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浙江省杭州市临平区2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试卷
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这是一份浙江省杭州市临平区2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求.
1．（3分）平移函数y＝x2的图象，得到新的图象的表达式为y＝（x﹣1）2+5，则平移的方式是（ ）
A．向左平移1单位，向下平移5单位
B．向右平移1单位，向上平移5单位
C．向左平移1单位，向上平移5单位
D．向右平移1单位，向下平移5单位
2．（3分）一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，以点B为中心，顺时针旋转△ABC得到△DBE，点E恰好在AB上．若AC＝4，BC＝3，则AE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（3分）已知⊙O的半径为8，点A在⊙O内，则OA的长可能为（ ）
A．6B．8C．10D．12
5．（3分）已知圆心角为120°的扇形面积为12π，那么扇形的弧长为（ ）
A．4B．2C．4πD．2π
6．（3分）如图，点D，E，F在△ABC的边上，EF∥BC，DF∥EC．下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如表给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围为（ ）
A．1.2＜x1＜1.3B．1.3＜x1＜1.4
C．1.4＜x1＜1.5D．1.5＜x1＜1.6
8．（3分）如图，四边形ABDC内接于⊙O，对角线BC，AD交于点E，延长BA，DC交于点P．下列说法错误的是（ ）
A．△CED∽△AEBB．△AEC∽△BEDC．△DCA∽△BACD．△PCA∽△PBD
9．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3a的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（4，y1）点D（x2，y2）是函数图象上任意一点，有下列结论：
①二次函数的最小值为﹣4a；
②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；
③若y2＞y1，则x2＞4；
④一元二次方程﹣3ax2+bx+a＝0的两个根为﹣1和．
其中正确的是（ ）
A．①B．①②C．②③D．①④
10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，点C是圆上不与A，B重合的点，CD平分∠ACB，交⊙O于D，AE平分∠CAB，交CD于E．有以下说法：
①点D是定点；
②AC•BC的最大值为50；
③D为△ABE的外心；
④CA+CB的最大值为．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）掷一枚均匀的硬币10次，前九次朝上的面次数为反6次，正3次，那么第十次反面朝上的可能性大． （判断对错）
12．（4分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，若∠A＝20°，AB＝6，则弧AC的长为 ．
13．（4分）如图，在△ABC中，点E，F分别在边AB，AC上，∠B＝∠AEF．若BC＝4，AF＝2，CF＝3，则EF＝ ．
14．（4分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连接AP，则∠PAH的度数为 °．
15．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，当x＞k时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ．
16．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连结AD，若CD＝2AD，AB＝BC＝8，则⊙O的半径 ．
三、解答题：本题有8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）已知，线段a，b，c，且．
（1）求的值．
（2）设，线段a，b，c满足a+b+c＝27，求k的值．
18．（6分）将分别标有数字2，3，5的三张质地、大小完全一样的卡片背面朝上放在桌面上．
（1）随机抽取一张，求抽到奇数的概率；
（2）随机抽取一张，将卡片的数字作为一个两位数的十位数字（不放回），再抽取一张，将卡片的数字作为这个两位数的个位数字，请画树状图列举所有可能出现的结果，并求出所抽取的两位数恰好是5的倍数的概率．
19．（6分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2＝90°．
（1）求证：△ADE∽△ABC．
（2）若，△ABC的面积为25，求△ADE的面积．
20．（8分）已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点（0，6）和（1，8）．
（1）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？
（2）当x在什么范围内时，y＞0？
21．（8分）如图，已知BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC于点H，与弦BF交于点E，AD＝8，BH＝2．
（1）求⊙O的半径；
（2）若∠EAB＝∠EBA，求证：BF＝2AH．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的顶点D，E在边BC上，点F，G分别在边AC，AB上．
（1）求证：△DBG∽△EFC．
（2）若BD＝4，CE＝3，求DE的长．
23．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+2kx+1﹣k（k是常数）
（1）求此函数的顶点坐标．
（2）当x≥1时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
（3）当0≤x≤1时，该函数有最大值3，求k的值．
24．（12分）如图，已知锐角三角形EBD，点A在三角形内，∠ABD＝45°，∠EAD＝90°，AE＝AD．作△ADE的外接圆⊙O，交BD于点F，连接EF，AF．
（1）求证：△ABD≌△AFE．
（2）若，，
①求BD的取值范围．
②求⊙O的面积S的取值范围．
2023-2024学年浙江省杭州市临平区九年级（上）月考数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求.
