2022~2023学年江苏省苏州市苏州工业园区星汇学校八年级上学期期中数学试卷（含解析）

这是一份2022~2023学年江苏省苏州市苏州工业园区星汇学校八年级上学期期中数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.第24届冬奥会将于2022年2月在北京和张家口举办，下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A. 13B. 7C. 9D. 20
3. 2+2的整数部分是
( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.如图，在▵ABC中，∠C=90∘，AB=5，则AC2+BC2的值是( )
A. 10B. 34C. 25D. 41
5.在▵ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列所给数据中，不能判断▵ABC是直角三角形的是( )
A. ∠A+∠B=90∘B. ∠A:∠B:∠C=5:12:13
C. a2+b2=c2D. a:b:c=3:4:5
6.已知m=1+ 2，n=1− 2，则代数式 m2+n2−3mn的值为
( )
A. 9B. ±3C. 3D. 5
7.如图，AB=AC=AD，E，F分别为BC，CD的中点，若∠EAF=40∘，则∠BAD的度数为( )
A. 80∘B. 100∘C. 90∘D. 75∘
8.如图，在Rt▵ABC中，D为BC上一点，DE⊥AB，且AE=BE，若∠CAD=4∠B，BD=6，则AC=( )
A. 3B. 3 3C. 4D. 5
9.如图∠ADB=∠ACB=90∘，E、F分别是AB,CD的中点，若AB=26,CD=24，则▵DEF的周长为( )
A. 12B. 30C. 27D. 32
10.在学习完角平分线性质与角平分线逆定理后，我们只在三角形内部研究，如果延伸到三角形的外角会发什么变化呢？请同学们完成以下题目( )
A. 50∘B. 55∘C. 45∘D. 40∘
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.化简： 4= ．
12.比较大小：π−3___ __0.14．
13.已知一个等腰三角形的两边长分别为9cm，5cm，则该等腰三角形的周长为 cm．
14.葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是12cm，当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高为9cm时，那么这段葛藤的长是 ．
15.如图，在▵ABC中，直线EF、MN分别为AB、AC的垂直平分线，交BC于点F、N，若BF=4，FN=3，CN=5，则S▵ABC= ．
16.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，▵ABC各顶点均在网格的格点上，CD⊥AB于点D，则CD的长为 ．
17.到目前为止，勾股定理的证明已超过400种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知，点F落在AC上，点C与点E重合，斜边AB与斜边CD交于点M，连接AD，BD，若AC=9，BC=5，则四边形ABCD的面积为 ．
18.如图，在弦图中，正方形ABCD的对角线AC与正方形EFHI的对角线EH交于点K，对角线AC交正方形EFHI于G，J两点，记△GKH面积为S1，▵JIC面积为S2，若AE=12,CD=4 10，则S1+S2的值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.计算：
(1) 4+13−1−32；
(2) 12−2− 3+2021−π0．
四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
已知 a−17+ 17−a=b+8
(1)求a的值；
(2)求a2−b2的平方根．
21.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点D，E两点，CD=BE．
(1)求证：▵ABC为等腰三角形；
(2)若AC=5，CE=4，求BC的长．
22.(本小题8分)
如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，求证：AB = 4BD．
23.(本小题8分)
如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数叫做勾股数组．我国清代数学家罗士琳对勾股数组进行了深入研究，提出了各种有关公式400多个．他提出：当m，n为正整数，且m>n时，m2−n2，2mn，m2+n2为一组勾股数组，直到现在，人们都普遍采用他的这一公式．
(1)除勾股数3，4，5外，请再写出两组勾股数组 ， ；
