适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习考点突破练11直线与圆

这是一份适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习考点突破练11直线与圆，共7页。试卷主要包含了必备知识夯实练，关键能力提升练，核心素养创新练等内容，欢迎下载使用。

1.(2023浙江温州三模)已知直线l1:x+y=0,l2:ax+by+1=0,若l1⊥l2,则a+b=( )
A.-1B.0C.1D.2
2.(2023河北张家口二模)已知点P(x0,y0)为圆C:x2+y2=2上的动点,则直线l:x0x-y0y=2与圆C的位置关系为( )
A.相交B.相离
C.相切D.相切或相交
3.(2023广东梅州二模)若直线l:mx+ny+m=0将圆C:(x-2)2+y2=4分成弧长之比为2∶1的两部分,则直线的斜率为( )
A.±B.±C.±D.±
4.(2023全国乙,文11)已知x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是( )
A.1+B.4C.1+3D.7
5.(2023山东潍坊模拟)若点M是圆C:x2+y2-4x=0上的任一点,直线l:x+y+2=0与x轴、y轴分别相交于A,B两点,则∠MAB的最小值为( )
A.B.
C.D.
6.(2023山东济宁二模)在平面直角坐标系中,过点P(3,0)作圆O:(x-1)2+=4的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( )
A.x-y+3=0B.x+y+3=0
C.x-y+3=0D.x+y+3=0
7.(多选题)(2023广东惠州模拟)已知直线l:kx-y-k=0与圆M:x2+y2-4x-2y+1=0,则下列说法正确的是( )
A.直线l恒过定点(1,0)
B.圆M的圆心坐标为(2,1)
C.存在实数k,使得直线l与圆M相切
D.若k=1,直线l被圆M截得的弦长为2
8.(2023新高考Ⅰ,6)过(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=( )
A.1B.
C.D.
9.(2023福建莆田模拟)写出一个被直线x-y=0平分且与直线x+y=0相切的圆的方程:
.
10.(2023江苏南京师大附中一模)过点P(3,-2)且与圆C:x2+y2-2x-4y+1=0相切的直线方程为 .
二、关键能力提升练
11.(2023广东深圳中学模拟)若圆(x-a)2+(y-3)2=20上有四个点到直线2x-y+1=0的距离为,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-)∪(,+∞)
B.(-)
C.(-∞,-)∪(,+∞)
D.(-)
12.(2023四川德阳模拟)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x2+y2≤1,若将军从点P(-1,-2)处出发,河岸线对应的直线方程为x+y=2,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”问题中的最短总路程为( )
A.6B.5C.4D.3
13.(多选题)已知圆C:x2+y2-4y+3=0,一条光线从点P(2,1)射出经x轴反射,则下列结论正确的是( )
A.圆C关于x轴对称的圆的方程为x2+y2+4y+3=0
B.若反射光线平分圆C的周长,则入射光线所在直线方程为3x-2y-4=0
C.若反射光线与圆C相切于点A,与x轴相交于点B,则|PB|+|BA|=2
D.若反射光线与圆C交于M,N两点,则△CNM面积的最大值为
14.(多选题)(2023浙江杭州、宁波4月联考)已知圆O:x2+y2=1,P是直线l:x-y+2=0上一点,过点P作圆O的两条切线,切点分别为M,N,则( )
A.直线MN经过定点
B.|MN|的最小值为
C.点(2,0)到直线MN的距离的最大值为
D.∠MPN是锐角
15.(2023河南商丘模拟)已知圆C1:x2+(y-2)2=5,圆C2过点(2,-1)且与圆C1相切于点(2,1),则圆C2的方程为 .
16.(2023山东淄博一模)在平面直角坐标系中,已知点P(3,1),直线y=kx+b与圆x2+y2=10交于M,N两点,若△PMN为正三角形,则实数b= .
三、核心素养创新练
17.(2023河北邯郸一模)已知点A(0,0),B(6,0),符合点A,B到直线l的距离分别为1,3的直线方程为 .(写出一条即可)
18.(2023广东深圳一模)设a>0,A(2a,0),B(0,2),O为坐标原点,则以OA为弦,且与AB相切于点A的圆的标准方程为 ;若该圆与以OB为直径的圆相交于第一象限内的点P,则点P横坐标x的最大值为 .
考点突破练11 直线与圆
1.B 解析 因为直线l1:x+y=0,l2:ax+by+1=0,且l1⊥l2,则1·a+1·b=0,所以a+b=0.
2.C 解析 由题意可得=2,则圆心C到直线l的距离d=,所以直线和圆相切.