1．（3分）平移函数y＝x2的图象，得到新的图象的表达式为y＝（x﹣1）2+5，则平移的方式是（ ）
A．向左平移1单位，向下平移5单位
B．向右平移1单位，向上平移5单位
C．向左平移1单位，向上平移5单位
D．向右平移1单位，向下平移5单位
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【解答】解：二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到的函数图象的表达式是：y＝（x﹣1）2+5．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
2．（3分）一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】用黄球的个数除以球的总个数即可．
【解答】解：从袋中任意摸出一个球有8种等可能结果，其中摸出的小球是黄球的有5种结果，
所以从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为，
故选：D．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
3．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，以点B为中心，顺时针旋转△ABC得到△DBE，点E恰好在AB上．若AC＝4，BC＝3，则AE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由勾股定理得出AB的长，再由旋转的性质得BE＝BC＝3，即可求得结果．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∵△DEB由△ABC旋转所得，
∴BE＝BC＝3，
∴AE＝AB﹣BE＝5﹣3＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理等知识，明确旋转前后对应边相等是解题的关键．
4．（3分）已知⊙O的半径为8，点A在⊙O内，则OA的长可能为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】先得到圆的半径为8，根据点与圆的位置关系的判定方法得到当d＞8时，点P在⊙O外；当d＝8时，点P在⊙O上；当d＜8时，点P在⊙O内，然后对各选项进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为8，
∴当d＞8时，点P在⊙O外；
当d＝8时，点P在⊙O上；
当d＜8时，点P在⊙O内．
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
5．（3分）已知圆心角为120°的扇形面积为12π，那么扇形的弧长为（ ）
A．4B．2C．4πD．2π
【分析】设扇形的半径为R，先根据扇形的面积公式得到12π＝，解得R＝6，然后根据扇形的弧长公式求解．
【解答】解：设扇形的半径为R，
根据题意得12π＝，
解得R＝6，
所以扇形的弧长＝＝4π．
故选：C．
【点评】本题考查了弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．也考查了扇形的面积公式．
6．（3分）如图，点D，E，F在△ABC的边上，EF∥BC，DF∥EC．下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据相似三角形的判定与性质求解即可．
【解答】解：∵EF∥BC，DF∥EC，
∴△AEF∽△ABC，△ADF∽△AEC，
∴＝＝，＝＝，
∴＝，＝，＝，＝，
故A、C、D错误，不符合题意；B正确，符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
7．（3分）如表给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围为（ ）
A．1.2＜x1＜1.3B．1.3＜x1＜1.4
C．1.4＜x1＜1.5D．1.5＜x1＜1.6
【分析】根据表格中的数据可得出“当x＝1.4时，y＝﹣0.24；当x＝1.5时，y＝0.25．”由此即可得出结论．
【解答】解：当x＝1.4时，y＝﹣0.24；当x＝1.5时，y＝0.25．
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围为1.4＜x1＜1.5．
故选：C．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键．
8．（3分）如图，四边形ABDC内接于⊙O，对角线BC，AD交于点E，延长BA，DC交于点P．下列说法错误的是（ ）
A．△CED∽△AEBB．△AEC∽△BEDC．△DCA∽△BACD．△PCA∽△PBD
【分析】根据相似三角形的判定定理可得出结论．
【解答】解：A．∵∠ECD＝∠EAB，∠CED＝∠AEB，∴△CED∽△AEB，故选项A不符合题意；
B．∵∠ACE＝∠EDB，∠CEA＝∠DEB，∴△AEC∽△BED，故选项B不符合题意；
C．不能证明△DCA∽△BAC，故选项C符合题意；
D．∵∠PCA＝∠PBD，∠P＝∠P，∴△PCA∽△PBD，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
9．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3a的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（4，y1）点D（x2，y2）是函数图象上任意一点，有下列结论：
①二次函数的最小值为﹣4a；
②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；
③若y2＞y1，则x2＞4；
④一元二次方程﹣3ax2+bx+a＝0的两个根为﹣1和．
其中正确的是（ ）
A．①B．①②C．②③D．①④
【分析】利用交点式得到y＝a（x+1）（x﹣3），即y＝ax2﹣2ax﹣3a，利用配方法得到y＝a（x﹣1）2﹣4a，则根据二次函数的性质可对①进行判断；由于x＝1在﹣1≤x2≤4范围内，而x＝1时，y有最小值﹣4a，从而可对②进行判断；根据二次函数的性质有y2＞y1得到C点到直线x＝1的距离比点D到直线x＝1的距离大，所以|x2﹣1|＞|4﹣1|，解不等式可对③进行判断；把b＝﹣2a代入一元二次方程﹣3ax2+bx+a＝0得﹣3ax2﹣2ax+a＝0，然后解方程可对④进行判断．
【解答】解：设抛物线解析为y＝a（x+1）（x﹣3），
即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∵y＝a（x﹣1）2﹣4a，
而抛物线开口向上，
∴二次函数的最小值为﹣4a，所以①正确；
当x＝﹣1时，y＝0；
当x＝4时，y＝5a，
当x＝2时，y有最小值﹣4a，
∴﹣1≤x2≤4，﹣4a≤y2≤5a，所以②错误；
若y2＞y1，则C点到直线x＝1的距离比点D到直线x＝1的距离大，
∴|x2﹣1|＞|4﹣1|，
∴|x2﹣1|＞3，
解x2＞4或x2＜﹣2，所以③错误；
∵b＝﹣2a，
∴一元二次方程﹣3ax2+bx+a＝0化为﹣3ax2﹣2ax+a＝0，
即3x2+2x﹣1＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝，所以④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，点C是圆上不与A，B重合的点，CD平分∠ACB，交⊙O于D，AE平分∠CAB，交CD于E．有以下说法：
①点D是定点；
②AC•BC的最大值为50；
③D为△ABE的外心；
④CA+CB的最大值为．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①在同圆或等圆中，根据圆周角相等，则弧相等可作判断；
②先根据勾股定理得：AC2+BC2＝AB2＝102＝100，由完全平方公式：（AC﹣BC）2≥0，展开可作判断；
③证明AD＝DE＝BD，可作判断；
④根据完全平方公式（AC+BC）2＝AC2+2AC•BC+BC2，代入可得：（AC+BC）2≤200，开方可判断．
【解答】解：①∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴＝，
∵AB是⊙O的直径，
∴D是半圆的中点，即点D是定点；
故①正确；
②∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2＝102＝100，
∵AC＞0，BC＞0，
∴AC2+BC2≥2AC•BC，
∴2AC•BC≤100，
∴AC•BC≤50，
∴AC•BC的最大值为50；
故②正确；
③∵＝，
∴AD＝BD，
∵CD平分∠ACB，AE平分∠CAB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠BAD，∠CAE＝∠BAE，
