适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习专题检测2数列

这是一份适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习专题检测2数列，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.(2023福建漳州三模)已知数列{an}为递减的等比数列,n∈N*,且a2a7=32,a3+a6=18,则{an}的公比为( )
A.B.C.D.2
2.(2023山东聊城二模)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1>0,a8,a9是方程x2+x-2 023=0的两根,则能使Sn>0成立的n的最大值为( )
A.15B.16
C.17D.18
3.正项等比数列{an}与正项等差数列{bn},若a1a5=b5b7,则a3与b6的关系是( )
A.a3=b6B.a3≥b6
C.a3≤b6D.以上都不正确
4.若数列{an}满足an+1=3an+2,则称{an}为“梦想数列”,已知正项数列{-1}为“梦想数列”,且b1=2,则b4=( )
A.B.C.D.
5.已知正项等比数列{an}满足a3=a2+2a1,若存在am,an,使得am·an=16,则的最小值为( )
A.B.16C.D.
6.已知数列{an}满足a1+2a2+…+2n-1an=n·2n+1,则下列结论错误的是( )
A.a1=4
B.{an}的前10项和为150
C.{(-1)nan}的前11项和为-14
D.{|an-10|}的前16项和为168
7.(2023山东潍坊高三期末)已知定义在R上的函数f(x)满足f(0)=1,对∀x,y∈R,有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则=( )
A.B.C.D.
8.(2022浙江,10)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an-(n∈N*),则( )
A.2<100a100C.3<100a100二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.(2023山东烟台模拟)设首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,若Sn+1=2Sn+n-1(n∈N*),则下列结论正确的是( )
A.数列{Sn+n}为等比数列
B.数列{an}的通项公式为an=2n-1-1
C.数列{an+1}为等比数列
D.数列{2Sn}的前n项和为2n+2-n2-n-4
10.(2023湖北黄石模拟)假设每对老鼠每月生子一次,每月生12只,且雌雄各半.1个月后,有一对老鼠生了12只小老鼠,一共14只;2个月后,每对老鼠各生12只小老鼠,一共98只……以此类推.记每个月新生的老鼠数量为an,每个月老鼠的总数量为bn,数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,可知a1=12,b1=14,a2=84,b2=98,则下列说法正确的是( )
A.a6=12×76B.b6=2×76
C.S6=2×76-2D.T6=
11.已知集合A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N*},集合C=A∪B,将集合C中所有元素从小到大依次排列为一个数列{an},Sn为数列{an}的前n项和,则( )
A.S8=39
B.an+2-an+1=1或2
C.=22n-2+2n+1-2
D.若存在n∈N*使Sn>12an+1,则n的最小值为26
12.网络流行语“内卷”,是指一类文化模式达到某种最终形态后,既没办法稳定下来,也没办法转变为新的形态,只能不断地在内部变得更加复杂的现象,数学中的螺旋线可以形象地展示“内卷”这个词.螺旋线这个词来源于希腊文,原意是“旋卷”或“缠卷”,如图所示的阴影部分就是一个美丽的旋卷型的图案,它的画法是:正方形ABCD的边长为4,取正方形ABCD各边的四等分点E,F,G,H,作第二个正方形EFGH,然后再取正方形EFGH各边的四等分点M,N,P,Q,作第三个正方形MNPQ,按此方法继续下去,就可以得到如图所示的图形.设正方形ABCD的边长为a1,后续各正方形的边长依次为a2,a3,…,an,…;如图阴影部分,设直角三角形AEH的面积为b1,后续各直角三角形面积依次为b2,b3,…,bn,….下列说法正确的是( )
A.正方形MNPQ的面积为
B.an=4×
C.使不等式bn>成立的正整数n的最大值为4
D.数列{bn}的前n项和Sn<4
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2023全国甲,文13)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6=7S3,则{an}的公比为 .
14.(2023广东广州二模)在数列{an}中,a1=2,am+n=am+an,若akak+1=440,则正整数k= .
15.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表,即“杨辉三角”,这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中,第n行的所有数字之和为2n-1,若去除所有为1的项,依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…,则此数列的前56项和为 .
16.等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则= .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)(2022全国甲,理17)设Sn为数列{an}的前n项和.已知+n=2an+1.
(1)证明:{an}是等差数列;
(2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值.
18.(12分)(2023湖南雅礼中学校考)已知数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意n∈N*,满足关系Sn=2an-2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn,且bn=,求证:当n≥4时,总有Tn<.