3.D 解析 如图,令直线l与圆C交于点A,B,依题意,∠ACB=120°,而圆C的圆心C(2,0),半径r=2,∠ABC=30°,因此点C到直线l的距离d=rsin30°=1,于是d==1,
整理得n=±2m,
所以直线l的斜率k=-=±.
4.C 解析(方法一)由x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9,该方程表示圆心为(2,1),半径为3的圆.
设x-y=u,则x-y-u=0,且由题意知直线x-y-u=0与圆(x-2)2+(y-1)2=9有公共点,则≤3,解得1-3≤u≤1+3,所以x-y的最大值为1+3.
(方法二)由x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9,令0≤θ<2π,
所以x-y=1+3csθ-3sinθ=1+3cs(θ+),当cs(θ+)=1时,x-y的最大值为1+3.故选C.
5.A 解析 如图,直线l的斜率为-1,倾斜角为,故∠OAB=.圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4,圆心为C(2,0),半径为r=2.易知直线l交x轴于点A(-2,0),所以|AC|=4.
由图可知,当直线AM与圆C相切,且切点位于x轴下方时,∠MAB取最小值.由圆的几何性质可知CM⊥AM,且|CM|=2=|AC|,则∠CAM=.
故∠MAB≥∠OAB-.
6.A 解析 圆O:(x-1)2+=4的圆心为O(1,2),半径为2,PO的中点坐标为N(2,),|PO|==4,则以N为圆心,PO为直径的圆的方程为(x-2)2+=4.
因为过点P(3,0)作圆O:(x-1)2+=4的两条切线,切点分别为A,B,所以AB是两圆的公共弦,将两圆的方程相减可得公共弦AB所在直线的方程为x-y+3=0.
7.AB 解析 直线l:kx-y-k=0变形为y=k(x-1),故直线l恒过定点(1,0),故A正确;
圆M:x2+y2-4x-2y+1=0变形为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心坐标为(2,1),故B正确;
令圆心(2,1)到直线l:kx-y-k=0的距离=2,整理得3k2+2k+3=0,由Δ=4-36=-32<0可得,方程无解,故不存在实数k,使得直线l与圆M相切,故C错误;
若k=1,则直线l的方程为x-y-1=0,圆心(2,1)在直线l:x-y-1=0上,故直线l被圆M截得的弦长为直径4,故D错误.
故选AB.
8.B 解析 由x2+y2-4x-1=0,得(x-2)2+y2=5,故圆心C(2,0),半径R=.
过点D(0,-2)作圆的切线,与圆的两个切点为A,B,连接AC,BC,CD,AB,
则AB⊥CD,∠CAD=∠CBD=,∠ADC=∠BDC=,
由几何知识得,|BC|=|AC|=,|CD|==2.
由勾股定理得,|AD|=|BD|=.
cs,sin,
sinα=2sincs=2×.故选B.
9.(x-1)2+(y-1)2=2(答案不唯一) 解析 由题意可知,圆心过直线x-y=0,不妨设圆心坐标为(1,1),半径为r.
又因为圆心(1,1)到直线x+y=0的距离d==r,所以(x-1)2+(y-1)2=2符合题意.
10.x=3或3x+4y-1=0 解析 将圆C方程化为圆的标准方程(x-1)2+(y-2)2=4,得圆心C(1,2),半径为r=2.
当过点P(3,-2)的直线斜率不存在时,直线方程为x=3,是圆C的切线,满足题意;当过点P(3,-2)的直线斜率存在时,可设直线方程为y+2=k(x-3),即kx-y-3k-2=0,利用圆心到直线的距离等于半径得=2,解得k=-,即此直线方程为3x+4y-1=0.
综上,满足题意的直线方程为x=3或3x+4y-1=0.
11.D 解析 因为圆的方程为(x-a)2+(y-3)2=20,所以圆心为(a,3),半径为2.又圆(x-a)2+(y-3)2=20上有四个点到直线2x-y+1=0的距离为,所以圆心到直线2x-y+1=0的距离d<,所以,即|2a-2|<5,得-12. C 解析 如图,设点P关于直线x+y=2的对称点为Q(x,y),则解得即Q(4,3),
所以|OQ|==5,则“将军饮马”问题中的最短总路程为|OQ|-1=5-1=4.
