2π,kB)，当粒子在磁场中运动时间最长时，其轨迹对应的圆心角最大，此时弦长最大，弦长最大值为磁场区域圆的直径2r，根据几何关系可得轨迹所对圆心角为60°，故tmax＝eq \f(T,6)＝eq \f(π,3kB)，选项C正确．
【变式】(多选)(2022·山东省日照市高三下二模)如图所示，纸面内半径为R的圆形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一束质子在纸面内以相同的速度射向磁场区域，质子的电荷量为q，质量为m，速度为v＝eq \f(qBR,m)，则以下说法正确的是( )
A．对着圆心入射的质子，其出射方向的反向延长线一定过圆心
B．对着圆心入射的质子，其在磁场中的运动时间最短
C．所有质子都在磁场边缘同一点射出磁场
D．所有质子在磁场中做圆周运动的半径都相同
【答案】ACD
【解析】首先可以确定朝着圆心射入的质子，其做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供：Bqv＝meq \f(v2,r)，将速度代入，解得：r＝R，那么由几何关系知道该质子最后沿着OC方向从O点的正下方C点射出磁场，故A正确；再假设从任意点E水平射入的质子，其做匀速圆周运动的圆心为D，由几何知识可知四边形DEOC是菱形，所以DC＝OE＝R，所以从任意点水平入射的质子也从O点的正下方C点射出，故C正确；质子在磁场中做圆周运动的速率v相同，质子运动轨迹越长，质子的运动时间越长，对着圆心入射的质子运动轨迹不是最短，因此对着圆心入射的质子在磁场中的运动时间不是最短的，故B错误；根据以上分析可知，所有质子在磁场中做圆周运动的半径都相同，故D正确．
考法2 带电粒子在磁场中运动的多解问题
角度1：带电粒子电性不确定形成的多解
如果粒子的电性不确定，带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。如图所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b。
【典例5】如图所示，垂直纸面向内的磁场宽度为L，足够长，磁感应强度为B，一电性未知的带电粒子，质量为m、电荷量为q，以与边界成角的速度射入磁场，为不让其从右边界飞出，求该带电粒子的速度的大小范围。（不计粒子重力）
【答案】或者
【详解】当粒子带负电时，为不让其从右边界飞出，则轨迹与右边界相切，从射入点下边界射出，此时有最大速度，轨迹如下图
由几何关系得，
由洛伦兹力提供向心力，得
联立解得，
则，该带电粒子的速度的大小范围为，
当粒子带正电时，为不让其从右边界飞出，则轨迹与右边界相切，从射入点上边界射出，此时有最大速度，轨迹图如下
由几何关系得，
由洛伦兹力提供向心力，得
联立解得，
则，该带电粒子的速度的大小范围为，
【变式】如图所示，L1和L2为两条平行的虚线，L1上方和L2下方都是范围足够大，且磁感应强度相同的匀强磁场，A、B两点都在L2上。带电粒子从A点以初速度v0与L2成角斜向右上方射出，经过偏转后正好过B点，经过B点时速度方向也斜向上，不计重力，下列说法正确的是（ ）
A．若将带电粒子在A点时的初速度变大（方向不变），它仍能经过B点
B．带电粒子经过B点时的速度一定跟在A点时的速度大小相同
C．若将带电粒子在A点时的初速度方向改为与L2成角斜向右上方，它将不能经过B点
D．此带电粒子既可以是正电荷，也可以是负电荷
【答案】ABD
【详解】画出带电粒子运动的可能轨迹，B点的位置可能有如图四种
A．根据轨迹，粒子经过边界L1时入射点与出射点间的距离与经过边界L2时入射点与出射点间的距离相同，与速度无关．所以当初速度大小稍微增大一点，但保持方向不变，它仍有可能经过B点，故A错误；
B．如图，粒子B的位置在B1、B4，由于洛伦兹力对粒子不做功，则速度跟在A点时的速度大小相等，但方向不同，故B正确；
C．如图，设L1与L2之间的距离为d，则A到B2的距离为，x=
所以，若将带电粒子在A点时初速度方向改为与L2成角斜向上，则每次经过一个周期前进的距离为
则经过三个周期后经过B点。故C错误；
D．由图可知，分别是正负电荷的轨迹，正负电荷都可能，故D正确。
故选ABD。
角度2：磁场方向不确定形成的多解
有些题目只知磁感应强度的大小，而不知其方向，此时必须要考虑磁感应强度方向
不确定而形成的多解。
如图所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a；若B垂直纸面向外，其轨迹为b。
【典例6】真空中有如图所示的周期性交变磁场，设磁感应强度B垂直纸面向里为正方向，B0=1T，t0=π×10-5s，k为正整数。某直角坐标系原点O处有一粒子源，在t=0时刻沿x轴正方向发射速度为v0=103m/s的正点电荷，比荷=1×106C/kg，不计粒子重力。
(1)若k=1，求粒子在磁场中运动的轨道半径和粒子第3次（从O点出发记为第1次）经过y轴时的时刻；
(2)若k=2，求粒子在运动过程中与y轴交点坐标的最大值和最小值；
(3)若t0=10-5s，则k取何值时，粒子可做周期性循环运动回到出发点？并求出循环周期的最小值Tmin和相应的k值。
【答案】(1)0.001m；；(2)；；(3)当取非的正整数时，均可以回到出发点；当时，最小循环周期为