19.(12分)(2023山东潍坊模拟)在下面两个条件中任选一个,补充在下面的问题中并作答.①+2an=4Sn-1;②.已知Sn为数列{an}的前n项和,满足a1=1,an>0, .
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=Sncs nπ,求数列{bn}的前2n-1项和T2n-1.
20.(12分)(2023广东东莞高三期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,且对于任意的n∈N*都有3Sn=2an+1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记数列{an}的前n项中的最大值为Mn,最小值为mn,令bn=,求数列{bn}的前20项和T20.
21.(12分)(2021浙江,20)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-,且4Sn+1=3Sn-9(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足3bn+(n-4)an=0(n∈N*),记{bn}的前n项和为Tn,若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立,求实数λ的取值范围.
22.(12分)治理垃圾是A地改善环境的重要举措.去年A地产生的垃圾量为200万吨,通过扩大宣传、环保处理等一系列措施,预计从今年开始,连续5年,每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨,从第6年开始,每年的垃圾排放量为上一年的75%.
(1)写出A地的年垃圾排放量与治理年数n(n∈N*)的关系式;
(2)设An为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量,证明:数列{An}为递减数列;
(3)通过至少几年的治理,A地的年平均垃圾排放量能够低于100万吨?
专题检测二 数列
1.A 解析 ∵{an}为递减的等比数列,∴解得(舍去)或∴{an}的公比q=.
2.A 解析 ∵a8,a9是方程x2+x-2023=0的两根,
∴a8·a9=-2023,a8+a9=-1,
又a1>0,∴a8>0,a9<0,公差d=a9-a8<0,-4a8a9=8093>802,
∴d=a9-a8<-80,
由等差中项知a8+a9=a1+a16=a2+a15=…=a7+a10=-1,∴S16=a1+a2+…+a16=-8<0,a16=a9+7d<-560,S15=S16-a16>552>0,即使得Sn>0成立的n的最大值为15.
3.C 解析 设等差数列{bn}的公差为d,则b5b7=(b6-d)(b6+d)=-d2,又a1a5=,∴-d2≤,∵{an},{bn}均为正项数列,∴a3≤b6.
4.B 解析 若{-1}为“梦想数列”,则有-1=3(-1)+2,即,即,又b1=2,所以数列{bn}为以2为首项,为公比的等比数列.则b4=2×.
5.C 解析 设等比数列的公比为q,根据题意,a1·q2=a1·q+2a1,因为数列{an}是正项等比数列,所以a1>0,q>0,故由上式可得q=2,
又am·an=16,所以·qm-1·qn-1=16,即2m+n-2=16,所以m+n=6.
因为m,n为正整数,所以(m,n)可取的数值组合为(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),计算可得,当m=2,n=4时,取得最小值.
6.B 解析 由a1+2a2+…+2n-1an=n·2n+1得,当n≥2时,a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)·2n,两式相减,得2n-1an=n·2n+1-(n-1)·2n=(n+1)·2n,故an=2n+2(n≥2),当n=1时,a1=4也符合an=2n+2,故an=2n+2.对于A,a1=4,故A正确;
对于B,易知{an}为等差数列,则{an}的前10项和为=130,故B错误;
对于C,{(-1)nan}的前11项和为-a1+a2-a3+a4-…-a11=-4+5×(-2)=-14,故C正确;
对于D,当an-10=2n-8>0时,解得n>4,所以|an-10|=所以{|an-10|}的前16项和为(10-a1)+(10-a2)+(10-a3)+(a4-10)+(a5-10)+…+(a16-10)=(6+4+2)+(0+2+4+…+24)=12+=168,故D正确.故选B.
7.A 解析 令x=y=0,由已知可得f(1)=f2(0)-f(0)+2=2.
令y=1,由已知可得f(x+1)=f(x)f(1)-f(1)-x+2=2f(x)-x,
设an=f(n),n∈N*,则an+1=2an-n,整理可得an+1-(n+2)=2[an-(n+1)].
又a1=2,所以an+1-(n+2)=2[an-(n+1)]=0,所以an=n+1.则,
所以+…+.
8.B 解析an+1-an=-<0,则数列{an}是递减数列,
则034,所以34a100<1.
故100a100<3,由n,得(n≥2),所以(1+)(n≥2),
累加得n++…+)(n≥2),
即+1++…+)<34+×6+×93)<40,故100a100>.