(2)若令x=m2−n2，y=2mn，z=m2+n2，请你证明x，y，z为一组勾股数．
24.(本小题8分)
如图，以▵ABC一边为直角边构造Rt△ACD，且DC=5，AB=2，BC= 29，∠ADC=45∘．
(1)求证：▵ABC为直角三角形．
(2)若点P为AC上一动点，连接BP，DP，求BP+DP最小值．
25.(本小题8分)
如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为双腰三角形．
(1)如图1，三角形内角分别为80°、25°、75°，请你画出这个三角形的 双腰分割线，并标出每个等腰三角形各角的度数．
(2)如图2，△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D.求证：AD是△ABC的一条双腰分割线．
(3)如图3，已知△ABC中，∠B=64°，AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB=AD．
①求∠C的度数．
②若AB=3，AC=5，求BC的长．
26.(本小题8分)
如图，长方形ABCD沿直线EF翻折，使点C落在点C′处，点B落在点B′处．
(1)如图1，当延长FC′恰好经过点A时，C′B′交AB于点H，连接C′E.已知H为C′B′中点．
①求证：▵AHC′≌▵EHB′．
②若HB=11，BC=2 11.求AF的长．
(2)如图2，当C′与点A重合时，作AO⊥EF，若ADCF=35，求OFAO的比值．
27.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上的一个动点，连接CD，点B关于直线CD的对称点为E，射线AE与射线CD交于点F．
(1)连接CE，求证：∠CAE=∠CEA
(2)当BD(3)若AD=AC，试猜想AE与CD的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】根据轴对称图形的定义进行分析即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形．
【详解】选项A、C、D中的图形都找不到一条直线，使图形沿这条直线折叠后两旁的部分能够完全重合，选项D中的图形能够找到这样一条直线，
故选：B．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的定义，判断是否是轴对称图形，关键是能否找到对称轴．
2.【答案】B
【解析】根据最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，进行判断即可得．
【详解】解：A、被开方数含分母， 13 不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意；
B、被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式， 7 是最简二次根式，选项说法正确，符合题意；
C、 9=3 ，被开方数含能开得尽方的因数， 9 不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意；
D、 20=2 5 ，被开方数含能开得尽方的因数， 20 不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式．解题的关键是掌握最简二次根式必须满足两个条件．
3.【答案】C
【解析】先判断 2 的整数部分即可．
【详解】解：∵1<2<4，
∴1< 2 <2，
∴ 2 的整数部分是1，
所以 2+2 的整数部分是3，
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算，解题关键是正确确定 2 的整数部分．
4.【答案】C
【解析】根据勾股定理直接解答即可，在 ▵ABC 中， AC2+BC2=AB2 ．
【详解】解：在 ▵ABC 中， ∠C=90∘,AB=5 ，
∴ AC2+BC2=AB2=52=25 ．
故选：C．
【点睛】此题考查的是勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
5.【答案】B
【解析】根据三角形内角和定理可得A、B是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出C、D是否是直角三角形．
【详解】解：A、∵ ∠A+∠B=90∘ ，且 ∠A+∠B+∠C=180∘ ，
∴ ∠C=90∘ ，故 ▵ABC 是直角三角形；
B、∵ ∠A:∠B:∠C=5:12:13 ，且 ∠A+∠B+∠C=180∘ ，
∴ ∠C=180∘×135+12+13=78∘ ，故 ▵ABC 不是直角三角形；
C、∵ a2+b2=c2 ，
∴ ▵ABC 为直角三角形；
D、∵ a:b:c=3:4:5 ，