【详解】(1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由，，解得，
当时，因为，粒子第3次经过轴时恰好向上经历两个半圆（如图）则时间
(2)当时，，粒子一个循环周期中运动分别为半圆→整圆→半圆→整圆，因此由几何关系得：
与轴交点坐标的最大值为
与轴交点坐标的最小值为
(3)因为，所以粒子先做圆弧运动，之后对的不同值进行分类讨论：
如图可见1、2、3、4时可能的分段情况．
①，粒子做圆弧交替运动，向右上45°方向无限延伸，不会循环运动
②，粒子做圆弧与圆弧交替运动，经过4个周期回到出发点，循环周期
③，粒子做圆弧与圆弧交替运动，经过2个周期回到出发点，循环周期
④，粒子做圆弧与圆弧交替运动，经过4个周期回到出发点，循环周期
当时，运动过程相似，每个周期中均增加（正整数）个圆周，能循环的运动其循环周期均延长．
综上可得：
(1)当取非的正整数时，均可以回到出发点．
(2)当时，最小循环周期为
．
【变式】（2023·广东·模拟预测）如图所示的xOy坐标系中，y轴的左侧存在垂直纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强磁场，y轴右侧的匀强磁场垂直纸面方向且大小未知，一带正电的粒子由y轴上（0，）处沿与y轴正方向成30°角的方向以速度v射入磁场，已知粒子的比荷为k，粒子在y轴右侧的轨道半径为L，最终粒子经过O点，粒子重力不计。下列说法正确的是（ ）
A．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则y轴右侧的磁感应强度大小为
B．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则粒子从射入到运动至O点的时间为
C．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为
D．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为
【答案】AD
【详解】A．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，由题意作出粒子的运动轨迹，如图甲所示
根据
解得
由几何关系可知，
则有，A正确；
B．由几何关系可知粒子在y轴右侧偏转的角度为60°，则粒子从射入到运动至O点的时间，
由于，解得，B错误；
CD．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，粒子可能在y轴左右两侧各偏转一次经过O点，如图乙所示，由几何关系可知粒子在y轴左侧的轨道半径
则y轴左侧磁场的磁感应强度大小
粒子运动的时间
由于，解得，
若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，粒子可能在y轴的左侧偏转一次、在y轴的右侧偏转两次经过O点，如图丙所示
由几何关系可知粒子在y轴左侧的轨道半径，
则y轴左侧磁场的磁感应强度大小，
粒子运动的时间，由于，解得，，C错误，D正确。
故选AD。
角度3：临界状态不唯一形成的多解
带电粒子在洛伦兹力作用下在有界磁场中运动时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，从而形成多解，如图所示。
【典例7】（2021·海南·高考真题）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q的相同粒子从y轴上的点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为。当时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则（ ）
A．粒子一定带正电
B．当时，粒子也垂直x轴离开磁场
C．粒子入射速率为
D．粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为
【答案】ACD
【详解】A．根据题意可知粒子垂直轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，A正确；
BC．当时，粒子垂直轴离开磁场，运动轨迹如图
粒子运动的半径为
洛伦兹力提供向心力
解得粒子入射速率
若，粒子运动轨迹如图，
根据几何关系可知粒子离开磁场时与轴不垂直，B错误，C正确；
D．粒子离开磁场距离点距离最远时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，如图
根据几何关系可知，，解得，D正确。
故选ACD。
【变式】（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）如图甲所示，边长为L的正方形abcd区域内存在匀强磁场，磁感强度大小为，方向垂直于abed所在平面，且周期性变化（周期T可根据需要调整），如图乙所示，设垂直abcd平面向里为磁感强度的正方向。现有一电子在时刻由a点沿ab方向射入磁场区，已知电子的质量为m，电荷量大小为e，图中边界上有两点f、g，且，关于电子在磁场中的运动，以下说法中正确的是（ ）

