适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习考点突破练2三角恒等变换与解三角形

这是一份适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习考点突破练2三角恒等变换与解三角形，共7页。试卷主要包含了必备知识夯实练，关键能力提升练，核心素养创新练等内容，欢迎下载使用。

1.(2023新高考Ⅱ,7)已知α为锐角,cs α=,则sin=( )
A. B. C. D.
2.(2021全国甲,文8)在△ABC中,已知B=120°,AC=,AB=2,则BC=( )
A.1B.C.D.3
3.(2023湖南长沙一模)若,则cs 2α的值为( )
A.-B.C.-D.
4.(2023全国乙,文4)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acs B-bcs A=c,且C=,则B=( )
A.B.C.D.
5.(2023河南周口模拟)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若sin2A+csin A=sin Asin B+bsin C,则该三角形的形状一定是( )
A.钝角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.锐角三角形
6.(2023江西九江模拟)在锐角三角形ABC中,AB=3,4cs Asin B=1,若BC在AB上的投影长等于△ABC的外接圆半径R,则R=( )
A.4B.2C.1D.
7.(多选题)(2023广东深圳龙华中学校考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=4,sin A=,cs C=,则下列结论正确的是( )
A.cs A=±B.B=
C.b=D.△ABC的面积为7
8.(2023江西宜春一模)如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB=4,AD=CD=BC=2,现将梯形ABCD依次绕着B,C,D各点顺时针翻转,则在第一次绕着点B翻转的过程中,对角线BD扫过的平面区域面积为( )
A.2πB.3πC.8πD.4π
9.(2023河北邢台模拟)如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上的B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度,AB=5 km,BC=8 km,CD=3 km,DA=5 km,且A,B,C,D四点共圆,则AC的长为 km.
10.(2023浙江绍兴高三期末)已知α∈(0,),tan α=,则sin α= .
11.(2020全国Ⅰ,理16)如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cs∠FCB= .
二、关键能力提升练
12.(2023河南郑州二模)已知△ABC不为直角三角形,AB=,AC=2,且sin 2A-2cs 2A=2,则△ABC的面积为( )
A.1B.C.2D.3
13.(2023全国甲,理11)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形,PC=PD=3,∠PCA=45°,则△PBC的面积为( )
A.2B.3C.4D.6
14.(2023河南郑州二模)假设二维空间中有两个点A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,余弦相似度为向量夹角的余弦值,记作cs(A,B),余弦距离为1-cs(A,B).已知P(sin α,cs α),Q(sin β,cs β),R(sin α,-cs α),若P,Q的余弦距离为,Q,R的余弦距离为,则tan αtan β=( )
A.7B.C.4D.
15.(多选题)(2021新高考Ⅰ,10)已知O为坐标原点,点P1(cs α,sin α),P2(cs β,-sin β),P3(cs(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则( )
A.||=||
B.||=||
C.
D.
16.(2023山东菏泽一模)设x,y均为非零实数,且满足=tan,则= .
17.(2023河南五市二模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且4cs A=sin B+sin C.若△ABC的面积S=,则a的最小值为 .
三、核心素养创新练
18.如图是某所大学数学爱好者协会的会标,其内部是一个边长为1 cm的正五边形,外面一圈是五个全等的四边形,其中∠BAD=36°,∠BCD=108°,AB=AD,CB=CD,则四边形ABCD的周长为( )(sin 36°=,sin 72°=)
A.5+B.10-
C.5+2D.10-2
19.(2022全国甲,理16)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当取得最小值时,BD= .
考点突破练2 三角恒等变换与解三角形
1.D 解析 由csα=1-2sin2,得sin2(1-)==()2.
因为0<α<,所以0<,
所以sin>0,所以sin.故选D.
2.D 解析 设BC=x,由余弦定理得19=4+x2-2×2x·cs120°,解得x=3或x=-5(舍).故选D.
3.A 解析 由,可得tan(α-)=,
所以tanα=tan(+α-)==2,所以cs2α=cs2α-sin2α==-.
4.C 解析 由acsB-bcsA=c及正弦定理,得sinAcsB-sinBcsA=sinC,即sin(A-B)=sinC.
又因为A,B,C是△ABC的内角,所以A-B=C,所以A-B=.①
又因为A+B=π-C=,②
结合①②解得B=.故选C.
5.C 解析 因为sin2A+csinA=sinAsinB+bsinC,
由正弦定理可得,asinA+csinA=bsinA+bsinC,
则sinA(a+c)=b(sinA+sinC),
即a(sinA+c)=b(sinA+c).
因为sinA>0,c>0,所以a=b,即△ABC为等腰三角形.
6.B 解析 ∵△ABC是锐角三角形,BC在AB上的投影长等于△ABC的外接圆半径R,∴BC·csB=R.
∵BC=2RsinA,∴2RsinAcsB=R,∴sinAcsB=.
∵csAsinB=,两式相加得sinAcsB+csAsinB=,即sin(A+B)=,∴sin(π-C)=,即sinC=.
∵AB=3,∴2R==4,
∴R=2.
7.BC 解析 由题知,sinC=,则,即c=>a=4,故C>A,
所以A不为钝角,则csA=,故A错误.
又a2+b2-2abcsC=c2,即16+b2-b=,
整理得10b2-8b-85=(5b+17)(b-5)=0,解得b=.
csB=.因为B∈(0,π),则B=.故B,C正确.
故△ABC的面积S=bcsinA==7.故D错误.