∵∠AED＝∠ACD+∠CAE，∠DAE＝∠BAD+∠BAE，
∴∠AED＝∠DAE，
∴AD＝ED＝BD，
∴D为△ABE的外心，
故③正确；
④∵（AC+BC）2＝AC2+2AC•BC+BC2＝AB2+2AC•BC≤100+100，
∴AC+BC≤10，
即CA+CB的最大值为10，
故④正确；
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）掷一枚均匀的硬币10次，前九次朝上的面次数为反6次，正3次，那么第十次反面朝上的可能性大． × （判断对错）
【分析】根据大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率），可得答案．
【解答】解：掷一枚均匀的硬币10次，前九次朝上的面次数为反6次，正3次，但第十次反面朝上和正面朝上的可能相同，均为50%，原说法错误．
故答案为：×．
【点评】本题考查的是频率和概率，正确理解频率和概率的关系是解题的关键．
12．（4分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，若∠A＝20°，AB＝6，则弧AC的长为 π ．
【分析】连接OC，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOC＝140°，然后根据弧长公式计算．
【解答】解：连接OC，如图，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝20°，
∴∠AOC＝180°﹣20°﹣20°＝140°，
∵AB＝6，
∴OA＝3，
∴弧AC的长＝＝π．
故答案为：π．
【点评】本题考查了弧长公式：l＝（其中弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．
13．（4分）如图，在△ABC中，点E，F分别在边AB，AC上，∠B＝∠AEF．若BC＝4，AF＝2，CF＝3，则EF＝ ．
【分析】由∠1＝∠2，∠A＝∠A，得出△AEF∽△ABC，再由相似三角形的性质即可得出EF的长度．
【解答】解：∵∠1＝∠2，∠A＝∠A，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∵BC＝4，AF＝2，CF＝3，
∴，
∴EF＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据已知条件求证△AEF∽△ABC是解决问题的关键．
14．（4分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连接AP，则∠PAH的度数为 45 °．
【分析】由旋转的性质可得BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，由外角的性质可求∠PAH＝135°﹣90°＝45°，即可求解．
【解答】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，
∴BC＝BP＝BA，
∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP，
∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，
∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，
∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°，
∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
15．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，当x＞k时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 k≥1 ．
【分析】可先求得抛物线的对称轴，再由函数的性质得到k的取值范围．
【解答】解：y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，
∵当x＞k时，y随x的增大而减小，
∴k的取值范围是k≥1，
故答案为：k≥1．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，由函数的增减性得到关于k的不等式是解题的关键．
16．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连结AD，若CD＝2AD，AB＝BC＝8，则⊙O的半径 ．
【分析】根据圆周角定理得到∠DAC＝90°，证明△ABC为等边三角形，得到AC＝AB＝8，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠DAC＝90°，
∵CD＝2AD，
∴∠ACD＝30°，
∴∠ADC＝60°，
由圆周角定理得，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∵AB＝BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝8，
由勾股定理得：CD2＝AD2+AC2，即CD2＝（ CD）2+82，
解得：CD＝，
则⊙O的半径为，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等边三角形的判定和性质、勾股定理的应用是解题的关键．
三、解答题：本题有8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）已知，线段a，b，c，且．
（1）求的值．
（2）设，线段a，b，c满足a+b+c＝27，求k的值．
【分析】（1）根据比例的性质得出＝，即可得出的值；
（2）根据＝＝＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，利用a+b+c＝27求出k的值即可得出答案．
【解答】解：（1）∵＝，
∴＝，
∴＝，
（2）设＝＝＝k，
则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+b+c＝27，
∴2k+3k+4k＝27，
∴k＝3．
【点评】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出a＝2k，b＝3k，c＝4k进而得出k的值是解题关键．
18．（6分）将分别标有数字2，3，5的三张质地、大小完全一样的卡片背面朝上放在桌面上．
（1）随机抽取一张，求抽到奇数的概率；
（2）随机抽取一张，将卡片的数字作为一个两位数的十位数字（不放回），再抽取一张，将卡片的数字作为这个两位数的个位数字，请画树状图列举所有可能出现的结果，并求出所抽取的两位数恰好是5的倍数的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出可得所有等可能的结果，以及所抽取的两位数恰好是5的倍数的结果，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）数字2，3，5中，是奇数的有3，5，
∴随机抽取一张，抽到奇数的概率为．
（2）画树状图如下：
共有6种等可能出现的结果：23，25，32，35，52，53，
其中所抽取的两位数恰好是5的倍数的有：25，35，共2种，
∴所抽取的两位数恰好是5的倍数的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
19．（6分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2＝90°．
（1）求证：△ADE∽△ABC．
（2）若，△ABC的面积为25，求△ADE的面积．
【分析】（1）由CD⊥AB于点D，可得出∠1+∠CDE＝90°，结合∠1+∠2＝90°，利用等角的余角相等，可得出∠CDE＝∠2，再利用“内错角相等，两直线平行”，可证出DE∥BC，则可得出△ADE∽△ABC；
（2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出△ADE的面积．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB于点D，
∴∠ADC＝90°，即∠1+∠CDE＝90°，
又∵∠1+∠2＝90°，
∴∠CDE＝∠2，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC；
（2）解：∵△ADE∽△ABC，
∴＝，即，
∴S△ADE＝4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、垂线、余角以及平行线的判定，解题的关键是：（1）根据各角之间的关系，找出∠CDE＝∠2；（2）牢记“相似三角形的面积比等于相似比的平方”．