A．调整磁场变化周期T，让电子沿bc方向经过c点，电子的速度大小一定是
B．调整磁场变化周期T，让电子经过d点，电子的速度大小一定是
C．要想让电子经过点f点，则磁场变化周期一定是
D．要想让电子垂直bc边过g点，则磁场变化周期一定是
【答案】D
【详解】A．要想让电子沿bc方向经过c点，可能的轨迹如图所示

也可以转奇数个圆弧后到c，根据洛伦兹力充当向心力，有，
可得
根据以上分析则有，（n＝0，1，2…）
解得，（n＝0，1，2…），故A错误；
B．要想让经过d点，可能的轨迹如图所示

可知，，解得，
或者先顺时针转磁场的半个周期，之后逆时针转，从ad方向经过d

这种情况下，，解得，故B错误；
C．要想让电子经过f点，轨迹可能如图所示

由几何关系可得，，解得，
只要满足运动时间即可；或者如图所示

圆周周期，每一次转过120°圆心角，，解得，故C错误；
D．要想让电子垂直bc边过g点，经过偶数次偏转，每一次转过60°圆心角，圆周周期，则有
，解得，故D正确。
故选D。
角度4：带电粒子运动的往复性形成的多解
带电粒子在组合场或交变场中运动时，运动往往具有周期性，从而形成多解，如图所示。
【典例8】（2023·山东·统考高考真题）如图所示，在，的区域中，存在沿y轴正方向、场强大小为E的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m，电量为q的带正电粒子从OP中点A进入电场（不计粒子重力）。
（1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，求磁场的磁感应强度B的大小；
（2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A点沿y轴正方向第一次进入电场、离开电场后从P点第二次进入电场，在电场的作用下从Q点离开。
（i）求改变后电场强度的大小和粒子的初速度；
（ii）通过计算判断粒子能否从P点第三次进入电场。

【答案】（1）；（2）（i），；（ii）不会
【详解】（1）由题意粒子在电场中做匀加速直线运动，根据动能定理有
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有，
粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，轨迹如图