∴可设 a=3k ，则 b=4k ， c=5k ，那么 a2+b2=c2 ，故 ▵ABC 为直角三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足 a2+b2=c2 ，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．
6.【答案】C
【解析】计算出m−n及mn的值，再运用完全平方公式可把根号内的算式用m−n及mn的代数式表示，整体代入即可完成求值．
【详解】∵ m=1+ 2 ， n=1− 2 ，
∴ m−n=2 2 ，mn=−1，
∴ m2+n2−3mn
= (m−n)2−mn
= (2 2)2−(−1)
=3．
故选：C．
【点睛】本题考查了求代数式的值，二次根式的混合运算，完全平方公式的应用，对被开方数进行变形并运用整体代入法求值是关键．
7.【答案】A
【解析】根据题意得 ▵ABC 和 △ADC 是等腰三角形，根据E，F分别为 BC ， CD 的中点， ∠EAF=40∘ 得 ∠BAE=∠CAE ， ∠DAF=∠CAF ，即可得 ∠BAE+∠DAF=∠CAE+∠CAF=∠EAF=40∘ ，即可得．
【详解】解：∵ AB=AC=AD ，
∴ ▵ABC 和 △ADC 是等腰三角形，
∵E，F分别为 BC ， CD 的中点， ∠EAF=40∘ ，
∴ ∠BAE=∠CAE ， ∠DAF=∠CAF ，
∴ ∠BAE+∠DAF=∠CAE+∠CAF=∠EAF=40∘ ，
∴ ∠BAD=∠BAE+∠DAF+∠EAF=40∘+40∘=80∘ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉等腰三角形的三线合一．
8.【答案】A
【解析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵ DE⊥AB ， AE=BE ，
∴ DE 垂直平分 AB ，
∴ AD=BD=6 ，
∴ ∠DAB=∠B ，
∵ ∠CAD=4∠B ，
∴ ∠CAB=5∠B ，
∵ ∠C=90∘ ，
∴ ∠CAB+∠B=90∘ ，
∴ ∠B=∠DAB=15∘ ，
∴ ∠ADC=∠B+∠BAD=30∘ ，
∴ AC=AD=3 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】先根据直角三角形的性质求出 DF 与 CF 的长，再由等腰三角形的性质求出 DE 的长，根据勾股定理求出 EF 的长，进而可得出结论．
【详解】解：∵ ∠ADB=∠ACB=90∘ ，F是 AB 的中点， AB=26 ，
∴ DF=CF=12AB=12×26=13 ，
∴ ▵CDF 是等腰三角形．
∵点E是 CD 的中点， CD=24 ，
∴ EF⊥CD,DE=12CD=12 ．
在 Rt▵DEF 中， DE= DF2−DE2= 132−122=5 ，
∴ ▵DEF 的周长为： DF+DE+EF=13+12+5=30 ．
故选：B．
【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】过点 P 作 PE⊥MN 于点 E,PF⊥MK 于点 F,PQ⊥NK 于点 Q ，根据角平分线的性质定理证得 PE=PQ=PF ，从而判定 MP 平分 ∠NMK ，再根据 ∠NPK 的度数求出 ∠EPF 的度数，再根据四边形的内角和定理求出 ∠NMK 的度数即可解决．
【详解】解：过点 P 作 PE⊥MN 于点 E,PF⊥MK 于点 F,PQ⊥NK 于点 Q ，
∵点 P 为 ▵NMK 两外角角平分线 交点，
∴ PE=PQ=PF ，
∴ MP 平分 ∠NMK ，
∵ PE⊥MN 于点 E,PQ⊥NK 于点 Q ，
∴ ∠PEN=∠PQN=90∘ ，
∵ PN 平分 ∠ENK ，
∴ ∠ENP=∠QNP ，
∴ ∠EPN=∠QPN ，
同理， ∠FPK=∠QPK ，
∴ ∠NPK=12∠EPF ，
∵ ∠NPK=50∘ ，
∴ ∠EPF=100∘ ，
∵ PE⊥MN 于点 E,PF⊥MK 于点 F ，
∴ ∠PEN=∠PFK=90∘ ，
∴ ∠NMK=80∘ ，
∴ ∠PMK=12∠NMK=40∘ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质定理，解题的关键是掌握定理并灵活运用．
11.【答案】2
【解析】根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x，使得x2=a，则x就是a的算术平方根，特别地，规定0的算术平方根是0．
【详解】∵22=4，
∴ 4 =2，
故答案为：2
【点睛】本题考查求算术平方根，熟记定义是关键．
12.【答案】>
【解析】根据两正数比较大小的法则进行比较即可．
【详解】解： π−3>0.14 ．
故答案为： > ．