20．（8分）已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点（0，6）和（1，8）．
（1）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？
（2）当x在什么范围内时，y＞0？
【分析】，（1）根据二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点（0，6）和（1，8），可以求得该抛物线的解析式，并将其化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到x在什么范围内时，y随x的增大而增大；
（2）根据（1）中的函数解析式求出抛物线与x轴的交点的横坐标，进而可以得到x在什么范围内时，y＞0．
【解答】解：（1）二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点（0，6）和（1，8），
∴，
解得，
即该二次函数的解析式为y＝﹣2x2+4x+6；
∴y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，
∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向下，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大；
（2）当y＝0时，0＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣3）（x+1），
解得，x1＝3，x2＝﹣1，
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0．
【点评】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是根据待定系数法求出二次函数的解析式．
21．（8分）如图，已知BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC于点H，与弦BF交于点E，AD＝8，BH＝2．
（1）求⊙O的半径；
（2）若∠EAB＝∠EBA，求证：BF＝2AH．
【分析】（1）连接OA交BF于G，如图，⊙O的半径为r，根据垂径定理得到AH＝DH＝4，在Rt△OHA中，根据勾股定理得r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5；
（2）连接CF，如图，根据垂径定理得到弧AB＝弧DB，而∠EAB＝∠EBA，所以弧BD＝弧AF，则弧AB＝弧AF，再根据垂径定理的推论得OA⊥BG，所以BG＝FG，然后证明△OAH≌△OBG，得到AH＝BG，所以BF＝2AH．
【解答】（1）解：连接OA交BF于G，如图，⊙O的半径为r，
∵AD⊥OB，
∴AH＝DH＝4，
在Rt△OHA中，OH＝r﹣2，OA＝r，
∴r2＝42+（r﹣2）2
，解得r＝5，
即⊙O的半径为5；
（2）方法一
证明：连接CF，如图，
∵AD⊥OB，
∴弧AB＝弧DB，
∵∠EAB＝∠EBA，
∴弧BD＝弧AF，
∴弧AB＝弧AF，
∴OA⊥BG，
∴BG＝FG，
∴∠OAH＝∠OBG，
在△OAH和△OBG中，
，
∴△OAH≌△OBG（AAS），
∴AH＝BG，
∴BF＝2AH．
方法二：∵AD⊥OB，
∴弧AB＝弧DB，AH＝DH，
∵∠EAB＝∠EBA，
∴弧BD＝弧AF，
∴弧AB＝弧AF，
∴弧AD＝弧BF，
∴BF＝AD＝2AH．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和勾股定理．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的顶点D，E在边BC上，点F，G分别在边AC，AB上．
（1）求证：△DBG∽△EFC．
（2）若BD＝4，CE＝3，求DE的长．
【分析】（1）根据正方形的性质得出∠GDB＝∠FEC＝90°，根据直角三角形的性质推出∠B＝∠EFC，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解；
（2）根据正方形的性质得出DG＝DE＝EF，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形DEFG是正方形，
∴∠GDE＝∠FED＝90°，
∴∠GDB＝∠FEC＝90°，
∴∠C+∠B＝∠EFC+∠C＝90°，
∴∠B＝∠EFC，
∴△DBG∽△EFC；
（2））解：∵四边形DEFG是正方形，
∴DG＝DE＝EF，
∵△DBG∽△EFC，
∴＝，
∴＝，
∵BD＝4，CE＝3，
∴＝，
∴DE＝2或DE＝﹣2（舍去），
∴DE＝2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+2kx+1﹣k（k是常数）
（1）求此函数的顶点坐标．
（2）当x≥1时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
（3）当0≤x≤1时，该函数有最大值3，求k的值．
【分析】（1）配方得到顶点式，可确定顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质即可得到k的取值；
（3）分三种情况讨论，关键题意得到关于k的方程，解方程即可求得．
【解答】解：（1）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2kx+1﹣k＝﹣（x﹣k）2+1﹣k+k2，
∴抛物线的顶点坐标为（k，1﹣k+k2）；
（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣k）2+1﹣k+k2，
∴当x≥k时，y随x的增大而减小，
∵当x≥1时，y随x的增大而减小，
∴k≤1．
（3）①当k＜0时，x＝0时，函数值最大，
∴1﹣k＝3，解得k＝﹣2；
②当0≤k≤1时，则1﹣k+k2＝3，
解得k＝2或﹣1（舍去），
③当k＞1时，x＝1时，函数值最大，
∴﹣1+2k+1﹣k＝3，解得k＝3
综上，当0≤x≤1时，该函数有最大值3，则k＝﹣2或k＝3．
【点评】本题看出来二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值，二次函数的性质，分类讨论是解题的关键．
24．（12分）如图，已知锐角三角形EBD，点A在三角形内，∠ABD＝45°，∠EAD＝90°，AE＝AD．作△ADE的外接圆⊙O，交BD于点F，连接EF，AF．
（1）求证：△ABD≌△AFE．
（2）若，，
①求BD的取值范围．
②求⊙O的面积S的取值范围．
【分析】（1）根据等腰直角三角形得∠ADE＝45°，则∠ABD＝∠AFE，再利用同弧所对的圆周角相等可知：∠AEF＝∠ADB，根据AAS证明ABD≌△AFE；
（2）由全等可知：BD＝EF，∠EAF＝∠BAD，因此设BD＝x，则EF＝x，根据等式的性质得∠BAF＝∠EAD＝90°，则△ABF是等腰直角三角形，计算得BF＝8，则DF＝x﹣8，根据勾股定理得BE2＝EF2+BF2，求出BD的取值为8＜BD≤12，同时由圆的面积公式计算得：S＝，根据二次函数的增减性得出：16π＜S≤40π．
【解答】证明：（1）∵△ADE是等腰直角三角形，AE＝AD，
∴∠EAD＝90°，∠AED＝∠ADE＝45°，
∵，
∴∠ADE＝∠AFE＝45°，
∵∠ABD＝45°，
∴∠ABD＝∠AFE，
∵，
∴∠ADB＝∠AEF，
∵AE＝AD，
∴△ABD≌△AFE（AAS）；
解：（2）①∵△ABD≌△AFE，
∴BD＝EF，∠EAF＝∠BAD，
∴∠BAF＝∠EAD＝90°，
∵AB＝4，
∴BF＝＝8，
∵BE2＝EF2+BF2，8＜BE≤4，
∴128＜EF2+82≤208，
∴64＜EF2≤144，
∴8＜EF≤12，即8＜BD≤12．
②设BD＝x，则EF＝x，DF＝x﹣8，则
S＝＝＝ [x2+（x﹣8）2]＝（x﹣4）+8＝，
∵＞0，
∴抛物线的开口向上，
又∵对称轴为直线x＝4，
∴当8＜x≤12时，S随x的增大而增大，
∴16π＜S≤40π．
【点评】本题是圆的综合题，综合考查了等腰直角三角形、三角函数和二次函数及圆的性质；本题要想求出圆面积的取值，从圆的面积公式入手，知道圆的面积与直径DE有关，因此可设DE或与DE有关系的边为x，根据等量关系列式得一函数，再利用该函数的最值问题求出结论．
x
…
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
…
y
…
﹣1.16
﹣0.71
﹣0.24
0.25
0.76
…
x
…
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
…
y
…
﹣1.16
﹣0.71
﹣0.24
0.25
0.76
…
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求.