根据几何关系可知，，联立可得，
（2）（i）由题意可知，做出粒子在电场和磁场中运动轨迹如图

在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系可知
解得，，所以有，
洛伦兹力提供向心力，
带电粒子从A点开始做匀加速直线运动，根据动能定理有，
再一次进入电场后做类似斜抛运动，沿x方向有，
沿y方向上有，
其中根据牛顿第二定律有，
联立以上各式解得，，，
（ii）粒子从P到Q根据动能定理有，
可得从Q射出时的速度为，
此时粒子在磁场中的半径，
根据其几何关系可知对应的圆心坐标为，
而圆心与P的距离为，故不会再从P点进入电场。
【变式】如图所示，在xOy坐标系的第Ⅰ象限内充满了沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限内充满了垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从y轴上的P点以垂直于y轴和电场的初速度进入匀强电场，一段时间后经过x轴上的Q点进入匀强磁场，进入磁场时的速度方向与x轴正方向成角，已知，若粒子在磁场中运动一段时间后恰好能再回到电场，不计粒子重力。求：
（1）带电粒子进入匀强磁场时的速度；
（2）磁感应强度B的大小；
（3）粒子从离开P点到第三次经过x轴所需的时间。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）粒子在Q点进入磁场时速度为，沿x方向的分速度，vx=v0=vcs30°，得，
（2）粒子恰好能回到电场，即粒子在磁场中轨迹的左侧恰好与y轴相切，设半径为R，根据几何关系可得
R（1+sin30°）=3L，解得，R=2L
根据洛伦兹力提供向心力可得，
联立可得磁感应强度的大小，
（3）粒子在电场和磁场中做周期性运动，轨迹如图
粒子从P到Q的时间为，
在磁场中做一次圆周运动的时间，
粒子从离开P点到第三次经过x轴所需的时间，
【基础过关】
1．质量和电荷量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图中虚线所示，下列表述正确的是（ ）
A．N带负电，M带正电
B．N的速率大于M的速率
C．N的运行时间小于M的运行时间
D．N的运行时间等于M的运行时间
【答案】D
【详解】A．由左手定则判断出M带负电荷，N带正电荷，故A错误；
B．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，，得
由图可知N的半径小于M的半径，所以M的速率大于N的速率，故B错误；
CD．粒子在磁场中运动半周，即时间为其周期的一半，而周期为
与粒子运动的速度无关，所以M的运行时间等于N的运行时间，故C错误，D正确。
故选D。
2．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考三模）如图所示，边长为正方形区域内无磁场，正方形中线将区域外左右两侧分成两个磁感应强度均为的匀强磁场区域，右侧磁场方向垂直于纸面向外，左侧磁场方向垂直于纸面向里。现将一质量为，电荷量为的正粒子从中点以某一速率垂直于射入磁场，不计粒子的重力，则关于粒子的运动，下列说法正确的是（ ）
A．若粒子能垂直于射入正方形区域内，则粒子的最大速度为
B．若粒子能垂直于射入正方形区域内，则粒子的速度可能为
C．若粒子能垂直于射入正方形区域内，则粒子的速度可能为
D．若粒子能垂直于射入正方形区域内，则粒子的速度可能为
【答案】C
【详解】根据题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动由洛伦兹力提供向心力有，，解得
若粒子能垂直于射入正方形区域内，则粒子可能的运动轨迹如图所示
由几何关系可得，
解得
当时，速度最大为
当时，
当时，
则粒子的速度不可能为。
故选C。
3．（2022春·四川成都·高三四川省成都市第四十九中学校校考阶段练习）如图所示，在直角坐标系I象限内（包含x、y坐标轴）有方向垂直xOy平面向外、大小为B的匀强磁场。点P （2a，a）处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度方向均在xy平面内，速度大小均为，不计粒子间的相互作用。下列关于粒子在坐标轴上射出的范围，判断正确的是（ ）

A．x轴上［0， 4a］范围有粒子射出
B．x轴上（a，（2 +）a］范围有粒子射出
C．y轴上［0，a］可范围有粒子射出
D．y轴上［a， 2a］范围有粒子射出
【答案】B
【详解】粒子在磁场中运动的轨道半径为

由几何关系可知，打到x轴上距离原点最远的粒子到O点的距离
垂直x轴向下射出的粒子到达x轴时轨迹与x轴相切，切点到达O点的距离最近
即x轴上（a，（2 +）a］范围有粒子射出；垂直x轴向下射出的粒子轨迹与y轴相切，刚能到达y轴，其它的粒子都不能到达y轴，则选项B正确，ACD错误。
故选B。
4．（多选）（2023春·云南临沧·高二校考期末）如图所示，三角形OCA存在磁场，C点坐标为（4L，3L），M点为OC的中点，质量为m、带电量为-q的粒子从C点以沿y轴负方向射入磁场中，速度大小为，不计粒子所受重力，粒子运动轨迹与磁场区域相切时认为粒子能再次进入磁场，则（ ）

