适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习中低档大题规范练4

这是一份适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习中低档大题规范练4，共5页。试卷主要包含了159≈64)，30，41等内容，欢迎下载使用。

1.(10分)(2023天津,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=2,∠A=120°.
(1)求sin B的值;
(2)求c的值;
(3)求sin(B-C)的值.
2.(12分)(2023广东湛江二模)已知两个正项数列{an},{bn}满足=bn,.
(1)求{an},{bn}的通项公式;
(2)用[x]表示不超过x的最大整数,求数列{[an+an+1]·}的前n项和Sn.
3.(12分)(2023山东潍坊三模)某品牌中性笔研发部门从流水线上随机抽取100件产品,统计其性能指数并绘制频率分布直方图(如图1).
图1
图2
产品的性能指数在[50,70)的适合儿童使用(简称A类产品),在[70,90)的适合少年使用(简称B类产品),在[90,110]的适合青年使用(简称C类产品),A,B,C三类产品的销售利润分别为每件1.5,3.5,5.5(单位:元).以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.
(1)该公司为了解年营销费用x(单位:万元)对年销售量y(单位:万件)的影响,对近5年的年营销费用xi和年销售量yi(i=1,2,3,4,5)的数据做了初步处理,得到散点图(如图2)及一些统计量的值(如下表).
表中ui=ln xi,vi=ln yi,ui,vi.
根据散点图判断,y=a·xb可以作为年销售量y(单位:万件)关于年营销费用x(单位:万元)的经验回归方程,求y关于x的经验回归方程;(取e4.159≈64)
(2)求每件产品的平均销售利润,并用所求的经验回归方程估计该公司应投入多少营销费,才能使得该产品一年的收益达到最大?(收益=销售利润-营销费用)
参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归直线u的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
4.(12分)(2023广西柳州模拟)如图,以矩形ABCD的CD边为直径作半圆O,点E为半圆上一点,满足∠EDC=60°,BC=1.将半圆沿CD折起,使得半圆面和平面ABCD垂直.
(1)求证:平面ADE⊥平面BCE.
(2)若P是半圆弧CD上的一点(不包含C,D两个端点),且异面直线AE与BC所成角的余弦值为.是否存在一点P,使得平面APC与平面PCB夹角的余弦值为?若存在,求出线段PC的长度;若不存在,请说明理由.
规范练4
1.解 (1)由已知及正弦定理,得,∵a=,b=2,∠A=120°,∴sinB=.
(2)(方法一)由(1)及已知,得csB=,sinC=sin(180°-120°-B)=sin(60°-B)=csB-sinB=.由正弦定理,得c==5.
(方法二)由余弦定理,得b2+c2-2bccsA=a2,即4+c2-2×2c×(-)=39,
整理得c2+2c-35=0,解得c=5或c=-7(舍去).
(3)∵C为锐角,∴csC=.
∴sin(B-C)=sinBcsC-csBsinC==-.
2.解 (1)由,得anbn=n2+1,由=bn,得anbn=1+,所以=n2.因为{bn}是正项数列,则bn=n,故an==n+.
(2)[an+an+1]=[n++n+1+]=[2n+1+]=
则当n≥2时,Sn=4×2+5×22+7×23+…+(2n+1)×2n,
所以2Sn=16+5×23+7×24+…+(2n+1)×2n+1,
两式相减得-Sn=12+2×(23+24+…+2n)-(2n+1)×2n+1=12+2×-(2n+1)×2n+1=(1-2n)×2n+1-4,
即Sn=(2n-1)2n+1+4.因为S1=8,满足Sn=(2n-1)2n+1+4,所以Sn=(2n-1)2n+1+4.
3.解 (1)由y=a·xb得,lny=ln(a·xb)=lna+blnx.令u=lnx,v=lny,c=lna,则v=c+bu,由表中数据可得,=0.25,则-0.25×=4.159,所以=4.159+0.25u,即ln =4.159+0.25ln x=ln(e4.159·).因为e4.159≈64,所以=64,故所求的经验回归方程为y=64.
(2)设每件产品的销售利润为X元,则X的所有可能取值为1.5,3.5,5.5,由频率分布直方图可得,A,B,C三类产品的频率分别为0.15,0.45,0.4,
所以P(X=1.5)=(0.004+0.011)×10=0.15,
P(X=3.5)=(0.020+0.025)×10=0.45,
P(X=5.5)=(0.023+0.017)×10=0.4,
所以随机变量X的分布列为
所以E(X)=1.5×0.15+3.5×0.45+5.5×0.4=4,
故每件产品的平均销售利润为4元.
设年收益为z万元,则z=E(X)·y-x=256-x.
令t=,t>0,f(t)=256t-t4,
则f'(t)=256-4t3=4(64-t3).
当t∈(0,4)时,f'(t)>0,则f(t)在区间(0,4)上单调递增,
当t∈(4,+∞)时,f'(t)<0,f(t)在区间(4,+∞)上单调递减,
故当t=4,即x=256时,z有最大值为768,
所以估计当该公司一年投入256万元营销费时,能使得该产品年收益达到最大.
4.(1)证明 ABCD为矩形,∴BC⊥CD.∵平面CDE⊥平面ABCD,且平面CDE∩平面ABCD=CD,BC⊂平面ABCD,
∴BC⊥平面CDE,而DE⊂平面CDE,∴DE⊥BC.
∵点E在半圆O上,CD为直径,∴DE⊥EC.
又BC∩EC=C,BC,EC⊂平面BCE,∴DE⊥平面BCE.
∵DE⊂平面ADE,∴平面ADE⊥平面BCE.
(2)解 存在.∵ABCD为矩形,∴AD∥BC,
∴∠EAD即为异面直线AE与BC所成角,即cs∠EAD=.
由(1)得,DE⊥AD,设CD=b,则DE=b.
在Rt△ADE中,cs∠EAD=,得b=4,即CD=4,∴OP=2.
以D为原点,DA,DC所在直线为x轴、y轴建立如图所示空间直角坐标系.
设∠POC=θ,则A(1,0,0),B(1,4,0),C(0,4,0),P(0,2+2csθ,2sinθ),
∴=(0,2-2csθ,
-2sinθ),=(1,-4,0),=(1,0,0),设平面PAC的一个法向量为m=(x1,y1,z1),
则
令y1=1,则x1=4,z1=,∴m=(4,1,).
设平面PBC的一个法向量为n=(x2,y2,z2),
则
令y2=1,则z2=,x2=0,∴n=(0,1,),
∴cs=,结合sin2θ+cs2θ=1,解得csθ=或csθ=1(舍去).
∵0°≤θ≤180°,∴θ=60°,∴△OPC为等边三角形,故PC=2.
综上,存在点P,使得平面APC与平面PCB夹角的余弦值为,此时PC=2.
ui
vi
(ui-)(vi-)
(ui-)2
16.30
24.87
0.41
1.64
X
1.5
3.5
5.5
P
0.15
0.45
0.4