1．（3分）平移函数y＝x2的图象，得到新的图象的表达式为y＝（x﹣1）2+5，则平移的方式是（ ）
A．向左平移1单位，向下平移5单位
B．向右平移1单位，向上平移5单位
C．向左平移1单位，向上平移5单位
D．向右平移1单位，向下平移5单位
2．（3分）一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，以点B为中心，顺时针旋转△ABC得到△DBE，点E恰好在AB上．若AC＝4，BC＝3，则AE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（3分）已知⊙O的半径为8，点A在⊙O内，则OA的长可能为（ ）
A．6B．8C．10D．12
5．（3分）已知圆心角为120°的扇形面积为12π，那么扇形的弧长为（ ）
A．4B．2C．4πD．2π
6．（3分）如图，点D，E，F在△ABC的边上，EF∥BC，DF∥EC．下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如表给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围为（ ）
A．1.2＜x1＜1.3B．1.3＜x1＜1.4
C．1.4＜x1＜1.5D．1.5＜x1＜1.6
8．（3分）如图，四边形ABDC内接于⊙O，对角线BC，AD交于点E，延长BA，DC交于点P．下列说法错误的是（ ）
A．△CED∽△AEBB．△AEC∽△BEDC．△DCA∽△BACD．△PCA∽△PBD
9．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3a的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（4，y1）点D（x2，y2）是函数图象上任意一点，有下列结论：
①二次函数的最小值为﹣4a；
②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；
③若y2＞y1，则x2＞4；
④一元二次方程﹣3ax2+bx+a＝0的两个根为﹣1和．
其中正确的是（ ）
A．①B．①②C．②③D．①④
10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，点C是圆上不与A，B重合的点，CD平分∠ACB，交⊙O于D，AE平分∠CAB，交CD于E．有以下说法：
①点D是定点；
②AC•BC的最大值为50；
③D为△ABE的外心；
④CA+CB的最大值为．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）掷一枚均匀的硬币10次，前九次朝上的面次数为反6次，正3次，那么第十次反面朝上的可能性大． （判断对错）
12．（4分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，若∠A＝20°，AB＝6，则弧AC的长为 ．
13．（4分）如图，在△ABC中，点E，F分别在边AB，AC上，∠B＝∠AEF．若BC＝4，AF＝2，CF＝3，则EF＝ ．
14．（4分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连接AP，则∠PAH的度数为 °．
15．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，当x＞k时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ．
16．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连结AD，若CD＝2AD，AB＝BC＝8，则⊙O的半径 ．
三、解答题：本题有8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）已知，线段a，b，c，且．
（1）求的值．
（2）设，线段a，b，c满足a+b+c＝27，求k的值．
18．（6分）将分别标有数字2，3，5的三张质地、大小完全一样的卡片背面朝上放在桌面上．
（1）随机抽取一张，求抽到奇数的概率；
（2）随机抽取一张，将卡片的数字作为一个两位数的十位数字（不放回），再抽取一张，将卡片的数字作为这个两位数的个位数字，请画树状图列举所有可能出现的结果，并求出所抽取的两位数恰好是5的倍数的概率．
19．（6分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2＝90°．
（1）求证：△ADE∽△ABC．
（2）若，△ABC的面积为25，求△ADE的面积．
20．（8分）已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点（0，6）和（1，8）．
（1）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？
（2）当x在什么范围内时，y＞0？
21．（8分）如图，已知BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC于点H，与弦BF交于点E，AD＝8，BH＝2．
（1）求⊙O的半径；
（2）若∠EAB＝∠EBA，求证：BF＝2AH．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的顶点D，E在边BC上，点F，G分别在边AC，AB上．
（1）求证：△DBG∽△EFC．
（2）若BD＝4，CE＝3，求DE的长．
23．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+2kx+1﹣k（k是常数）
（1）求此函数的顶点坐标．
（2）当x≥1时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
（3）当0≤x≤1时，该函数有最大值3，求k的值．
24．（12分）如图，已知锐角三角形EBD，点A在三角形内，∠ABD＝45°，∠EAD＝90°，AE＝AD．作△ADE的外接圆⊙O，交BD于点F，连接EF，AF．
（1）求证：△ABD≌△AFE．
（2）若，，
①求BD的取值范围．
②求⊙O的面积S的取值范围．
2023-2024学年浙江省杭州市临平区九年级（上）月考数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求.