A．粒子能到达M点，三角形OCA中磁感应强度大小
B．粒子能到达M点，三角形OCA中磁感应强度大小
C．粒子不会到达x轴下方，三角形OCA中磁感应强度可能为
D．粒子不会到达x轴下方，三角形OCA中磁感应强度可能为
【答案】AD
【详解】AB．如图所示，若粒子由区域Ⅱ能到达点，则，得
由几何关系可得
解得，选项A正确、B错误．

CD．粒子速度一定的情况下，磁场强度越小，轨迹半径越大，当运动轨迹恰好与轴相切时，恰好能进入Ⅰ区域，此时粒子运动半径
粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得，
已知，解得，
若粒子不会到达轴下方，则取，选项C错误、D正确．
故选AD。
5．（多选）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中ab＝l，射线bc足够长，abc＝135°，其他方向磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用，以下说法正确的是（ ）
A．从ab边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等
B．从bc边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等
C．所有粒子在磁场中运动的时间都相等
D．粒子在磁场中最长运动时间约为
【答案】AD
【详解】A．画出带电粒子在磁场中运动的动态分析图，如图1所示。当粒子都从ab边射出，则都是半周，时间都相等，A正确；
BC．当粒子都从bc边射出，则速度越大，轨道半径越大，圆心角越大，运动时间越长，BC错误；
D．当粒子的速度足够大，半径足够大时，l远小于r，运动情况可简化为如图2所示情况，这时圆心角大小为，可得，，D正确。
故选AD。
6．（多选）如图所示，两方向相反，磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC边界分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处由一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过C点，质子比荷，则质子的速度可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【详解】质子带正电，且经过点，其可能的轨迹如图所示
所有圆弧所对圆心角均为，所以质子运行半径为，2，3，…）
质子在磁场中做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得
解得，2，3，…），故ABD正确，C错误。
故选ABD。
7．如图所示，半径为r的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子（不计重力），从A点以速度v0垂直磁场方向射入磁场中，并从B点射出，。
（1）在图中作出该带电粒子运动轨迹的圆心O1的位置；
（2）求该粒子在磁场中运动的轨迹半径；
（3）求该粒子在磁场中运动的时间。

【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【详解】（1）（2）由图可知，粒子转过的圆心角为，则粒子运动的半径为

（3）转过的弧长为，则运动所用时间
8．真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为多少。

【答案】
【详解】电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供心力，
则磁感应强度与圆周运动轨迹关系为
即运动轨迹半径越大，磁场的磁感应强度越小。令电子运动轨迹最大的半径为，为了使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，其最大半径的运动轨迹与实线圆相切，如图所示