9.AD 解析 ∵Sn+1=2Sn+n-1,∴Sn+1+(n+1)=2(Sn+n),
又S1+1=2≠0,
∴数列{Sn+n}是首项和公比都为2的等比数列,Sn+n=2n,故选项A正确;
∵Sn+n=2n,∴2Sn=2n+1-2n,∴数列{2Sn}的前n项和为-2×=2n+2-4-n2-n,故选项D正确;
∵Sn+n=2n,∴Sn=2n-n,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-1,当n=1时,a1=1,
∴an=故选项B错误;
∵an+1=,
∴数列{an+1}不是等比数列,故选项C错误.故选AD.
10.BC 解析 由题意可得,an+1=12×bn=6bn,bn+1=an+1+bn=7bn,即bn+1=7bn,且b1=14,所以数列{bn}是以14为首项,7为公比的等比数列,
则bn=14×7n-1=2×7n,可得Tn=.
当n≥2时,an=6bn-1=12×7n-1,且a1=12满足上式,故an=12×7n-1,
可得=7,即数列{an}是以12为首项,7为公比的等比数列,可得Sn==2×7n-2,
综上,a6=12×75,b6=2×76,S6=2×76-2,T6=.
故B,C正确,A,D错误.故选BC.
11.ABC 解析 对于选项A,由题意知{an}的前8项为1,2,3,4,5,7,8,9,所以S8=39,故A正确;
对于选项B,集合A为正奇数集,集合B中的元素都是偶数,按照从小到大排列,
若连续的两个数是奇数,则an+2-an+1=2,
若连续的两个数是一个奇数,一个偶数,则an+2-an+1=1,故B正确;
对于选项C,令k=2n-1+n,因为2×2n-1-1比2n小1,
所以{an}的前k项中,来自集合A的有2n-1个,来自集合B的有n个,
所以Sk=1+3+…+(2×2n-1-1)+2+22+23+…+2n==22n-2+2n+1-2,
即=22n-2+2n+1-2,故C正确;
对于选项D,{an}的前26项包括来自集合A的1,3,5,…,41,共21个,来自集合B的2,4,8,16,32,共5个,
所以S26=1+3+…+41+2+4+…+32==503,
因为a27=43,12a27=516,S26<12a27,不符合条件,故D错误.故选ABC.
12.BCD 解析 根据题意得,n≥2,故{}是首项为=16,公比为的等比数列,则=16×,
则an==4×;
根据题意可得bn=an×an=×()n-1.
对于A,由an=4×()n-1,得a3=,故正方形MNPQ的边长为,其面积为()2=,故A错误;
对于B,根据上述求解过程,an=4×()n-1,故B正确;
对于C,因为{bn}为递减数列,又b4=,b5=,
故使不等式bn>成立的正整数n的最大值为4,故C正确;
对于D,bn=×()n-1,显然{bn}是首项为,公比为的等比数列,故其前n项和Sn==4-4×()n<4,故D正确.故选BCD.
13.- 解析 已知{an}为等比数列,设首项为a1,公比为q,若q=1,则Sn=na1.有8S6=48a1,7S3=21a1.
∵a1≠0,∴q≠1.
由8S6=7S3,得,整理得8(1+q3)=7,解得q=-.
14.10 解析 由a1=2,am+n=am+an,令m=1,则an+1-an=a1=2,所以数列{an}是以2为首项,2为公差的等差数列,即an=2+(n-1)×2=2n,
所以akak+1=2k×2(k+1)=440,即k(k+1)=110,又k为正整数,所以k=10或k=-11(舍去).
15.4 084 解析 去除所有为1的项后,剩下的每一行中数的个数为1,2,3,…,
对应个数构成一个首项为1,公差为1的等差数列,
则其前m行数字个数之和为Tm=,当m=10时,T10=55,故该数列前56项和为杨辉三角中前12行数字之和,减去23个1,再加上杨辉三角中第13行第二个数字12,
故所求数列的前56项和为-23+12=4084.
16. 解析 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则由题意得解得
∴an=1+(n-1)=n,Sn=,∴=2(),∴=2[(1-)+()+…+()]=2(1-)=.
17.(1)证明 由+n=2an+1,变形为2Sn=2nan+n-n2,记为①式,又当n≥2时,有2Sn-1=2(n-1)an-1+n-1-(n-1)2,记为②式,①-②并整理可得(2n-2)an-(2n-2)an-1=2n-2,n≥2,n∈N*.
即an-an-1=1,n≥2,n∈N*,所以{an}是等差数列.