1．（3分）平移函数y＝x2的图象，得到新的图象的表达式为y＝（x﹣1）2+5，则平移的方式是（ ）
A．向左平移1单位，向下平移5单位
B．向右平移1单位，向上平移5单位
C．向左平移1单位，向上平移5单位
D．向右平移1单位，向下平移5单位
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【解答】解：二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到的函数图象的表达式是：y＝（x﹣1）2+5．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
2．（3分）一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】用黄球的个数除以球的总个数即可．
【解答】解：从袋中任意摸出一个球有8种等可能结果，其中摸出的小球是黄球的有5种结果，
所以从袋中任意摸出一个球是黄球的概率为，
故选：D．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
3．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，以点B为中心，顺时针旋转△ABC得到△DBE，点E恰好在AB上．若AC＝4，BC＝3，则AE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由勾股定理得出AB的长，再由旋转的性质得BE＝BC＝3，即可求得结果．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∵△DEB由△ABC旋转所得，
∴BE＝BC＝3，
∴AE＝AB﹣BE＝5﹣3＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理等知识，明确旋转前后对应边相等是解题的关键．
4．（3分）已知⊙O的半径为8，点A在⊙O内，则OA的长可能为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】先得到圆的半径为8，根据点与圆的位置关系的判定方法得到当d＞8时，点P在⊙O外；当d＝8时，点P在⊙O上；当d＜8时，点P在⊙O内，然后对各选项进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为8，
∴当d＞8时，点P在⊙O外；
当d＝8时，点P在⊙O上；
当d＜8时，点P在⊙O内．
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
5．（3分）已知圆心角为120°的扇形面积为12π，那么扇形的弧长为（ ）
A．4B．2C．4πD．2π
【分析】设扇形的半径为R，先根据扇形的面积公式得到12π＝，解得R＝6，然后根据扇形的弧长公式求解．
【解答】解：设扇形的半径为R，
根据题意得12π＝，
解得R＝6，
所以扇形的弧长＝＝4π．
故选：C．
【点评】本题考查了弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．也考查了扇形的面积公式．
6．（3分）如图，点D，E，F在△ABC的边上，EF∥BC，DF∥EC．下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据相似三角形的判定与性质求解即可．
【解答】解：∵EF∥BC，DF∥EC，
∴△AEF∽△ABC，△ADF∽△AEC，
∴＝＝，＝＝，
∴＝，＝，＝，＝，
故A、C、D错误，不符合题意；B正确，符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
7．（3分）如表给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围为（ ）
A．1.2＜x1＜1.3B．1.3＜x1＜1.4
C．1.4＜x1＜1.5D．1.5＜x1＜1.6
【分析】根据表格中的数据可得出“当x＝1.4时，y＝﹣0.24；当x＝1.5时，y＝0.25．”由此即可得出结论．
【解答】解：当x＝1.4时，y＝﹣0.24；当x＝1.5时，y＝0.25．
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围为1.4＜x1＜1.5．
故选：C．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键．
8．（3分）如图，四边形ABDC内接于⊙O，对角线BC，AD交于点E，延长BA，DC交于点P．下列说法错误的是（ ）
A．△CED∽△AEBB．△AEC∽△BEDC．△DCA∽△BACD．△PCA∽△PBD
【分析】根据相似三角形的判定定理可得出结论．
【解答】解：A．∵∠ECD＝∠EAB，∠CED＝∠AEB，∴△CED∽△AEB，故选项A不符合题意；
B．∵∠ACE＝∠EDB，∠CEA＝∠DEB，∴△AEC∽△BED，故选项B不符合题意；
C．不能证明△DCA∽△BAC，故选项C符合题意；
D．∵∠PCA＝∠PBD，∠P＝∠P，∴△PCA∽△PBD，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
9．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3a的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（4，y1）点D（x2，y2）是函数图象上任意一点，有下列结论：
①二次函数的最小值为﹣4a；
②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；
③若y2＞y1，则x2＞4；
④一元二次方程﹣3ax2+bx+a＝0的两个根为﹣1和．
其中正确的是（ ）
A．①B．①②C．②③D．①④
【分析】利用交点式得到y＝a（x+1）（x﹣3），即y＝ax2﹣2ax﹣3a，利用配方法得到y＝a（x﹣1）2﹣4a，则根据二次函数的性质可对①进行判断；由于x＝1在﹣1≤x2≤4范围内，而x＝1时，y有最小值﹣4a，从而可对②进行判断；根据二次函数的性质有y2＞y1得到C点到直线x＝1的距离比点D到直线x＝1的距离大，所以|x2﹣1|＞|4﹣1|，解不等式可对③进行判断；把b＝﹣2a代入一元二次方程﹣3ax2+bx+a＝0得﹣3ax2﹣2ax+a＝0，然后解方程可对④进行判断．
【解答】解：设抛物线解析为y＝a（x+1）（x﹣3），
即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∵y＝a（x﹣1）2﹣4a，
而抛物线开口向上，
∴二次函数的最小值为﹣4a，所以①正确；
当x＝﹣1时，y＝0；
当x＝4时，y＝5a，
当x＝2时，y有最小值﹣4a，
∴﹣1≤x2≤4，﹣4a≤y2≤5a，所以②错误；
若y2＞y1，则C点到直线x＝1的距离比点D到直线x＝1的距离大，
∴|x2﹣1|＞|4﹣1|，
∴|x2﹣1|＞3，
解x2＞4或x2＜﹣2，所以③错误；
∵b＝﹣2a，
∴一元二次方程﹣3ax2+bx+a＝0化为﹣3ax2﹣2ax+a＝0，
即3x2+2x﹣1＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝，所以④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，点C是圆上不与A，B重合的点，CD平分∠ACB，交⊙O于D，AE平分∠CAB，交CD于E．有以下说法：
①点D是定点；
②AC•BC的最大值为50；
③D为△ABE的外心；
④CA+CB的最大值为．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①在同圆或等圆中，根据圆周角相等，则弧相等可作判断；
②先根据勾股定理得：AC2+BC2＝AB2＝102＝100，由完全平方公式：（AC﹣BC）2≥0，展开可作判断；
③证明AD＝DE＝BD，可作判断；
④根据完全平方公式（AC+BC）2＝AC2+2AC•BC+BC2，代入可得：（AC+BC）2≤200，开方可判断．
【解答】解：①∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴＝，
∵AB是⊙O的直径，
∴D是半圆的中点，即点D是定点；
故①正确；
②∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2＝102＝100，
∵AC＞0，BC＞0，
∴AC2+BC2≥2AC•BC，
∴2AC•BC≤100，
∴AC•BC≤50，
∴AC•BC的最大值为50；
故②正确；
③∵＝，
∴AD＝BD，
∵CD平分∠ACB，AE平分∠CAB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠BAD，∠CAE＝∠BAE，