A点为电子做圆周运动的圆心，电子从圆心沿半径方向进入磁场，由左手定则可得，， 为直角三角形，则由几何关系可得
解得，，解得磁场的磁感应强度最小值
9．（2021秋·江苏无锡·高二统考期末）如图所示，平行的N、M、P为两匀强磁场区域的边界，N与M、M与P间距分别为l1、l2，两磁场的磁感应强度分别为B1和B2，磁场方向均垂直纸面向里。现有电荷量为+q、质量为m的带电粒子射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用。
(1)若有大量该种粒子以大小为v1、方向沿纸面各个方向的速度从Q点射入磁场，粒子恰好不进入Ⅱ区域，求粒子速度v1的大小；
(2)用阴影画出(1)中粒子在磁场Ⅰ中所能到达的区域，并求出该区域的面积；
(3)若有一个粒子从Q点以速度v2垂直于边界N及磁场方向射入磁场，粒子能穿过两个磁场区域，求v2的最小值。
【答案】(1) (2)见解析；(3)
【详解】(1)设粒子速度大小为v0时恰好能进入Ⅱ磁场，则进入Ⅱ磁场时速度恰好沿M边界，若有大量该种粒子以大小为v1、方向沿纸面各个方向的速度从Q点射入磁场，粒子恰好不进入Ⅱ区域，根据几何关系可知，半径 ，根据洛伦兹力提供向心力有，解得
(2) 粒子在磁场中所能到达的区域如下图所示的阴影部分
面积
(3) 粒子速度为v2时在磁场II中的轨迹恰好与边界P相切，轨迹如下图所示
根据洛伦兹力提供向心力有
可得，
由几何关系，则有，粒子在磁场II中运动，则有R2-R2sinθ=l2，解得
10．如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求：
（1）磁感应强度B0的大小；
（2）要使正离子从O′垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。
【答案】（1）；（2）（n=1，2，3，…）
【详解】（1）设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向。正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力，则
正离子做匀速圆周运动的周期
联立以上可得磁感应强度
（2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子的运动轨迹如图所示
两板之间正离子只运动一个周期T0时，有
当两板之间正离子运动n个周期nT0时，有（n=1，2，3，…）
联立解得正离子的速度的可能值为（n=1，2，3，…）
【能力提升】
1．1．（2023·重庆·高三统考学业考试）如图所示，平面的一、二、三象限内存在垂直纸面向里，磁感应强度大小的匀强磁场，ON为处于y轴负方向的弹性绝缘薄挡板，长度为9m，M点为x轴正方向上一点，现有一个比荷大小为，可视为质点带负电的微粒（重力不计）从挡板下端N处小孔以不同的速度沿x轴负方向射入磁场，若与挡板相碰就以原速率弹回，且碰撞时间不计，碰撞时电荷量不变，微粒最后都能经过M点，则微粒射入的速度大小可能是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由题意，粒子运动的圆心的位置一定在y轴上，所以粒子做圆周运动的半径r一定要大于等于3m，而，ON=9m＜3r
所以粒子最多与挡板ON碰撞一次，碰撞后，第二个圆心的位置在O点的上方，也可能粒子与挡板ON没有碰撞，直接过M点。由洛伦兹力提供向心力，解得
若小球与挡板ON碰撞一次，则轨迹可能如图1