【点睛】本题考查的是实数的大小比较，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
13.【答案】23或19
【解析】分9cm是腰长与底边长两种情况，再结合三角形的三边关系讨论求解．
【详解】解：①若9cm是腰长，则三角形的三边分别为9cm、9cm、5cm，
5+9>9 ，能组成三角形，
周长 =9+9+5=23 (cm)，
②若9cm是底边长，则三角形的三边分别为9cm、9cm、5cm，
5+5>9 ，能组成三角形，
周长 =9+5+5=19 (cm)．
综上所述，三角形的周长为23或19cm．
故答案为 ：23或19．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并利用三角形三边关系判断是否能组成三角形．
14.【答案】15cm
【解析】根据题意画出图形，利用圆柱侧面展开图，结合勾股定理求出即可．
【详解】如图所示： AC= AB2+BC2= 122+92=15cm ，
∴这段葛藤的长 =15cm ．
故答案为 15cm ．
【点睛】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，利用勾股定理得出是解题关键．
15.【答案】24
【解析】由线段垂直平分线的性质得到 AF=BF ， AN=CN ，由勾股定理的逆定理证得 AF⊥BC ，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解： ∵ 直线 EF、MN 分别为 AB、AC 的垂直平分线
∴AF=BF=4,AN=CN=5 ，
∵FN=3 ，
∴BC=BF=FN+CN=12 ， AF2+FN2=42+32=52=AN2 ，
∴∠AFN=90∘ ，
∴AF⊥BC ，
∴S▵ABC=12BC⋅AF=12×12×4=24 ，
故答案为 24 ．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，三角形面积公式，关键是根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理证得 AF⊥BC ，从而找到高的数值．
16.【答案】2
【解析】由勾股定理可求 AC,BC,AB 的长，由勾股定理的逆定理可证 ∠ACB=90∘ ，由面积法可求解．
【详解】解：由题意可得： AC= 12+22= 5 ， BC= 22+42=2 5 ， AB= 32+42=5 ，
∵ AC2+BC2=25,AB2=25 ，
∴ AC2+BC2=AB2 ，
∴ ∠ACB=90∘ ，
∵ S▵ABC=12×AB⋅CD=12×AC⋅BC ，
∴ 5×2 5=5CD ，
∴ CD=2 ，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理，三角形的面积公式，证明 ∠ACB=90∘ 是解题的关键．
17.【答案】53
【解析】根据全等三角形的性质可得 DF=AC=9 ， CF=BC=5 ，再根据四边形 ABCD 的面积等于 ΔDAC 的面积与 ΔDBC 的面积的和，列出算式计算即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ DF=AC=9 ， CF=BC=5 ，
∴ S四边形ABCD=SΔDAC+SΔDBC=12×9×9+12×5×5=53 ．
故答案为： 53 ．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，关键是求出 DF=AC=9 ， CF=BC=5 ，以及由图形得到四边形 ABCD 的面积等于 ΔDAC 的面积与 ΔDBC 的面积的和．
18.【答案】16
【解析】由弦图推出 AF=CI,∠AFG=∠CIJ=90∘,FH//EI 即可证明 ▵AFG≌▵CIJAAS ， FG=IJ ，再根据四边形 EFHI 为正方形，得到 ▵GHK≌▵JEK ，从而得到点K为正方形 EFHI 的中心，过点K作 KM⊥FH 于点M，由勾股定理得 DE=4,FH=8,KM=4 设 GH=a,FG=b ，则 a+b=FH=8 ，最后用a，b表示出 S1+S2=2(a+b) ，将 a+b 的值代入即可求解．
【详解】解：在弦图中， AE=CH=AI=BF ，
∵四边形 EFHI 是正方形，
∴ EF=HI=EI=FH ， ∠AFG=∠CIJ=∠AEI=90∘ ，
∴ AE−EF=CH−HI ，
∴ AF=CI ，
∵ ∠AFG=∠AEI ，
∴ FH//EI ，
∴ ∠AGF=∠KJE
∵ ∠IJC=∠KJE ，
∴ ∠AGF=∠IJC ，
在 ▵AFG 和 ▵CIJ 中，
∠AGF=∠IJC∠AFG=∠CIJ=90∘AF=CI ，
∴ ▵AFG≌▵CIJAAS ，
∴ FG=IJ ，
∵四边形 EFHI 为正方形，
∴ EI−IJ=FH−FG ，即 HG=EJ ，
在 ▵GHK 和 ▵JEK 中，
∠HGK=∠EJK∠GKH=∠JKEHG=EJ ，