∵∠AED＝∠ACD+∠CAE，∠DAE＝∠BAD+∠BAE，
∴∠AED＝∠DAE，
∴AD＝ED＝BD，
∴D为△ABE的外心，
故③正确；
④∵（AC+BC）2＝AC2+2AC•BC+BC2＝AB2+2AC•BC≤100+100，
∴AC+BC≤10，
即CA+CB的最大值为10，
故④正确；
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）掷一枚均匀的硬币10次，前九次朝上的面次数为反6次，正3次，那么第十次反面朝上的可能性大． × （判断对错）
【分析】根据大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率），可得答案．
【解答】解：掷一枚均匀的硬币10次，前九次朝上的面次数为反6次，正3次，但第十次反面朝上和正面朝上的可能相同，均为50%，原说法错误．
故答案为：×．
【点评】本题考查的是频率和概率，正确理解频率和概率的关系是解题的关键．
12．（4分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，若∠A＝20°，AB＝6，则弧AC的长为 π ．
【分析】连接OC，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOC＝140°，然后根据弧长公式计算．
【解答】解：连接OC，如图，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝20°，
∴∠AOC＝180°﹣20°﹣20°＝140°，
∵AB＝6，
∴OA＝3，
∴弧AC的长＝＝π．
故答案为：π．
【点评】本题考查了弧长公式：l＝（其中弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．
13．（4分）如图，在△ABC中，点E，F分别在边AB，AC上，∠B＝∠AEF．若BC＝4，AF＝2，CF＝3，则EF＝ ．
【分析】由∠1＝∠2，∠A＝∠A，得出△AEF∽△ABC，再由相似三角形的性质即可得出EF的长度．
【解答】解：∵∠1＝∠2，∠A＝∠A，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∵BC＝4，AF＝2，CF＝3，
∴，
∴EF＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据已知条件求证△AEF∽△ABC是解决问题的关键．
14．（4分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连接AP，则∠PAH的度数为 45 °．
【分析】由旋转的性质可得BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，由外角的性质可求∠PAH＝135°﹣90°＝45°，即可求解．
【解答】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，
∴BC＝BP＝BA，
∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP，
∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，
∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，
∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°，
∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
15．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，当x＞k时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是 k≥1 ．
【分析】可先求得抛物线的对称轴，再由函数的性质得到k的取值范围．
【解答】解：y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，
∵当x＞k时，y随x的增大而减小，
∴k的取值范围是k≥1，
故答案为：k≥1．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，由函数的增减性得到关于k的不等式是解题的关键．
16．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连结AD，若CD＝2AD，AB＝BC＝8，则⊙O的半径 ．
【分析】根据圆周角定理得到∠DAC＝90°，证明△ABC为等边三角形，得到AC＝AB＝8，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠DAC＝90°，
∵CD＝2AD，
∴∠ACD＝30°，
∴∠ADC＝60°，
由圆周角定理得，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∵AB＝BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝8，
由勾股定理得：CD2＝AD2+AC2，即CD2＝（ CD）2+82，
解得：CD＝，
则⊙O的半径为，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等边三角形的判定和性质、勾股定理的应用是解题的关键．
三、解答题：本题有8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）已知，线段a，b，c，且．
（1）求的值．
（2）设，线段a，b，c满足a+b+c＝27，求k的值．
【分析】（1）根据比例的性质得出＝，即可得出的值；
（2）根据＝＝＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，利用a+b+c＝27求出k的值即可得出答案．
【解答】解：（1）∵＝，
∴＝，
∴＝，
（2）设＝＝＝k，
则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+b+c＝27，
∴2k+3k+4k＝27，
∴k＝3．
【点评】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出a＝2k，b＝3k，c＝4k进而得出k的值是解题关键．
18．（6分）将分别标有数字2，3，5的三张质地、大小完全一样的卡片背面朝上放在桌面上．
（1）随机抽取一张，求抽到奇数的概率；
（2）随机抽取一张，将卡片的数字作为一个两位数的十位数字（不放回），再抽取一张，将卡片的数字作为这个两位数的个位数字，请画树状图列举所有可能出现的结果，并求出所抽取的两位数恰好是5的倍数的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）画树状图得出可得所有等可能的结果，以及所抽取的两位数恰好是5的倍数的结果，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）数字2，3，5中，是奇数的有3，5，
∴随机抽取一张，抽到奇数的概率为．
（2）画树状图如下：
共有6种等可能出现的结果：23，25，32，35，52，53，
其中所抽取的两位数恰好是5的倍数的有：25，35，共2种，
∴所抽取的两位数恰好是5的倍数的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
19．（6分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2＝90°．
（1）求证：△ADE∽△ABC．
（2）若，△ABC的面积为25，求△ADE的面积．
【分析】（1）由CD⊥AB于点D，可得出∠1+∠CDE＝90°，结合∠1+∠2＝90°，利用等角的余角相等，可得出∠CDE＝∠2，再利用“内错角相等，两直线平行”，可证出DE∥BC，则可得出△ADE∽△ABC；
（2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出△ADE的面积．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB于点D，
∴∠ADC＝90°，即∠1+∠CDE＝90°，
又∵∠1+∠2＝90°，
∴∠CDE＝∠2，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC；
（2）解：∵△ADE∽△ABC，
∴＝，即，
∴S△ADE＝4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、垂线、余角以及平行线的判定，解题的关键是：（1）根据各角之间的关系，找出∠CDE＝∠2；（2）牢记“相似三角形的面积比等于相似比的平方”．