设OO1=s，由几何关系得，r2=OM2+s2=9+s2 ，3r-9=s，联立解得r1=3m，r2=3.75m
代入可解的速度分别为v1=3m/s，v2=3.75m/s
若小球没有与挡板ON碰撞，则轨迹如图2，设 OO2=x，由几何关系得r32=OM2+x2=9+x2 ，x=9-r3
联立解得r3=5m，代入可解的速度分别为v3=5m/s，故选C。
2．（2021·湖北·模拟预测）如图所示，边长为L的等边三角形区域ACD内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为B、方向分别垂直纸面向里、向外。三角形顶点A处有一质子源，能沿∠A的角平分线发射速度大小不等、方向相同的质子（质子重力不计、质子间的相互作用可忽略），所有质子均能通过D点，已知质子的比荷，则质子的速度不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
质子的运动轨迹如图所示，由几何关系可得
由洛伦兹力提供向心力，则有
联立解得，所以ABD正确，不符合题意；C错误，符合题意；
故选C。
3．（多选）（2022·安徽宣城·安徽省宣城市第二中学校考模拟预测）如图所示，等腰梯形abcd区域（包含边界）存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，边长，一质量为m、带电量为－q（q > 0）的粒子从a点沿着ad方向射入磁场中，粒子仅在洛伦兹力作用下运动，为使粒子不能经过bc边，粒子的速度可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】找到临界条件，根据几何关系求解临界半径，在根据洛伦兹力提供向心力求解临界速度。
【详解】为使粒子不能经过边，则粒子可以从ab边或cd边出磁场，其临界点为b、c，其几何关系如图所示
当粒子过b点时，起做圆周运动的圆心在O1点，根据几何关系可知
则为使粒子从ab边出磁场，其运动半径应小于r1，根据牛顿第二定律可知，
解得，
当粒子过c点时，起做圆周运动的圆心在O2点，根据几何关系可知
则为使粒子从cd边出磁场，其运动半径应大于r2，根据牛顿第二定律可知，
解得
故选AC。
4．（多选）（2021·陕西西安·校考模拟预测）边长为a的等边三角形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一束质量为m电荷量为的带电粒子（不计重力）从边的中点沿平行边的方向以不同的速率射入磁场区域，则（ ）
A．从边射出的粒子的最大速率为
B．从边射出的粒子的最大速率为
C．能从边射出的粒子最小速率为
D．能从边射出的粒子最小速率为
【答案】AD
【详解】AB．如图所示，当粒子恰好从C点射出时，轨道半径最大，速率最大，圆心为O1，由几何关系可知，轨道半径，
由牛顿第二定律可得
联立解得，，A正确，B错误；
CD．当粒子的轨迹恰好与BC相切时，半径最小，速率最小，圆心为O2，由几何关系可知，轨道半径
由牛顿第二定律可得，，联立解得，，C错误，D正确。
故选AD。
5．（多选）（2020·山西太原·太原五中校考二模）如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AB边长度为d，。现垂直AB边射入一束质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子。已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为（不计重力），则下列说法中正确的是（ ）
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t0
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为
D．粒子进入磁场时速度大小为
【答案】ABC
【详解】A．根据题意垂直边进入，垂直边飞出，经过四分之一个周期，即，
解得，A正确；
B．洛伦兹力提供向心力，解得
粒子运动的周期，，解得磁感应强度，，B正确；
C．粒子与边相切，运动时间最长，满足，在磁场中转过圆心角，如图
根据几何关系可知，，解得，C正确；
D．根据可知，，D错误。
故选ABC。
6．（多选）（2022·全国·模拟预测）据有关资料介绍，受控核聚变装置中有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的“容器”可装，而是由磁场约束带电粒子运动，使之束缚在某个区域内。如图所示，环状磁场的内半径为R1，外半径为R2，被束缚的带电粒子的比荷为k，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度，速度大小为v。中空区域中的带电粒子都不会穿出磁场的外边缘而被约束在半径为R2的区域内，则环状区域内磁场的磁感应强度大小可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【详解】由题意可知，粒子的比荷为k，要使所有的粒子都不能穿出磁场，与内圆相切的方向进入磁场的粒子在磁场运动的轨迹刚好与外圆相切，运动轨迹如图所示，由几何知识可知，粒子最大轨道半径
粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得，
解得，
要使粒子不离开磁场，
由于R10）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动，
可得粒子在磁场中的周期
粒子在磁场中运动的时间
则粒子在磁场中运动的时间与速度无关，轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长；过点做半圆的切线交于点，如图所示
由图可知，粒子从点离开时，轨迹对应的圆心角最大，在磁场中运动时间最长；由图中几何关系可知，此时轨迹对应的最大圆心角为，
则粒子在磁场中运动的最长时间为，
故选C。
3．（2020·江苏·统考高考真题）空间存在两个垂直于平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为、。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v。甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示。甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点。已知甲的质量为m，电荷量为q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求：