13.ABD 解析 对于A,由圆C方程可得x2+(y-2)2=1,故圆心C(0,2),半径r=1,
∴圆C关于x轴对称的圆的圆心为C'(0,-2),半径为1,
∴所求圆的方程为x2+(y+2)2=1,即x2+y2+4y+3=0,故A正确;
对于B,∵反射光线平分圆C的周长,∴反射光线经过圆心C(0,2),∴入射光线所在直线经过点C'(0,-2),
∴kC'P=,∴入射光线所在直线方程为y+2=x,即3x-2y-4=0,故B正确;
对于C,∵反射光线经过点P(2,1)关于x轴的对称点P'(2,-1),
∴|PB|+|BA|=|P'B|+|BA|=|P'A|,又|P'A|==2,∴|PB|+|BA|=2,故C错误;
对于D,设∠CMN=θ(0<θ<),则圆心C(0,2)到直线MN的距离d=sinθ,∴|MN|=2=2csθ,
∴S△CNM=|MN|·d=sinθcsθ=sin2θ,
则当θ=时,(S△CNM)max=,故D正确.故选ABD.
14.AB 解析 设P(x0,x0+2),则以OP为直径的圆的方程为,化简得x2-x0x-(x0+2)y+y2=0,
与x2+y2=1联立,可得MN所在直线方程为x0x+(x0+2)y=1,即x0(x+y)+2y-1=0,
故可知直线MN恒过定点(-),故A正确;
点O到过定点(-)的直线MN距离的最大值为,|MN|min=2×,故|MN|的最小值为,故B正确;
当点(2,0)与定点(-)的连线与直线MN垂直时,此时点(2,0)到直线MN的距离最大,且最大值为,故C错误;
圆心O到直线l的距离为,由于∠MPN=2∠MPO,在直角三角形OPM中,sin∠MPO=,
当点P运动到满足OP⊥l时,此时|OP|最小,∠MPO最大,此时sin∠MPO=,∠MPO=45°,∠MPN=90°,故D错误.故选AB.
15.(x-4)2+y2=5 解析 如图,过点(0,2)和(2,1)的直线方程为x+2y-4=0,以点(2,-1)和点(2,1)为端点的线段的垂直平分线的方程为y=0.
由得C2(4,0),则圆C2的半径r=,所以圆C2的方程为(x-4)2+y2=5.
16.-5 解析 由题意可知点P(3,1)在圆上,如图.设MN的中点为H,连接PH,因为△PMN为正三角形,所以PH过点O,且PH⊥MN,
则直线MN的斜率k=-=-3,y=kx+b即为y=-3x+b.
因为△PMN为正三角形,所以点O为△PMN的中心,由中心及重心性质知,|OH|=,故,解得b=±5.结合点P(3,1)在圆上,△PMN是圆的内接正三角形,可知b<0,即b=-5.
17.x+2y+3=0或x-2y+3=0或2x+y-3=0或2x-y-3=0(写出一条即可) 解析 由题意可知直线l是圆x2+y2=1与圆(x-6)2+y2=9的公切线,
因为两圆外离,所以满足条件的直线l有四条,如图.
当直线l位于直线l1,l2位置时,由几何性质(相似三角形的性质)易知直线l过点(-3,0).
设直线l的方程为x=my-3,则=1,解得m=±2,此时直线l的方程为x+2y+3=0或x-2y+3=0.当直线l位于直线l3,l4位置时,由几何性质(相似三角形的性质)易知直线l过点(,0),设直线l的方程为x=ny+,则=1,解得n=±,此时直线l的方程为2x+y-3=0或2x-y-3=0.
18.(x-a)2+(y+a2)2=a2+a4 解析 以OA为弦的圆的圆心记作D,则圆心在线段OA的垂直平分线x=a上.
因为圆D与直线AB相切于A,
所以DA⊥AB.
由kAB==-,可得kDA=a,所以直线DA的方程为y=a(x-2a),
将x=a代入直线DA的方程可得圆心为D(a,-a2),圆D的半径r=|AD|=,
所以所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y+a2)2=a2+a4.①
以OB为直径的圆的圆心C(0,1),半径为1,则圆C的方程为x2+(y-1)2=1.②
①-②可得-2ax+2(a2+1)y=0,即y=x为圆C与圆D的公共弦所在直线的方程,将y=x代入圆C的方程可得[1+()2]x2-x=0.
因为交点P在第一象限,所以x≠0,所以x=,令m=,则m=a+≥2,当且仅当a=1时,等号成立.则,
所以交点P的横坐标x=,m≥2.
由对勾函数可得y=m+在区间[2,+∞)内单调递增,所以当m=2时,y=m+取得最小值,为,
所以交点P的横坐标的最大值为x=.