8.D 解析 由题知,BD2=AD2+AB2-2AD·ABcs∠DAB,BD2=CD2+CB2-2CD·CBcs∠DCB,
又梯形ABCD为等腰梯形,则∠DAB+∠DCB=π,则20-16cs∠DAB=8-8cs(π-∠DAB),
所以cs∠DAB=.又∠DAB∈(0,π),可得∠DAB=,故∠CBA=,所以第一次绕着点B翻转的过程的翻转角为π-∠CBA=.而BD2=20-16×=12,故对角线BD扫过的平面区域面积为×BD2×=4π.
9.7 解析 ∵A,B,C,D四点共圆,圆内接四边形的对角和为π,即∠B+∠D=π,∴由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcs∠D=52+32-2×5×3cs∠D=34-30cs∠D,
AC2=AB2+BC2-2AB·BCcs∠B=52+82-2×5×8cs∠B=89-80cs∠B.
∵∠B+∠D=π,即cs∠B=-cs∠D,
∴=-,解得AC=7.
10. 解析 tanα=,
化简得sinα-csα=,即sin(α-)=>0.
又α∈(0,),所以α-是第一象限角,得cs(α-)=,
故sinα=sin[(α-)+]=sin(α-)cs+cs(α-)sin.
11.- 解析 由题意得BD=AB=,BC==2.
∵D,E,F重合于一点P,
∴AE=AD=,BF=BD=,∴在△ACE中,由余弦定理,
得CE2=AC2+AE2-2AC·AEcs∠CAE=12+()2-2×1×cs30°=1,∴CE=CF=1.
∴在△BCF中,由余弦定理,得
cs∠FCB==-.
12.C 解析 ∵sin2A-2cs2A=2,∴2sinAcsA=2(1+cs2A)=4cs2A.∵△ABC不是直角三角形,∴csA≠0,
∴sinA-2csA=0,即csA=sinA.
∵sin2A+cs2A=1,∴sin2A+sin2A=1,解得sinA=±.∵A∈(0,π),即sinA>0,∴sinA=,
∴S△ABC=sinA·AB·AC=×2=2.
13.C 解析 在四棱锥P-ABCD中,由PC=PD=3,得△CDP是等腰三角形.
设CD的中点为E,AB的中点为F,
由图得,△CDP关于直线PE对称,点P在平面PEF内,且PA=PB.在正方形ABCD中,AB=BC=CD=AD=4,
由勾股定理得,AC==4.
在△ACP中,∠PCA=45°,由余弦定理得,PA2=PC2+AC2-2AC·PC·cs∠PCA,解得PA=,
∴PB=PA=.
在△BCP中,由余弦定理得,PB2=PC2+BC2-2PC·BC·cs∠BCP,解得cs∠BCP=,
∴sin∠BCP=.
∴S△PBC=BC·PC·sin∠BCP=4.
故选C.
14.A 解析 由=(sinα,csα),=(sinβ,csβ),=(sinα,-csα),
cs(P,Q)==sinαsinβ+csαcsβ=cs(α-β),
cs(Q,R)==sinαsinβ-csαcsβ=-cs(α+β),所以
则
==-,
整理得tanαtanβ=7.
15.AC 解析 ∵||==1,
||==1,
∴||=||,故A正确;
∵=(csα-1,sinα),=(csβ-1,-sinβ),
∴||=,||=,
∴||≠||,
故B不正确;
∵=(1,0)·(cs(α+β),sin(α+β))=cs(α+β),=(csα,sinα)·(csβ,-sinβ)=csαcsβ-sinαsinβ=cs(α+β),
∴,故C正确;
∵=(1,0)·(csα,sinα)=csα,
=(csβ,-sinβ)·(cs(α+β),sin(α+β))=csβcs(α+β)-sinβsin(α+β)=cs(β+α+β)=cs(2β+α),
∴,故D不正确.
16.1 解析 由题意可得,=tan.
令=tanθ,则=tan,即tan(θ+)=tan,所以θ+=kπ+,即θ=kπ+,k∈Z,故=tanθ=tan(kπ+)=1.
17.2 解析 由正弦定理可得,bsinC=csinB,asinB=bsinA.
由已知可得,4bccsA=acsinB+absinC=2acsinB=2bcsinA,
所以sinA=2csA.
又00.
因为sin2A+cs2A=25cs2A=1,
所以csA=,sinA=.
因为△ABC的面积S=bcsinA=bc=,
所以bc=.
由余弦定理可得,a2=b2+c2-2bccsA=b2+c2-2×≥2bc-1=4,
当且仅当b=c=时,等号成立.
所以a2≥4,故a的最小值为2.
18.C 解析 如图,取内部正五边形靠近点C的顶点E,连接BE,
在△BCE中,可得EC=,∠CBE=18°,∠BEC=126°,
由正弦定理可得,所以BC=.
连接AC,易知∠BAC=18°,∠ACB=54°,
在△ABC中,由正弦定理可知,即BA=.
故四边形ABCD的周长l=2AB+2BC=.因为sin36°=,sin72°=,
所以cs236°=1-sin236°=,cs272°=1-sin272°=,即cs36°=,cs72°=,
所以周长l==5+2.
19.-1 解析 (方法一)令BD=t,则t>0.如图,以D为坐标原点,DC所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
则C(2t,0),A(1,),B(-t,0),=4-≥4-2,当且仅当t+1=,即BD=-1时,等号成立.此时,-1.
(方法二)设BD=t,则CD=2t,由余弦定理得=4-≥4-2,当且仅当t+1=,即BD=-1时,等号成立,此时,-1.