∴ ▵GHK≌▵JEKAAS ，
∴ HK=EK ，即点K为正方形 EFHI 的中心，
如图，过点K作 KM⊥FH 于点M，
∵ AE=12,CD=4 10 ，
∴ BF=12,AD=4 10 ，
在 Rt▵ADE 中，
由勾股定理得 DE= AD2−AE2=4 ，
∴ AF=DE=4,EF=AE−AF=12−4=8 ，
则 FH=8,KM=4 ，
设 GH=a,FG=b ，则 a+b=FH=8 ，
∴ S1=12GH⋅MK = 12a×4=2a ，
S2=SΔAFG=12FG⋅AF = 12b×4 =2b ，
∴ S1+S2=2a+2b=2a+b=16 ．
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，正方形的性质，解题的关键是寻找全等三角形的条件解决问题．
19.【答案】【小题1】
解：原式 =2+3−9
=−4
【小题2】
解：原式 =2 3−2+ 3+1
=3 3−1 ．

【解析】1. 直接利用负整数指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简，进而计算得出答案．
2. 此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
20.【答案】【小题1】解：
根据题意得： a−17≥017−a≥0 ，
解得：a=17
【小题2】解：
b+8=0，
解得：b=−8，
则a2−b2=172−(−8)2=225，
则a2−b2的平方根是：±15

【解析】1. 根据二次根式的性质可得： a−17≥017−a≥0 ，即可解得 a=17 ，然后再代入可得b=−8
2. 根据(1)代入可求得a2−b2=225，根据平方根的意义可解
21.【答案】【小题1】
证明：∵ CE⊥AB ， BD⊥AC ，
∴ ∠CEB=∠CEA=∠BDC=90∘ ，
∴ ▵EBC 和 △DCB 都是直角三角形，
在 Rt▵EBC 与 Rt▵DCB 中，
BC=CBBE=CD ，
∴ Rt▵EBC≌Rt▵DCBHL ，
∴ ∠EBC=∠DCB ，
∴ AB=AC ，
∴ ▵ABC 是等腰三角形
【小题2】
解：在 Rt▵ACE 中，
由勾股定理得： AE= AC2−CE2= 52−42=3 ，
∵ AB=AC=5 ，
∴ BE=AB−AE=5−3=2 ，
∴ BC= BE2+CE2= 22+42=2 5 ，
即 BC 的长为 2 5 ．

【解析】1. 证 Rt▵EBC≌Rt▵DCB ，得 ∠EBC=∠DCB ，再根据等角对等边，即可得出结论
2. 由勾股定理，得出 AE=3 ，则 BE=AB−AE=5−3=2 ，再由勾股定理，即可得出结论．
22.【答案】证明：∵∠ACB=90°，∠A=30°
∴AB=2BC，∠B=60°．
又∵CD⊥AB
∴∠DCB=30°
∴BC=2BD
∴AB=2BC=4BD

【解析】根据直角三角形30度角的性质即可证明．
23.【答案】【小题1】
6，8，10
5，12，13
【小题2】
∵x=m2−n2，y=2mn，z=m2+n2，
∴x2=(m2−n2)2=m4+n4−2m2n2，y2=4m2n2，z2=(m2+n2)2=m4+n4+2m2n2，
∴x2+y2=(m4+n4−2m2n2)+4m2n2=m4+n4+2m2n2=z2，
∴x、y、z是一组勾股数．

【解析】1.
解：(1)勾股数有6，8，10或5，12，13；
故答案为：6，8，10；5，12，13；
2. 先求出x2，y2，z2的值，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
24.【答案】【小题1】
证明：根据题意得， ∠ACD=90∘ ， ∠ADC=45∘ ，
∴ ∠CAD=180∘−∠ADC−∠ACD=180∘−45∘−90∘=45∘ ，
∵ ∠CAD=∠ADC=45∘ ，
∴ AC=CD=5 ，
∵ AB=2 ， BC= 29 ，
∴ 22+52=( 29)2 ，
AB2+AC2=BC2 ，
∴ ∠BAC=90∘ ，
∴△ABC为直角三角形
【小题2】
解：如图所示，延长 DC 至M，使得 DC=CM ，连接 PM ， BM ，过点B作 BN⊥CD 于点N，

则 CM=DC=5 ， PM=PD ，
∵ ∠BAC=∠ACN=∠BNC=90∘ ，
∴四边形 ABNC 是矩形，
∴ BN=AC=5 ， AB=CN=2 ， ∠BMN=90∘ ，
∴ BM= BN2+MN2= 52+72= 74 ，
∵ BP+DP=BP+PM≥BM ，
当B、P、M三点共线时， BP+PM 取最小值为 BP+PM=BM= 74 ，
∴ BP+DP 最小值为 74 ．

【解析】1. 根据题意得， ∠ACD=90∘ ， ∠ADC=45∘ ，根据三角形内角和定理得 ∠CAD=45∘ ，即可得 ∠CAD=∠ADC=45∘ ，则 AC=CD=5 ，根据勾股定理的逆定理即可得 ∠BAC=90∘ ，即可得
2.