20．（8分）已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点（0，6）和（1，8）．
（1）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？
（2）当x在什么范围内时，y＞0？
【分析】，（1）根据二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点（0，6）和（1，8），可以求得该抛物线的解析式，并将其化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到x在什么范围内时，y随x的增大而增大；
（2）根据（1）中的函数解析式求出抛物线与x轴的交点的横坐标，进而可以得到x在什么范围内时，y＞0．
【解答】解：（1）二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点（0，6）和（1，8），
∴，
解得，
即该二次函数的解析式为y＝﹣2x2+4x+6；
∴y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，
∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向下，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大；
（2）当y＝0时，0＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣3）（x+1），
解得，x1＝3，x2＝﹣1，
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0．
【点评】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是根据待定系数法求出二次函数的解析式．
21．（8分）如图，已知BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC于点H，与弦BF交于点E，AD＝8，BH＝2．
（1）求⊙O的半径；
（2）若∠EAB＝∠EBA，求证：BF＝2AH．
【分析】（1）连接OA交BF于G，如图，⊙O的半径为r，根据垂径定理得到AH＝DH＝4，在Rt△OHA中，根据勾股定理得r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5；
（2）连接CF，如图，根据垂径定理得到弧AB＝弧DB，而∠EAB＝∠EBA，所以弧BD＝弧AF，则弧AB＝弧AF，再根据垂径定理的推论得OA⊥BG，所以BG＝FG，然后证明△OAH≌△OBG，得到AH＝BG，所以BF＝2AH．
【解答】（1）解：连接OA交BF于G，如图，⊙O的半径为r，
∵AD⊥OB，
∴AH＝DH＝4，
在Rt△OHA中，OH＝r﹣2，OA＝r，
∴r2＝42+（r﹣2）2
，解得r＝5，
即⊙O的半径为5；
（2）方法一
证明：连接CF，如图，
∵AD⊥OB，
∴弧AB＝弧DB，
∵∠EAB＝∠EBA，
∴弧BD＝弧AF，
∴弧AB＝弧AF，
∴OA⊥BG，
∴BG＝FG，
∴∠OAH＝∠OBG，
在△OAH和△OBG中，
，
∴△OAH≌△OBG（AAS），
∴AH＝BG，
∴BF＝2AH．
方法二：∵AD⊥OB，
∴弧AB＝弧DB，AH＝DH，
∵∠EAB＝∠EBA，
∴弧BD＝弧AF，
∴弧AB＝弧AF，
∴弧AD＝弧BF，
∴BF＝AD＝2AH．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和勾股定理．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的顶点D，E在边BC上，点F，G分别在边AC，AB上．
（1）求证：△DBG∽△EFC．
（2）若BD＝4，CE＝3，求DE的长．
【分析】（1）根据正方形的性质得出∠GDB＝∠FEC＝90°，根据直角三角形的性质推出∠B＝∠EFC，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解；
（2）根据正方形的性质得出DG＝DE＝EF，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形DEFG是正方形，
∴∠GDE＝∠FED＝90°，
∴∠GDB＝∠FEC＝90°，
∴∠C+∠B＝∠EFC+∠C＝90°，
∴∠B＝∠EFC，
∴△DBG∽△EFC；
（2））解：∵四边形DEFG是正方形，
∴DG＝DE＝EF，
∵△DBG∽△EFC，
∴＝，
∴＝，
∵BD＝4，CE＝3，
∴＝，
∴DE＝2或DE＝﹣2（舍去），
∴DE＝2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+2kx+1﹣k（k是常数）
（1）求此函数的顶点坐标．
（2）当x≥1时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
（3）当0≤x≤1时，该函数有最大值3，求k的值．
【分析】（1）配方得到顶点式，可确定顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质即可得到k的取值；
（3）分三种情况讨论，关键题意得到关于k的方程，解方程即可求得．
【解答】解：（1）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2kx+1﹣k＝﹣（x﹣k）2+1﹣k+k2，
∴抛物线的顶点坐标为（k，1﹣k+k2）；
（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣k）2+1﹣k+k2，
∴当x≥k时，y随x的增大而减小，
∵当x≥1时，y随x的增大而减小，
∴k≤1．
（3）①当k＜0时，x＝0时，函数值最大，
∴1﹣k＝3，解得k＝﹣2；
②当0≤k≤1时，则1﹣k+k2＝3，
解得k＝2或﹣1（舍去），
③当k＞1时，x＝1时，函数值最大，
∴﹣1+2k+1﹣k＝3，解得k＝3
综上，当0≤x≤1时，该函数有最大值3，则k＝﹣2或k＝3．
【点评】本题看出来二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值，二次函数的性质，分类讨论是解题的关键．
24．（12分）如图，已知锐角三角形EBD，点A在三角形内，∠ABD＝45°，∠EAD＝90°，AE＝AD．作△ADE的外接圆⊙O，交BD于点F，连接EF，AF．
（1）求证：△ABD≌△AFE．
（2）若，，
①求BD的取值范围．
②求⊙O的面积S的取值范围．
【分析】（1）根据等腰直角三角形得∠ADE＝45°，则∠ABD＝∠AFE，再利用同弧所对的圆周角相等可知：∠AEF＝∠ADB，根据AAS证明ABD≌△AFE；
（2）由全等可知：BD＝EF，∠EAF＝∠BAD，因此设BD＝x，则EF＝x，根据等式的性质得∠BAF＝∠EAD＝90°，则△ABF是等腰直角三角形，计算得BF＝8，则DF＝x﹣8，根据勾股定理得BE2＝EF2+BF2，求出BD的取值为8＜BD≤12，同时由圆的面积公式计算得：S＝，根据二次函数的增减性得出：16π＜S≤40π．
【解答】证明：（1）∵△ADE是等腰直角三角形，AE＝AD，
∴∠EAD＝90°，∠AED＝∠ADE＝45°，
∵，
∴∠ADE＝∠AFE＝45°，
∵∠ABD＝45°，
∴∠ABD＝∠AFE，
∵，
∴∠ADB＝∠AEF，
∵AE＝AD，
∴△ABD≌△AFE（AAS）；
解：（2）①∵△ABD≌△AFE，
∴BD＝EF，∠EAF＝∠BAD，
∴∠BAF＝∠EAD＝90°，
∵AB＝4，
∴BF＝＝8，
∵BE2＝EF2+BF2，8＜BE≤4，
∴128＜EF2+82≤208，
∴64＜EF2≤144，
∴8＜EF≤12，即8＜BD≤12．
②设BD＝x，则EF＝x，DF＝x﹣8，则
S＝＝＝ [x2+（x﹣8）2]＝（x﹣4）+8＝，
∵＞0，
∴抛物线的开口向上，
又∵对称轴为直线x＝4，
∴当8＜x≤12时，S随x的增大而增大，
∴16π＜S≤40π．
【点评】本题是圆的综合题，综合考查了等腰直角三角形、三角函数和二次函数及圆的性质；本题要想求出圆面积的取值，从圆的面积公式入手，知道圆的面积与直径DE有关，因此可设DE或与DE有关系的边为x，根据等量关系列式得一函数，再利用该函数的最值问题求出结论．
x
…
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
…
y
…
﹣1.16
﹣0.71
﹣0.24
0.25
0.76
…
x
…
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
…
y
…
﹣1.16
﹣0.71
﹣0.24
0.25
0.76
…
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