(2)解 由题意可知=a4a9,即(a1+6)2=(a1+3)(a1+8),解得a1=-12,所以an=-12+(n-1)×1=n-13,其中a118.(1)解 因为a1=S1=2a1-2,所以a1=2,
因为Sn=2an-2,①
所以Sn-1=2an-1-2(n≥2),②
①-②得an=2an-2an-1(n≥2),即an=2an-1,
又因为an>0,所以=2(n≥2),
所以数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,
所以an=2n.
(2)证明 因为bn=,
所以当n≥4时,Tn=+…+≤1++…+=1++…+.
19.解 (1)若选①,当n=1时,则有+2a1=4a1-1,即(a1-1)2=0,解得a1=1.
对任意的n∈N*,因为+2an=4Sn-1,则+2an+1=4Sn+1-1,
故+2an+1-2an=4an+1,即=2(an+1+an),
因为an>0,an+an+1>0,所以an+1-an=2,
故数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列.
所以an=1+2(n-1)=2n-1.
若选②,因为,故,所以,故数列{}是常数列,
所以=2,故an=2n-1.
(2)因为an=2n-1,所以Sn==n2,故bn=n2csnπ=(-1)nn2,
所以T2n-1=-12+22-32+42-…+(-1)2n-1·(2n-1)2
=(22-12)+(42-32)+…+[(2n)2-(2n-1)2]-(2n)2
=[1+2+3+4+…+(2n-1)+2n]-4n2
=n(2n+1)-4n2=-2n2+n.
20.解 (1)对于任意的n∈N*都有3Sn=2an+1,
当n≥2时,3Sn-1=2an-1+1,两式相减,得3(Sn-Sn-1)=(2an+1)-(2an-1+1),即3an=2an-2an-1(n≥2),
整理得an=-2an-1(n≥2),
当n=1时,3S1=2a1+1,故a1=1,
所以数列{an}是首项为1,公比为-2的等比数列,
所以an=(-2)n-1.
(2)当n为奇数时,an=2n-1,且an>0,当n为偶数时,an=-2n-1,且an<0,
因此当n为大于1的奇数时,{an}的前n项中的最大值为an=(-2)n-1,最小值为an-1=(-2)n-2,此时bn=;
当n为偶数时,{an}的前n项中的最大值为an-1=(-2)n-2,最小值为an=(-2)n-1,此时bn=;
当n=1时,b1=a1.因此{bn}的前20项和
T20=b1+(b3+b5+…+b19)+(b2+b4+b6+…+b20)=a1+(+…+)+(+…+)
==S19+.
21.解 (1)当n=1时,4(a1+a2)=3a1-9,4a2=-9=-,所以a2=-,
当n≥2时,由4Sn+1=3Sn-9,①
得4Sn=3Sn-1-9,②
①-②得4an+1=3an,
a2=-≠0,所以an≠0,所以,
又,所以数列{an}是首项为-,公比为的等比数列,所以an=-=-3·.
(2)由3bn+(n-4)an=0,得bn=-an=(n-4)·,
所以Tn=-3×-2×-1×+0×+…+(n-4)·,
Tn=-3×-2×-1×+…+(n-5)·+(n-4)·,
两式相减得Tn=-3×+…+-(n-4)·=--(n-4)·
=--4·-(n-4)·=-n·,
所以Tn=-4n·.
由Tn≤λbn,得-4n·≤λ(n-4)·,即λ(n-4)+3n≥0,
当n=4时,不等式恒成立;
当n<4时,λ≤-=-3-,得λ≤1;
当n>4时,λ≥-=-3-,得λ≥-3.
所以-3≤λ≤1.
22.(1)解 设治理n年后,A地的年垃圾排放量构成数列{an}.
当n≤5时,数列{an}是首项为a1=200-20=180,公差为d=-20的等差数列,
所以an=a1+(n-1)d=180-20(n-1)=200-20n;
当n≥5时,数列{an}是以a5为首项,为公比的等比数列,所以an=a5qn-5=100×()n-5.
所以治理n年后,A地的年垃圾排放量与治理年数n(n∈N*)的关系式为an=
(2)证明 设Sn为数列{an}的前n项和,则An=.
由于An+1-An=,
由(1)知,当1≤n≤5时,an=200-20n,所以{an}为递减数列,当n≥6时,an=100×n-5,所以{an}为递减数列,且a6所以数列{An}为递减数列.
(3)解 由于{An}是递减数列,且A5==140>100,
所以5年内A地的年平均垃圾排放量不可能低于100万吨.
当n≥6时,An==100×.
所以A9=>100,A10=100-30×()5<100.综上所述,通过至少10年的治理,A地的年平均垃圾排放量才能够低于100万吨.