延长 DC 至M，使得 DC=CM ，连接 PM ， BM ，过点B作 BN⊥CD 于点N，
则 CM=DC=5 ， PM=PD ，根据矩形的性质和勾股定理得 BM= 74 ，根据 BP+DP=BP+PM≥BM ，得当B、P、M三点共线时， BP+PM 取最小值为 BP+PM=BM= 74 ，即可得．
25.【答案】【小题1】
解：线段AD是△ABC的双腰分割线，每个等腰三角形各角的度数；
【小题2】
证明：∵线段AC的垂直平分线交AC于点E，
∴AD=CD，
∴△ADC是等腰三角形，
∴∠C=∠DAC，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=2∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠B=∠ADB，
∴AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形，
∴AD是△ABC的一条双腰分割线．
【小题3】
①∵AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB=AD．
∴AB=AD=CD，
∴∠B=∠ADB=64°，
∵AD=CD，
∴∠C=∠CAD= 12 ∠ADB=32°；
②过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB=AD=CD=3，
∴BE=DE，
设BE为x，
∵Rt△ABE中，AE2=AB2−BE2=32−x2，
Rt△ACE中，AE2=52−(3+x)2，
∴32−x2=52−(3+x)2，
解得，x= 76 ，
∴BC= 76 ×2+3= 163 ．

【解析】1. 从三个顶点出发各作一条线段，根据等边对等角，求出角度，看是否符合另一个三角形也是等腰三角形
2. 根据等腰三角形的判定和性质求解可得．
3.
①由AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB=AD.得AB=AD=CD，∠B=∠ADB=64°，从而求得∠C=∠CAD= 12 ∠ADB=32°；
②过点A作AE⊥BC于点E，Rt△ABE中，AE2=AB2−BE2=32−x2，Rt△ACE中，AE2=52−(3+x)2，得32−x2=52−(3+x)2，解方程即可．
26.【答案】【小题1】
①证明：∵ AC′//EB′ ，
∴ ∠HAC′=∠HEB′ ，
∵H是 B′C′ 的中点，
∴ HC′=HB′ ，
在 ▵AHC′ 和 ▵EHB′ 中，
∠HAC′=∠HEB′∠HBC′=∠EHB′AC′=HB′ ，
∴ ▵AHC′≌▵EHB′ (AAS)；
②由翻折变换的性质可知 BC=B′C′=2 11 ， BE=EB′ ， ∠B=∠B′=90∘ ，
设 BE=BE′=x ，则 EH=11−x ，
在 Rt▵HB′E 中，根据勾股定理得， (11−x)2=x2+( 11)2 ，
121−22x+x2=x2+11
22x=110
x=5 ，
∴ AH=EH=6 ， AC′=EB′=EB=5 ，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC=BC=2 11 ， AB=CD=17 ， ∠ADC=90∘
设 CF=FC′=y ，则 AF=y+5 ， DF=17−y ，
根据勾股定理得， (y+5)2=(2 11)2+(17−y)2 ，
y2+10y+25=44+289−34y+y2 ，
44y=308 ，
y=7 ，
∴ AF=AC′+FC′=12
【小题2】
解：如图2所示，过点F作 FH⊥AB 于点H，
∵ ADCF=35 ，
∴可以假设 AD=3k ， CF=5k ，
∴ C′F=5k ，
∵四边形 ABCD 是长方形，
∴ ∠ADF=90∘ ，
在 Rt▵ADF 中，根据勾股定理得， DF= AF2−AD2= (5k)2−(3k)2=4k ，