(1)Q到O的距离d；
(2)甲两次经过P点的时间间隔；
(3)乙的比荷可能的最小值。
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由 得，，
Q、O的距离为：
(2)由(1)可知，完成一周期运动上升的距离为d，粒子再次经过P，经过N个周期，
所以，再次经过P点的时间为，
由匀速圆周运动的规律得，
绕一周的时间为，
所以，再次经过P点的时间为
两次经过P点的时间间隔为
(3)由洛伦兹力提供向心力，由 得，，
完成一周期运动上升的距离，
若乙粒子从第一象限进入第二象限的过程中与甲粒子在Q点相遇，则，，结合以上式子，n无解。
若乙粒子从第二象限进入第一象限的过程中与甲离子在Q点相遇，则，
计算可得（n=1，2，3……），由于甲乙粒子比荷不同，则n=2时，乙的比荷最小，为
4．（2021·辽宁·统考高考真题）如图所示，在x>0区域内存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场；在x0）的粒子甲从点S（-a，0）由静止释放，进入磁场区域后，与静止在点P（a，a）、质量为的中性粒子乙发生弹性正碰，且有一半电量转移给粒子乙。（不计粒子重力及碰撞后粒子间的相互作用，忽略电场、磁场变化引起的效应）
（1）求电场强度的大小E；
（2）若两粒子碰撞后，立即撤去电场，同时在x≤0区域内加上与x>0区域内相同的磁场，求从两粒子碰撞到下次相遇的时间△t；
（3）若两粒子碰撞后，粒子乙首次离开第一象限时，撤去电场和磁场，经一段时间后，在全部区域内加上与原x>0区域相同的磁场，此后两粒子的轨迹恰好不相交，求这段时间内粒子甲运动的距离L。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）粒子甲匀速圆周运动过P点，则在磁场中运动轨迹半径，R=a，则，则
粒子从S到O，有动能定理可得，可得
（2）甲乙粒子在P点发生弹性碰撞，设碰后速度为、，取向上为正，则有，，计算可得，，
两粒子碰后在磁场中运动，，解得，
两粒子在磁场中一直做轨迹相同的匀速圆周运动，周期分别为，
则两粒子碰后再次相遇
解得再次相遇时间
（3）乙出第一象限时甲在磁场中偏转角度为
撤去电场磁场后，两粒子做匀速直线运动，乙粒子运动一段时间后，再整个区域加上相同的磁场，粒子在磁场中仍做半径为a的匀速圆周运动，要求轨迹恰好不相切，则如图所示
设撤销电场、磁场到加磁场乙运动了，由余弦定理可得，
则从撤销电场、磁场到加磁场乙运动的位移
5．（2020·浙江·统考高考真题）某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探测板平行于水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界水平射入磁场，b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为，探测板的宽度为，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。
(1)求离子速度v的大小及c束中的离子射出磁场边界时与H点的距离s；
(2)求探测到三束离子时探测板与边界的最大距离；
(3)若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F与板到距离L的关系。
【答案】(1)，0.8R；(2)；(3)当时：；当时：；当时：
【详解】(1)离子在磁场中做圆周运动
得粒子的速度大小
令c束中的离子运动轨迹对应的圆心为O，从磁场边界边的Q点射出，则由几何关系可得
，
(2)a束中的离子运动轨迹对应的圆心为O’，从磁场边界边射出时距离H点的距离为x，由几何关系可得
即a、c束中的离子从同一点Q射出，离开磁场的速度分别于竖直方向的夹角为、，由几何关系可得
探测到三束离子，则c束中的离子恰好达到探测板的D点时，探测板与边界的距离最大，
则
(3)a或c束中每个离子动量的竖直分量
当时所有离子都打在探测板上，故单位时间内离子束对探测板的平均作用力
当时， 只有b和c束中离子打在探测板上，则单位时间内离子束对探测板的平均作用力为
当时， 只有b束中离子打在探测板上，则单位时间内离子束对探测板的平均作用力为
题型
选择题（压轴）、解答题（压轴题）
高考考点
有界磁场中的临界问题；
带电粒子在磁场中的圆周运动的多解问题；
新高考
2023
浙江卷23题、
2022
湖北8题、浙江卷23题、广东卷7题、
2021
海南卷13题、湖南卷13题、湖北卷14题
适用条件
速度方向一定，大小不同
粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆心共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
界定
方法
以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
适用条件
速度大小一定，方向不同
粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝eq \f(mv0,qB)。如图所示
轨迹圆圆心共圆
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径
R＝eq \f(mv0,qB)的圆上
界定
方法
将一半径为R＝eq \f(mv0,qB)的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
适用条件
速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝eq \f(mv0,qB)，如图所示
轨迹圆圆心共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行
界定方法
将半径为R＝eq \f(mv0,qB)的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法