∵ ∠D=∠DAH=∠FHA=90∘ ，
∴四边形 ADFH 是 矩形，
∴ DF=AH=4k ， FH=AD=3k ，
由翻折变换的 性质可知 ∠CFE=∠EFA ，
∵ CD/​/AB ，
∴ ∠CFE=∠AEF ，
∴ ∠AFE=∠AEF ，
∴ AF=AH=5k ，
∴ EH=AE−AH=5k−4k=k ，
∴ EF= EH2+HF2= k2+(3k)2= 10k ，
∵ AO⊥EF ，
∴ OF=OE= 102k ，
∵ 12AE•FH=12EF•AO ，
∴ AO=5k×3k 10k=3 10k2 ，
∴ OFOA= 10k23 10k2=13 ．

【解析】1. ①根据 AC′//EB′ 得 ∠HAC′=∠HEB′ ，根据H是 B′C′ 的中点得 HC′=HB′ ，利用AAS证明三角形全等即可；②设 BE=BE′=x ，在 Rt▵HB′E 中，根据勾股定理得， (11−x)2=x2+( 11)2 ，进行计算得出 x=5 ，即可得 AH=EH=6 ， AC′=EB′=EB=5 ，根据四边形 ABCD 是矩形得 AC=BC=2 11 ， AB=CD=17 ， ∠ADC=90∘ ，设 CF=FC′=y ，则 AF=y+5 ， DF=17−y ，根据勾股定理得， (y+5)2=(2 11)2+(17−y)2 ，计算得 y=7 ，即可得
2. 过点F作 FH⊥AB 于点H，根据 ADCF=35 ，可以假设 AD=3k ， CF=5k ，则 DF=4k ，根据 ∠D=∠DAH=∠FHA=90∘ ，可得四边形 ADFH 是矩形，即可得 DF=AH=4k ， FH=AD=3k ，由翻折变换的性质可知 ∠CFE=∠EFA ，根据 CD/​/AB 得 ∠CFE=∠AEF ，则 ∠AFE=∠AEF ，即可得 AF=AH=5k ，则 EH=k ，根据勾股定理得 EF= 10k ，根据 AO⊥EF 得 OF=OE= 102k ，根据 12AE•FH=12EF•AO 得 AO=3 10k2 ，即可得．
27.【答案】【小题1】解：
∵点B关于直线CD的对称点为E
∴CD垂直平分BE，
∴ ∠CGB=∠CGE ， GB=GE
在 ▵CGB 和 ▵CGE 中
CG=CG∠CGB=∠CGEGB=GE
∴ △CGB≌△CGE
∴ BC=EC ，∠BCD=∠ECD
又∵AC=BC
∴AC=EC
∴∠CAE=∠CEA
【小题2】
设∠BCD=α，由(1)知∠BCD=∠ECD=α
∵∠ACB=90°
∴ ∠ACE=90∘−2α
∴∠CAE=∠CEA= 180∘−90∘−2α2= 45°+α
∴∠ECD+∠AFC=∠CEA=45°+α，
∴∠AFC=∠CEA −∠ECD =45°
【小题3】
连接BF
∵AC=AD，AC=BC
∴AD=BC
∵CD垂直平分BE，
∴FE=FB
∴∠AFD=∠BFD
由(2)得∠CAE=∠CAB+∠DAF=45°+α ， ∠CAB=45°
∴∠BCD=∠FAD=α
在△ADF和△CBF中
∠AFD=∠BFD∠BCD=∠FAD=αAD=BC
∴△ADF≌△CBF
∴AF=CF，DF=BF=EF
∴AF−EF=CF−DF，即AE=CD．

【解析】1. 根据轴对称的性质，得 ∠CGB=∠CGE ， GB=GE ，根据全等三角形的性质，通过证明 △CGB≌△CGE ，推导得AC=EC，再根据等腰三角形的性质分析，即可得到答案
2. 设∠BCD=α，结合题意，得 ∠ACE=90∘−2α ；根据三角形内角和性质，推导得∠CAE，结合三角形外角的性质分析，即可得到答案
3. 连接BF，根据题意，得AD=BC，根据垂直平分线和全等三角形性质，通过证明△ADF≌△CBF，得AF=CF，DF=BF=EF，通过计算即可得到答案．知识回顾
知识延伸
已知点O为∠ABC与∠ACB的角平分线交点，通过证明OD=OE=OF，可得点O在∠A的角平分线上．
已知点P为▵NMK两外角角平分线的交点，若∠NPK=50∘，则∠PMK=( )